Gambar Sampul Matematika · Bab IV Barisan dan Deret
Matematika · Bab IV Barisan dan Deret
Siswanto

22/08/2021 10:08:22

SMA 12 K-13

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
119Barisan dan DeretBarisan dan DeretBab IVTujuan PembelajaranPernahkah kalian merenungkan keteraturan yang terjadi di alamini? Munculnya matahari setiap pagi, datangnya musim penghujandan kemarau pada masa tertentu, pertumbuhan populasi manusia,populasi rusa, serta populasi tumbuhan adalah beberapa contoh ketera-turan yang terjadi di alam ini. Para ahli menganalisis peristiwa-peristiwa tersebut dengan suatu barisan atau deret tertentu. Dapatkahkalian memberikan contoh keteraturan lain di alam ini?MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri barisan aritmetika dan baris geometri;2. merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;3. menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;4. menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah;5. menghitung jumlah deret geometri tak hingga;6. menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma;7. menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deretaritmetika atau geometri;8. merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah;9. menentukan penyelesaian dari model matematika;10. memberikan tafsiran terhadap solusi (hasil yang diperoleh) dari masalah;11. menjelaskan rumus-rumus dalam hitung keuangan dengan deret aritmetika ataugeometri;12. menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999
120Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• barisan bilangan• barisan berhingga• barisan tak berhingga• barisan aritmetika• barisan geometriPeta KonsepBarisan dan DeretNotasi Sigmamempelajari•beda• deret• sigma• sukuDeret dalam HitungKeuanganmembahasBarisan dan DeretmembahasSifat-SifatNotasi SigmaMenyatakanSuatuPenjumlahandengan NotasiSigmaMenghitungNilaiPenjumlahanyangDinyatakandengan NotasiSigmaDeret KhususBarisan dan DeretAritmetikaBarisan dan DeretGeometriSisipan dalamBarisan AritmetikaSisipan dalamBarisan GeometriPenggunaan Barisan dan DeretDeret GeometriTak Berhingga
121Barisan dan DeretPada pokok bahasan ini, kita akan mempelajari notasi sigmasebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan yang memuat banyaksuku yang memiliki pola (keteraturan) tertentu. Kemudian, kitalanjutkan dengan membahas pengertian barisan dan deret bilanganyang meliputi barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri,serta deret-deret khusus seperti deret bilangan asli dan deret kuadratbilangan asli.Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, ada baiknya kalianjawab soal-soal berikut.1.Apakah yang disebut barisan dan deret?2.Tunjukkan, mana yang merupakan barisan? Berilah alasan.a.1, 2, 3, 4, 5, ....b.1, 1, 1, 1, 1, ....c.4, 3, 5, 2, 6, 7, 9, ....3.Di SMP, kalian telah mempelajari bunga, baik bunga tunggalmaupun bunga majemuk. Apakah bunga itu? Apa pula bungatunggal dan bunga majemuk itu? Berikan gambarannya.Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkanke materi berikut.A. Notasi SigmaMatematika sering disebut sebagai bahasa lambang atau bahasasimbol. Hal ini disebabkan di dalam matematika banyak digunakanlambang-lambang atau simbol-simbol untuk menyatakan suatupernyataan yang lebih singkat dan lebih jelas. Di antara penggunaanlambang ini adalah pada bentuk penjumlahan suku-suku yangmemiliki pola (keteraturan) tertentu. Lambang yang digunakan untukmenuliskan bentuk penjumlahan suku-suku seperti ini adalah notasiY” (dibaca: sigma). Simbol ini diambil dari abjad Yunani ”S” yangmerupakan huruf pertama kata ”Sum” yang berarti jumlah.Dalam penggunaannya, notasi Y selalu diikuti dengan indeksatau variabel yang menentukan batas bawah dan batas atas penjumlah-an tersebut. Indeks penjumlahan ini dapat dipilih sembarang hurufkecil. Daerah penjumlahan dapat berhingga (terbatas) dan dapat pulatak terhingga (tak terbatas).1. Menyatakan Suatu Penjumlahan denganNotasi SigmaMisalkan terdapat penjumlahan bilangan asli dari 1 sampaidengan 100, yaitu 1 + 2 + 3 +...+ 100. Jika semua sukunya ditulis,Uji PrasyaratKerjakan di buku tugas
122Mmt Aplikasi SMA 3 IPSbentuk penjumlahan tersebut menjadi sangat panjang. Denganmenggunakan notasi sigma, penulisan ini dapat dipersingkat,yaitu sebagai berikut.1 + 2 + 3 + ...+ 100 = nn1001=- (Dibaca: sigma n, untuk n = 1sampai dengan 100).Pada penulisan tersebut, variabel yang digunakan adalah n,sedangkan batas bawahnya n = 1 dan batas atasnya n = 100.Contoh:2. Nilai Penjumlahan dalam Notasi SigmaUntuk menghitung nilai penjumlahan yang dinyatakandengan notasi sigma, bentuk penjumlahan tersebut dinyatakansebagai bentuk biasa terlebih dahulu, kemudian ditentukanhasilnya. Perhatikan contoh-contoh berikut. Nyatakan penjumlahan berikut ini dengan notasi sigma.a.3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24b.1211 ... 433221++++c.xy2 + x2y3 + x2y3 + x3y4 + ... + x11y12Penyelesaian:a.3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 = kk381=-b.11211 ... 433221111+-=++++=kkkc.xy2 + x2y3 + x3y4 + ... + x11y12 = 1111+=-kkkyxContoh:Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut.a.2155zz=-b.3) (251+-=pp
123Barisan dan DeretPenyelesaian:a.2155zz=-=52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 + 132 + 142 + 152= 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + 169 + 196 + 225 = 1.210b.3) (251+-=pp = (2(1) + 3) + (2(2) + 3) + (2(3) + 3) + (2(4) + 3) + (2(5) + 3)= 5 + 7 + 9 + 11 + 13=451.Nyatakan bentuk penjumlahan berikut dengan menggunakan notasi sigma.a.1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100b.4 + 8 + 12 + 16 + ... + 1.000c.1 × 3 + 4 × 6 + 9 × 11 + ... + 100 × 102d.2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + ... + 101 × 103e.601.360...1741035221+++++f.8683 ... 107968574+++++g.3100333231...xxxx++++h.xyn–1 + x2yn–2 + ... + xn2.Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa. Jika tidakmemungkinkan untuk menulis seluruhnya, gunakan titik-titik seperti pada soalnomor 1.a.)5 (881+-=kkf.2516) (2+-=iib.)8 (1001+-=kkg.-=++101263kkkkc.kk6123=-h.-=+10121pppd.ii361=-i.-=<1012)1(ppe.6) 2 (28l ++-=kkkj.-=+<1012)12(nnnUji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugas
124Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Hitunglah nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma berikut.a.5) (261+-=kkf.2 281+-=kkkb.21016) (<-=kkg.-=<+312223ppppc.1) 5 (2251++-=ppph.-=+1012)1(pppd.3821) (<-=ppi.-=<1232)2(pppe.1) 3 2 (2341++<-=ppppj.-=<101)73(nnn3. Sifat-Sifat Notasi SigmaCoba pahami kembali notasi sigma di atas. Jika kalian telahmenguasainya, tentu kalian akan dapat menemukan sifat-sifatyang berlaku pada notasi sigma. Sifat-sifat yang berlaku padanotasi sigma adalah sebagai berikut.Jika a, bD himpunan bilangan bulat positif, sedangkan Ukdan Vk adalah rumus suku ke-k dari suatu notasi sigma makaberlaku sifat-sifat berikut.1.kbakkbakkkbakVUVU===-+-=+- ) (2., kbakkbakUccU==-=- untuk c D R3.a.pkpbpakkbakUU<++==-=-b.pkpbpakkbakUU+<<==-=-4.cbak=- = (b – a + 1)c5.kbakkbpkkpakUUU==<=-=-+-16.0 1=-<=kaakU
125Barisan dan Deret7.2222)(kbakkkbakkbakkkbakVVUUVU====-+-+-=+-Bukti:1.-=+bakkkVU)(=(Ua + Va) + (Ua+ 1 + Va+ 1) + ... + (Ub + Vb)=(Ua + Ua+ 1 + ... + Ub) + (Va + Va+ 1 + ... + Vb)=--==+bakkbakkVU........................ (terbukti)2.-=bakkcU=cUa + cUa + 1 + cUa + 2 + ... + cUb=c(Ua + Ua + 1 + Ua + 2 + ... + Ub)=-=bakkUc ......................................... (terbukti)3.a.Ukkab=-=Ua + Ua+1 + Ua+2 + ... + Ub=U(a+p)–p + U(a+p)–p+1 + U(a+p)–p+2 + ... + U(b+p)–p=-++=<pbpakpkU ................................ (terbukti)b. Dengan cara serupa, tentu kalian dapatmenunjukkan bahwa --<<=+==pbpakpkbakkUU.4.-ba=kca–bc1)+(=Bukti:4434421sukuabbakccccc)1(...+<=++++=- = (b – a + 1) c ......... (terbukti)6.01=-<=aakkUBukti:Dari sifat ,1---==<==+bpkbakkkpakkUUU diperoleh.1---==<=<=bpkbakkkpakkUUU
126Mmt Aplikasi SMA 3 IPSJika p = a, diperoleh 01=<=---==<=bakbakkkaakkUUU.. (terbukti)Sifat (5) dan (7) mudah untuk dibuktikan. Coba kalian kerjakansebagai latihan.1.Tentukan nilai dari ).3(231kkk+-=Penyelesaian:Cara 1:)3(231kkk+-== ((12) + 3(1)) + (22 + 3(2)) + (32 + 3(3))= 4 + 10 + 18 = 32Cara 2:kkkkkkk3 )3 (31231231===-+-=+-=(12 + 22 + 32) + (3(1) + 3(2) + 3(3))= ((1 + 4 + 9) + (3 + 6 + 9))=322.Buktikan bahwa 11). (5 6) 5(5112+-=+-<==ppnpnpPenyelesaian:6) 1) (5( 6) (5112++-=+-<==ppnpnp= 6) 5 (511++-<=pnp= 11) (511+-<=pnp..................................................................... (terbukti)3.Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan bahwanpppnpnpnp 8 16 1) (412121+-<-=<-===.Penyelesaian:1) 8 (16 1) (42121+<-=<-==pppnpnp=1 8161121npnpnppp===-+-<-=nppnpnp 8 16121+-<-== ........................................................ (terbukti)Contoh:
127Barisan dan Deret1.Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan pernyataan-pernyataan berikut.a.nkkknknknk 8 16 1) (412121+-+-=+-===b. 144 24 12) (12121nkkknknknk+-<-=<-===c.5) 11( 3 2) (3336<+-=+-<==nkknknkd.3) 14( 6 5) (3123324<+-+-=+-<=<==nkkknknknke.2) (9 6 1) (2122123<+-+-=+-<=<==nkkknknknkf.kknknk2312 4) (2+==-=+-2.Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 0.a.knk63=-d.231) (3<-=knkb.3) (22+-=knke.6) 3 (21<+-=iinic.)5(4+-=iinif.1) 2 (2) (225+<+-=iiini3.Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 2.a.knk70=-d.207) (2+-=knkb.)6 (51<-=knke.8) 4 (21+<-=iinic.)2)(6 (1<+-=iinif.5 3 2) (220+++-=iiiniUji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugasB. Barisan dan DeretDalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Perhatikan urutanbilangan-bilangan berikut.1) 0, 2, 4, 6, 8, ...2) 1, 3, 5, 7, 9, ...3) 0, 1, 4, 9, 16, ...4),51 ,41 ,31 ,21 1, ...Bentuk-bentuk di atas dinamakan barisan bilangan. Jadi, barisanbilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturantertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah a1, a2, a3, ..., an, ...
128Mmt Aplikasi SMA 3 IPSSetiap bilangan yang terurut pada barisan bilangan di atas disebutsuku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un(n bilangan asli). Dengan demikian, a1 disebut suku pertama atau U1,a2 disebut suku kedua atau U2, dan an disebut suku ke-n atau Un. Diantara suku-suku barisan bilangan dan himpunan bilangan asliterdapat korespondensi satu-satu seperti terlihat dalam diagramberikut.a1a2a3....anbbbbb 1 2 3....nDengan demikian, dapat dikatakan bahwa suku-suku suatubarisan bilangan merupakan suatu nilai fungsi f dari himpunanbilangan asli ke himpunan bilangan real dengan aturan Un = f(n).Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus suku ke-n dari barisan bilangantersebut.Contoh:1.Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan Un = n2 – 1.Penyelesaian:Karena rumus Un = n2 – 1, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 – 1 = 0, U2 = 22 – 1 = 3,U3 = 32 – 1 = 8, U4 = 42 – 1 = 15, dan U5 = 52 – 1 = 24.Jadi, lima suku pertamanya adalah 0, 3, 8, 15, 24.2.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = n2 + n.a.Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 156?Penyelesaian:a.Karena Un = n2 + n, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 + 1 = 2, U2 = 22 + 2 = 6,U3 = 32 + 3 =12, U4 = 42 + 4 = 20, dan U5 = 52 + 5 = 30.Jadi, 5 suku pertamanya adalah 2, 6, 12, 20, 30.b.Diketahui suku ke-n = 156. Berarti,Un = 156‹n2 + n = 156‹n2 + n – 156 = 0‹ (n – 12)(n + 13) = 0‹n = 12 atau n = –13 (dipilih nilai n positif)Jadi, suku yang nilainya 156 adalah suku ke-12.Misalkan suku ke-n dari suatu barisan tidak diketahui. Kita dapatmenentukan rumus umum untuk mencari suku ke-n barisan bilangantersebut dengan memerhatikan pola suku-suku barisan itu.
129Barisan dan DeretContoh:Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilai sukuyang diminta di dalam tanda kurung.a.5, 10, 15, 20, 25, ... (U100)b.2, 5, 10, 17, 26, ... (U24)Penyelesaian:a.5, 10, 15, 20, 25, ...U1 = 5 × 1U2 = 10 = 5 × 2U3 = 15 = 5 × 3U4 = 20 = 5 × 4U5 = 25 = 5 × 5...Un = 5nJadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 5n dan U100 = 5 × 100 =500.b.2, 5, 10, 17, 26, ...U1 = 2 = 1 + 1 = 12 + 1U2 = 5 = 4 + 1 = 22 + 1U3 = 10 = 9 + 1 = 32 + 1U4 = 17 = 16 + 1 = 42 + 1U5 = 26 = 25 + 1 = 52 + 1...Un = n2 + 1Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 + 1 dan U24 = 242 + 1 = 577.Selain dengan memerhatikan pola suku-sukunya, suku-sukubarisan bilangan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus.Bagaimana caranya?Perhatikan barisan bilangan berikut.1.aaaaa .....2.a1a2a3a4a5 ..... b b b b3.a1a2a3a4a5 ..... b1 b2 b3 b4 ......c c cCatatan: pada kasus ini tanda ”–” kita baca ”berselisih”.Un = a, untuk a konstanta, n= 1, 2, 3, ...Un = an + b, untuk a dan bkonstanta, n = 1, 2, 3, ...Un = an2 + bn + c, untuka, b, c konstanta,n = 1, 2, 3, ...
130Mmt Aplikasi SMA 3 IPSPada kasus 1, suku-suku barisan selalu sama sehingga disebutbarisan konstan. Pada kasus 2, selisih dua barisan yang berurutanselalu sama. Barisan rumus suku-sukunya ini memiliki bentukpersamaan linear. Barisan seperti ini nantinya akan kita sebut barisanaritmetika. Kasus 3 dapat kalian pahami dari bagan sehingga diperolehselisih konstan.Menentukan konstanta a, b, dan c pada kasus 3, yaituUn = an2 + bn + c.Ambil 3 suku, misalnya U1, U2, dan U3 sehingga diperoleh sistempersamaan linear tiga variabel, yaituU1 = a(12) + b(1) + c‹a + b + c = U1U2 = a(22) + b(2) + c‹ 4a + 2b + c = U2U3 = a(32) + b(3) + c‹ 9a + 3b + c = U3Selesaikan sistem persamaan tersebut sehingga diperoleh sukuke-n, yaitu Un = an2 + bn + c.Contoh:Tentukan suku ke-n barisan 2, 5, 9, 14, 20, ....Penyelesaian:2591420....3456....111....Dari urutan barisan di atas, terlihat bahwa suku ke-n barisan tersebut sesuai dengankasus 3, yaitu Un = an2 + bn + c.Untuk menentukan a, b, dan c, ambil 3 suku, misalnya U1 = 2, U2 = 5, dan U3 = 9.Dengan demikian, diperolehU1 = a(12) + b(1) + c‹a + b + c = 2U2 = a(22) + b(2) + c‹ 4a + b + c = 5U3 = a(32) + b(3) + c‹ 9a + b + c = 9Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, diperoleh nilai a= 21, b = 23, dan c = 0.Jadi, barisan tersebut adalah Un = 21n2 + 23n + 0 atau Un = 21n(n + 3).Coba, kalian tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisanberikut.1.5, 8, 11, 14, 17, ...3.9, 16, 28, 48,79, ...2.7, 12, 20, 31, 45, ...4.4, 5, 9, 18, 34, 59, ...EksplorasiTugasKerjakan di buku tugas
131Barisan dan DeretBerdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan men-jadi dua macam.a.Barisan berhingga, yaitu barisan yang banyak suku-sukunyaberhingga (tertentu).Misalnya, barisan bilangan asli yang kurang dari 12, yaitu1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan barisan bilangan ganjil yangkurang dari 100, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99.b.Barisan tak berhingga, yaitu barisan yang banyak suku-sukunya tak berhingga.Misalnya, barisan bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, ... danbarisan bilangan bulat, yaitu ..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka terbentuklahsuatu deret.Misalkan a1, a2, a3, ..., an adalah suatu barisan bilangan. Deretbilangan didefinisikan dengan a1 + a2 + a3 + ... + an.Berpikir KritisDiskusiDiskusikan dengan teman-teman kalian, bagaimana rumusumum untuk menentukan suku-suku barisan berikut.a.1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....b.4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, ....c.–1, 2, – 3, 4, – 5, ....d.–1, 1, –2, 2, –3, 3, ....Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas1.Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut.a.Un = 3n – 5e.Un = n2 – 3nb.Un = n2f.Un = 21n + 6c.Un = n2 + 4g.Un = 4121+nd.Un = 3n2h.Un = 41n2 + 2n – 12.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 5n + 4.a.Tentukan enam suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 504?3.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n2 – 8.a.Tentukan empat suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 12.792?
132Mmt Aplikasi SMA 3 IPS4.Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilaisuku yang diminta di dalam kurung.a.3, 6, 9, 12, ... (U16)d.3, 10, 21, 36, ... (U8)b.1, 4, 7, 10, ... (U20)e.)( ... ,81 ,61 ,41 ,2110Uc.0, 3, 8, 15, ... (U12)f.)( ... ,94 ,83 ,72 ,6115U5.Tentukan suku ke-25 dan suku ke-30 dari barisan-barisan berikut.a.3, 10, 17, 24, ...d.–3, –6, –9, –12, ...b.6, 11, 16, 21, ...e.–4, 0, 4, 8, ...c.12, 15, 18, 21, ...f.12, 1, 32, 2, ... 6.Tentukan rumus suku ke-n barisan-barisan berikut.a.1, 4, 9, 16, 25d.1, 2, 6, 13, 23b.4, 7, 12, 19, 28e.2, 3, 7, 14, 24c.6, 9, 14, 24, 317.Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah Un = an + b. Jika U2 = 11dan U3 = 12, tentukan U100.8.Jika suku ke-n suatu barisan bilangan adalah Un = an2 + b, U3 = 28, dan U5 = 76,tentukan nilai dari U10 + U13.Soal TerbukaKerjakan di buku tugasDiketahui barisan bilangan dengan suku ke-n dirumuskan Un =an + b.Jika U2 + U4 = 28 dan U12U10 = 6, tentukana.Un;b.U100;c.Un + Un+1.1. Barisan dan Deret AritmetikaBarisan dan deret ini sebenarnya telah kalian pelajari di SMP.Namun, kali ini kalian diajak untuk mempelajari lebih lanjutmateri ini. Untuk itu, perhatikan Tabel 4.1.a.Barisan AritmetikaJika kalian amati, pada Tabel 4.1, barisan mendatarmemiliki selisih tetap, yaitu 1 dan barisan menurun jugamemiliki selisih tetap, yaitu 8. Barisan-barisan seperti inidinamakan barisan aritmetika.
133Barisan dan DeretTabel 4.11234 56789 101112 1314151617181920212223242526272829303132Barisan aritmetika atau barisanhitung adalah suatu barisan bilangan,dengan setiap suku-suku yang berurutanmemiliki selisih tetap (konstan). Selisihyang tetap ini disebut beda dandilambangkan dengan b. Pada tabel diatas terdapat beberapa barisan aritmetika,di antaranya sebagai berikut.12345 ...(b = 1)+1+1+1+12101826(b = 8)+8+8+82112029(b = 9)+9+9+9Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.Apabila Un adalah rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika,berlaku bahwa selisih suku ke-n dan suku ke-(n – 1) selalu tetap,ditulisUn – Un–1 = bb disebut beda.Jika suku pertama dari barisan aritmetika (U1) dinotasikan dengana dan beda dinotasikan dengan b yang nilainya selalu tetap makasuku-suku barisan aritmetika tersebut dapat dituliskan sebagaiberikut.U1 = aU2 = a + bU3 = (a + b) + b = a + 2bU4 = (a + 2b) + b = a + 3b...Un = a + (n – 1)bOleh karena itu, diperoleh barisan aritmetika berikut.a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)b, ...Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika baku denganrumus umum suku ke-n sebagai berikut.Un = a + (n – 1)bKeterangan:Un= suku ke-nb=bedaa= suku pertaman= banyak sukuTes MandiriKerjakan di buku tugasSisi-sisi sebuah segi-tiga siku-siku mem-bentuk suatu barisanaritmetika. Jika keliling-nya 72 cm maka luassegitiga itu adalah ....a. 108 cm2b. 135 cm2c. 162 cm2d. 216 cm2e. 270 cm2Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2003
134Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:1.Tentukan suku ke-7 dan suku ke-10 dari barisan-barisan berikut.a.3, 7, 11, 15, ...b.x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ...Penyelesaian:a.3, 7, 11, 15, ...Suku pertama barisan tersebut adalah a = 3 dan bedanya b = 7 – 3 = 4. Olehkarena itu, rumus umum suku ke-n barisan itu adalah Un = 3 + (n – 1)4.Suku ke-7: U7 = 3 + (7 – 1)4 = 27Suku ke-10: U10 = 3 + (10 – 1)4 = 39b.x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ...Suku pertama barisan tersebut a = x + p dan bedanya b = (x + 6p) – (x + p) =5p.Suku ke-7: U7 = (x + p) + (7 – 1)5p = x + 31pSuku ke-10: U10 = (x + p) + (10 – 1)5p = x + 46p2.Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 adalah 16 dan 20.Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.Penyelesaian:Rumus barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b.Karena U3 = 16 maka a + 2b = 16 ..................................................................... (1)Karena U5 = 20 maka a + 4b = 26 ........................................................................ (2)Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a = 12 dan b = 2.Berarti, Un = 12 + (n – 1)2 dan U20 = 12 + (20 – 1)2 = 50.Problem SolvingTiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 24 danhasil kalinya adalah 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut.Penyelesaian:Tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan a, a + b, a + 2b,tetapi jika diambil pemisalan tersebut, penyelesaiannya agak panjang. Agarpenyelesaiannya lebih mudah, ketiga bilangan itu dimisalkan p – q, p, dan p + q. (ingat:pemisahan kedua ini juga memiliki beda yang tetap, yaitu q).Karena jumlahnya 24 maka (p – q) + p + (p + q)= 24‹ 3p = 24‹p = 8Karena hasil kalinya 384 maka (p – q) ×p× (p + q) = 384‹p(p2q2) = 384
135Barisan dan Deret1.Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c membentukbarisan aritmetika apabila memenuhi persamaan 2b = a + c.2.Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan dmembentuk barisan aritmetika apabila memenuhi persamaanb + c = a + d.b.Sisipan dalam Barisan Aritmetika (Pengayaan)Pada suatu barisan aritmetika, dapat disisipkanbeberapa suku di antara dua suku yang berurutan sehinggadiperoleh barisan aritmetika yang baru. Perhatikan barisanaritmetika berikut.a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)bApabila di antara setiap dua suku yang berurutandisisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetika baru yangsuku pertamanya sama dengan suku pertama barisan semula,yaitu a, beda b', dan banyaknya suku adalah n'. Besarnyanilai b' dan n' dapat ditentukan dengan cara berikut.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugask sukuTabel 4.2Barisan Aritmetika SemulaU1U2U3 ...Barisan Aritmetika Baruvvv v+UUUUk1231... vvv v++++UUUUkkkk23422 ... v+Uk23 ...k suku14424431442443Dari tabel di atas, diperoleh rumusan sebagai berikut.a.Suku pertama barisan semula sama dengan sukupertama barisan yang baru, yaitu . '11aUU==Untuk p = 8, diperoleh 8(64 – q2) = 384‹ 64 – q2 = 48‹q2 = 16 = ±4Untuk p = 8 dan q = 4, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 8, dan 12.Untuk p = 8 dan q = –4, ketiga bilangan tersebut adalah 12, 8, dan 4.Jadi, ketiga bilangan itu adalah 4, 8, dan 12.Coba kalian selesaikan contoh 3 dengan menggunakan pemisalan a, a + b, dan a + 2b(di sini a bilangan terkecil dan b beda). Apakah hasilnya sama?
136Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb. Rumus suku ke-n barisan semula adalah Un = a +(n – 1)b, rumus suku ke-n' barisan yang baru adalah.1) ( ''''bnaUn<+=c.Suku ke-2 barisan yang baru bersesuaian dengan sukuke-(k + 2) barisan yang lama, yaitu U2 = a + b ........ (1)dan Uk+2 = a + ((k + 2) – 1)b' .................................... (2)Karena persamaan (1) dan (2) bersesuaian, diperoleha + b = a + (k + 2 –1)b'‹a + b = a + (k + 1)b'‹b = (k + 1)b'‹b' = 1 +kbDengan demikian, dapat disimpulkan bahwa apabiladi antara setiap dua suku yang berurutan pada suatu barisanaritmetika disisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetikabaru yang suku pertamanya sama dengan suku pertamabarisan aritmetika sebelumnya dan rumus umumnya adalah''nU = a + (n' – 1)b'dengan n' = n + (n – 1)k dan 1 '+=kbb.Contoh:Diketahui barisan aritmetika 3, 9, 15, 21, .... Di antara setiap dua suku yang berurutanpada barisan tersebut disisipkan dua suku sehingga diperoleh barisan aritmetika baru.Tentukan beda, suku ke-12, dan suku ke-37 barisan yang baru.Penyelesaian:Diketahui barisan: 3, 9, 15, 21, .... Berarti suku pertama a = 3 dan beda b = 9 – 3 = 6.Banyak suku yang disisipkan adalah k = 2 sehingga beda barisan yang baru adalah2 1 261 '=+=+=kbb. Oleh karena itu, rumus umum barisan aritmetika yang baru adalahU'n' = a' + (n' – 1)b' = 3 + (n' – 1)2Suku ke-12 dari barisan yang baru adalah U'12 = 3 + (12 – 1)2 = 25 dan suku ke-37adalah U'37 = 3 + (37 – 1)2 = 75.Jadi, beda barisan yang baru 2, suku ke-12 dan ke-37 barisan yang baru berturut-turutadalah 25 dan 75.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJumlah dari 33 sukupertama dari deretaritmetika adalah 891.Jika suku pertamaderet adalah 7 makasuku ke-33 adalah ....a. 41d. 49b. 45e. 51c. 47Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2004
137Barisan dan Deret1.Diketahui suku ke-6 dan suku ke-9 dari suatu barisan aritmetika masing-masingadalah 30 dan 45. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-25 barisan tersebut.2.Pada suku keberapakah dari barisan aritmetika 84, 8012, 77, ... yang nilainya samadengan 0?3.Dalam suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-3 adalah 9, sedangkan jumlahsuku ke-5 dan ke-7 adalah 36. Tentukan suku ke-100 barisan tersebut.4.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 30 danhasil kalinya 750. Tentukan ketiga bilangan tersebut.5.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 18 danhasil kalinya 192. Tentukan ketiga bilangan tersebut.6.Diketahui suatu barisan mempunyai urutan k + 1, 3k + 3, 4k + 4, .... Agar barisantersebut merupakan barisan aritmetika, tentukan nilai k.7.Misalkan Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika. Jika diketahui bahwa U1+U2 + U3 = –9 dan U3+ U4 + U5 = 15, tentukan nilai U1+ U2 + U3+ U4+ U5.8.Sebuah trapesium sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui bahwaalas trapesium merupakan sisi terpanjang. Apabila sisi terpendeknya 10 cm,tingginya 2 cm, dan luasnya 50 cm2, tentukan keliling trapesium itu.9.Jika suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 5, suku terakhirnya adalah 23,serta selisih antara suku ke-8 dan ke-3 adalah 10, tentukan banyak suku dari barisanaritmetika tersebut.10. Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, .... Di antara setiap dua suku yangberurutan pada barisan tersebut disisipkan satu suku sehingga diperoleh barisanaritmetika baru. Tentukan beda, suku ke-24, dan suku ke-40 dari barisan yang baru.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Diketahui beda dan suku pertama dari suatu barisanaritmetika masing-masing adalah 6 dan –4. Di antara setiapdua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehinggadiperoleh barisan aritmetika baru. Tentukan suku ke-12 dansuku ke-15 dari barisan yang baru.2.Di antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,... disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisanaritmetika baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama daribarisan aritmetika baru tersebut.Uji Kompetensi 4Kerjakan di buku tugas
138Mmt Aplikasi SMA 3 IPSc.Deret AritmetikaKalian telah mengetahui definisi barisan aritmetika.Jumlah seluruh suku-sukunya ditulis dalam bentukpenjumlahan dari suku pertama, suku kedua, dan seterusnya,bentuk ini dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret aritmetikaatau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengancara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika. Jika a, a+ b, a + 2b, ... , a + (n –1)b adalah barisan aritmetika bakumaka a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b) disebutderet aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetikadinotasikan dengan Sn sehinggaSn=a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b)=)1) ( (1bkank<+-=Rumus jumlah n suku dapat ditentukan sebagai berikut.Sn = a+ (a + b)+ (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)Sn = (a + (n –1)b)+ (a + (n – 2)b)+ (a + (n –3)b) + ...+ a––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– – 2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)4444444444444434444444444444421suku sebanyak n‹ 2Sn = n(2a + (n – 1)b)‹Sn = 12n(2a + (n – 1)b)Karena rumus suku ke-n suatu deret aritmetika adalahUn = a + (n – 1)b maka Sn = 12n(a + Un ).Jadi, rumus jumlah n suku suatu deret aritmetika adalahSn = 12n(2a + (n –1)b) atau Sn = 12n(a + Un)Keterangan:Sn= jumlah n sukub = bedaa = suku pertaman = banyaknya sukuTes MandiriKerjakan di buku tugasDari suatu deret arit-metika suku ke-5 adalah52 3< dan suku ke-11adalah 11 2 9+. Jum-lah 10 suku pertamaadalah ....a.502 + 45b. 502 + 35c. 552 + 40d. 552 + 35e. 552 + 45Soal UMPTN, Kemam-puan Dasar, 2001Diskusikan dengan teman-teman kalian apakah benar bahwa:Un = bn + (ab)Sn = 12 bn2 + (a12b) nJika benar, apa yang dapat kalian katakan mengenai Un dan Sndipandang sebagai fungsi n?KreativitasDiskusi
139Barisan dan Deret1.Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + ....Penyelesaian:Diketahui deret 2 + 5 + 8 + 11 + .... Dari deret tersebut, diperoleh a = 2, b = 3, dann = 20.Cara 1:Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalahSn= 21n(2a + (n –1)b)S20 = 21(20)(2(2) + (20 – 1)3) = 10(61) = 610Cara 2:Un=a + (n – 1)bU20= 2 + (20 – 1)3 = 59Sn=21n(a + Un)S20=21(20)(2 + U20) = 10(2 + 59) = 10(61) = 6102.Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4.Penyelesaian:Bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 adalah 4, 8, 12, 16, ..., 96.Berarti, a = 4, b = 8 – 4 = 4, dan Un = 96. Kita tentukan nilai n sebagai berikut.Un = a + (n – 1)b‹ 96 = 4 + (n – 1)4‹ 96 = 4n‹n = 24 (Barisan ini mempunyai 24 suku).Jumlah bilangan-bilangan tersebut adalahSn= 12n(a + Un)‹S24 = 21× 24(4 + 96) =12 (100) = 1.200.3.Di antara setiap 2 suku berurutan pada deret 5 + 8 + 11 + 14 + ... disisipkan 5 sukusehingga terbentuk deret aritmetika yang baru. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 20suku pertama pada deret yang baru.Penyelesaian:Deret aritmetika semula 5 + 8 + 11 + 14 + ... berarti, a = 5 dan b = 3. Disisipkan 5 suku,berarti k = 5. Dengan demikian, pada deret aritmetika yang baru, diperoleh a = 5dan b' = 1 +kb211 53=+=. Suku ke-15 deret yang baru adalah '15U = 5 + (15 –1)21 = 5 + 7 = 12, sedangkan jumlah 20 suku yang pertama adalah'20S = 21(20)(2(5) + (20 – 1)21) = 10(10 + 9,5) = 195Contoh:
140Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Tentukan jumlah deret aritmetika berikut.a.2 + 5 + 8 + 11 + ... sampai dengan 20 suku.b.3 + 9 + 15 + 31 + ... sampai dengan 18 suku.c.1 + 6 + 11 + 16 + ... sampai dengan 16 suku.d.60 + 56 + 52 + 48 + ... sampai dengan 12 suku.e.–20 – 14 – 8 – 2 – ... sampai dengan 25 suku.2.Tentukan banyak suku dan jumlah deret aritmetika berikut.a.4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104c.72 + 66 + 60 + 54 + ... – 12b.–12 – 8 – 4 – 0 – ... – 128d.–3 – 7 – 11 – 15 ... – 1073.Tentukan banyak suku dari deret berikut.a.6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756b.56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36c.10 + 14 + 18 + 22 + ... = 6404.Tentukan nilai k pada deret berikut.a.4 + 10 + 16 + 22 + ... + k = 444b.5 + 8 + 11 + 14 + ... + k = 4405.Dalam suatu deret aritmetika diketahui suku pertama adalah 3, suku ke-n = 87,serta jumlah suku ke-6 dan suku ke-7 adalah 39. Tentukan jumlah n suku pertamadari deret tersebut.6.Dalam suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-4 dan suku ke-8 masing-masingadalah 17 dan 58. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret tersebut.Uji Kompetensi 5Suku ke-2 suatu deret aritmetika adalah 5, sedangkan jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah28. Tentukan suku ke-9 dan jumlah dari 12 suku pertama deret tersebut.Penyelesaian:U2 = a + b = 5 ........................................................................................................... (1)U4 + U6 = 28‹ (a + 3b) + (a + 5b) = 28‹ 2a + 8b = 28‹a + 4b = 14 ................................................................................... (2)Dari persamaan (1) dan (2), diperoleha + b= 5a + 4b= 14 –3b= –9 ‹b = 3Nilai b = 3 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga diperoleh a = 2.Suku ke-9 adalah U9 = a + 8b = 2 + 8(3) = 26.S12 = 21(12) (2(2) + (12 – 1)3) = 6 (4 + 33) = 222.Jadi, jumlah 12 suku yang pertama deret tersebut adalah 222.Problem Solving
141Barisan dan Deret2. Barisan dan Deret GeometriSeperti halnya barisan dan deret aritmetika, materi tentangbarisan dan deret geometri ini juga pernah kalian pelajari di SMP.Mari kita perdalam lagi materi ini.a.Barisan GeometriMisalnya kalian memiliki selembar kertas berbentukpersegi. Dari kertas itu, kalian lipat sehingga lipatan satudengan lipatan yang lainnya tepat saling menutupi. Jikalipatan dibuka maka akan terdapat 2 segi empat dengansebagian sisinya berupa bekas lipatan. Setelah lipatanpertama, jika kalian melanjutkan melipatnya, kalian akanmendapatkan 4 segi empat dengan sisi-sisi sebagian segiempat berupa bekas lipatan. Jika kegiatan melipat diteruskan,diperoleh gambaran seperti di samping.Barisan 1, 2, 3, 4, 8, .... dinamakan barisan geometri.Sekarang perhatikan juga barisan 1, 3, 9, 27, 81, ....Pada barisan ini, suku kedua adalah tiga kalinya sukupertama, suku ketiga tiga kalinya suku kedua, demikianseterusnya. Barisan yang demikian juga dinamakan barisan11 Segi empat12344 Segi empat122 Segi empat1.Pada suatu bimbingan belajar, murid baru yang mendaftarsetiap bulannya bertambah dengan jumlah yang sama.Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan ke-4 adalah 20 orang, sedangkan jumlah pendaftar pada bulanke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Tentukan jumlah murid yangmendaftar sampai dengan bulan ke-10.2.Tentukan nilai dari 92 ... 8 6 4 291 ... 7 5 3 1++++++++++.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas7.Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret berikut.a.3 + 5 + 7 + ...d.18 + 1512 + 13 + ...b.–8 + (–4) + 0 + 4 + ...e.0 + x + 2x + 3x + ...c.15 + 12 + 9 + ...8.Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 300 dan 700 yang habis dibagi 4.9.Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 1.000 dan 2.000 yang habis dibagi 13.10. Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 500 dan 1.000 yang habis dibagi 9.11. Dalam suatu deret aritmetika yang terdiri atas 10 suku, diketahui suku pertama 0dan beda 6. Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan tiga bilangansehingga terbentuk deret aritmetika baru.12. Tentukan jumlah deret nnnnnn3 2 1 <+<+< + ....
142Mmt Aplikasi SMA 3 IPSgeometri. Jadi, barisan geometri atau barisan ukur adalahsuatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengancara mengalikan suku di depannya dengan bilangan yangtetap (konstan). Bilangan yang tetap ini disebut pembanding(rasio) yang dinotasikan dengan r. Secara umum, dapatdikatakan sebagai berikut.Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un disebut barisan geometriapabila berlaku1<nnUU = rMisalnya:13927 ...(r = 3)× 3 × 3 × 31214181 ...(r = 21)21×21×21×2–48–16 ... (r = –2))2(<×)2(<×)2(<×Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa apabila suku-sukudari suatu barisan geometri positif semua atau negatif semua,rasio barisan itu positif. Namun, apabila suku-suku dari suatubarisan geometri bergantian tanda, rasio barisan itu negatif.Apabila suku pertama (U1) dari barisan geometridinyatakan dengan a dan rasio r makaU1 = aU2 = arU3 = ar × r = ar2U4 = ar2×r = ar3...Un = arn–1Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ar3,..., arn–1, ...Barisan ini disebut barisan geometri baku. Rumus umumsuku ke-n barisan itu adalahUn = arn–1Keterangan:Un= suku ke-nr= rasioa= suku pertaman= banyak suku123456788 Segi empatTes MandiriKerjakan di buku tugasDalam suatu barisangeometri, U1 + U3 = p,dan U2 + U4 = q maka U4= ....a.ppq322+d.qqp222+b.qpq322+e.pqpq2322++c.pqpq3322++Soal UMPTN, 1996Berpikir KritisTugasKerjakan di buku tugasAmbil sembarang deretaritmetika yang ba-nyaknya suku ganjil.Perhatikan bahwasuku tengah dari derettersebut adalahUt = snn atauUt= 12 (U1 + Un)= 12 (U2 + Un–1)= 12 (U3 + Un–2)= 12(U4 + Un–3)...demikian seterusnya.
143Barisan dan DeretDari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-5, dansuku ke-9.a.1, 2, 4, ...b.9, 3, 1, ...Penyelesaian:a.1, 2, 4, ...Dari barisan tersebut, diperoleh a = 1 dan r = 12 = 2. Oleh karena itu, suku ke-5dan suku ke-9 masing-masing adalahU5 = ar5–1 = 1(24) = 16;U9 = ar9–1 = 1(28) = 256.b.9, 3, 1, ...Dari barisan tersebut, nilai a = 9 dan r = 3193=. Oleh karena itu, suku ke-5 dansuku ke-9 masing-masing adalahU5 = ar5–1 = 9(31)4 = 91;U9 = ar9–1 = 9(31)8 = 9(6.5611) = 7291.Contoh:Problem SolvingTiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 26 dan hasilkalinya 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah pa, a, dan ap.Jumlah ketiga bilangan itu 26 sehinggapa + a + ap = 26 ....................................................................................................... (1)Hasil kalinya 216 sehingga pa× a × ap = 216 ....................................................... (2)Dari persamaan (2), diperoleh a3 = 216 atau a = 6. Jika nilai a = 6 disubstitusikan kepersamaan (1), diperolehp6 + 6 + 6p = 26
144Mmt Aplikasi SMA 3 IPS‹ 6 + 6p + 6p2 = 26p‹ 6p2 – 20p + 6 = 0‹ (3p – 1)(2p – 6) = 0‹p = 31 atau p = 3Untuk a = 6 dan p = 31, ketiga bilangan tersebut adalah 18, 6, dan 2. Untuk a = 6 dan p = 3,ketiga bilangan tersebut adalah 2, 6, dan 18. Jadi, ketiga bilangan itu adalah 2, 6, dan 18.Dapatkah kalian menyelesaikan soal ini jika ketiga bilangan dimisalkan dengan a, ap,dan ap2? Mana yang lebih mudah? Jelaskan.Barisan Geometri SemulaU1U2U3Barisan Geometri Baru4434421suku'1'3'2'1 ... kkUUUU+'2+kU44443444421suku'22'5'4'3 ... kkkkkUUUU++++'32+kUTabel 4.31.Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c memben-tuk barisan geometri apabila memenuhi persamaan b2 = ac.2.Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan dmembentuk barisan geometri apabila memenuhi persamaanad = bc.b.Sisipan dalam Barisan Geometri (Pengayaan)Seperti pada barisan aritmetika, pada barisan geometrijuga dapat disisipkan beberapa suku di antara setiap duasuku yang berurutan sehingga diperoleh barisan geometriyang baru. Perhatikan barisan geometri baku berikut.a, ar, ar2, ar3, ..., arn–1Jika di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkank bilangan, diperoleh barisan geometri baru dengan sukupertama sama dengan suku pertama barisan geometri semulayaitu U1= a, rasio = r', dan banyaknya suku yang baru adalahn'. Untuk mengetahui hubungan antara r' dan n' dengan rdan n, perhatikan tabel berikut.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugasDari tabel tersebut, tampak adanya kesesuaian antarasuku ke-2 barisan semula, yaitu U2 = ar dengan suku ke-(k+ 2) pada barisan yang baru, yaitu U'k+2= a(r')k+1 sehinggadiperoleh
145Barisan dan DeretDiketahui barisan geometri 1, 9, 81, .... Di antara masing-masing suku yang berurutandisisipkan satu suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasiodan suku ke-8 dari barisan yang baru.Penyelesaian:Barisan geometri semula adalah 1, 9, 81, .... Berarti a = 1 dan r = 9. Di antara dua sukuyang berurutan disisipkan 1 suku (k = 1) sehingga rasio barisan yang baru adalahr' = rk+1 = 911+ = 9 = 3.Oleh karena itu, suku ke-8 barisan yang baru adalahU8 = a(r')8–1 = 1( 37) = 2.187Contoh:ar = a(r')k+1‹r= (r')k+1‹r'= rk+1Dengan demikian, rumus suku ke-n pada barisan yang baru adalahUn' = a(r')n'–1dengan n' = n + (n – 1)k dan r' = rk+1Uji Kompetensi 6Kerjakan di buku tugas1.Dari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-12,dan suku ke-15.a.2, 4, 8, 16, ...d.2, 6, 18, ...b.4, 2, 1, ...e.–3, 6, –12, ...c.1, –2, 4, –8, ...f.5, 15, 45, ...2.Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 35 danhasil kalinya 1.000. Tentukan ketiga bilangan tersebut.3.Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3, untuk k > 0, membentuk tiga suku pertama dari deretgeometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut.4.Jika 2k – 5, k – 4, dan 51(k – 4) adalah tiga bilangan yang membentuk barisangeometri, tentukan nilai k.5.Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan geometri, dengan rasio lebih besar darisatu. Jika bilangan terakhir dikurangi 3, ketiga bilangan itu membentuk barisanaritmetika, sedangkan jika ketiga bilangan itu dijumlahkan, hasilnya adalah 54.Tentukan selisih bilangan ke-3 dan bilangan ke-1.6.Jika suku pertama dan ke-3 dari barisan geometri masing-masing adalah m3 danm, untuk m > 0, tentukan suku ke-13 dan ke-15.7.Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang bagian yang satu dengan yang lainmembentuk suatu barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 3 cm danterpanjang adalah 96 cm, tentukan panjang tali semula.
146Mmt Aplikasi SMA 3 IPSc.Deret GeometriSeperti halnya deret-deret lainnya yang diperolehdengan menjumlahkan suku-sukunya, deret geometri atauderet ukur adalah suatu deret yang diperoleh denganmenjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu,jika a, ar, ar2, ..., arn – 1 adalah barisan geometri baku, dereta, ar, ar2, ..., arn – 1 disebut deret geometri baku.Jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakandengan Sn sehinggaSn = a + ar + ar2 + ... + arn–1 = 11<=-knkar. Rumus jumlah nsuku pertama dari deret geometri dapat ditentukan sebagaiberikut. Sn= a + ar + ar2 + ... + arn–1rSn=ar + ar2 + ar3 + ... + arn––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––(1 – r)Sn = a – arn‹rraSnn 1) (1<<=Jadi, rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometriadalah sebagai berikut.rraSnn 1) (1<<=, untuk r < 1l 1) (<<=rraSnn, untuk r > 1Apa yang terjadi jika r = 1?8.Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, .... Di antara masing-masing suku yangberurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru.Tentukan rasio dan suku ke-10 dari barisan geometri yang baru.1.Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat2x2 + x + a = 0. Jika p, q, dan21pq membentuk barisangeometri, tentukan nilai a.2.Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri, denganrasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, terbentuk sebuahbarisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan aritmetikaitu 30, tentukan hasil kali ketiga bilangan itu.Soal TerbukaKerjakan di buku tugasTes MandiriKerjakan di buku tugasJika r rasio (pem-banding) suatu deretgeometrik tak hinggayang konvergen dan Sjumlah deret geometriktak hingga13132+++rr()++133()r+ ...maka ....a.1412<<Sb.3834<<Sc.131<<Sd.3443<<Se.1545<<SSoal UMPTN, Ke-mampuan IPA, 1998
147Barisan dan Deret1.Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + ...Penyelesaian:1 + 2 + 4 + 8 + ..., berarti a = 1 dan r = 2 > 1.31 11) 1(21 21) 1(2555=<=<<=S2.Suatu deret geometri dinyatakan dengan notasi sigma 21032 3 <=×-=nnnS. Tentukanberikut ini.a.Suku pertamab.Rasioc.Rumus suku ke-nd.Rumus jumlah n suku pertamaPenyelesaian:Perhatikan bentuk -=<×1032.23nnUntuk n = 3, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 23 – 2 = 3 × 2 = 6.Untuk n = 4, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 24 – 2 = 3 × 22 = 3 × 4 = 12.Untuk n = 5, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 25 – 2 = 3 × 23 = 3 × 8 = 24.Mdan seterusnya.Untuk n = 10, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 210 – 2 = 3 × 28 = 3 × 256 = 768.Oleh karena itu, bentuk panjangnya adalah 6 + 12 + 24 + ... + 768.a.Tampak dari bentuk panjangnya bahwa suku pertamanya adalah 6.b.Rasio (r) = 61212=UU = 2.c.Rumus suku ke-n adalah Un = arn – 1 = 6 × 2n – 1 = 3 × 2 × 2n – 1 = 3 × 2n.d.Rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = 12)12(61)1(<<=<<nnrra = 6(2n – 1).Contoh:Ambil sembarang deret geometri yang banyaknya suku ganjil.Perlihatkan bahwa suku tengah deret tersebut dalah Ut =UUU Unn121 ..=< = UUn32 .< = UUn43 .< demikianseterusnya.InkuiriTugasKerjakan di buku tugas
148Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDiketahui deret geometri 10 + 40 + 160 + ... (sampai dengan 6 suku). Di antara setiapdua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.a.Hitunglah jumlah deret geometri semula.b.Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.c.Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.Penyelesaian:Suku pertama deret geometri yang diberikan adalah a = 10, rasionya r = 1040 = 4, danbanyaknya suku n = 6.a.Jumlah deret geometri semula adalahS6 = 31) 10(4.0961 41) 10(46<=<< = 13.650.b.Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentukderet geometri baru dengan r' = r11+ = 4 = 2 dan n' = n + (n – 1)k = 6 + (6 – 1)1 = 11.Berarti, jumlah deret geometri yang baru adalahS11 = 1 21) 10(211<< = 10(2.048 – 1) = 20.470.c.Jumlah suku-suku yang disisipkan= jumlah deret geometri yang baru – jumlah deret geometri semula= 20.470 – 13.650 = 6.8501.Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut.a.1 + 4 + 16 + ...d.1 – 32 + 94 – ...b.2 – 6 + 18 – ...e.20 + 10 + 5 + ...c.1 + 32 + 94 + ...f.–8 + 4 – 2 + ...2.Dalam satu deret geometri diketahui suku ke-9 dan suku ke-4 masing-masing adalah128 dan –4. Tentukan suku ke-12 dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.3.Dalam suatu deret geometri diketahui suku pertama dan suku ke-3 masing-masingadalah 64 dan 16. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 15 suku pertama deret tersebut.4.Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk deret geometri. Tentukan jumlah nsuku pertama deret tersebut jika U1 = k – 2.Problem SolvingUji Kompetensi 7Kerjakan di buku tugas
149Barisan dan DeretContoh:Pada deret bilangan asli, tentukana.Suku ke-5 dan suku ke-40.b.Jumlah 5 suku pertama dan jumlah 40 suku pertama.5.Diketahui deret geometri 1491681++ +.... Di antara dua suku yang berurutandisisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.Tentukan suku ke-8dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri yang baru.6.Diketahui deret geometri 2 + 16 + 128 + ... (sampai dengan 10 suku). Di antarasetiap dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk deretgeometri baru.a.Hitunglah jumlah deret geometri semula.b.Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.c.Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.C. Deret Khusus dan Deret Geometri TakBerhinggaKalian telah mempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n sukupertama deret aritmetika dan deret geometri. Sekarang, kita akanmempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret-deret khusus yang mungkin bukan merupakan deret aritmetikamaupun deret geometri.1. Deret Bilangan AsliHimpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, ...} sehingga deretbilangan asli adalah 1 + 2 + 3 + .... Dengan demikian, jumlah nbilangan asli pertama dapat dinyatakan dengan notasi sigma knk1=-.Dengan memerhatikan pola suku-sukunya, dapat kita ketahuibahwa deret bilangan asli merupakan deret aritmetika, dengan sukupertama a = 1 dan beda b = 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkansebagai berikut.Dalam suatu deret bilangan asli, berlakusuku ke-n adalah Un = n;jumlah n suku pertama adalahSn= )1(21+nn atau ).1(211+=-=nnknkInovasiTugasKerjakan di buku tugasPerhatikan rumusjumlah n suku deretgeometri. Tunjuk-kan bahwa jumlahderet bilangan asliadalahSn = 12n(n + 1).
150Mmt Aplikasi SMA 3 IPS2. Deret Kuadrat Bilangan AsliHimpunan kuadrat bilangan asli adalah {12, 22, 32, ...} se-hingga deret kuadrat bilangan asli adalah 12 + 22 + 32 + .... Dengandemikian, jumlah n kuadrat bilangan asli pertama dapat dinyata-kan dengan notasi sigma .21knk=- Selanjutnya, perhatikan bahwaS1 = 12 = 1S2 = 12 + 22 = 5S3 = 12 + 22 + 32 = 14S4 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30Mdan seterusnya.Tampak bahwaS1 = 1 = 61(1)(1 + 1)(2 (1) + 1))S2 = 5 = 61(2)(2 + 1)(2 (2) + 1))S3 = 14 = 61(3)(3 + 1)(2 (3) + 1))S4 = 30 = 61(4)(4 + 1)(2 (4) + 1))MSn = 61n(n + 1)(2n + 1)Dengan memperhatikan pola suku-suku dari deret n kuadratbilangan asli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.Dalam suatu deret kuadrat bilangan asli, berlakurumus suku ke-n adalah Un = n2;jumlah n suku pertama adalahSn = 61n(n + 1)(2n + 1) atau ).12)(1(6112++=-=nnnknkPenyelesaian:a.Suku ke-5 adalah 5 dan suku ke-40 adalah 40.b.Jumlah 5 suku pertama adalah S5 = 21× 5(1 + 5) = 21× 30 = 15, sedangkanjumlah 40 suku pertama adalah S40 = 21× 40(1 + 40) = 21× 1.640 = 820.
151Barisan dan Deret3. Deret Kubik Bilangan AsliHimpunan kubik (pangkat tiga) bilangan asli adalah {13, 23,33, ...} sehingga deret kubik bilangan asli adalah 13 + 23 + 33 + ....Dengan demikian, jumlah n kubik bilangan asli pertama dapatdinyatakan dalam notasi sigma 31knk=-. Selanjutnya, perhatikanbahwaS1 = 13 = 1S2 = 13 + 23 = 1 + 8 = 9S3 = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36S4 = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100Mdan seterusnya.Tampak bahwaS1 = 1 = 22)11(1 ́¦¥²¤£+S2 = 9 = 22)12(2 ́¦¥²¤£+S3 = 36 = 22)13(3 ́¦¥²¤£+S4 = 100 = 22)14(4 ́¦¥²¤£+Sn= 22)1( ́¦¥²¤£+nnDengan memerhatikan suku-suku deret n kubik bilanganasli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.Contoh:Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukana.suku ke-10 dan suku ke-45;b.jumlah 10 suku pertama dan 45 suku pertama.Penyelesaian:a.Suku ke-10 adalah U10 = 102 = 100 dan suku ke-45 adalah U45 = 452 = 2.025.b.Jumlah 10 suku pertama adalah S10 = 61× 10(10 + 1)(2 × 10 + 1) = 385.Jumlah 45 suku pertama adalah S45 = 61× 45(45 + 1)(2 × 45 + 1) = 31.395.
152Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDalam suatu deret kubik bilangan asli, berlakurumus suku ke-n adalah Un = n3;jumlah n suku pertama adalah221) ( ́¦¥²¤£+=nnSn atau 2132)1( ́¦¥²¤£+=-=nnknk.Contoh:Pada deret kubik bilangan asli, tentukana.suku ke-6 dan suku ke-30;b.jumlah 6 suku pertama dan 30 suku pertama.Penyelesaian:a.Suku ke-6 adalah U6 = 63 = 216 dan suku ke-30 = U30 = 303 = 27.000b.Jumlah 6 suku pertama adalah S6 = 6(6 1)22+£¤¥¦ = 212 = 441.Jumlah 30 suku pertama adalah S30 = 30(30 1)22+£¤¥¦ = 4652 = 216.225.4. Deret Geometri Tak BerhinggaPada awal pembahasan bab ini, telah dijelaskan bahwa ber-dasarkan banyaknya suku, suatu barisan dapat dibedakan menjadidua macam, yaitu barisan berhingga dan barisan tak berhingga.Perhatikan barisan-barisan geometri berikut.a.1, 2, 4, 8, ...c.5, –25, 125, –625, ...b.27, 9, 3, 1, ...d.–216, 72, –24, 8, ...Barisan-barisan di atas merupakan contoh barisan tak hingga.Perhatikan barisan a dan c pada contoh di atas. Misalkan sukuke-n barisan itu adalah Un. Makin besar nilai n pada barisantersebut, harga mutlak suku-suku barisan a dan c makin besar.Barisan seperti itu dinamakan barisan divergen. Adapun barisanb dan d berlaku sebaliknya, makin besar nilai n, harga mutlaksuku-sukunya makin kecil. Barisan seperti itu dinamakan barisankonvergen. Dengan kata lain, pengertian kedua barisan itu dapatditulis sebagai berikut.Misalkan r adalah rasio suatu barisan geometri tak ber-hingga, barisan itu disebuta. barisan divergen jika |r| > 1, artinya r < –1 atau r > 1;b. barisan konvergen jika |r| < 1, artinya –1 < r < 1.
153Barisan dan DeretApabila suku-suku barisan yang konvergen dijumlahkan,diperoleh deret yang konvergen. Pada deret konvergen, jumlahsuku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapiterus-menerus mendekati harga tersebut. Harga tertentu inidisebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan 'S.Harga 'S merupakan harga pendekatan (limit) jumlah semuasuku (Sn), untuk n mendekati tak berhingga.Dengan memperhatikan kenyataan bahwa untuk –1 < r < 1jika dipangkatkan bilangan yang sangat besar maka hasilnyamendekati 0.Misalnya 0101101,02121000.1000.1100100A= ́¦¥²¤£A= ́¦¥²¤£, dan sete-rusnya.Oleh karena itu,'S = nnS'Alim ..................... (dibaca: limit Sn untuk n mendekatitak berhingga) = rrann 1) (1lim<<'A ......(karena deret konvergen maka |r| < 1)= rarann<<'A1lim = ra 1< .....................(karena )0 lim='AnnraDengan demikian, rumus jumlah tak berhingga suku darideret geometri yang konvergen adalah'S = ra 1<Tes MandiriKerjakan di buku tugasDeret geometri takhingga (x – 1), (x – 1)2,(x – 1)3, ... konvergenuntuka. –1 < x < 1b. 0 < x < 2c.x > 2d.x < 2e. semua xSoal SKALU, 1978Contoh:1.Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.a.1 + ... 814121+++b.... 4121 1 210++++Penyelesaian:a.1 + ... 814121+++
154Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 21 sehingga'S = ar1 11112<=<=12 = 2.b.... 4121 1 210++++Perhatikan deret 2 + 1 + 21 + 41 + ....Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 12.Dengan demikian, 'S = 21212<==124.Jadi, ... 4121 1 210++++ = 104 =10.000.2.Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah Un = n23. Tentukan:a.suku pertama;b.rasio;c.jumlah tak berhingga suku.Penyelesaian:a.Suku pertama adalah U1 = 23231=.b.Suku ke-2 adalah U2 = 43 sehingga r = UU21343212 ==.c.Jumlah tak berhingga suku adalah'S = ar1133212<=<=.Problem SolvingTentukan nilai x agar deret 1 + (x – 1) + (x – 1)2 + ... konvergen.Penyelesaian:Rasio deret tersebut adalah r = x – 1. Syarat deret konvergen adalah |r| < 1 sehingga |r| < 1‹1 <x < 1‹ –1 < x –1 < 1‹ 0 < x < 2Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai x terletak pada interval 0 < x < 2.
155Barisan dan DeretInovasiTugasKerjakan di buku tugasPerhatikan deret geometri tak hingga yang konvergen a + ar +ar2 + ....a.Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil(Sganjil) adalah Sganjil = ar12+.b.Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan genap(Sgenap) adalah Sgenap = arr12<.c.Buktikan bahwa Sgenap : Sganjil = r.KegiatanKerjakan di buku tugasTujuan:Menentukan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjildan pada kedudukan nomor genap dari deret geometri takberhingga 15100 + 1510.000 + 151.000.000 + ....Permasalahan:Bagaimana rumus jumlah suku-suku pada kedudukan nomorganjil dan pada kedudukan nomor genap dari deret geometritak berhingga tersebut?Langkah-Langkah:1.Pisahkan deret suku-suku pada kedudukan nomor ganjil danpada kedudukan nomor genap.2.Dari masing-masing deret tersebut, tentukan suku pertamadan rasionya.3.Dengan rumus deret geometri tak berhingga tentukanjumlah dua deret tersebut.Kesimpulan:Jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjil adalah 1 5009 999..,sedangkan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor genapadalah 159 999..
156Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Pada deret bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-15 dan ke-60b.Jumlah 15 suku pertama dan jumlah 60 suku pertama2.Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-20 dan suku ke-35b.Jumlah 20 suku pertama dan 35 suku pertama.3.Pada deret kubik bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-8 dan suku ke-40b.Jumlah 8 suku pertama dan 40 suku pertama.4.Tentukan jumlah tak berhingga dari deret berikut.a.2 + 2 + 1 + ...c.1 – 32 + 94278 + ...b.1 + 32 + 94 + ...d.±1 +12±13+14± ...5.Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah 52n. Tentukan:a.suku pertama;c.jumlah tak berhingga suku.b.rasio;6.Tentukan jumlah deret geometri tak berhingga jika diketahui suku pertama dan ke-3masing-masing adalah 2 dan 0 125,.7.Tentukan nilai daria.38+4+2+1+...b.312141618 ...xxxx()+()+()+()+c.222... (Petunjuk : 2 ((212==))12121828.Diketahui suatu deret geometri konvergen dengan suku pertama a dan jumlah seluruhsuku-sukunya 2. Tentukan batas-batas a yang mungkin.9.Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri 3, 3(1 – x), 3(1 – x)2, ... konvergen.(Petunjuk: barisan geometri konvergen jika –1 < r < 1)10. Perhatikan gambar lingkaran di samping.Luas L1 = a cm2.Jika diameter L2 = 21 diameter L1, diameter L3 = 21 dia-meter L2, diamater L4 = 21 diameter L3, dan seterusnya,tentukan jumlah luas seluruh lingkaran L1 + L2 + L3 + L4+ ... dalam a.Gambar 4.1L1L2L3L4Uji Kompetensi 8Kerjakan di buku tugas
157Barisan dan DeretD. Penggunaan Barisan dan DeretDalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang dapatdiselesaikan dengan menggunakan kaidah barisan maupun deret,misalnya perhitungan bunga bank, perhitungan kenaikan produksi,dan laba suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terlebihdahulu kita tentukan apakah masalah tersebut merupakan barisanaritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, atau deret geometri.Kemudian, kita selesaikan dengan rumus-rumus yang berlaku untukmemperoleh jawaban dari persoalan yang dimaksud.Contoh:1.Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada awal tahun 1987, dengan jumlahproduksi 10.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya berkurang 500pasang sepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut tidak mampu berproduksilagi?Penyelesaian:Produksi tahun pertama adalah 10.000 pasang sepatu, produksi tahun ke-2 adalah9.500 pasang sepatu, tahun ke-3 adalah 9.000 pasang sepatu, dan seterusnya. Darisini terlihat bahwa dari tahun ke tahun produksi sepatu perusahaan itu membentukbarisan aritmetika 10.000, 9.500, 9.000, ..., dengan a = 10.000 dan b = –500.Perusahaan tidak memproduksi lagi, berarti Un = 0 sehinggaUn = 0‹ a + (n – 1)b = 0‹ 10.000 + (n – 1)(–500) = 0‹ 10.000 – 500n + 500 = 0‹ 500n = 10.500‹n = 21Jadi, perusahaan tersebut tidak mampu lagi berproduksi pada tahun ke-21 atautahun 2008.2.Pada awal bulan Juni 2006, Yunita menyumbang Rp10.000,00 ke dalam sebuahkotak dana kemanusiaan. Sebulan kemudian, Yunita mengajak 10 orang temannyauntuk menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kota tersebut. Bulan berikutnya, setiaporang dari 10 orang yang diajak Yunita mengajak 10 orang lainnya untukmenyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak yang sama. Demikian seterusnya. Jikasetiap orang hanya sekali menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak danakemanusiaan dan Yunita adalah orang pertama yang menyumbangkan dana ke dalamkotak itu, tentukan jumlah uang yang terkumpul hingga akhir bulan Maret 2007.Penyelesaian:Uang yang terkumpul pada bulan Juni 2006 Rp10.000,00.Uang yang terkumpul hingga bulan Juli Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00).Uang yang terkumpul pada bulan Agustus Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00) +10(10(10.000,00)).
158Mmt Aplikasi SMA 3 IPSUang yang terkumpul pada bulan September Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00)+ 10(10(Rp10.000,00)) + 10(10(10(Rp10.000,00))).Dan seterusnya hingga Maret 2007.Jumlah uang yang terkumpul setiap bulan dianggap sebagai jumlah bilangan berikut.10.000 + 10(10.000) + 10(10(10.000,00)) + 10(10(10(10.000))) + ....=10.000)... 1.000 100 10 1(geometrideret 4444434444421++++Jumlah tersebut mengikuti pola deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio10.Sn=rran 1) (1<<S10=1 10)1 1(1010<< = 1.111.111.111Dengan demikian, jumlah uang yang terkumpul hingga bulan Maret 2007 adalahRp10.000,00 × S10 = Rp10.000,00 × 1.111.111.111 = Rp11.111.111.110.000,00.1.Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada tahun 1990 dengan jumlah produksi5.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya bertambah 100 pasangsepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut mampu memproduksi 100.000pasang sepatu?2.Selama 5 tahun berturut-turut jumlah penduduk di Kota A membentuk deretgeometri. Pada tahun terakhir, jumlah penduduknya 4 juta jiwa, sedangkan jumlahpenduduk tahun pertama dan ke-3 adalah 1,25 juta jiwa. Tentukan jumlah pendudukKota A pada tahun ke-4.Gambar 4.2ABCDEFHGIUji Kompetensi 9Kerjakan di buku tugas3.Perhatikan gambar segitiga sama sisi di samping.Panjang sisi segitiga itu adalah a. Di dalam segitiga itu dibuatsegitiga sama sisi dengan titik sudut terletak di tengah-tengahsisi segitiga semula. Hal ini diulang terus-menerus. Tentukanjumlah ruas seluruh segitiga yang terbentuk. (Pada gambar disamping, jumlah ruas seluruh segitiga yang dimaksud adalahluas 6ABC + luas 6DEF + luas 6GHI + ...)4.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kalisesudah bola terjatuh ke lantai, bola itu terpantul kembalihingga mencapai ketinggian 43 dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruhlintasan bola tersebut hingga berhenti. (Ingat: panjang lintasan meliputi lintasannaik dan lintasan turun)
159Barisan dan DeretGambar 4.3Bunga juga dapat dinyatakan dalam persentase. Besarnyabunga bergantung pada besar modal yang dipinjam dan tingkatsuku bunganya.Bunga yang dibayarkan peminjam pada akhir periodepeminjaman (tertentu), dengan besar peminjaman dijadikan dasarperhitungan dan bunga pada periode berikutnya selalu tetap,dinamakan bunga tunggal.Misalkan diketahui uang sebesar Rp200.000,00 dibungakanatas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%.Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00= Rp200.000,00 (1 + 10%).Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00+ 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + 2 × 10%).Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00+ 10% × Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00= Rp200.000,00 (1 + 3 × 10%)5.Jarak melintang secara berurutan yang dilalui sebuah banduladalah 36 cm, 24 cm, 16 cm, ....Tentukan total jarak yang dilalui bandul itu sebelum berhenti.E. Deret dalam Hitung KeuanganDalam hitung keuangan, deret sangat sering digunakan untukpenyelesaian kasus-kasus yang berhubungan dengan permodalan,bunga, dan pertumbuhan uang.Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas bunga tunggal,bunga majemuk, dan anuitas.1. Bunga TunggalDalam melakukan usaha, seseorang tentu menginginkan per-tumbuhan dari modal usahanya. Misalkan modal yang digunakandalam usaha sebesar Rp1.000.000,00. Setelah menjalankanusahanya, ternyata modalnya tumbuh dan menjadi Rp2.000.000,00.Selisih antara hasil usaha dan modal ini dinamakan bunga.Namun, pengertian bunga tidak sesempit itu. Misalkan seseorangmeminjam uang sebesar Rp1.000.000,00 dan pada waktu tertentuharus mengembalikannya sebesar Rp1.450.000,00. Selisih antarajumlah uang yang dikembalikan dan jumlah uang yang dipinjamini juga dapat dinamakan bunga.
160Mmt Aplikasi SMA 3 IPSJumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + ...+ 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + t× 10%).Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bungatunggal selama t periode waktu dengan tingkat suku bunga(persentase) r. Bunga (B) dan besar modal pada akhir periode(Mt) adalahB=M0× t × rMt=M0 (1 + t × r)Contoh:Suatu bank perkreditan memberikan pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bungatunggal sebesar 3% per bulan. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesarRp6.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 tahun, tentukana.besar bunga setiap bulannya;b.besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan.Penyelesaian:Diketahui r = 3%, M0 Rp6.000.000,00, dan t = 24 bulan.a.Besar bunga setiap bulan adalahB=M0× t × r= Rp6.000.000,00 × 1 × 3%= Rp180.000,00b.Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 24 bulan adalahMt=M0 (1 + t × r)M24= Rp6.000.000,00 (1 + 24 × 3%)= Rp6.000.000,00 (1,72)= Rp10.320.000,00Dari contoh di atas, tentu kalian dapat menyatakan bahwaperhitungan bunga tunggal berhubungan erat dengan deret arit-metika. Coba jelaskan alasan kalian, mengapa demikian?Problem SolvingHerman meminjam uang di Bank Jaya Bersama sebesar Rp4.000.000,00 dengan sukubunga tunggal 20% per tahun. Dalam waktu 90 hari, Herman sudah harus mengembalikanuang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Anggap1 tahun 360 hari)Penyelesaian:Dari soal di atas diketahui M0 = Rp4.000.000,00,r = 20% per tahun, dan t = 90 hari = 41 tahun.
161Barisan dan Dereta.Bunga: B=M0×t × r= Rp4.000.000,00 ×41× 20%= Rp200.000,00b.Jumlah uang yang harus dikembalikan adalahMt=M0 (1 + t × r)=M0 + M0×t × r=M0 + B= Rp4.000.000,00 + Rp200.000,00= Rp4.200.000,002. Bunga MajemukPada pembahasan di depan, kalian telah mengetahui per-hitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarangkita akan memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitungatas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah denganakumulasi bunga yang sebelumnya. Bunga ini disebut bungaberbunga. Perhitungan bunga berbunga semacam ini dapat kalianpahami melalui perhitungan deret geometri.Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bungamajemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) perperiode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat dihitungdengan cara berikut.M1=M0 + M0×i = M0 (1 + i)M2=M1 (1 + i) = [M0 (1 + i)] (1 + i) = M0 (1 + i)2M3=M2(1 + i) = [(M0 (1 + i)2] (1 + i) = M0 (1 + i)3MMt=Mt – 1(1 + i) = [M0 (1 + i)t – 1](1 + i) = M0(1 + i)tJadi, dapat kita katakan sebagai berikut.Jika modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga majemukdengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu,besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat ditentukan dengan rumusMt = M0 (1 + i)tContoh:Suatu bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 18% pertahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp10.000.000,00 dan bank itumembungakan secara majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikansetelah 2 tahun?Informasi Lebih LanjutTugasKerjakan di buku tugasCoba kalian caritahu dapat dipakaiuntuk masalah apasaja rumus bungamajemuk,a) jika i > 0;b) jika i < 0?
162Mmt Aplikasi SMA 3 IPSPenyelesaian:Dari soal diketahui M0 = Rp10.000.000,00, i = 12%18 = 1,5%, dan t = 24 bulan.Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun (24 bulan) adalahMt=M0 (1 + i)tM24= Rp10.000.000,00 (1 + 0,015)24= Rp10.000.000,00 (1,4295028)= Rp14.295.028,123. AnuitasKasus utang piutang penyelesaiannya dapat dilakukandengan berbagai cara. Salah satu cara pembayarannya dapatdilakukan dengan anuitas di samping dengan cara-carapembayaran yang telah kalian pelajari sebelumnya (denganbunga). Pembayaran yang dilakukan dengan anuitas akan makinkecil karena bunga yang dibayarkan juga makin kecil. Hal iniberakibat pokok pinjaman juga makin kecil. Jadi, anuitasmerupakan cara pembayaran maupun penerimaan yang secaraurut dalam jumlah tetap dengan jangka waktu juga tetap.Ada dua macam anuitas, yaitu anuitas pasti dan anuitas tidakpasti. Anuitas pasti mempunyai ciri khas tanggal mulai dantanggal selesai tepat. Misalnya pembayaran utang. Pada anuitastidak pasti, jangka pembayarannya disesuaikan keadaan.Misalnya, santunan asuransi kecelakaan. Pada kali ini, kita hanyaakan membicarakan anuitas pasti.Misalnya modal sebe-sar M dipinjamkan denganpembayaran n kali anuitas.Jika suku bunga yangdiberikan i (dalam persen)dan besar anuitas A, besaranuitas dapat ditentukandengan cara berikut.A = -=<+nkkiM1)1(Perhatikan ilustrasi di sam-ping.M012n...A(1 + i)-1A(1 + i)-2A(1 + i)-3A(1 + i)n...AA AA3
163Barisan dan DeretDari ilustrasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut.M=A(1 + i)–1 + A(1 + i)–2 + A(1 + i)–3 + ... + A(1 + i)n=A[((1 + i)–1 + (1 + i)–2 + (1 + i)–3 + ... + (1 + i)n]=Aμ˜—³–•++++++++niiii)1(1...)1(1)1(11132Bentuk terakhir merupakan deret geometri dengan suku awala = i+11 dan rasio r = i+11.Oleh karena itu,M = μ˜—³–•+<+=μμμμμ˜—³³³³³–•+< ́ ́¦¥²²¤£+<+=μ˜—³–•<<nnnniiiAiiiArraA)1(1)1(111)1(11111)1(,sehingga AMiiiMiiinnnn=++<=++<()()()().111111Jadi, besar anuitas dapat juga ditentukan dengan rumusAMiiinn=++<()()111Contoh:Pak Dani meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 pada suatu bank. Pelunasandilakukan dengan cara anuitas sebanyak 10 kali. Anuitas pertama dilakukan sebulansetelah uang pinjaman diterima. Tentukan besar anuitasnya jika suku bunga yangditetapkan bank 15% per tahun.Penyelesaian :Dari soal diketahui bahwaM = Rp10.000.000,00i= 15% per tahun= 12%15= 1,25% per bulann= 1010 juta01210.. .....AA AA3A(1 + 0,0125)–1A(1 + 0,0125)–2A(1 + 0,0125)–3A(1 + 0,0125)–10
164Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDengan menggunakan rumus anuitas, diperoleh1)1()1(<++=nniiMiA = 1)0125,01()0125,01)(0125,0(000.000.101010<++ = 1)0125,1()0125.1(000.1251010< = 13227083,0)13227083,1(000.125 = 1.070.030,74Jadi, anuitasnya sebesar Rp1.070.030,74. Artinya, Pak Dani setiap bulan harus membayarke bank sebesar Rp1.070.030,74 selama 10 bulan (sebanyak 10 kali).20 juta012310....A(1 + 0,05)–1AAAAA(1 + 0,05)–2A(1 + 0,05)–3A(1 + 0,05)–10MDengan menggunakan rumus anuitas, diperolehA=-=<+nkkiM1)1(=-=<+101)05,01(00,000.000.20RpkkProblem SolvingSuatu pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 harus dilunasi dengan 10 anuitas akhir tahunan.Jika suku bunga yang ditetapkan 5%, tentukan besar anuitas.Penyelesaian:Pada soal diketahuiM=Rp20.000.000,00i=5% = 0,05n=10
165Barisan dan DeretNilai 11005110(,)+<=-kk = 0,12950457 (diperoleh dari tabel)Dengan demikian, besar anuitas adalahA = Rp20.000.000,00 × 0,12950457 = Rp2.590.091,40Jadi, besarnya anuitas adalah Rp2.590.091,40. Artinya, peminjam setiap tahun harusmembayar sebesar Rp2.590.091,40 selama 10 tahun (sebanyak 10 kali).Lebih lanjut lagi, kalian dapat menyajikan tabel rencanaangsuran yang berkaitan dengan anuitas ini. Adapun bentuknyaadalah sebagai berikut.Misalkan sisa pinjaman pada saat i adalah Hi, i = 1 sampaidengan n dan besar angsuran ai, untuk i = 1 sampai n.Tabel Rencana AngsuranAkhirSisa PinjamanAnuitasBeban BungaBesar AngsuranPeriodedi Akhir Periode1H1 = MAiH1a1 = AiH12H2 = H1a1AiH2a2 = AiH23H3 = H2a2AiH3a3 = AiH3MMMMMnHn = Hn–1an–1AiHnan = AiHnJika dijabarkan lebih lanjut, besarnya angsuran tiap periodeadalaha1= (A – iM)a2= (A – iM)(1 + i)a3= (a – iM)(1 + i)2Man= (a –iM)(1 + i)n–1 dan Hn = 0Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.Contoh:Misalkan sebuah pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 dilunasi dengan anuitas. Pinjamanitu akan dilunasi dengan 5 kali anuitas. Anuitas pertama dibayarkan sesudah 1 periodedengan suku bunga 15% per periode. Dari informasi ini, tentukan:
166Mmt Aplikasi SMA 3 IPSa.besar anuitas;b.tabel rencana angsuran.Penyelesaian:a.Diketahui, M= 1.000.000 n= 5 i= 15%A= Miiinn()()111++<= 1 000 000 0 1510151 0 15155..,(,)(,)××++<= 1.000.000 x 0,29831555= 298.315,55Jadi, besar anuitas Rp298.315,55.b.Tabel rencana angsuranAkhirPeriodeSisa PinjamanAnuitasBeban Bungadi Akhir PeriodeBesar Angsuran1Rp1.000.000,00Rp298.315,55Rp150.000,00Rp148.315,552Rp851.684,45Rp298.315,55Rp127.752,67Rp170.562,883Rp681.121,57Rp298.315,55Rp102.168,24Rp196.147,314Rp484.974,26Rp298.315,55Rp72.746,14Rp225.569,415Rp259.404,85Rp298.315,55Rp38.910,73Rp259.404,851.Pak Tohir meminjam uang sebesar Rp2.000.000,00 pada Koperasi Jaya. Koperasimenetapkan suku bunga tunggal 3% per bulan. Berapa jumlah uang yang harus diakembalikan jika jangka pengembaliannya 1 tahun?2.Bu Dani meminjam uang di Bank Lancar sebesar Rp15.000.000,00. Dalam satubulan uang tersebut harus dikembalikan dengan jumlah Rp15.750.000,00. Tentukan:a.tingkat (suku) bunga tunggal;b.berapa jumlah uang yang harus dikembalikan Bu Dani jika dia meminjamselama satu tahun?3.Bu Yanti menyimpan uang di suatu bank yang memberikan bunga majemuk dengantingkat suku bunga 4% per tahun. Berapa jumlah uang Bu Yanti pada akhir tahunke-6?4.Pada setiap awal bulan, seorang anak menabung sebesar Rp25.000,00 di suatubank. Setiap bulan ia mendapatkan bunga majemuk sebesar 8%. Pada akhir bulanke-12, semua uangnya diambil. Berapakah jumlah uang yang diambilnya?Uji Kompetensi 10Kerjakan di buku tugas
167Barisan dan Deret5.Nova menabung uangnya di bank Rp1.000.000,00 setiap tahun. Bank tersebutmemberikan bunga dengan sistem bunga majemuk sebesar 12% per tahun.Berapakah jumlah uangnya setelah ditabung selama 25 tahun?6.Suatu bank memberikan bunga 12% untuk tabungan dan menerima bunga daripinjaman sebesar 15% per tahun dengan sistem bunga majemuk. Tentukankeuntungan bank itu dalam 15 tahun untuk setiap Rp10.000,00.7.Pak Wayan meminjamkan uang Rp2.000.000,00 kepada seorang peminjam denganperjanjian bunga majemuk. Jika suku bunga yang diberikan Pak Wayan 5,2% pertahun, tentukan uang yang harus dikembalikan peminjam selama jangkapeminjaman 8 bulan.8.Suatu modal sebesar Rp12.000.000,00 dipinjamkan dengan suku bunga 2,5% perbulan. Modal itu harus dilunasi dalam 10 anuitas. Anuitas pertama dilakukan sebulansetelah uang diterima peminjam. Tentukan besarnya anuitas. Buatlah tabel rencanaangsuran.9.Sebuah dealer sepeda motor mengkreditkan sebuah motor seharga Rp17.000.000,00kepada Tuan Indra. Sepeda ini harus dilunasi dalam 24 anuitas bulanan. Jika sukubunga yang diberikan pihak dealer 3%, tentukan besar anuitasnya.10. Sebuah pinjaman Rp1.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas. Besar anuitasRp200.000,00 tiap akhir bulan.a.Sesudah berapa lama pinjaman akan lunas?b.Buatlah tabel rencana angsurannya.RefleksiCoba perhatikan kembali barisan dan deretyang telah kalian pelajari. Kemudian,bandingkan dengan deret hitung keuang-an. Kesimpulan apakah yang kalianperoleh dengan adanya hubungan antaraderet dan ilmu hitung keuangan? Manfaatapa yang kalian peroleh setelah mem-pelajari materi ini?1.Rumus umum barisan aritmetika baku adalahUn = a + (n – 1)b, dengan Un= suku ke-n, a = suku pertama, b = beda, dan n =nomor suku.2.Jumlah n suku suatu deret aritmetika adalahSn = 12n(2a + (n – 1)b) atau Sn= 12n(a + Un).3.Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn–1, dengan Un= suku ke-n, a = suku pertama, r = rasio, dan n = nomor suku.4.Rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalahrraSnn 1 ) (1<<=, untuk r < 1 atau 1 1) (<<=rraSnn, untuk r > 1.Rangkuman
168Mmt Aplikasi SMA 3 IPSLatihan Ulangan Harian IVI. Pilihlah jawaban yang tepat.1.Di antara pernyataan-pernyataan berikutyang benar adalah ....a.iniiniiiniBABA411===-×-=-b.iniiiiiniBAB A4311 )( ===-+-=+-c.-+=-+-===iniiiiniiiniiA B CACBC111() d.iniiniiiniBBBA111===--=-e.21213 3 inini==-=-2.Diketahui barisan bilangan 5, 6, 9, 14,21, ....Jumlah seluruh barisan itu dapat dinyata-kan dengan ....a.5) ( 1+-=knkd.21)5( +-=knkb.5) (2 1+-=knke.)5 ( 21+-=knkc.5)( 20+-=knk3.Jika iniiniyx11 10, ==-=- = 25, dan iniz1=- =20, di antara berikut ini yang benaradalah ....a.5981<= ́ ́¦¥²²¤£<-=iiinizyxb.15)( 1=<+-=iiinizyxc.230 )( 1=<-=iiini zyxd.5.000 1=-=iiinizyxe.90 211<=-<-==iniinixx4.Diketahui suku ke-n suatu barisan adalahUn = n2 – 8n. Jika suku terakhir 20,banyaknya suku barisan itu adalah ....a.7d.15b.10e.17c.125.Diketahui suku kedua suatu barisanadalah –3 dan suku kelimanya adalah 3.Jika suku ke-n barisan itu dirumuskan Un= an + b, suku ke-15 adalah ....a.25d.20b.24e.15c.236.Diketahui suatu barisan aritmetika denganbeda 3. Jika U10 = 31 maka U21 = ....a.34d.64b.44e.45c.547.Jika U11 dan U41 dari suatu barisan arit-metika berturut-turut adalah 38 dan 128maka U51 = ....a.148d.164b.15e.195c.1608.Di antara dua suku yang berurutan padabarisan 3, 18, 33, ... disisipkan 4 buahbilangan sehingga membentuk barisanaritmetika yang baru. Jumlah 7 suku per-tama barisan aritmetika yang terbentukadalah ....a.78d.87b.81e.91c.849.Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mem-bentuk barisan aritmetika. Jika sisi ter-pendeknya 21 cm maka sisi terpanjang-nya adalah ....a.28 cmb.30 cmc.35 cmd.36 cme.38 cmKerjakan di buku tugas
169Barisan dan Deret10. Dari suatu deret aritmetika, diketahui U6+ U9 + U12 + U15 = 20. Jumlah 20 sukupertama deret tersebut adalah ....a.50b.80c.100d.230e.20011. Diketahui suku terakhir dari barisanaritmetika adalah 47, sedangkan jumlahkeseluruhan suku-sukunya adalah 285.Jika suku pertama barisan itu –9, banyaksuku barisan itu adalah ....a.10d.20b.12e.23c.1512. Jika barisan geometri dengan U1 = A danU11 = B maka U6 = ....a.AABd.2ABb.AABe.BABc.AA13. Diketahui a + 1, a – 2, a + 3 membentukbarisan geometri. Agar ketiga suku inimembentuk barisan aritmetika, sukuketiga harus ditambah dengan ....a.8d.–6b.6e.–8c.514. Diketahui a, b, dan c membentuk deretgeometri dengan jumlah 26. Jika sukutengah ditambah 4, akan membentukderet aritmetika. Jumlah 10 suku pertamadari deret aritmetika yang terbentukadalah ....a.260b.286c.340d.380e.36415. Jumlah penduduk suatu wilayah setiap8 tahun bertambah 100%. Jika pada awaltahun 2006 jumlah penduduk mencapai4.800.000 orang, pada awal tahun 1974sudah mencapai ... orang.a.150.000b.200.000c.300.000d.400.000e.600.00016. Diketahui modal sebesar Rp30.000.000,00dipinjamkan dengan suku bunga 2% pertahun dengan pembayaran 8 kali anuitastahunan. Besar anuitas adalah ....a.Rp3.641.654,41b.Rp4.641.654,41c.Rp5.641.654,41d.Rp5.564.165,41e.Rp6.661.561,4117. Pada tahun pertama seorang karyawanmendapat gaji Rp300.000,00 per bulan.Jika setiap tahun gaji pokoknyadinaikkan sebesar Rp25.000,00 makajumlah gaji pokok karyawan itu selama10 tahun adalah .... (UAN SMK 2003)a.Rp37.125.000,00b.Rp38.700.000,00c.Rp39.000.000,00d.Rp41.125.000,00e.Rp49.500.000,0018. Suku ke-3 dan ke-5 suatu barisangeometri berturut-turut adalah 8 dan 32.Suku ke-7 barisan itu adalah ....a.64b.120c.128d.240e.25619. Di suatu daerah pemukiman baru tingkatpertumbuhan penduduk adalah 10% pertahun. Kenaikan jumlah penduduk dalamwaktu 4 tahun adalah .... (UMPTN 1998)a.40,0%b.42,0%c.43,8%d.46,4%e.Rp61,6%
170Mmt Aplikasi SMA 3 IPS20. Seorang karyawan menabung denganteratur setiap bulan. Uang yang ditabungsetiap bulan selalu lebih besar dari bulansebelumnya dengan selisih yang sama.Apabila jumlah seluruh tabungannyadalam 12 bulan pertama adalah 192 riburupiah dan dalam 20 bulan pertamaadalah 48 ribu rupiah maka besar uangyang ditabung pada bulan kesepuluhadalah .... (UMPTN 1998)a.47 ribu rupiah d.1778 ribu rupiahb.28 ribu rupiah e.232 ribu rupiahc.23 ribu rupiah21. Dari sebuah deret aritmetika diketahuibahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17dan jumlah 8 suku pertama, S8 = 58. Sukupertamanya adalah ....a.1d.4b.2e.5c.322. Semua bilangan genap positif dikelom-pokkan seperti berikut(2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), ...Bilangan yang terdapat di tengah padakelompok ke-15 adalah ....a.170d.258b.198e.290c.22623. Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah ....a.45.692d.73.775b.54.396e.80.129c.66.66124. Akar-akar dari x2 + kx + 8 = 0 adalah x1dan x2, dengan x1 > 0, x2 > 0, dan x1 < x2.Agar x1, x2, 3x1 berturut-turut suku perta-ma, suku kedua, dan suku ketiga darideret aritmetika maka nilai k = ....a.6d.–2b.4e.–4c.225. Seorang pemilik kebun memetik jerukdan mencatatnya setiap hari. Ternyatabanyak jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 80 + 20n.Banyak jeruk yang dipetik selama 18 haripertama adalah ....a. 4.840 buahb. 4.850 buahc. 4.860 buahd. 4.870 buahe. 4.880 buahII. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat.1.Tiga buah bilangan membentuk deretaritmetika dengan jumlah 36 dan hasilkalinya 1.536. Tentukan bilanganterbesarnya.2.Banyaknya suku suatu deret aritmetikaadalah 15, suku terakhir adalah 47 danjumlah deret tersebut sama dengan 285.Tentukan suku pertama deret ini.3.Persamaan 2x2 + x + k = 0 mempunyaiakar-akar x1 dan x2. Jika x1, x2, 221xxmembentuk suatu deret geometri, tentu-kan suku ke-4 deret geometri tersebut.4.Tentukan batas nilai suku pertama a darisuatu deret geometri tak berhingga agarderet tersebut konvergen dengan jumlah 2.5.Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibunga-kan atas dasar bunga majemuk 10% pertahun dengan penggabungan modal danbunganya setiap triwulan. Modal di-bungakan selama 6 tahun.Tentukan:a.besar suku bunga setiap periodebunga (3 bulan);b.banyaknya periode bunga.
171Latihan Ujian NasionalPilihlah jawaban yang tepat.1. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6xk= 0 adalah x1 dan x2. Jika xx1222<=15,nilai k = ....a. 10d. 8b. 8e. –10c. 62. Agar persamaan kuadrat x2 + ax + a = 0mempunyai akar-akar yang sama, nilai ayang memenuhi adalah ....a.a = 0 atau a = 4b.0 )a) 4c.a < 0 atau a > 4d.0 < a < 4e.0 < a < 13. Pertidaksamaan x2 – 2x – 8 ) 0mempunyai penyelesaian ....a.x) –2 atau x* 4b.x) 2 atau x* 4c.–2 )x) 4d.x) 4 atau x* 2e.–4 )x) 24. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan|3x + 2| > 5 adalah ....a.{xxx| atau }<<>130b.{xxx| atau }<<>731c.{x | x < –1 atau x > 1}d.{xxx| atau }<<>121e.{xxx| atau }<<>1405. Jika a = 7log 2 dan b = 2log 3 maka 6log98 adalah ....a.21++()aabd.112ab+()b.11++()abae.12ba+()c.2a + b6. Himpunan penyelesaian dari2log (x2 – 3x + 7) = 2log (3x + 2) adalah ....a. {5, 2}d. {1, 1}b. {5, 1}e. {0, 7}c. {1, 2}7. Fungsi f: RAR dan g: RARdirumuskan dengan f(x) = 121x< dang(x) = 2x + 4. Nilai (gºf)–1(10) adalah ....a. 4d. 12b. 8e. 16c. 98. Jika f(x) = 2x dan (fºg)(x) = <+x21 makag(x) = ....a.121x<d.142x<()b.121x+e.<+()142xc.<+1412x9. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R keR. Jika f(x) = 2x + 1 dan (fºg)(x) = 4x – 5maka nilai g(–2) sama dengan ....a. –9d. 1b. –7e. 3c. –510. Misalkan fungsi f ditentukan denganrumus f(x) = 342112xxx+<&, dengan.Fungsi invers dari f(x) adalah f–1(x) ....a.2134xx<+d.234xx<+b.xx+<423e.xx++423c.3421xx<+Latihan Ujian NasionalKerjakan di buku tugas
172Mmt Aplikasi SMA 3 IPS11. Misalkan fungsi f(x) = xx<+122,dengan x& –1.Fungsi inversnya adalah f–1(x) = ....a.1212<+xxb.2121xx+<c.221xx<+1d.1212+<xxe.<++2121xx12. Fungsi-fungsi f(x) dan g(x) masing-masing mempunyai fungsi invers f–1(x) =x+12 dan g–1(x) = 23<x. Nilai dari(fºg)–1(3) sama dengan ....a. –2d. 1b. –1e. 3c. 013. Persamaan garis yang melalui titik (4, 3)dan sejajar dengan garis 2x + y + 7 = 0adalah ....a. 3x + 2y – 14 = 0b. y – 2x + 12 = 0c. 2x + y – 10 = 0d.y + 2x – 11 = 0e. 2yx – 2 = 014. Persamaan garis yang melalui titik(–2, 1) dan tegak lurus dengan garisxy = 3 adalah ....a.y = 3(x – 2) + 1b.y = –3(x – 2) + 1c.y = –3(x – 2) – 1d.y = –3(x + 2) + 1e.y = 3(x – 2) – 115. Perhatikan sistem persamaan linearberikut.4x + y + 3z = 106x – 5y – 2z = 25x + 3y + 7z = 13Nilai x + y + z = ....a. 7d. 2b. 5e. 0c. 316. Agar garis y = mx + 8 menyinggungpersamaan parabola y = x2 – 8x + 12, nilaim adalah ....a. 4 atau 12d. –4 atau –12b. –4 atau 12e. 6 atau –12c. 4 atau –1217. Sebuah kotak berisi 10 buah bola yangterdiri atas 2 bola berwarna putih, 5 bolaberwarna merah, dan 3 bola berwarnabiru. Pada pengambilan 3 buah bolasekaligus dari kotak tersebut, peluangterambil 2 bola berwarna merah dan 1bola berwarna biru adalah ....a.12d.18b.14e.23c.1618. Suatu pertemuan dihadiri oleh 7 orangyang duduk di suatu tempat dengansusunan melingkar. Banyaknya susunancara duduk dari ketujuh orang tersebutadalah ....a. 5.040d. 60b. 720e. 24c. 12019. Suatu data memiliki pola 2n, dengan nbilangan asli. Jika mean dari 2110nAn==-,nilai mean dari suatu data baru denganpola (21110nn+=-) adalah ....
173Latihan Ujian Nasionala.Ad. 2A + 1b. 2Ae.A + 10c.A + 120.limxxxxA<+<122871 = ....a. –6d. 3b. 0e. –7c. –321. Nilai dari limxxxxxA'+<<223207 sama dengan....a. 0d. 3b. 1e. 6c. 222. Nilai dari limxmnaxbcxdA'<+ sama dengan ....a. 0 untuk m = 1 dan n = 0b.bd untuk setiap m dan nc.ac untuk setiap m dan nd.bd jika m = ne.ac jika m = n23.lim{}xxxxA'+<2= ....a. –1d.2b. 0e.12c.124. Jika f(x) = 3(2x – 3)3 maka f'(x) = ....a. 9(2x – 3)2b. 18(2x – 3)2c. 9(2x – 3)d. 3(6x – 3)2e. 18(3x – 3)225. Misalkan fungsi f(x) = (x4 – 1)(x2 + 1).Turunan dari fungsi f(x) adalah ....a.f'(x) = x6 + x4x2b.f'(x) = x6x4 + x2c.f'(x) = 6x5 + 4x3 + 2xd.f'(x) = 6x5 + 4x3 – 2xe.f'(x) = 6x5 – 4x3 + 2x26. Turunan dari fungsi f(x) = 5321xx<+, denganx&<12 adalah ....a.f'(x) = 11212(x+)b.f'(x) = <+11212(x)c.f'(x) = 34212xx<+()d.f'(x) = 532xx<+(1)2e.f'(x) = 5212(x+)27. Persamaan garis singgung kurva y = x3x2 + 6 di titik dengan absis –2 adalah ....a. 16xy + 36 = 0b. 16x + y + 36 = 0c. 16xy – 36 = 0d. 16xy + 28 = 0e. 16x + y + 28 = 028. Misalkan fungsi f(x) = xx32923<+.Grafik fungsi f(x) turun pada interval ....a.x < 0 atau x > 3b. 0 < x < 3c. –3 < x < 0d.x < 0e.x > 329. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 – 6x2 padainterval tertutup –1 )x) 5 adalah ....a.f(–1)d.f(4)b.f(0)e.f(5)c. (2)
174Mmt Aplikasi SMA 3 IPS30. Panjang suatu persegi panjang adalah xdan lebarnya y dengan hubungan x + 2y= 2a. Luas persegi panjang itu akanmaksimum jika ....a.x = 12y = ad.y = 12ab.y = 2ae.x = 12ac.x = 2a31. Misalkan suatu parabola ditentukan olehpersamaan y = 4 – x2, dengan y* 0. TitikP(x, y) terletak pada parabola itu. PanjangOP terpendek adalah ....a.1211d.1217b.1213e.1219c.121532. Bentuk sederhana dari 843843+< = ....a.323+d.23<b.323<e.23+c.223+33. Dengan perbandingan proyeksi 34, garisortogonal sepanjang 8 cm digambarsepanjang ... cm.a. 4d. 7b. 5e. 8c. 634. Pernyataan berikut yang sesuai tentangsudut surut adalah ....a. searah jarum jamb. berlawanan arah jarum jamc. tergantung pada perbandinganproyeksid. tergantung pada panjang garis frontale. tergantung pada panjang garisvertikal35.Pada gambar kubus di atas, jarak antaratitik A dan bidang EBD adalah ....a.133ad.163ab.233ae.123ac.433a36. Perhatikan gambar berikut.Pada gambar prisma segi empat di atas,pasangan-pasangan rusuk berikut yangmerupakan pasangan rusuk bersilanganadalah ....a.EF dengan AB dan AD dengan BFb.AB dengan BF dan BC dengan EAc.GH dengan DC dan EF dengan ABd.AB dengan DH dan BF dengan DCe.FG dengan AD dan EF dengan HG37. Tiga buah bilangan membentuk deretaritmetika, dengan jumlah 30. Jika sukuke-2 dikurangi 2 membentuk deretgeometri, suku ke-5 deret geometri yangterbentuk adalah ....a. 54d. 66b. 58e. 69c. 64ABCDGHEF2aABCDEFGH
175Latihan Ujian Nasional38. Jumlah seratus bilangan asli ganjil perta-ma adalah ....a. 200d. 15.000b. 1.500e. 15.430c. 10.00039. Jumlah deret tak berhingga515445161356423 4pp p p<+<+...sama dengan 4. Nilai p adalah ....a. 4d.12b. 2e.14c. 140. Jumlah deret geometri tak berhingga622329<+<+... sama dengan ....a. 18d.93b. 9e.94c.9241. Tiga bilangan membentuk barisangeometri. Jumlah ketiga bilangan itu 28dan hasil kalinya 512. Ketiga bilanganitu adalah ....a. 5, 9, dan 16d. 3, 8, dan 17b. 4, 8, dan 16e. 5, 10, dan 18c. 2, 6, dan 2042. Jumlah 15 suku pertama dari deret 5 +10 + 15 + ... adalah ....a. 400d. 800b. 500e. 1.000c. 60043. Akar-akar persamaan x2bx + 15 = 0adalah x1 dan x2. Jika x1, x2, dan 7membentuk barisan aritmetika, nilai b =....a. –8d. 5b. –4e. 8c. 444. Jumlah 10 suku pertama dari deret3 + 9 + 27 + ... adalah ....a. 88.573d. 82.857b. 88.275e. 57.828c. 85.87345. Negasi dari pernyataan ”Setiap siswaSMA berseragam putih abu-abu” adalah....a. Setiap siswa SMA tidak berseragamputih abu-abub. Tidak ada siswa SMA yangberseragam putih abu-abuc. Ada beberapa siswa SMA yang tidakberseragam putih abu-abud. Ada beberapa siswa SMA yangberseragam putih abu-abue. Setiap siswa SMA berseragam bukanputih abu-abu46. Matriks X yang memenuhi persamaanX423110427 11£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́ adalah ....a.1354£¤²¥¦ ́d.1235£¤²¥¦ ́b.<£¤²¥¦ ́1325e.1253£¤²¥¦ ́c.1325£¤²¥¦ ́47. Matriks ab aaab<+£¤²¥¦ ́ tidak mempunyaiinvers jika ....a.a dan b sembarangb.a, b& 0 dan a = bc.a = 0 dan b sembarangd.a, b, & 0 dan a = –be.b = 0 dan a sembarang48. Diketahui matriks A = 132262594£¤²²¥¦ ́ ́. Nilaidari (det A)2 – 3 det A = ....
176Mmt Aplikasi SMA 3 IPSa. 110d. 180b. –108e. –180c. 10849. Himpunan penyelesaian sistem persama-an linear()abxayaxa b y<+=++ = ̈©ª11()memiliki anggota yang tak berhinggabanyaknya jika ....a.a dan b sembarangb.a& 0, b& 0, a = bc.a& 0, b& 0, dan a = –bd.a = 0 dan b& 0e.b = 0 dan a& 050. Himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linearxyzxyzxyz<+=<++=<+= ̈©«ª«52632211adalah ....a. {(2, 1, 6)}d. {(1, 2, 6)}b. {(2, 6, 1)}e. {(6, 1, 2)}c. {(1, 6, 2)}51. Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik-titik (1, 2), (2, 4), dan (3, 8). Persamaanparabola itu adalah ....a.y = x2 + x + 2 d.y = x2x – 2b.y = x2 + x – 2 e.y = –x2 + x + 2c.y = x2x + 252.Daerah yang tidak diarsir adalah daerahhimpunan penyelesaian permasalahanprogram linear. Nilai maksimum fungsiobjektif z = 2x + 5y pada gambar disamping adalah ....a. 6d. 15b. 7e. 29c. 1053.Luas daerah yang diarsir pada gambar disamping adalah ... satuan luas.a.423d.1023b. 8e.1223c. 1054. Jika fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 + ax + bmelalui titik P(1, 5) dan turun pada inter-val c < x < 1, nilai a + b + c = ....a. 0d. 1b. –1e. 2c. –255. Setiap awal tahun Budi menyimpanmodal sebesar Rp1.000.000,00 padasuatu bank dengan bunga majemuk 15%per tahun. Jumlah modal tersebut setelahakhir tahun kelima adalah ....a. Rp1.000.000,00 . (1,15)5b. Rp1.000.000,00 . (,),11510155<c. Rp1.000.000,00 . (,),11510154<d. Rp1.150.000,00 . (,),11510155<e. Rp1.150.000,00 . (,),11510154<OC (3, 0)D (5, 1)E (2, 5)A (0, 2)B (1, 1)YXOYX66y2 = x
177Latihan Ujian NasionalDaftar Pustaka____. 1997. Geometri II. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press.Anton, Howard dan kolman, Bernard. 1982. Mathematics withApplication for the Management, Life, and social Sciences,2nd ed. New York: Academic Press.Bartle, Robert G. 1994. Introduction to Real Analysis. New York:John Willey and Sons.Berry, John, etc. 2003. A-Z Mathematics. New York: McGraw-Hill,Inc.Budhi, Wono Setya. 2003. Model Buku Pelajaran MatematikaSekolah Menengah Atas. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.Earl, B. 2002. IGCSE Chemistry. London: John Murray, Ltd.Howard, R.D. 1993. Mathematics in Actions. London: NelsonBlackie, Ltd.Isabelle van Welleghem. 2007. Ensiklopedia Pengetahuan. Solo: TigaSerangkai.Junaedi, Dedi, dkk. 1998. Intisari Matematika Dasar SMU. Bandung:Pustaka Setia.Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka.Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka.Koesmartono dkk. 1983. Matematika Pendahuluan. Bandung: Pener-bit ITB.Kreyszig, E. 1988. Advanced Enginering Mathematics. New York:John Wiley & Son.Murray, Spiegel. 1972. Statistics. New York: McGraw-Hill, Inc.Murray, Spiegel. 1981. Vector Analysis. Singapore: McGraw-Hill,Inc.Murray, Spiegel. 2000. Probability and Statistics. New York:McGraw-Hill, Inc.Negoro, S.T. dkk. 2007. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: GhaliaIndonesia.Neswan, Oki dan Setya Budi, W. 2003. Matematika 1–3 untuk SMA.Bandung: Penerbit ITB.Peperzak O.F.M., Tjokroseputro. 1961. Aldjabar. Djakarta: PNPradnja Paramita.Pimentall, Ric and Wall, T. 2002. IGCSE Mathematics. London: JohnMurray.Purcell, Edwin J. 1987. Calculus with Analitic Geometry. London:Prentice-Hall International, Inc.
178Mmt Aplikasi SMA 3 IPSSembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematika untuk SMU.Bandung: Yrama Widya.Siswanto. 1997. Geometri I. Surakarta: Universitas Sebelas MaretPress.Steffenson dan Johnson. 1992. Essential Mathematics for CollegeStudents. New York: Harper Collins Publishers.Sukirman. 1996. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta:Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat JenderalPendidikan Dasar dan Menengah, UT.Sullivan, M. 1999. Precalculus. Upper Saddle River: Prentice-Hall.Susianto, Bambang. 2004. Olimpiade dengan Proses Berpikir.Jakarta: Grasindo.
179LampiranTABELBunga Majemuk (1 + i)nn34%1% 114%112%134%2%11,0075 00001,0100 00001,0125 00001,0150 00001,0175 00001,0200 000021,0150 56251,0201 00001,0251 56251,0302 25001,0353 06251,0444 000031,0226 69171,0303 10001,0379 70701,0456 78381,0534 24111,8612 311641,0303 39191,0406 04011,0509 45341,0613 63551,0718 59031,0824 311651,0380 66731,0510 10051,0640 82151,0772 84001,0906 16561,1040 000061,0458 52241,0615 20151,0773 83181,0934 43261,1097 02351,1261 624271,0536 96131,0721 35351,0908 50471,1098 44911,1291 22151,1486 856781,0615 98851,0828 56711,1044 86101,1264 92591,1488 81701,1716 393891,0695 60841,0936 85271,1182 92181,1433 89981,1689 87211,1950 9257101,0775 82251,1046 22131,1322 70831605 48831,1894 44491,2189 9441111,0856 64411,1156 68351,1464 24221,1779 48941,2102 59771,2633 7431121,0938 06901,1268 25031,1607 54521,1956 18171,2314 39311,2682 4179131,1020 10451,1380 93281,1752 63951,2135 52441,2529 89501,2936 0663141,1102 75531,1494 74211,1899 54751,2317 55731,2749 16821,3194 7876151,1186 02591,1609 68961,2048 29181,2502 32071,2972 27861,3455 6834161,1269 92111,1725 78641,2198 89551,2689 85551,3199 29351,3727 8571171,1354 44551,1843 04431,2351 38171,2880 20331,3430 28111,4002 4142181,1439 60391,1961 47481,2505 77391,3073 40641,3665 31111,4282 4625191,1525 40091,2081 08951,2662 09611,3269 50751,3904 45401,4568 1117201,1611 84141,2201 90042820 37231,3468 55011,4147 78201,4859 4740211,1698 93021,2323 91941,2980 62701,3670 57831,4395 36811,5156 6634221,1786 67221,2447 15861,3142 88481,3875 63701,4647 28711,5459 7967231,1875 07231,2571 63021,3307 17091,4083 77151,4903 61461,5768 9926241,1964 13531,2697 34651,3473 51051,4295 02811,5164 42791,6084 3725251,2053 86631,2824 32001,3641 92941,4509 45351,5429 80541,6406 0599261,2144 27031,2952 56311,3812 45351,4727 09531,5699 82691,6734 1811271,2235 35231,3082 08881,3985 10921,4948 00181,5974 57391,7068 8648281,2327 11751,3212 90971,4159 92301,5172 22181,6254 12901,7410 2421291,2419 57091,3345 03881,4336 92211,5399 80511,6538 57621,7758 4469301,2512 71761,3478 48921,4516 13361,5630 80221,6828 00131,8113 6158311,2606 56301,3613 27401,4697 58531,5865 26421,7122 49131,8475 8882321,2701 11221,3749 40681,4881 30511,6103 24321,7422 13491,8845 4059331,2796 37061,3886 90091,5067 32141,6344 79181,7727 02231,9222 3140341,2892 34341,4025 76991,5255 66291,6589 96371,8037 24521,9606 7603351,2989 03591,4166 02761,5446 35871,6838 81321,8352 89701,9998 8953361,3086 45371,4307 68781,5639 43821,7091 39541,8674 07272,0398 8734371,3184 60211,4450 76471,5834 93121,7347 76631,9000 86892,0806 8309381,3283 48661,4595 27241,6032 86781,7607 98281,9333 38412,1222 9879391,3383 11281,4741 22511,6233 27871,7872 10251,9671 71842,1647 4477401,3483 48611,4888 63731,6436 19461,8140 18412, 0015 97342,2080 3966411,3584 61231,5037 52371,6641 64711,8412 28682,0366 25302,2522 0046421,3686 49691,5187 89891,6849 66771,8688 47122,0722 66242,2972 4447431,3789 14561,5339 77791,7060 28851,8968 79822,1085 30902,3431 8936441,3892 56421,5493 17571,7273 54211,9253 33022,1454 30192,3900 5314451,3996 75841,5648 10751,7489 46141,9542 13012,1829 75222,4378 5421461,4101 73411,5804 58851,7708 07971,9835 26212,2211 77282,4866 1129471,4207 49711,5962 63441,7929 43062,0132 79102,2600 47892,5363 4351481,4314 05331,6122 26081,8153 54852,0434 78292,2995 98722,5870 7039491,4421 40871,6283 48341,8380 46792,0741 30462,3398 41702,6388 1179501,4529 56931,6446 31821,8610 22372,1052 42422,3807 88932,6915 8803Lampiran
180Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTABELBunga Majemuk (1 + i)nn212%3% 312%4%412%5%11,025. ....1,03.. ....1,035. ....1,04.. ....1,045. ....1,05.. ....21,0506 25001,06091,0712 251,08161,0920 251,102531,0768 90631,0927 271,1087 17881,1284 641,1411 66131,1576 2541,1038 12891,1255 08811,1475 23001,1698 58561,1925 18601,2155 062551,1314 08211,1592 74071,1876 86311,2166 52901,2461 81941,2762 815661,1596 93421,1940 52301,2292 55331,2653 19021,3022 60121,3400 956471,1886 85751,2298 73871,2722 79261,3159 31781,3608 61831,4071 004281,2184 02901,2667 70081,3168 09041,3685 69051,4221 00611,4774 554491,2488 62971,3047 73181,3628 93751,4233 11811,4860 95141,5513 2822101,2800 84541,3439 16381,4105 98761,4802 44281,5529 69421,6288 9463111,3120 86661,3842 33871,4599 69721,5394 54061,6228 53051,7103 3926121,3448 88821,4257 60891,5110 68661,6010 32221,6958 81431,7958 5633131,3785 11041,4685 33711,5639 56061,6650 73511,7721 96101,8856 4914141,4129 73821,5125 89721,6186 94521,7316 76451,8519 44921,9799 3166151,4482 98171,5579 67421,6753 48831,8009 43511,9352 82242,0789 2818161,4845 05621,6047 06441,7339 96041,8729 81252,0223 70152,1828 7459171,5216 18261,6528 47631,7946 75551,9479 00502,1133 76812,2920 1832181,5596 58721,7024 33061,8574 89202,0258 16522,2084 78772,4066 1923191,5986 50191,7535 06051,9225 01322,1068 49182,3078 60312,5269 5020201,6386 16441,8061 11231,9897 88862,1911 23142,4117 14022,6532 9771211,6795 81851,8602 94572,0594 31472,2787 68072,5202 41162,7859 6259221,7215 71401,9161 03412,1315 11582,3699 18792,6336 52012,9252 6072231,7646 10681,9735 86512,2061 11452,4647 15542,7521 66353,0715 2376241,8087 72592,0327 94112,2833 28492,5633 04162,8760 13833,2250 9994251,8539 44102,0937 77932,3632 44982,6658 36333,0054 34463,3863 5494261,9002 92702,1565 91272,4459 58562,7724 69783,1406 79013,5556 7269271,9478 00022,2212 89012,5315 67112,8833 68583,2820 09563,7334 5632281,9964 95022,2879 27682,6201 17202,9987 03323,4296 99993,9201 2914292,0464 73942,3565 65512,7118 77982,1186 51453,5840 36494,1161 3560302,0975 67582,4272 62472,8067 93703,2433 97513,7453 18134,3219 4238312,1500 00682,5000 80352,9050 31483,3731 33413,9138 57454,5380 3949322,2037 56942,5750 82763,0067 07593,5080 58754,0899 81044,7649 4147332,2588 50862,6523 35243,1119 42353,6483 81104,2740 30185,0031 8854342,3153 22132,7319 05303,2208 60353,7943 16344,4663 61545,2533 4797352,3732 05192,8138 62453,3355 90453,9460 88994,6673 47815,5160 1537362,4325 35322,8982 78333,4502 66114,1039 32554,8773 78465,7918 1614372,4933 48702,9852 26683,5710 25434,2680 89865,0968 60496,0814 0694382,5556 82423,0747 83483,6960 11314,4388 13455,3262 19216,3854 7729392,6195 74483,1670 26983,8253 71714,6163 65995,5658 99086,7047 5115402,6850 63843,2620 37793,9592 59724,8010 20635,8163 64547,0399 8871412,7521 90433,3598 98934,0978 33814,9930 61456,0781 00947,3919 8815422,8209 95193,4606 94894,2412 57995,1927 83916,3516 15847,7615 8756432,8915 20073,5645 16774,3897 02025,4004 95276,6374 38188,1496 6693442,9638 08083,6714 52274,5433 41605,6165 15086,9361 22908,5571 5028453,0379 03283,7815 95844,7023 58555,8411 75687,2482 48438,9850 0779463,1138 50863,8950 43724,8669 41106,0748 22717,5744 19619,4342 5818473,1916 97134,0118 95035,0372 84046,3178 15627,9152 68499,9059 7109483,2714 89564,1322 51885,2135 88986,5705 28248,2714 555710,4012 6965493,3532 76804,2562 19445,3960 64596,8333 49378,6436 710710,9213 3313503,4371 08724,3839 06025,5849 26867,1066 83359,0326 362711,4673 9979
181LampiranTABELBunga Majemuk (1 + i)nn512%6% 612%7%712%8%11,0550 00001,0600 00001,0650 00001,0700 00001,0750 00001,0800 000021,1130 25001,1236 00001,1342 25001,1449 00001,1556 25001,1664 000031,1742 41381,1910 16001,2079 49631,2250 43001,2422 96881,2597 120041,2388 24651,2624 76961,2864 66351,3107 96011,3354 69141,3604 889651,3069 60011,3382 25581,3700 86661,4026 54731,4356 29331,4693 280861,3788 42811,4185 19111,4591 42301,5007 30351,5433 01531,5868 743271,4546 79161,5036 30261,5539 86551,6057 81481,6590 49141,7138 242781,5346 86511,5938 48071,6549 95671,7181 86181,7834 77831,8509 302191,6190 94271,6894 78961,7625 70391,8384 59211,9172 38661,9990 0463101,7081 44461,7908 47701,8771 37471,9671 51362,0610 31562,1589 2500111,8020 92401,8982 98561,9991 51402,1048 51952,2156 08932,3316 3900121,9012 07492,0121 96472,1290 96 242,2521 91592,3817 79602,5181 7012132,0057 73902,1329 28262,2674 87502,4098 87502,5604 13072,7196 2373142,1160 91462,2609 03962,4148 74182,5785 34152,7524 44052,9371 9362152,2324 76492,3965 58192,5718 41012,7590 31542,9588 77353,1721 6911162,3552 62702,5403 51682,7390 10672,9521 63753,1807 93153,4259 4264172,4848 02152,6927 72792,9170 46373,1588 14213,4193 52643,7000 1805182,6214 66272,8543 39153,1066 54383,3799 32283,6758 04093,9960 1950192,7656 46913,0255 99503,3085 86913,6165 27543,9514 89404,3157 0106202,9177 57493,2071 35473,5236 45063,8696 84464,2478 51104,6609 5714213,0782 34153,3995 63603,7526 81994,1405 62374,5664 39935,0338 3372223,2475 37033,6035 37423,9966 06324,4304 01744,9089 22935,4365 4041233,4261 51573,8197 49664,2563 85734,7405 29865,2770 92155,8714 6365243,6145 89904,0489 34644,5330 50815,0723 66955,6728 74066,3411 8074253,8133 92354,2918 70724,8276 99115,4274 32646,0983 39616,8484 7520264,0231 28934,5493 82965,1414 99555,8073 52926,5557 15087,3963 5321274,2444 01024,8223 45945,4756 97026,2138 67637,0473 93717,9880 6147284,4778 43075,1116 86705,8316 17336,6488 38367,5759 48248,6271 0639294,7241 24445,4183 87906,2106 72457,1142 57058,1441 44369,3172 7490304,9839 51295,7434 91176,6143 66167,6122 55048,7549 551910,0626 5689315,2580 68616,0881 00647,0442 99968,1451 12909,4115 768310,8676 6944325,5472 62386,4533 86687,5021 79468,7152 708010,1174 450911,7370 8300335,8523 61816,8405 89887,9898 21139,3253 397510,8762 534712,6760 4964346,1742 41717,2510 25288,5091 59509,9781 135411,6919 724813,6901 3361356,5138 25017,6860 86799,0622 548710,6765 818412,5688 704214,7853 4429366,8720 85388,1472 52009,6513 014311,4239 421913,5115 357015,9681 7184377,2500 50088,6360 871210,2786 360312,2236 181414,5249 008817,2456 2558387,6488 02839,1542 523510,9467 473713,0792 714115, 6142 684418,6252 7563398,0694 86999,7035 074911,6582 859513,9948 204116,7853 385820,1152 9768408,5133 087710,2857 179412,4160 745314,9744 578418,0442 389721,7245 2150418,9815 407610,9028 610113,2231 193816,0226 698919,3975 568923,4624 8322429,4755 255011,5570 326714,0826 221417,1442 567820,8523 736625,3394 8187439,9966 794012,2504 546314,9979 925818,3443 547522,4163 016827,3666 40424410,5464 967712,9854 819115,9728 620919,6284 595924,0975 243129,5559 71664511,1265 540913,7646 108317,0110 981321,0024 517625,9048 386331,9204 49394611,7385 145614,5904 874818,1168 195122,4726 233827,8477 015334,4740 85344712,3841 328715,4659 167319,2944 127824,0457 070229,9362 791537,2320 12174813,0652 601716,3938 717320,5485 496125,7289 065132,1815 000840,2105 73144913,7838 494817,3775 040321,8842 053327,5299 299734,5951 125943,4274 18995014,5419 612018,4201 542723,3066 786829,4570 250637,1897 460346,9016 1251
182Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTABELBunga Majemuk (1 + i)nn34%1% 114%112%134%2%10,9925 55830,9900 99010,9876 54320,9852 21670,9828 00980,9803 921620,9851 67080,9802 96050,9754 61060,9706 61750,9658 97770,9611 687830,9778 33330,9705 90150,9634 18330,9563 16990,9492 85280,9423 223440,9705 54170,9609 80350,9515 24280,9421 84230,9329 58510,9238 454350,9633 29200,9514 65690,9397 77060,9282 60330,9169 12540,9057 308160,9561 58020,9420 45240,9281 74880,9145 42190,9011 42540,8879 713870,9490 40220,9327 18050,9167 15930,9010 26790,8856 43780,8705 601880,9419 75400,9234 83220,9053 98450,8877 11120,8704 11570,8534 903790,9349 63180,9143 39820,8942 20690,8745 92240,8554 41350,8367 5270100,9280 03150,9052 86960,8831 80930,8616 67230,8407 28600,8203 4830110,9210 94940,8963 23720,8722 77460,8489 33230,8262 68890,8042 6304120,9142 38160,8874 49230,8615 08600,8363 87420,8120 57880,7884 9318130,9074 32410,8786 62600,8508 72690,8240 27200,7980 91280,7730 3253140,9006 77330,8699 62970,8403 68090,8118 49280,7843 64900,7578 7503150,8938 72540,8613 49480,8299 93180,7998 51510,7708 74590,7430 1473160,8873 17660,8528 21260,8197 46350,7880 31040,7576 16310,7284 4581170,8807 12310,8443 77490,8096 26020,7763 85260,7445 86050,7141 6256180,8741 56140,8360 17310,7996 30640,7649 11590,7317 79900,7001 5938190,8676 48780,8277 39920,7897 58660,7536 07480,7191 94010,6864 3076200,8611 89850,8195 44470,7800 08550,7424 70420,7068 24580,6729 7133210,8547 79010,8114 30170,7703 78810,7314 97950,6946 67890,6597 7582220,8484 15890,8033 96210,7608 67960,7206 87640,6827 20280,6468 3904230,8421 00140,7954 41790,7514 74530,7100 37080,6709 78170,6341 5592240,8358 83140,7875 66130,7421 97070,6995 43920,6594 38000,6217 2149250,8296 09330,7797 68440,7330 34140,6892 05830,6480 96320,6095 3087260,8234 33580,7720, 47960,7239 84340,6790 20520,6369 49700,5975 7929270,8173 03800,7644 03920,7150 46260,6689 85740,6259 94790,5858 6204280,8112 19660,7568 35570,7062 18530,6590 99250,6152 28290,5743 7455290,8051 80800,7493 42150,6974 99780,6493 58870,6046 46970,5631 1231300,7991 87900,7419 22920,6888 88670, 6397 62430,5942 47640,5520 7089310,7932 37620,7345 77150,6803 83870,6303 07810,5840 27160,5412 4597320,7873 32620,7273 04110,6719 84070,6209 92920,5739 82470,5306 3333330,7814 71590,7201 03080,6636 87970,6118 15680,5641 10530,5202 2873340,7756 54180,7129 73340,6554 94300,6027 74070,5544 08390,5100 2817350,7698 80080,7059 14200,6474 01770,5938 66080,5448 73110,5000 2761360,7641 48960,6989 24950,6394 09160,5850 89740,5355 01830,4902 2315370,7584 60510,6920 04900,6315 15220,5764 43090,5262 91720,4806 1093380,7528 14400,6851 53370,6237 18730,5679 24230,5172 40020,4711 8719390,7472 10320,6783 69670,6160 18500,5595 31260,5083 44000,4619 4822400,7416 47960,6716 53140,6084 13340,5512 62320,4996 00980,4528 9042410,7361 27010,6650 03110,6009 02060,5431 15590,4910 08340,4440 1021420,7306 47160,6584 18920,5934 83520,5350 89250,4825 63480,4353 0413430,7252 08100,6581 99920,5861 56560,5271 81530,4742 63860,4267 6875440,7198 09520,6454 45470,5789 20060,5193 90670,4661 06990,4184 0074450,7144 51140,6390 54920,5717 72900,5117 14940,4580 90400,4101 9680460,7091 32650,6327 27640,5647 13970,5041 52650,4502 11700,4021 5373470,7038 53740,6264 63010,5577 42200,4967 02120,4424 68500,3942 6836480,6986 14140,6202 60410,5508 56490,4893 61700,4348 58480,3865 3761490,6934 13530,6141 19210,5440 55790,4821 29750,4273 79340,3789 5844500,6882 51650,6080 38830,5373 39050,4750 04680,4200 28830,3715 2788
183Lampirann212%3% 312%4%412%5%10,9756 09760,9708 73790,9661 83570,9615 38460,9569 37800,9523 809520,9518 14400,9425 95910,9335 10700,9245 56210,9157 29950,9070 294830,9285 99410,9151 41660,9019 42710,8889 96360,8762 96600,8638 376040,9059 50640,8884 87050,8714 42230,8548 04190,8385 61340,8227 024750,8838 54290,8626 08780,8419 73170,8219 27110,8024 51050,7835 261760,8622 96870,8374 84260,8135 00640,7903 14530,7678 95740,7462 154070,8412 65240,8130 91510,7859 90960,7599 17810,7348 28460,7106 813380,8207 46570,7894 09230,7594 11560,7306 90210,7031 85130,6768 089290,8007 28360,7664 16730,7337 30970,7025 86740,6729 04430,6446 0892100,7811 98400,7440 93910,7089 18810,6755 64170,6439 27680,6139 1325110,7621 44780,7224 21280,6849 45710,6495 80930,6161 98740,5846 7929120,7435 55890,7013 79880,6617 83300,6245 97050,5896 63860,5563 3742130,7254 20380,6809 51340,6394 04150,6005 74090,5642 71640,5303 2135140,7077 27200,6611 17810,6177 81790,5774 75080,5399 72860,5050 6795150,6904 65560,6418 61950,5968 90620,5552 64500,5167 20440,4810 1710160,6736 24930,6231 66940,5767 05910,5339 08180,4944 69320,4581 1152170,6571 95060,6050 16450,5572 03780,5133 73250,4731 76390,4362 9669180,6411 65910,5873 94610,5383 61140,4936 28120,4528 00370,4155 2065190,6255 27720,5702 86030,5201 55690,4746 42420,4333 01790,3957 3396200,6102 70940,5536 75750,5025 65880,4563 86950,4146 42460,3768 8948210,5653 86290,5375 49280,4855 70900,4388 33600,3967 87430,3589 4236220,5808 64670,5218 92500,4691 50630,4219 55390,3797 00890,3418 4987230,5666 97240,5066 91750,4532 85630,4057 26330,3633 50130,3255 7131240,5528 75350,4919 33740,4379 57130,3901 21470,3477 03470,3100 6791250,5393 90590,4776 05570,4231 46990,3751 16800,3327 30600,2953 0277260,5262 34720,4636 94730,4088 37670,3606 89230,3184 02480,2812 4073270,5133 99730,4501 89060,3950 12240,3468 16570,3046 91370,2678 4832280,5008 77780,4370 76750,3816 54340,3334 77470,2915 70690,2550 9364290,4886 61250,4243 46360,3687 48150,3206 51410,2790 15020,2429 4632300,4767 42690,4119 86760,3562 78410,3083 18670,2670 00020,2313 7745310,4651 14810,3999 87150,3442 30350,2964 60260,2555 02410,2203 5947320,4537 70550,3883 37030,3325 89710,2850 57940,2444 99910,2098 6617330,4427 02980,3770 26250,3213 42710,2740 94170,2339 71210,1998 7254340,4319 05340,3660 44900,3104 76050,2635 52090,2238 95890,1903 5480350,4213 71070,3553 83400,2999 76860,2534 15470,2142 54440,1812 9029360,4110 93720,3450 32430,2898 32720,2436 68720,2050 28170,1726 5741370,4010 67050,3349 82940,2800 31610,2342 96850,1961 99210,1644 3563380,3912 84920,3252 26150,2705 61940,2252 85430,1877 50440,1566 0536390,3817 41390,3157 53550,2614 12500,2166 20610,1796 65490,1491 4797400,3724 30620,3065 56840,2525 72470,2082 89040,1719 28700,1420 4568410,3633 46950,2976 28000,2440 31370,2002 77930,1645 25070,1352 8160420,3544 84830,2889 59220,2357 79100,1925 74930,1574 40260,1288 3962430,3458 38860,2805 42940,2278 05900,1851 68200,1506 60540,1227 0440440,3374 03760,2723 71780,2201 02310,1780 46350,1441 72760,1168 6133450,3291 74400,2644 38620,2126 59240,1711 98410,1379 64370,1112 9651460,3211 45760,2567 36530,2054 67870,1646 13860,1320 23320,1059 9668470,3133 12940,2492 58760,1985 19680,1582 82560,1263 38100,1009 4921480,3056 71160,2419 98800,1918 06450,1521 94760,1208 97710,0961 4211490,2982 15760,2349 50290,1853 20240,1463 41120,1156 91580,0915 6391500,2909 42210,2281 07080,1790 53370,1407 12620,1107 09650,9872 0373TABELBunga Majemuk (1 + i)n
184Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTABELBunga Majemuk (1 + i)nn512%6% 612%7%712%8%10,9478 67300,9433 96230,9389 67140,9345 79440,9302 32560,9259 259320,8984 52420,8899 96440,8816 59280,8734 38730,8653 32610,8573 388230,8516 13660,8396 19280,8278 49090,8162 97880,8049 60570,7938 322440,8072 16740,7920 93660,7773 23090,7628 95210,7488 00530,7350 298650,7651 34350,7472 58170,7298 80840,7129 86180,6965 58630,6805 832060,7252 45830,7049 60540,6853 34120,6663 42220,6479 61520,6301 696370,6874 36810,6650 57110,6435 06210,6227 49740,6027 54900,5834 904080,6515 98870,6274 12370,6042 31190,5820 09100,5607 02230,5402 688890,6176 29260,5918 98460,5673 53230,5439 33740,5215 83470,5002 489710 0,5854 30580,5583 94780,5327 26040,5083 49290,4851 93930,4631 9349110,5549 10500,5267 87530,5002 12240,4750 92800,4513 43190,4288 8286120,5259 81520,4969 69360,4696 82850,4440 11960,4198 54130,3971 1376130,4985 60680,4688 39020,4410 16760,4149 64450,3905 61980,3676 9792140,4725 69370,4423 00960,4141 00250,3878 17240,3633 13470,3404 6104150,4479 33050,4172 65060,3888 26520,3624 46020,3379 66020,3152 4170160,4245 81900,3936 46280,3650 95330,3387 34600,3143 86990,2918 9047170,4024 46530,3713 64420,3428 12510,3165 74390,2924 53020,2702 6895180,3814 65900,3503 43790,3218 89690,2958 63920,2720 49320,2502 4903190,3615 79060,3305 13010,3022 43840,2765 08330,2530 69130,2317 1206200,3427 28960,3118 04730,2837 97030,2584 19000,2354 13150,2145 4821210,3248 61580,2941 55400,2664 76080,2415 13090,2189 88970,1986 5575220,3079 25670,2775 05100,2502 12280,2257 13170,2037 10670,1839 4051230,2918 72670,2617 97260,2349 41110,2109 46880,1894 58300,1703 1528240,2766 56560,2469 78550,2206 01980,1971 46620,1762 77490,1576 9934250,2622 33700,2329 98630,2071 38010,1842 49180,1639 79060,1460 1790260,2485 62750,2198 10030,1944 96790,1721 95490,1525 38660,1352 0176270,2356 04050,2073 67950,1826 25150,1609 30370,1418 96430,1251 8682280,2233 21810,1956 30140,1714 79020,1504 02210,1319 96680,1159 1372290,2116 79440,1845 56740,1610 13160,1405 62820,1227 87610,1073 2752300,2006 44020,1741 10130,1511 86070,1313 67120,1142 21030,0993 7733310,1901 83900,1642 54840,1419 58750,1227 73010,1062 52120,0920 1605320,1802 69100,1549 57400,1332 94600,1147 41130,0988 39180,0852 0005330,1708 71190,1461 86220,1251 59250,1072 34700,0919 43430,0788 8893340,1619 63210,1379 11530,1175 20420,1002 19340,0855 28770,0730 4531350,1535 19360,1301 06220,1103 47810,0936 62940,0795 61640,0676 3454360,1455 16240,1227 40770,1036 12970,0875 35460,0740 10830,0626 2458370,1379 30080,1157 93180,0972 89170,0818 08840,0688 47290,0579 8572380,1307 39410,1092 38850,0913 51340,0764 56860,0640 43990,0536 9048390,1239 23620,1030 55520,0857 75900,0714 55010,0595 75800,0497 1314400,1174 63140,0972 22190,0805 40750,0667 80380,0554 19350,0460 3093410,1113 39470,0917 19050,0756 25120,0624 11570,0515 52880,0426 2123420,1055 35040,0865 27400,0710 09500,0583 28570,0479 56170,0394 6411430,1000 33220,0816 29620,0666 75590,0545 12680,0446 10390,0365 4084440,0948 18220,0770 09080,0626 06190,0509 46430,0414 98040,0338 3411450,0898 75090,0726 50070,0587 85150,0476 13490,0386 02830,0313 2788460,0851 89650,0685 37810,0551 97330,0444 98590,0359 09610,0290 0730470,0807 48490,0646 58310,0518 28480,0415 87470,0334 04280,0268 5861480,0765 38850,0609 98400,0486 65240,0388 66790,0310 73750,0248 6908490,0725 48670,0675 45660,0456 95060,0363 24100,0289 05820,0230 2693500,0687 66520,0542 88360,0429 06160,0339 47760,0268 89130,0213 2123
185LampiranNilai Anuitas111 + ikkn()<=-n112%2% 212%3% 312%11,0150 00001,0200 00001,0250 00001,0300 00001,0350 000020,5112 77920,5150 49500,5188 27161,5226 10840,5264 004930,3433 82960,3467 54670,3501 37170,3535 30360,3569 341840,2594 44790,2626 23750,2658 17880,2690 27050,2722 511450,2090 89320,2121 58390,2152 46860,2183 54570,2214 813760,1755 25210,1785 25810,1815 49970,1845 97500,1876 682170,1515 56160,1545 11960,1574 95430,1605 06350,1635 444980,1335 84020,1365 09800,1394 67350,1424 56390,1454 766590,1196 09820,1225 15440,1254 56890,1284 33860,1314 4601100,1084 34180,1113 26530,1142 58760,1172 30510,1202 4137110,0992 93840,1021 77940,1051 05960,1080 77450,1110 9197120,0916 79990,0945 59600,0974 87130,1004 62090,1034 8395130,0852 40360,0881 18350,0910 48270,0940 29540,0970 6157140,0797 23320,0826 01970,0855 36520,0885 26340,0915 7073150,0749 44360,0778 25470,0807 66460,0837 66580,0868 2507160,0707 65080,0736 50130,0765 98990,0796 10850,0826 8483170,0670 79660,0699 69840,0729 27770,0759 52530,0790 4313180,0638 05780,0667 02100,0696 70080,0727 08700,0758 1684190,060878470,0637 81770,0667 60620,0698 13880,0729 4033200,0582 45740,0611 56720,0641 47130,0672 15710,0703 6108210,0558 65500,0587 84770,0617 88330,0648 71780,0680 3659220,0537 03320,0566 31400,0596 46610,0627 47390,0659 3207230,0517 30750,0546 68100,0576 96380,0608 13900,0640 1880240,0499 24100,0528 71100,0559 12820,0590 47420,0622 7283250,0482 63450,0512 20440,0542 75920,0574 17870,0606 7404260,0467 31960,0496 99230,0527 68750,0559 38290,0592 0540270,0453 15270,0482 93090,0513 76870,0545 64210,0578 5241280,0440 01080,0469 89670,0500 87930,0532 93230,0566 0265290,0427 78780,0457 78360,0488 91270,0521 14670,0554 4538300,0416 39190,0446 49920,0477 77640,0510 19260,0543 7133310,0405 74300,0435 96350,0567 39000,0499 98930,0533 7240320,0395 77100,0426 10610,0457 68310,0490 46620,0524 4150330,0386 41440,0416 86530,0448 59380,0481 56120,0515 7242340,0337 61890,0408 18670,0440 06750,0478 21960,0557 5966350,0369 33630,0400 02210,0432 05580,0465 39290,0599 9835360,0361 52400,0392 32850,0424 51580,0458 03790,0492 8416370,0354 14370,0385 06780,0417 40900,0451 11620,04861325380,0347 16130,0378 20570,0410 70120,0444 59340,0479 8214390,0340 54630,0371 71140,0404 36150,0438 43850,0473 8775400,0334 27100,0365 55750,0398 36230,0432 62380,0468 2728410,0328 31060,0359 71880,0392 67860,0427 12410,0462 9822420,0322 64260,0354 17290,0387 28760,0421 91670,0457 9828430,0317 24650,0348 89930,0382 16880,0416 98110,0453 2539440,0312 10380,0343 87940,0377 30370,0412 29850,0448 7768450,0307 19760,0339 09620,0372 67510,0407 85180,0444 5343460,0302 51250,0334 53420,0368 26760,0403 62540,0440 5108470,0298 03420,0330 17920,0364 06690,0399 60510,0436 6919480,0293 75000,0326 01840,0360 05990,0395 77770,0433 0646490,0289 64780,0322 03960,0356 23480,0392 13140,0429 6167500,0285 71680,0318 23210,0352 58060,0388 65490,0426 3371
186Mmt Aplikasi SMA 3 IPSNilai Anuitas111 + ikkn()<=-n4%412%5%512%6%11,0400 00001,0450 00001,0500 00001,0550 00001,0600 000020,5301 96080,5339 97560,5378 04880,5416 18000,5454 368930,3603 48540,3637 73360,3672 08560,3706 54070,3741 098140,0754 90050,2787 43650,2820 11 830,2852 94490,2885 914950,2246 27710,2277 91640,2309 74800,2341 76440,2373 964060,1907 61900,1938 78390,1970 17470,2001 78950,2033 626370,1666 09610,1697 01470,1728 19820,1759 64420,1791 350280,1485 27830,1516 09650,1547 21810,1578 64010,1610 359490,1344 92990,1375 74470,1406 90080,1438 39460,1470 2224100,1232 90940,1263 78820,1295 04570,1326 67770,1358 6796110,1141 49040,1172 48180,1203 88890,1235 70650,1267 9294120,1065 52170,1096 66190,1128 25410,1160 29230,1192 7703130,1001 43730,1032 75350,1062 55770,1096 84260,1129 6011140,0946 68970,0978 20320,1010 23970,1042 79120,1075 8491150,0999 41100,0931 13810,0963 42290,0996 25600,1029 6276160,0858 20000,0890 15370,0922 69910,0955 82540,0998 5214170,0821 98520,0854 17580,0886 99140,0920 41970,0954 4480180,0789 93330,0822 36900,0855 46220,0889 19920,0923 5654190,0761 38620,0794 07340,0827 45010,0861 50060,0896 2086200,0735 81750,0768 76140,0802 42590,0836 79330,0871 8456210,0712 80110,0746 00570,0779 96110,0814 64780,0850 0455220,0691 98810,0725 45650,0759 70510,0794 71230,0830 4557230,0673 09060,0706 82490,0741 36820,0776 69650,0812 7848240,0655 86830,0689 87030,0724 70900,0760 35800,0796 7900250,0640 11960,0674 39030,0509 52460,0745 49350,0782 2672260,0625 67380,0660 21370,0695 64320,0731 93070,0769 0435270,0612 38540,0647 19460,0682 91860,0719 52280,0756 9717280,0600 12980,0635 20810,0671 22530,0708 14400,0745 9255290,0588 79930,0624 14610,0660 45510,0697 68570,0735 7961300,0578 30100,0613 91540,0650 51440,0688 05390,0726 4891310,0568 55350,0604 43450,0541 32120,0679 16650,0717 9222320,0559 48590,0595 63200,0632 80420,0670 95190,0710 0234330,0551 03570,0587 44530,0624 90040,0663 34690,0720 7293340,0543 14770,0579 81910,0617 55450,0656 29580,0695 9843350,0535 77320,0572 70450,0610 71710,0649 74930,0698 7386360,0528 86880,0566 05780,0604 34460,0663 66350,0683 9483370,0522 39570,0559 84020,0598 39790,0637 99930,0678 5743380,0516 31920,0554 01690,0592 84230,0632 72170,0673 5812390,0510 60830,0548 55670,0587 64620,0627 79910,0668 9377400,0505 23490,0543 43150,0582 78160,0623 20340,0664 6154410,0500 17380,0538 61580,0578 22290,0918 90900,0660 5886420,0495 40200,0534 08680,0573 94710,0614 89270,0656 8342430,0490 89890,0529 82350,0569 93330,0611 13370,0653 3312440,0486 64540,0525 80710,0566 16250,0607 61280,0650 0606450,0482 62460,0522 02020,0562 61730,0604 31270,0647 0050460,0478 82050,0518 44710,0559 28200,0601 21750,0644 1485470,0475 21890,0515 07340,0556 14210,0598 31290,0641 4768480,0471 80650,0511 88580,0553 18430,0595 58540,0638 9765490,0468 57120,0508 87220,0550 39650,0593 02300,0636 6356500,0465 50200,0506 02150,0547 76740,0590 61450,0634 4429
187LampiranGlosariumBarisan aritmetika adalah barisan yangselisih antarsuku-suku yang berurutanselalu tetap, 132Barisan berhingga adalah barisan yangbanyak suku-sukunya berhingga, 131Barisan bilangan adalah susunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturantertentu, 127Barisan geometri adalah barisan yangperbandingan antarsuku yang berurutanselalu tetap, 141Barisan tak berhingga adalah barisan yangbanyak suku-sukunya tak berhingga,131Beda adalah selisih antara suku-suku yangberurutan, 133Deret adalah penjumlahan suku-suku suatubarisan, 121Diferensiabel adalah dapat didiferensiasikan,19Elemen matriks adalah bilangan yangterdapat di dalam matriks, 66Fungsi kendala adalah fungsi yang menjadiprasyaratan atau batasan pada programlinear, 40Fungsi objektif, sasaran, tujuan adalahfungsi yang akan ditentukan nilai mini-mum atau maksimumnya, 40Fungsi primitif adalah fungsi antiturunanatau hasil integral, 4Integral adalah invers dari operasi diferensial,4Integral parsial adalah pengintegralanbagian demi bagian, 19Integral tak tentu adalah pengintegralanyang tidak mengandung batas bawahdan atas, 4Integral tertentu adalah pengintegralan yangdisertai dengan batas bawah dan atas,11Integran adalah fungsi yang dicari anti-turunannya, 4Matriks adalah susunan bilangan-bilanganberbentuk suatu persegi panjang yangdisusun menurut aturan basis dan kolomserta ditempatkan pada suatu tandakurung, 65Matriks baris adalah matriks yang hanyaterdiri atas satu baris, 70Matriks diagonal adalah matriks persegidengan setiap elemen yang tidak ter-letak pada diagonal utama adalah nol,70Matriks identitas adalah suatu matriks di-agonal dengan elemen diagonal utama-nya 1, 85Matriks kolom adalah matriks yang hanyaterdiri atas satu kolom, 70Matriks nol adalah matriks yang setiapelemennya nol, 70Model matematika adalah rumusan mate-matika yang diperoleh dari hasil penaf-siran suara program linear ke bahasamatematika, 40Ordo adalah ukuran suatu matriks, 68Persamaan keluarga kurva adalah kurva-kurva yang diperoleh dari hasil pengin-tegralan, dengan nilai kons-tanta belumditentukan, 9Program linear adalah suatu metode/pro-gram untuk memecahkan masalahoptimasi yang mengandung batasan-batasan dalam bentuk sistem pertidak-samaan linear, 35Rasio adalah perbandingan antarsuku yangberurutan, 142Sigma adalah jumlah, 12, 121Sistem pertidaksamaan linear adalah suatusistem pertidaksamaan yang terdiri atasbeberapa pertidaksamaan linear, 35Suku adalah unsur barisan, 128Transpose adalah suatu proses menukarelemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom, 68
188Mmt Aplikasi SMA 3 IPSIndeks SubjekAdjoin, 96Antiturunan, 15, 22Anuitas, 162Asosiatif, 77, 88Aturan Sarrus, 95Baris, 65Barisan bilangan, 127Barisan aritmetika, 132Barisan geometri, 141Barisan divergen, 152Barisan konvergen, 152Batas atas integrasi, 14Batas bawah integrasi, 14Beda, 133Bunga, 159Bunga majemuk, 161Bunga tunggal, 159Daerah feasibel, 50Deret, 121, 133Deret aritmetika, 138Deret geometri, 146Determinan, 91, 105Diferensiabel, 19Diferensial, 3Domain, 3Fungsi, 3Fungsi objektif, 40Gradien garis singgung, 9Grafik fungsi, 21Integrable, 14Integral, 4Integral parsial, 19Integral tak tentu, 4Integral tertentu, 11Integran, 4Interval, 11, 21Invers, 4Kofaktor dari matriks, 96Kolom, 65Komutatif, 77, 88Konstanta, 3Keluarga kurva, 9Leibniz, 8, 12Limit, 12, 153Luas daerah, 22Matriks, 65Matriks baris, 70Matriks diagonal, 70Matriks identitas, 85Invers matriks, 77, 90Matriks kolom, 70Matriks nol, 70Matriks nonsingular, 93Ordo matriks, 68Matriks persegi, 69, 85Matriks satuan, 70Matriks singular, 93Metode garis selidik, 50Minor elemen, 96Modal, 159Model matematika, 40Newton, Isaac, 8Nilai optimum, 45Operasi derivatif, 4Penyelesaian optimum, 40Program linear, 35, 40Rasio (pembanding), r, 142Sigma, 12, 121Sistem persamaan linear, 101Skalar, 78Substitusi, 17Suku bunga, 159Sumbu X, 12, 21Sumbu Y, 13, 21Titik sudut, 46Transpose matriks, 68Titik verteks, 46Transpose, 96Transformasi baris elementer, 96Turunan, 3
189LampiranKunci Soal-Soal TerpilihBab I IntegralUji Kompetensi 11. a.32x2 + cb. 3x3 + c3. b.211 nnxcn<+<c.232321nxcn+++5.x3x+ cUji Kompetensi 34. a.<212b.76Uji Kompetensi 63. a.713b. 7c.3d. 35. a.412d.412Uji Kompetensi 83.16324.143Bab II Program LinearUji Kompetensi 21. 8x + 5y = 18.5004x + 6y = 11.0005. Menentukan nilai maksimumz = 3.000x + 5.000yKendala:6x + 3y) 544x + 6y) 485x + 5y) 50x* 0, y* 0, x, yDCUji Kompetensi 31. a.128; x = 4 dan y = 4b. 54; x = 2 dan y = 2c.28; x = 0 dan y = 14 atau x = 6 dan y = 25. Rp370.000,00Bab III MatriksUji Kompetensi 45. a.a = 1, b = –1, dan c = 15b.a = 2, b = 4, c = 4, dan d = 2c.a = 2, b = –6, c = –4, dan d = 8d.a = 4, b = 2, c = 8, dan d = 1Uji Kompetensi 53. a.a = 2 dan b = –1b.a = 3 dan b = 4Uji Kompetensi 73. a.a = 1b.a = –3d.a = 83
190Mmt Aplikasi SMA 3 IPSUji Kompetensi 84.plpl+=<= ̈©ª255345p = panjang; l = lebar5.xyxy<=+= ̈©ª43023140x = umur ayah (sekarang) = 59,09 tahuny = umur anak (sekarang) = 7,27 tahunBab IV Barisan dan DeretUji Kompetensi 33. a.–6, 0, 10, 24b.n = 805. a.U30 = 206b.U30 = 151c.U30 = 99Uji Kompetensi 41.U25 = 1253.U100 = 3005. 4, 6, 8Uji Kompetensi 61. a.U15 = 32.768c.U15 = 16.384e.U15 = – 49.1522. 5, 10, 207. 189 cm8.U10 = 512