Halaman
63MatriksMatriksBab IIITujuan PembelajaranSecara umum matriks merupakan suatu daftar yang berisi angka-angka dan ditulis di dalam tanda kurung. Daftar-daftar yang dapatditulis dalam bentuk matriks, misalnya perolehan medali dalam suatupermainan olahraga, daftar gaji pegawai, dan daftar nilai siswa.MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri suatu matriks;2. menuliskan informasi dalam bentuk matriks;3. melakukan operasi aljabar atas dua matriks;4. menentukan determinan matriks persegi ordo 2 dan kaitannya dengan matriksmempunyai invers;5. menentukan invers matriks persegi ordo 2;6. membuktikan rumus invers matriks ordo 2;7. menjelaskan sifat-sifat operasi matriks;8. menjelaskan sifat-sifat matriks yang digunakan dalam menentukan penyelesaiansistem persamaan linear;9. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan inversmatriks;10. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengandeterminan.Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999
64Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• elemen matriks• matriks• matriks baris• matriks diagonal• matriks identitasPeta Konsep• matriks kolom• matriks nol• ordo•transposeMatriksPengertian,Notasi, danOrdo SuatuMatriksmempelajariDeterminanMatriksPenggunaanMatriks untukMenyelesaikanSistemPersamaanLinearBalikan atauInversMatriksPersamaanMatriksKesamaanDua MatriksPenjumlahandanPenguranganMatriksSifat-SifatPenjumlahanMatriksPerkalianMatriksTransposeSuatuMatriksPerkalianMatriks denganMatriksPerkalianSkalar denganMatriksmembahasMatriksKhusus
65MatriksMatriks merupakan bentuk penulisan yang sering kita jumpaidalam kehidupan sehari-hari, yaitu berupa isi di setiap baris dankolomnya. Misalnya, pada daftar gaji pegawai, data absensi siswa,dan daftar nilai siswa. Pembahasan matriks pada bab ini meliputipengertian, notasi, dan ordo suatu matriks, kesamaan dua matriks,penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian bilangan real(skalar) dengan matriks, perkalian matriks, balikan atau inversmatriks, dan penggunaan matriks untuk menyelesaikan sistempersamaan linear dua dan tiga variabel.Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, coba jawablah soalberikut.Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = rSusunlah koefisien-koefisien pada sistem persamaan itudalam tabel berikut.Tabel 3.1Koefisien xKoefisien yKoefisien zPersamaan 1......................................................Persamaan 2......................................................Persamaan 3......................................................Jelaskan arti (makna) angka-angka (elemen) pada tabel itu.Setelah kalian mampu menjawab permasalahan di atas, mari kitalanjutkan ke materi berikut.A. Pengertian Dasar tentang MatriksDalam kehidupan sehari-hari, banyak keterangan atau informasiyang disajikan dalam bentuk daftar berisi angka-angka yang disusunmenurut baris dan kolom. Misalnya, harga karcis masuk suatu tempatwisata disajikan dalam bentuk daftar seperti berikut.Tabel 3.2PengunjungHari BiasaHari Minggu Dewasa5.0008.500 Anak-Anak2.5003.750Uji PrasyaratKerjakan di buku tugas
66Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDaftar di atas dapat disusun lebih sederhana dengan menghilangkanjudul baris dan judul kolom sehingga tampak sebagai berikut.5.0008.5002.5003.750Jika susunan bilangan-bilangan tersebut ditulis di antara dua tandakurung (bukan kurung kurawal), diperoleh suatu susunan bilangansebagai berikut.5.000 8.5002.500 3.750£¤²¥¦ ́Susunan bilangan yang demikian disebut matriks. Secara umum,matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan menurut baris dan kolom serta ditempatkan dalam tandakurung (kurung biasa atau kurung siku).Pada matriks di atas 8.000 adalah elemen (unsur) matriks padabaris pertama dan kolom pertama, ditulis a11 = 5.000. Elemen-elemenyang lain, yaitu 8.500, 2.500, dan 3.750 berturut-turut menunjukkanelemen-elemen matriks pada baris pertama kolom kedua, baris keduakolom pertama, dan baris kedua kolom kedua. Selanjutnya, ditulisa12 = 8.500, a21 = 2.500, dan a22 = 3.750.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, danseterusnya. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam matriksdinamakan elemen matriks. Adapun bentuk umum matriks A yangmempunyai m baris dan n kolom adalahAaaaaaaaaannmmmn=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́111212122212.....................BBBKeterangan:aij adalah elemen pada baris ke-i kolom ke-j matriks A.a11, a12, ..., a1j adalah elemen-elemen baris ke-1.a11, a21, ..., ai1 adalah elemen-elemen kolom ke-1.Bentuk umum matriks A tersebut ditulis secara singkat menjadiA = (aij) m× n@baris ke-m@baris ke-1@baris ke-2kolom ke-1kolom ke-2kolom ke-n
67Matriks1.Hasil ulangan harian (UH) Matematika dari lima orang siswa adalah sebagai berikut.Tabel 3.3No.Nama SiswaUH 1UH 2UH 31.Anik6772.Nia5653.Hesti8784.Ardi7785.Danar687a.Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A.b.Berapa banyak baris pada matriks A?c.Sebutkan elemen-elemen pada baris pertama.d.Berapa banyak kolom pada matriks A?e.Sebutkan elemen-elemen pada kolom kedua.Penyelesaian:a. ́ ́ ́ ́ ́ ́¦¥²²²²²²¤£7 8 68 7 78 7 85 6 57 7 6b.Banyak baris pada matriks A adalah 5.c.Elemen-elemen baris pertama adalah 6, 7, dan 7.d.Banyak kolom pada matriks A adalah 3.e.Elemen-elemen kolom kedua adalah 7, 6, 7, 7, dan 8.2.Diketahui matriks A=£¤²¥¦ ́201432.Tentukan berikut ini.a.Elemen-elemen pada baris ke-1.b.Elemen-elemen kolom ke-3.c.Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3.d.Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1.Penyelesaian:a.Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 2, 0, dan 1.b.Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 1 dan 2.c.Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 adalah 1.d.Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 adalah 4.Contoh:
68Mmt Aplikasi SMA 3 IPSCarilah data tentang jumlah penghuni rumah kalian dan susunlahdalam bentuk tabel seperti berikut.Laki-LakiPerempuanOrang tua.......................................................Anak.......................................................PRT.......................................................Famili.......................................................Dari tabel itu, nyatakan dalam sebuah matriks. Ada berapa matriksyang terbentuk? Kemudian, dengan bahasa kalian sendiri, jelaskanarti angka-angka dari setiap elemen matriks yang terbentuk.1. Ordo MatriksJika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom, dikatakanbahwa ordo matriks A adalah m×n, ditulis dengan notasi Amn×.Perhatikan matriks R dan S di bawah ini.R=£¤²²¥¦ ́ ́214365 , S = (3 –2 1)Matriks R mempunyai ukuran 3 baris dan 2 kolom sehingga dapatdikatakan bahwa matriks R berordo 3 × 2 dan ditulis R32×. Adapunmatriks S mempunyai 1 baris dan 3 kolom sehingga dikatakan bahwamatriks S berordo 1 × 3 dan ditulis S13×. Secara umum, ordo suatumatriks dapat didefinisikan sebagai berikut.Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks tersebut yangdinyatakan dengan banyak baris kali banyak kolom.PenghuniObservasiTugasKerjakan di buku tugas2. Transpose Suatu MatriksTranspose dari matriksA adalah suatu matriks yang diperolehdengan cara menukar setiap elemen baris matriks A dengan elemenkolom matriks transposenya. Transpose suatu matriks A ditulis denganlambang Atatau A'.Contoh:Diketahui A=£¤²¥¦ ́135246 dan B = <<£¤²²¥¦ ́ ́325.Tentukan transpose dari matriks A dan B.
69Matriks3. Matriks-Matriks Khususa.Matriks PersegiMatriks persegi adalah suatu matriks yang banyak baris-nya sama dengan banyak kolomnya. Jika banyaknya barispada matriks persegi A adalah n, banyaknya kolom matriksA juga n sehingga ordo matriks A adalah n×n. Secarasingkat, matriks A dapat disebut matriks persegi ordo n.Elemen a11, a22, a33, ..., ann disebut elemen-elemen diagonalutama (pertama).Misalnya:Apqrs=£¤²¥¦ ́ merupakan matriks persegi ordo 2, dapat ditulisA22×.B=£¤²²¥¦ ́ ́123456789 merupakan matriks persegi ordo 3, dapatditulis B33×.Elemen-elemen diagonal utama pada matriks A adalah p dans, sedangkan elemen-elemen diagonal utama pada matriksB adalah 1, 5, dan 9.Coba cari tahu tentang pengertian matriks simetris. Apakahmatriks A = 530342021<<£¤²²¥¦ ́ ́ merupakan matriks simetris? Mengapa?Berpikir KritisTugasKerjakan di buku tugasPenyelesaian:Berdasarkan pengertian transpose suatu matriks, baris ke-1 matriks A menjadi kolomke-1 matriks At, sedangkan baris ke-2 matriks A menjadi kolom ke-2 matriks At. Dengandemikian, diperoleh At= ́ ́ ́¦¥²²²¤£654321.Dengan cara yang sama, jika B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<523, matriks transposenya adalah Bt = (–3 2 –5).
70Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb.Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satubaris.Misalnya:D = (–1 3)E = (0 2 –4)c.Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satukolom.Misalnya:P=£¤²¥¦ ́01Q=£¤²²¥¦ ́ ́232R=<£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́4032d.Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah suatu matriks persegi dengansetiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalahnol.Misalnya:A=£¤²¥¦ ́2001B=£¤²²¥¦ ́ ́200030002e.Matriks SatuanMatriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengansetiap elemen diagonal utama adalah 1. Matriks identitasbiasanya dilambangkan dengan I atau In, untuk n bilanganasli.Misalnya:I21001=£¤²¥¦ ́I3100010001=£¤²²¥¦ ́ ́I41000010000100001=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́f.Matriks NolMatriks nol adalah suatu matriks yang setiap elemennyanol. Matriks nol berordo m×n dinotasikan dengan Omn×.Kalian tentu menge-nal matriks persegiordo 1. Adakah ma-triks identitas ordo1? Jika ada, sepertiapakah? Jika tidakada, berikan alasanseperlunya.DiskusiBerpikir Kritis
71MatriksUji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugasMisalnya:OO1333000000000000××=()=£¤²²¥¦ ́ ́ , , O32000000×=£¤²²¥¦ ́ ́g.Lawan Suatu MatriksLawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan elemen dari matriks semula.Lawan dari suatu matriks A dinotasikan dengan –A.Misalnya:Lawan matriks A=<<<£¤²²¥¦ ́ ́4671023 adalah <=<<<£¤²²¥¦ ́ ́A4671023.Menurutmu, apa keunggulan penyajian suatu data denganmenggunakan matriks? Apakah semua jenis data dapat disajikandengan matriks? Berikan contoh dan alasan kalian.Mengomunikasikan gagasanDiskusi1.Hasil perolehan medali sementara pada suatu Pekan Olahraga Nasional adalahsebagai berikut.Tabel 3.4No.KontingenEmasPerakPerunggu1.Jawa Timur18762.Jawa Barat5973.DKI Jakarta5484.Lampung4535.DI Yogyakarta232a.Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A.b.Berapa banyak baris dan kolom pada matriks A?c.Sebutkan elemen-elemen pada baris keempat.d.Sebutkan elemen-elemen pada kolom pertama.e.Sebutkan elemen pada baris kedua kolom ketiga.f.Sebutkan elemen pada baris kelima kolom pertama.2.Diketahui matriks B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<327313624732.
72Mmt Aplikasi SMA 3 IPSa.Tentukan ordo matriks B.b.Tentukan elemen baris kedua kolom keempat.c.Tentukan elemen baris ketiga kolom ketiga.d.Tentukan transpose matriks B.3.Tulislah koefisien dan konstanta sistem persamaan linear dua variabel berikut dalambentuk matriks lengkap, dengan ordo 2 × 3.a. 3x + 2y = 4c. 3x + 4y = 2 5x – 2y = 22y – 4x = 6b. 2x – y = 6d. 4x = 0x + 5y = 7 3y = 94.Matriks A = (aij) ditentukan oleh A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<141235.a.Tentukan ordo matriks A.b.Hitunglah nilai a22 + a32, a11 – a31, dan a22 + a12.c.Jika k = a21, tentukan nilai k – k2 + 6.d.Tentukan transpose matriks A.5.Diketahui matriks B = (bij) ditentukan oleh B = uv3124<£¤²¥¦ ́.Tentukan nilai u dan v jikaa.3b11 = 6b23 dan 2b22 = 4b21;b.2b11 – 4b22 = 6 dan b22 = b13.B. Kesamaan Dua MatriksAmatilah matriks-matriks A, B, dan C berikut ini.A = 2103410123102, , dan =£¤²¥¦ ́=+£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́BC.Apa yang dapat kalian katakan tentang matriks-matriks tersebut?Apakah matriks A = B? Apakah A = C? Mengapa?Dari ketiga matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = matriks Bkarena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama,sedangkan matriks A tidak sama dengan matriks C karena meskipunordonya sama, tetapi elemen-elemen yang seletak nilainya tidak sama.Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika keduamatriks itu ordonya sama dan elemen-elemen yang seletakbernilai sama.{{{{
73MatriksDiketahui matriks A = ac20£¤²¥¦ ́ dan B = 1302ba£¤²¥¦ ́ adalah dua matriks yang sama. Tentukannilai a, b, dan c.Penyelesaian:Diketahui A = B, berarti ac20£¤²¥¦ ́ = 1302ba£¤²¥¦ ́.Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, diperoleha = 1 2 = 3bb = 320 = 0 c = 2ac = 2 × 1 = 2.Oleh karena itu, diperoleh a = 1, b = 32, dan c = 2.Contoh:1.Tentukan nilai x dan y jika diketahui persamaan matriks berikut.a.22412xy£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́e.xyy<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́612613b.35745xyyx<<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́f.xxyxy yy+<£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́3842c.1097232410269xyxyxyxy<<++£¤²¥¦ ́=<+++£¤²¥¦ ́g.2352634395 2612 3xy<<£¤²²²¥¦ ́ ́ ́=<<<£¤²¥¦ ́d.6314624<+£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́xyxyxh.272417224<<£¤²²¥¦ ́ ́=<£¤²²¥¦ ́ ́xyy22.Tentukan nilai a, b, dan c jika diketahui persamaan matriks berikut.a.572bcaacac£¤²¥¦ ́=+<<£¤²¥¦ ́c.203102acba£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́b.abcacbc<+<£¤²¥¦ ́=++£¤²¥¦ ́247 125Uji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugas
74Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Tentukan nilai a dan b jika matriks P = Qt.a.P = 24<<£¤²¥¦ ́32 dan Q = 2<£¤²¥¦ ́32abb.P = ́ ́¦¥²²¤£4236 dan Q = 3224abb+£¤²¥¦ ́c.P = <<<+£¤²²¥¦ ́ ́aab2143 624 dan Q = <<<£¤²²¥¦ ́ ́322235164bC. Operasi pada Matriks dan Sifat-SifatnyaSeperti halnya pada bilangan, matriks juga dapat dioperasikan.Misalnya, dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dengan skalar, dandikalikan dengan matriks dengan aturan tertentu. Namun, matrikstidak dapat dibagi dengan matriks lain.1. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksJumlah matriks A dan B, ditulis A + B adalah suatu matriksbaru C yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkanelemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Dengandemikian, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkanadalah ordo matriks-matriks itu harus sama.Tes MandiriKerjakan di buku tugasDiketahui:ABbC=<=<=<<£¤¥¦£¤¥¦£¤¥¦11110103243,,Jika C adalah inversdari (3A + B) maka nilaib sama dengan ....a. 3d. 6b. 4e. 7c. 5Soal SPMB, 2003Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<032421, B = ́ ́¦¥²²¤£<<<315042, C = abcd£¤²¥¦ ́, dan D = 2033ad£¤²¥¦ ́.Tentukan a.A + B; b.B + C; c.C + D.Penyelesaian:a.A + B= ́ ́¦¥²²¤£<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<315042032421= ́ ́¦¥²²¤£+<+++<+<<+30)1(35204)4(2)2(1 = ́ ́¦¥²²¤£<<327461
75Matriksb.B + C = <<<£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́240513abcd, tidak dapat dijumlahkan karena ordonyatidak sama.c.C + D= abcdad£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́2033= aabcdd++++£¤²¥¦ ́2033= 334abcd+£¤²¥¦ ́Bagaimana dengan pengurangan terhadap matriks?Pengurangan matriks dapat dikerjakan dengan menggunakansifat seperti pada pengurangan bilangan real, yaitu jika a dan bdua bilangan real maka a – b = a + (–b). Oleh karena itu, untukdua matriks A dan B, berlakuA – B = A + (–B)dengan –B adalah lawan matriks B. Syarat pengurangan matriksadalah ordo kedua matriks itu harus sama.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£57310 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<<3321. Tentukan A – B.Penyelesaian:A – B = A + (–B) = ́ ́¦¥²²¤£57310 + ́ ́¦¥²²¤£<<3321 = ́ ́¦¥²²¤£841112.Carilah matriks X jika 25411342£¤²¥¦ ́+=£¤²¥¦ ́X.Penyelesaian:X = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£102114522431Contoh:
76Mmt Aplikasi SMA 3 IPS2. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan MatriksUntuk mendapatkan sifat-sifat penjumlahan matriks,lakukan kegiatan berikut.KegiatanKerjakan di buku tugasTujuan:Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan danpengurangan matriks.Permasalahan:Sifat apakah yang berlaku pada operasi penjumlahan danpengurangan matriks?Langkah-Langkah:Kerjakan persoalan-persoalan berikut.1.Diketahui matriks A = ́ ́¦¥²²¤£4321, B = ́ ́¦¥²²¤£7654, danC = ́ ́¦¥²²¤£<2513.Selidiki hasil penjumlahan berikut ini, kemudian simpulkan.a.A + Bb.B + Ac.(A + B) + Cd.A + (B + C)2.Diketahui O = ́ ́¦¥²²¤£0000 dan P = ́ ́¦¥²²¤£<5223.Apakah O + P = P + O?3.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<1475 dan –A = ́ ́¦¥²²¤£<<1475.Tentukana.A + (–A);b.–A + A;c.Apakah A + (–A) = – A + A?Kesimpulan:Dari soal 1, 2, dan 3 kalian akan memperoleh sifat-sifatpenjumlahan dan pengurangan matriks.Jika melakukan kegiatan di atas dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat-sifat berikut.
77MatriksJika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berordo sama,pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut:a.komutatif sehingga A + B = B + A;b.asosiatif sehingga (A + B) + C = A + (B + C);c.unsur identitasnya O sehingga A + O = O + A = A;d.invers penjumlahan A adalah –A sehinggaA + (–A) = –A + A = O.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugasSifat-sifat di atas dapat kalian buktikan dengan mudah.Coba kalian buktikan sifat-sifat di atas dengan mengambilmatriks A = (aij), B = (bij), C = (cij), dan O = (oij), untuk oij = 0.Ingat matriksA = aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMMLM£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ dapat ditulis A = (aij);i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., nApakah pada pengurangan matriks berlaku sifat komutatif dansifat asosiatif? Adakah unsur identitasnya? Coba kalian selidikidengan mengambil beberapa matriks yang dapat dijumlahkan ataudikurangkan. Kemukakan hasilnya.Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<2312, B = ́ ́¦¥²²¤£<2245, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<6223.Tentukan hasil operasi berikut.a.A + Bd.(A – B) + (B – C)b.A + C – Be.C – B – Ac.A – (B + C)f.– B – C – (A + B)2.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£1432, Q = ́ ́¦¥²²¤£<1344, dan R = ́ ́¦¥²²¤£3652.Tentukan hasil operasi berikut.a.P + Qtd.(R – P) – Qtb.Rt– P + Qe.(P + R) – (Q + Qt)c.Pt + (Qt – R)f.(P – Pt) + (R – Rt)3.Diketahui U=<<£¤²¥¦ ́423175 dan V=<<<<£¤²¥¦ ́125684.
78Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTentukan hasil operasi berikut.a. (U + V)tc. (U – V)tb.Ut + Vtd.Ut – Vt4.Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.a. ́ ́¦¥²²¤£6123 + A = ́ ́¦¥²²¤£<<2214c. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<121436 – A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<012512b.A + ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<220142542135d. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<< ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<135413221221312142 = A5.Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut.a.<£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́1342352yxzzyb.3xzyzxxz<£¤²¥¦ ́+<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́11316.Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.a.6361771152bcaacacb£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́b.3423276251<£¤²²¥¦ ́ ́<<£¤²²¥¦ ́ ́=<<<£¤²²¥¦ ́ ́bacaccbaSoal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Tentukan nilai x, y, z, dan u yang memenuhi persamaan33336123xyzuxuyxyzuz£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́+++£¤²¥¦ ́.2.Diketahui A=<<<<<<£¤²²¥¦ ́ ́457213351046 danB=<<<<<<£¤²²¥¦ ́ ́310421231102.Tentukan matriks X jika (B – A)t = X + Bt.3. Perkalian Suatu Skalar dengan MatriksKita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real(skalar) secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian.Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut
79Matriksberlaku juga pada operasi matriks. Misalkan diketahui matriksA = ́ ́¦¥²²¤£<4152.Oleh karena itu, A + A = ́ ́¦¥²²¤£<82104 = 2 ́ ́¦¥²²¤£<4152 = 2A.Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan asli k adalahpenjumlahan berulang matriks A sebanyak k kali. Dengan katalain, pengertian ini dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilanganreal dan A matriks berordo m×n maka kA didefinisikan dengankaaaaaaaaakakakakakakakakakannmmmnnnmmmn111212122212111212122212..........................................£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<325231 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<143752.Tentukana.2A + 5B;b.3A – 2B.Penyelesaian:a.2A + 5B= 2 ́ ́¦¥²²¤£<+ ́ ́¦¥²²¤£<<1437525 325231= ́ ́¦¥²²¤£<+ ́ ́¦¥²²¤£<<520153525106410462= ́ ́¦¥²²¤£<112425391912b.3A – 2B= 3A + (–2B)= 31325232257341<<£¤²¥¦ ́+<<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́= ́ ́¦¥²²¤£<<<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<<286141049615693= ́ ́¦¥²²¤£<<<<<7298191
80Mmt Aplikasi SMA 3 IPS4. Sifat-Sifat Perkalian SkalarJika A dan B adalah matriks-matriks berordo m×n,sedangkan k1dan k2 adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut.a.k1(A + B) = k1A + k1Bb.(k1 + k2)A = k1A + k2Ac.k1(k2A) = (k1k2)AJika A matriks persegi maka berlakud.I×A = A×I = Ae.(–I)A = –AMatriks identitas I merupakan matriks persegi.Bukti:Pembuktian sifat-sifat di atas sangat mudah. Untuk itu, di siniakan dibuktikan sifat a saja. Selebihnya dapat kalian kerjakansebagai bahan latihan.Misalkan k1 skalar,AaaaaaaaaaBbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK, dank1 (A + B)= k1 aaaaaaaaabbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́³³³³³μμμμμ= k1 ab ababab aba baba babnnnnmmmmmnmn11111212112121222222112 2+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= ka bkabkabkabkabkabkabkabkabnnnnmmmmmnmn1111111212111121211222212211 1 1 221+()+()+()+()+()+()+()+()+()£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= kakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbnnnnmmmmmnmn1111111121121111121121122122121211 11 1 2 1211+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML
81Matriks= kakakakakakakakakakbkbkbkbkbkbkbkbkbnnmmmnnnmmmn111112111211221211 1 21111112111211221211 1 21KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ ́= kaaaaaaaaakbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn11112121222121111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́= k1A + k1B .................................................... (terbukti)Uji Kompetensi 4Kerjakan di buku tugas1.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£<<<121332. Tentukan hasil perkalian skalar berikut.a.3Pc.–2Ptb.–2Pd.5Pt2.Jika Q = ́ ́¦¥²²¤£<10864, tentukan hasil perkalian skalar berikut.a.4Qc.12(Q + Qt)b.–12Qtd.21(5(Q + Qt))3.Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.a.4X = ́ ́¦¥²²¤£<<412168c.1336912153X=<<<<£¤²²¥¦ ́ ́b.122421086<<£¤²¥¦ ́ = Xd. ́ ́¦¥²²¤£23152 = X4.Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.a.2At = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<4681042c.12462210 8<£¤²¥¦ ́ = Atb.3At= ́ ́¦¥²²¤£<<9123636d.1333669 3<<£¤²¥¦ ́ = At
82Mmt Aplikasi SMA 3 IPS5.Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan berikut.a.52355abcd£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́c.12132<<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́dabccb.1211bacdad£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́d.216abcdcab£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́5. Perkalian AntarmatriksSuatu ketika Rini dan Nita membeli alat tulis di koperasisekolah. Rini membeli 3 buku tulis dan sebatang pensil,sedangkan Nita membeli 2 buku tulis dan 2 pensil. Harga sebuahbuku tulis adalah Rp1.000,00 dan harga satu pensil Rp500,00.Berapakah jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita?Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapatlangsung mengalikan jumlah barang yang dibeli dengan hargasatuan. Jumlah uang yang harus dibayar Rini adalah(3 × 1.000) + (1 × 500) = 3.500,sedangkan jumlah uang yang harus dibayar Nita adalah(2 × 1.000) + (2 × 500) = 3.000.Di samping itu, persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuktabel seperti terlihat berikut ini.Tabel 3.5Pembelian BarangBuku TulisPensilRini31Nita22Tabel 3.6Daftar Harga BarangNama BarangHarga SatuanBuku tulis1.000Pensil500Jika keperluan Rini kita tulis dalam bentuk matriks barisdan harga satuan barang dalam bentuk matriks kolom, jumlahuang yang harus dibayar Rini dapat dinyatakan sebagai perkalianmatriks berikut.(3 × 1.000) + (1 × 500) = (3 1) ́ ́¦¥²²¤£500 000.1 = 3.500Dengan cara yang sama, jumlah uang yang harus dibayarNita dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks.(2 × 1.000) + (2 × 500) = (2 2) ́ ́¦¥²²¤£500 000.1 = 3.000Hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara mengalikansetiap elemen matriks berordo 1 × 2 dengan matriks berordo2 × 1 yang hasilnya adalah matriks baru berordo 1 × 1. Untukmudah dalam mengingatnya, perhatikan bagan berikut.
83Matriks Ordo hasil kali(1 × 2)(2 × 1) = (1 × 1) samaJika matriks A = (a b) dikalikan dengan matriks B = pq£¤²¥¦ ́,hasilnya adalah A×B = (a b)pq£¤²¥¦ ́ = (ap + bq).Oleh karena itu, jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nitadapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks berikut.31221 0005003 5003 000£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=×+××+×£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́...(3 1.000) (1 500)(2 1.000) (2 500)Pada perkalian matriks di atas, matriks yang dikalikan (matriksyang terletak di sebelah kiri) berordo 2 × 2, matriks pengalinya(matriks yang terletak di sebelah kanan) berordo 2 × 1. Ordo hasil kali(2 × 2)(2 × 1) = (2 × 1) samaa.Perkalian Matriks Ordo mxq dengan Matriks OrdoqxnBerdasarkan uraian di atas, syarat agar dua matriks Adan B dapat dikalikan adalah banyak kolom matriks A harussama dengan banyak baris matriks B. Adapun caramengalikan kedua matriks itu adalah sebagai berikut.Jika A adalah matriks berordo m×q dan B adalah matriksberordo q×n, maka A×B adalah suatu matriks C = (cij)berordo m×n yang elemen-elemennya diperoleh daripenjumlahan hasil kali elemen-elemen pada baris ke-imatriks A dengan elemen-elemen pada kolom ke-j matriks Byang bersesuaian, dengan i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.Tes MandiriKerjakan di buku tugasPerkalian matriks121210xpx()£¤²¥¦ ́£¤¥¦=mempunyai akar positifx1 dan x2. Jika x1 = 4x2maka konstanta p =a. –6b. –4c. –2d. 4e. 6Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2006Tes MandiriKerjakan di buku tugasJikaab<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́325423271312maka a + b = ....a. 5d. 2b. 4e. 1c. 3Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2001
84Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui A = (2 3), B = ́ ́¦¥²²¤£<52, C = ́ ́¦¥²²¤£3641, dan D = ́ ́ ́¦¥²²²¤£570213. Tentukan hasil perkalianmatriks berikut.a.A×Bb.C×Dc.D×CPenyelesaian:a.A×B = (2 3) ́ ́¦¥²²¤£<52 = ((2 × (–2) + 3 × 5)) = (11)b.C×D = 1463312075£¤²¥¦ ́£¤²²¥¦ ́ ́ tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks Ctidak sama dengan banyak baris matriks D.c.D×C= 3120751463£¤²²¥¦ ́ ́£¤²¥¦ ́= (((327×+×× +××+ ×× + ××+×× +×£¤²²¥¦ ́ ́1) (1 6) (3 4) (1 3)1) (0 6) (2 4) (0 3)1) (5 6) (7 4) (5 3) = ́ ́ ́¦¥²²²¤£433782159b. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dariKananPada uraian sebelumnya, kita pelajari bahwa duamatriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriksA sama dengan banyak baris matriks B. Selanjutnya, jikaterdapat perkalian dua matriks A×B, dapat dikatakana.matriks B dikalikan dari kiri pada matriks A;b.matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<1342 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<2301.Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini.a.Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B.b.Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.
85Matriksc.Perkalian dengan Matriks Satuan dan SifatnyaPada pembahasan sebelumnya, dijelaskan bahwamatriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiapelemen diagonal utamanya 1. Jika suatu matriks dikalikandari kiri atau dari kanan dengan matriks satuan, hasilnyaadalah matriks itu sendiri. Oleh karena itu, perkalian suatumatriks A dengan matriks satuan memiliki sifatIA = AI = ADengan demikian, matriks satuan disebut juga matriksidentitas.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<3221. Tentukan AI dan IA. Bagaimana hasil perkalian itu?Penyelesaian:AI = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<<322110013221IA = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£322132211001Dengan memerhatikan hasil perkalian di atas, tampak bahwa AI = IA = A. Coba kalianselidiki, bagaimana jika A bukan matriks persegi? Apakah AI = IA = A? Mengapa?Penyelesaian:a.Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B, berartiB×A = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<1404213422301b.Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B, berartiA×B = ́ ́¦¥²²¤£<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<2081423011342Dari contoh tersebut, tampak bahwa AB&BA. Dari hasil tersebut dapat disimpulkanbahwa perkalian matriks (pada umumnya) tidak bersifat komutatif.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJikaA=<<£¤²¥¦ ́1 0 01danI=£¤²¥¦ ́1001makaA2 – 6A + 3I = ....a. –8Ad. 4Ab. –10Ae. 10Ac. 2ASoal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2006d.Perpangkatan Matriks PersegiSeperti halnya pada bilangan real, perpangkatan matrikspersegi A didefinisikan sebagai berikut.
86Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m,A2 = A×A,A3 = A×A×A = A2×A, dan seterusnya.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<3221. Tentukana.A2;b.2A2 – 3A.Penyelesaian:a.A2 = A×A = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<588332213221b.2A2 – 3A= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<32213 58832= ́ ́¦¥²²¤£<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<<96631016166 = ́ ́¦¥²²¤£<<110109Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A2×A = A×A2 = A3?Selidiki pula, apakah A3×A = A×A3 = A2 ×A2 = A4?Contoh:Misalkan diberikan matriks A berordo m×n, dengan m&n danm, n bilangan asli.Untuk Ak, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Me-ngapa?Berpikir KritisDiskusi6. Sifat-Sifat Perkalian MatriksUntuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikancontoh-contoh berikut.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£4301, B = ́ ́¦¥²²¤£<<3221, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<<1112.a.Tentukan A×B, B×C, dan A×C.b.Apakah A× (B×C) = (A×B) ×C?c.Apakah A× (B + C) = A×B + A×C?
87MatriksPenyelesaian:a.A×B= ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£652132214301B×C= ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<573411123221A ×C= ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£121211124301b.A× (B×C) = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£11163457344301(A×B) ×C = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<11163411126521Ternyata A×(B×C) = (A×B) ×C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif.c.A×(B + C)= μ³ ́ ́¦¥²²¤£<<+ ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£111232214301= ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<<< ́ ́¦¥²²¤£571121114301A×B + A×C= 12562121<<£¤²¥¦ ́+<<<£¤²¥¦ ́= <<<£¤²¥¦ ́1175Ternyata A× (B + C) = (A×B) + (A×C) berarti perkalian matriks bersifat distributifkanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalianmatriks juga bersifat distributif kiri, yaitu (A + B) ×C = (A×C) + (B×C).2.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£4754 dan O = ́ ́¦¥²²¤£0000.Tentukan OA dan AO.OA = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£000047540000AO = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£000000004754Dengan demikian, OA = AO = O.
88Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<0213 dan B = ́ ́¦¥²²¤£3124.Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini.a.(3A)Bb.3(AB)c.A(3B)Penyelesaian:a. (3A)B= ́ ́¦¥²²¤£μ³ ́ ́¦¥²²¤£<312402133= ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<122493331240639b. 3(AB)= 331204213<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́³μ= 311 38433924 12£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́c.A(3B)= μ³ ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<31243 0213= ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<1224933936120213Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa (3A)B = 3(AB) = A(3B). Apakah 3(AB) =(AB)3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasan kalian.Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasansebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapatdikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggotahimpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut:a.Tidak komutatif, yaitu A×B&B×Ab.Asosiatif, yaitu (A×B) ×C = A× (B×C)c.Distributif kanan, yaitu A× (B + C) = (A×B) + (A×C)d.Distributif kiri, (A + B) ×C = (A×C) + (B×C)e.Perkalian dengan skalar k, yaitu (kA) ×B = k(A×B).f.Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi,terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = Ag.Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.
89MatriksUji Kompetensi 5Kerjakan di buku tugasInvestigasiTugasKerjakan di buku tugasMisalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifatberikut?a.Jika AB = AC dan A bukan matriks nol maka B = C.b.Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol.Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B,C, dan D sehinggaa.AB = BC dan A bukan matriks, tetapi B&C.b.AD matriks nol, tetapi A dan D bukan matriks nol.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£0213, B = ́ ́¦¥²²¤£<1112, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<<102211.Tentukan hasil perkalian berikut.a.A×Bd.Ct×Ab.B×Ce.Ct×Bc.A×Cf.Ct×At2.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£<3112, Q = ́ ́¦¥²²¤£3120, dan R = ́ ́¦¥²²¤£1132.Tentukan hasil perkalian berikut.a.P× (Q×R)d.Qt×Rb.(Q×R) ×Pe.P×Qtc.(P + Q) × Rf.P×Qt×Rt3.Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut.a.211 5ab£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́46d.ab<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<<<£¤²¥¦ ́1321022431b.ab1028£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́519e.ab23142324142313£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́c.312426ab£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́4.Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut.a.12214231£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́Xb.<<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́34120220X
90Mmt Aplikasi SMA 3 IPS5.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£3112. Tentukan hasil operasi berikut.a.A2c.A2×Ab.A×A2d.A46.Diketahui A=<£¤²¥¦ ́1433 dan B = 1125<£¤²¥¦ ́. Tentukan hasil operasi berikut.a.(A + B)2c.(B – A)2b.A2 + 2AB + B2d.B2 – 2BA + A2Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Jika X = 3243<<£¤²¥¦ ́ dan I = 1001£¤²¥¦ ́.Tunjukkan bahwa X2 + 2X + I = 42121<<£¤²¥¦ ́. Selidiki apakah(X – I)2 = X2 – 2X + I.2.Diketahui matriks A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£112311321 dan B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£131222214.Tentukan hasil operasi berikut.a.A2d.(A – B) × (A + B)b.B2e.A× (B + Bt)c.A×Bf.At× (At+ Bt)Tes MandiriKerjakan di buku tugasJika matriksA = 1243£¤²¥¦ ́maka nilaix yang memenuhi per-samaan |A – xI| = 0dengan I matriks satu-an dan |A – xI| deter-minan dari A – xI ada-lah ....a. 1 dan –5b. –1 dan –5c. –1 dan 5d. –5 dan 0e. 1 dan 0Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2001D. Balikan atau Invers MatriksKalian tentu tahu bahwa balikan (invers) dari 2 adalah 2–1 atau12, invers dari 3 adalah 3–1 atau 13, dan seterusnya. Jika kalian cermati,2 × 2–1 = 1, 3 × 3–1 = 1, dan seterusnya. Angka 1 merupakan identitasterhadap perkalian. Operasi invers juga berlaku pada matriks.Sebelum lebih lanjut mempelajari tentang invers suatu matriks,terlebih dahulu coba kalian pelajari determinan. Untuk lebihmudahnya, determinan yang dipelajari adalah determinan matriksordo 2 × 2. Mengapa determinan harus dipelajari terlebih dahulu?Karena invers suatu matriks dapat ditentukan jika determinannyadiketahui dan determinan itu tidak sama dengan nol.
91Matriks1. Pengertian Determinan Matriks Ordo 2 x 2Misalkan terdapat matriks A = abcd£¤²¥¦ ́ yang berordo 2 × 2.Elemen a dan d pada matriks tersebut terletak pada diagonalutama (pertama), sedangkan b dan c terletak pada diagonalsamping (kedua). Determinan matriks A (disingkat ”det A”) yangberordo 2 × 2 diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-KetahuilahDeterminan suatu matriks ditulis denganmenggunakan garis lurus seperti pada rumusdi atas, bukan kurung atau kurung siku sepertihalnya pada penulisan matriks.Contoh:Tentukan determinan matriks-matriks berikut.a.A = ́ ́¦¥²²¤£3142b.B = ́ ́¦¥²²¤£4386Penyelesaian:a.det A = 3142 = (2 × 3) – (4 × 1) = 6 – 4 = 2b.det B = 4386 = (6 × 4) – (8 × 3) = 24 – 24 = 0elemen pada diagonal utama dengan hasil kalielemen-elemen pada diagonal kedua. Olehkarena itu, determinan matriks A adalahdet A = abcd = ad – bc2. Pengertian Dua Matriks Saling InversDua matriks dikatakan saling invers jika perkalian keduamatriks itu menghasilkan matriks identitas. Pengertian initertuang dalam definisi berikut.Matriks A disebut invers dari matriks B jikaA×B = B×A = I, dengan I adalah matriks identitas.Invers dari matriks B ditulis B–1, sedangkan invers matriksA dituliskan dengan A–1.Perhatikan bahwa pada umumnya perkalian matriks tidakbersifat komutatif, tetapi ada yang bersifat komutatif, yaituperkalian matriks persegi dengan inversnya dan perkalian matrikspersegi dengan matriks identitasnya.
92Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£2111 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<<1112.Selidiki apakah A dan B saling invers.Penyelesaian:Matriks A dan B saling invers jika berlaku A×B = B×A = I.A×B= 11122111£¤²¥¦ ́<<£¤²¥¦ ́ = 1001£¤²¥¦ ́ = IB×A= 21111112<<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́ = 1001£¤²¥¦ ́ = IKarena A×B = B×A = I, matriks A dan B saling invers.3. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2Misalkan matriks A = abcd£¤²¥¦ ́. Jika matriks A dikalikan darikiri dengan matriks dbca<<£¤²¥¦ ́, diperolehdbca<<£¤²¥¦ ́abcd£¤²¥¦ ́= ad bcad bc<<£¤²¥¦ ́00= (ad – bc)1001£¤²¥¦ ́Jika hasil perkalian ini dikalikan dengan1ad bc<, untukad – bc& 0, diperoleh1ad bc<()ad bc<£¤²¥¦ ́³μ=£¤²¥¦ ́10011001. Dengan demikian, jikaDengan mengingat definisi matriks persegi, invers suatu matriks,dan matriks identitas, serta sifat perkalian matriks, tunjukkanbahwaa.perkalian matriks persegi dengan inversnya bersifatkomutatif;b.perkalian matriks persegi dengan matriks identitasnyabersifat komutatif.Berpikir KritisDiskusiTes MandiriKerjakan di buku tugasDiberikan matriks A,dengan A = abba<£¤²¥¦ ́;a, b tidak keduanya nol.Jika At dan A–1 masing-masing menyatakantranspose dan inversdari A, dan At = A–1maka a dan b meme-nuhi ...a.a2 – b2 = 0b. –a2 + b2 = 0c.a2 –2b = 1d.a2 – b2 = 1e.a2 + b2 = 1Soal SPMB, Kemam-puan IPA, 2004
93Matriksmatriks A dikalikan dari kiri dengan matriks 1ad bc<dbca<<£¤²¥¦ ́,untuk ad – bc&0, diperoleh11001ad bcdbcaabcd<<<£¤²¥¦ ́³μ£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́ = I.Dengan cara yang sama, jika matriks A dikalikan dari kanandengan matriks 1ad bcdbca<<<£¤²¥¦ ́ untuk ad – bc& 0, diperolehabcdad bcdbca£¤²¥¦ ́<<<£¤²¥¦ ́³μ=£¤²¥¦ ́11001 = I.Berdasarkan pengertian invers suatu matriks, jika hasil kalidua matriks adalah matriks identitas maka matriks yang satumerupakan invers matriks yang lain. Dengan demikian, inversmatriks berordo 2 × 2 dapat dirumuskan sebagai berikut.Jika A = abcd£¤²¥¦ ́ dengan ad – bc& 0 maka invers matriks A,ditulis A–1 adalahA–1 = 1ad bcdbca<<<£¤²¥¦ ́³μ = 1det Adbca<<³μBerdasarkan pengertian di atas, matriks A mempunyaiinvers jika dan hanya jika det A& 0. Matriks semacam inidisebut matriks nonsingular. Adapun matriks yang nilaideterminannya nol disebut matriks singular.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJika A = 1325£¤²¥¦ ́ danA–1B = <£¤²¥¦ ́2 210makamatriks B adalah ....a.<£¤²¥¦ ́2 013b.134 0<£¤²¥¦ ́c.2413£¤²¥¦ ́d.23 04<£¤²¥¦ ́e.1023£¤²¥¦ ́Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2004Diketahui Q = ́ ́¦¥²²¤£2134. Tentukan Q–1.Penyelesaian:det Q = 4312 = (4 × 2) – (3 × 1) = 5 & 0. Berarti, Q mempunyai invers.Q–1 = 1det Q ́ ́¦¥²²¤£<<4132 = 1523143515<<£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́<<2545Contoh:Misalkan A dan Bmatriks persegi ber-ordo 2 × 2, apakahberlaku sifat:a. det (AB) = det A .det B?b. det (A + B) = detA + det B?DiskusiInvestigasi
94Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Pasangan matriks-matriks manakah yang saling invers?a. ́ ́¦¥²²¤£1225 dan ́ ́¦¥²²¤£<<5221c. ́ ́¦¥²²¤£5734 dan ́ ́¦¥²²¤£<<4735b. ́ ́¦¥²²¤£1427 dan ́ ́¦¥²²¤£<<7421d. ́ ́¦¥²²¤£2453 dan ́ ́¦¥²²¤£<<34522.Tentukan determinan matriks-matriks berikut.a. ́ ́¦¥²²¤£6375c. ́ ́¦¥²²¤£<<<4231e.xxxx22231+£¤²¥¦ ́b. ́ ́¦¥²²¤£<<8342d. ́ ́¦¥²²¤£<<<7248f.<£¤²¥¦ ́xx123.Manakah di antara matriks-matriks di bawah ini yang merupakan matriksnonsingular?a. ́ ́¦¥²²¤£<<64128c. ́ ́¦¥²²¤£25410b. ́ ́¦¥²²¤£91848d. ́ ́¦¥²²¤£<421684.Tentukan nilai a pada persamaan berikut.a.<<634a = 9d.<<<253a = – 13b.a587 = –12e.aaa<<3 = – 2c.234a= 23f.2132aa = – 155.Tentukan invers matriks berikut.a. ́ ́¦¥²²¤£<5112c. ́ ́¦¥²²¤£<<651916b.1213131<£¤²¥¦ ́d. ́ ́¦¥²²¤£<<5823Uji Kompetensi 6Kerjakan di buku tugas
95Matriks6.Diketahui A = 3457<<£¤²¥¦ ́ dan B = <<£¤²¥¦ ́9754.Tentukana.A–1B–1c. (AB)–1b.B–1A–1d. (BA)–17.Jika A = <<£¤²¥¦ ́7654, tentukan (A–1)–1.8.Jika A = <<£¤²¥¦ ́4253, tentukana.(At)–1b.(A–1)t4. Determinan dan Invers Matriks Ordo 3 ××××× 3(Pengayaan)Misalkan matriks A = aaaaaaaaa111213212223313233£¤²²¥¦ ́ ́.Determinan matriks A dapat ditentukan dengan menggunakanaturan Sarrus.det A = aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212331323311121321222331323322= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33Selain menggunakan aturan Sarrus, determinan matriks Ajuga dapat dicari menggunakan rumus berikut.det A = aaaaaaaaaaaaaaa112223323312212331331321223132<+dengan aaaa22233233 disebut minor elemen a11, aaaa21233133 disebutminor elemen a12, dan aaaa21223132 disebut minor elemen a13.–––+++
96Mmt Aplikasi SMA 3 IPSCoba kalian buktikan bahwa rumus yang kedua sama denganrumus yang pertama.Secara umum, jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolomke-j dari matriks A dihilangkan maka diperoleh submatriksberukuran 2 × 2. Determinan submatriks ini disebut minorelemen aij ditulis Mij, sedangkan (–1)1+jMij disebut kofaktorelemen aij ditulis Kij. Dengan menggunakan beberapa pengertiantersebut, rumus determinan matriks A sebagai berikut.det A = aKijijj=-13 dengan i = 1, 2, 3, ataudet A = aKijijj=-13 dengan j = 1, 2, 3.Coba kalian tuliskan rumus-rumus determinan matriks A tanpamenggunakan notasi sigma. Bukti rumus ini akan dipelajari dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.5. Rumus Invers Matriks Persegi Ordo 3 × 3Menggunakan AdjoinInvers matriks persegi berordo 3 × 3 dapat ditentukanmenggunakan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini, akan kitapergunakan dua cara, yaitu mengunakan adjoin dan transformasibaris elementer. Namun, kali ini kita hanya akan menggunakancara adjoin saja. Cara-cara menentukan invers berordo 3 × 3 dapatdiperluas untuk matriks yang ordonya 4 × 4, 5 × 5, 6 × 6, danseterusnya.Diberikan matriks A = aaaaaaaaa111213212223313233£¤²²¥¦ ́ ́. Untuk menentukaninvers matriks A dengan menggunakan adjoin, selain beberapapengertian yang sudah kalian pelajari sebelumnya ada pengertian yangharus kalian pahami, yaitu tentang kofaktor dari matriks A dan ad-join matriks A.Kofaktor dari matriks A dituliskof(A) = KKKKKKKKK111213212223313233£¤²²¥¦ ́ ́,sedangkan adjoin dari matriks A ditulis adj(A) adalah transpose darikof (A)
97Matriks[kof(A)]t= KKKKKKKKK112131122232132333£¤²²¥¦ ́ ́ = MMMMM MMMM112131122232132333<<<<£¤²²¥¦ ́ ́.Terlebih dahulu, kita tentukan nilai minor Mij.Dari matriks A = aaaaaaaaa111213212223313233£¤²²¥¦ ́ ́, diperolehM11 = aaaa22233233K11 = (–1)1+1M11 = M11 = aaaa22233233Dengan cara serupa, diperolehM12 = aaaa21233133K12 = (–1)1+2M12 = –M12 = – aaaa21233133M13 = aaaa21223132K13 = (–1)1+3M13 = M13 = aaaa21223132Coba, kalian tentukan K21, K22, K23, K31, K32, dan K33.Jika kalian telah menentukan kofaktor-kofaktor itu, diperolehadj(A) = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa222332331213323312132223212331331113313311132123212231321112313211122122<<<<£¤²²²²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ́Jadi, invers matriks A yang berordo 3 × 3, yaitu A–1 ditentukan denganrumusA–1 = 1det()AAadj Bukti rumus ini akan kalian pelajari di jenjang pendidikan yang lebihtinggi.
98Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui matriks A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£495262231. Tentukan berikut ini.a.det Ab.adj(A)c.A–1Penyelesaian:a.Cara 1:(Dengan menggunakan aturan Sarrus)det A=1× 6 × 4 + 3 × 2 × 5 + 2 × 2 × 9 – 5 × 6 × 2 – 9 × 2 × 1 – 4 × 3 × 2= 24 + 30 + 36 – 60 – 18 – 24= –12Cara 2:(Dengan cara minor-kofaktor untuk baris pertama)det A= 195622 4522 3 4926+<= 1(6) – 3(–2) + 2(–12)= – 12Cobalah dengan cara baris atau kolom yang lain. Apakah hasilnya sama?b.K11 = (–1)1+16182449264926=<==K12 = (–1)1+22)108(45224522=<<=<=K13 = (–1)1+312301895629562<=<==Coba kalian cari K21, K22, K23, K31, K32, dan K33.Jika sudah menentukan kofaktor-kofaktor itu, kalian akan memperoleh matrikskofaktor A.kof(A) = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<0266661226Karena adj(A) = [kof(A)]t maka diperoleh adj(A) = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<0612262666.
99Matriksc.A–1= 1det A adj(A)= –112 adj(A)= –112 ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<0612262666 = <<<<<£¤²²¥¦ ́ ́12121216121612106. Penyelesaian Persamaan Matriks yang Ber-bentuk AX = B dan XA = BMisalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo2 × 2, dengan matriks A dan B sudah diketahui elemen-elemennya. Matriks X yang memenuhi persamaan AX = B danXA = B dapat ditentukan jika A merupakan matriks nonsingular(det A& 0).Cara menyelesaikan persamaan matriks AX = B dan XA = Badalah sebagai berikut.Langkah 1: Tentukan invers matriks A, yaitu A–1.Langkah 2: Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan tersebutdengan A–1 dari kiri ke kanan.(Ingat: A–1A = AA–1 = I dan IX = XI = X).a.Untuk menyelesaikan persamaan AX = B, kalikan kedua ruaspersamaan itu dengan A–1 dari kiri sehingga diperolehA–1(AX) = A–1B (A–1A)X = A–1BIX = A–1BX = A–1Bb.Untuk menyelesaikan persamaan XA = B, kalikan kedua ruaspersamaan itu dengan A–1 dari kanan sehingga diperoleh (XA)A–1 = BA–1X(AA–1) = BA–1XI = BA–1X = BA–1Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa penyelesaianpersamaan AX = B dan XA = B, dapat ditentukan dengan rumusberikut.Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B.Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1.
100Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£2153 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<5273.Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.a.AX = Bb.XA = BPenyelesaian:Karena A = ́ ́¦¥²²¤£2153 maka det A = 2153 = 6 – 5 = 1.Oleh karena itu, A–1 = ́ ́¦¥²²¤£<<3152.a.Karena AX = B maka X = A–1B = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<<22339452733152.b.Karena XA = B maka X = BA–1 = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<2596131525273.Uji Kompetensi 7Kerjakan di buku tugas1.Tentukan determinan dan adjoin matriks-matriks berikut.a.A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<236134311c.C = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<131221341b.B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<213640534d.D = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<0011232322.Manakah yang merupakan matriks nonsingular?a.P = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<121600122411c.R = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<46261031427b.Q = ́ ́ ́¦¥²²²¤£1282641235d.S = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<213514112
101Matriks3.Tentukan nilai a yang memenuhi persamaan berikut.a.15403452a = –6c.23052010 3<a = 9b.24201211a< = 8d.<<<<12 434344a = 124.Tentukan invers matriks-matriks berikut.a.K = 352574016£¤²²¥¦ ́ ́c.M = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<111125121b.L = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<111234312d.N = ́ ́ ́¦¥²²²¤£4222233145.Tentukan matriks X jika diketahui persamaan berikut.a.432131<<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́Xc.X447327 2326£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́b.2423620201<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́Xd.X<£¤²¥¦ ́6345 = (12 36)E. Menyelesaikan Sistem Persamaan LinearDi awal bab ini, kalian telah dipancing dengan soal prasyarat,bagaimana cara menyajikan koefisien-koefisien sistem persamaanlinear ke dalam suatu tabel. Dari tabel itu, tentu kalian akan dapatmenyusun sebuah matriks yang berhubungan dengan koefisien-koefisien sistem persamaan linear. Sekarang, mari kita lanjutkandengan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan caramatriks.1. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear DuaVariabelSistem persamaan linear dua variabel dapat juga diselesaikanmenggunakan matriks. Misalkan terdapat sistem persamaan line-ar dengan variabel x dan y sebagai berikut.ax + by = pcx + dy = q.......................................................................... (1){
102Mmt Aplikasi SMA 3 IPSSistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentukmatriks berikut.abcdxypq£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́................................................................. (2)Persamaan (2) merupakan bentuk persamaan matriks AX = Bdengan elemen matriks A = abcd£¤²¥¦ ́, X = xy£¤²¥¦ ́, dan B = pq£¤²¥¦ ́.Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengalikan matriksA–1 dari kiri, seperti yang telah kita pelajari pada pembahasansebelumnya.A–1(AX) = A–1B(A–1A)X = A–1BIX = A–1BX = A–1BKarena A = abcd£¤²¥¦ ́ maka A–1 = 1ad bc<dbca<<£¤²¥¦ ́.Karena B = pq£¤²¥¦ ́, matriks X = xy£¤²¥¦ ́ dapat ditentukan denganrumusxy£¤²¥¦ ́ = 1ad bc<dbca<<£¤²¥¦ ́pq£¤²¥¦ ́Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut. 2x + y = 4 3x + 2y = 9Penyelesaian:Jika sistem persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matriks, diperoleh213249£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́xy.Persamaan matriks di atas dapat ditulis menjadi AX = B, dengan A = ́ ́¦¥²²¤£2312, X =xy£¤²¥¦ ́,dan B = ́ ́¦¥²²¤£94.{
103Matriksdet A = 2312 = 1 dan A–1 = 11 ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<<23122312.Oleh karena itu,X = A–1Bxy£¤²¥¦ ́ = ́ ́¦¥²²¤£<<2312 ́ ́¦¥²²¤£94 = ́ ́¦¥²²¤£<61Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–1, 6)}.{2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear TigaVariabel (Pengayaan)Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabelberikut.ax + by + cz = pdx + ey + fz = q ................................................................. (1)gx + hy + iz = rSistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentukmatriks, yaituabcde fgh i£¤²²¥¦ ́ ́xyz£¤²²¥¦ ́ ́ = pqr£¤²²¥¦ ́ ́ ........................................................ (2)Persamaan (2) merupakan bentuk persamaan matriks AX = B,denganA = abcde fgh i£¤²²¥¦ ́ ́, X = xyz£¤²²¥¦ ́ ́, dan B = pqr£¤²²¥¦ ́ ́ .............................. (3)Analog dengan pembahasan pada penyelesaian sistem persamaanlinear dua variabel, persamaan matriks tersebut dapat diselesaikandengan mengalikan A–1 dari kiri sebagai berikut.A–1(AX) = A–1B(A–1A)X = A–1BIX = A–1BX = A–1BDalam hal ini, karena A adalah matriks berordo 3 × 3 makaA–1 = 1det A adj(A).Oleh karena itu,X = 1det adj( )AA£¤¥¦B = 1det A adj(A)B
104Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.x + y + z = 4 –x + 2y – 3z = –1 2x – y + 2z = 2Penyelesaian:Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagaiberikut.11112 3212412<<<£¤²²¥¦ ́ ́£¤²²¥¦ ́ ́=<£¤²²¥¦ ́ ́xyzDari bentuk persamaan matriks tersebut, diperolehA = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<212321111, X = xyz£¤²²¥¦ ́ ́, dan B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<214.det A = 11112 3212<<< = (4 – 6 + 1) – (4 + 3 – 2) = – 6adj(A) = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<333204531 .... (Coba kalian buktikan)Oleh karena itu,X = ́ ́ ́¦¥²²²¤£< ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<<21433320453161xyz£¤²²¥¦ ́ ́=<<<<£¤²²¥¦ ́ ́163129 = ́ ́ ́¦¥²²²¤£23212Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah x = 12, y = 2, dan z = 32.{
105Matriks3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Lineardengan Metode Determinan (Pengayaan)Kalian telah mempelajari determinan matriks berordo 2 × 2dan 3 × 3. Sekarang kita akan menggunakan determinan untukmenyelesaikan sistem persamaan linear dua dan tiga variabel.Perhatikan sistem persamaan linear berikut.1. ax + by = p cx + dy = q2. a11x + a12 y + a13z = p a21 x + a22y + a23z = q a31x + a32y + a33z = rSistem persamaan linear dua variabel di atas dapat ditulis dalambentuk matriks AX = B, dengan A = abcd£¤²¥¦ ́, X = xy£¤²¥¦ ́, dan B = pq£¤²¥¦ ́.Untuk mendapatkan penyelesaiannya, terlebih dahulutentukan D,Dx, dan Dy, denganD = abcd adalah determinan dari matriks koefisien variabelx dan y.Dx = pbqd adalah determinan D, dengan elemen-elemen padakolom pertama diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q.Dy = apcq adalah determinan D, dengan elemen-elemen padakolom kedua diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Seorang anak membeli 4 buku tulis dan 3 pensil. Ia harusmembayar Rp19.500,00. Jika anak itu membeli 2 buku tulisdan 4 pensil maka anak itu harus membayar Rp16.000,00.Dengan menggunakan invers matriks, tentukan hargasebuah buku tulis dan harga sebuah pensil.2.Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranyajeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel,3 kg salak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00.Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apelharus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kgjeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayarRp36.500,00. Dengan menggunakan matriks, tentukanharga masing-masing buah per kg-nya.{{
106Mmt Aplikasi SMA 3 IPSSetelah D, Dx, dan Dyditentukan, nilai x dan y dapat diperolehdenganx = DDx dan y = DDyDengan cara yang sama, sistem persamaan linear tiga variabeldapat diselesaikan dengan cara berikut.D = aaaaaaaaa111213212223313233Dy = apaaqaara111321233133Dx= pa aqa ara a121322233233Dz = aa paa qaa r111221223132Nilai x, y, dan z diperoleh darix = DDx, y = DDy, dan z = DDz.Agar kalian dapat memahaminya, perhatikan contoh berikut.Dalam hal ini, diberikan contoh sistem persamaan linear tigavariabel. Jika kalian memahami contoh ini, tentunya kalian akanlebih mudah memahami penyelesaian sistem persamaan lineardua variabel dengan cara determinan.Contoh:Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan caradeterminan.x + y + 2z = 42x – y – 2z = –13x – 2y – z = 3Penyelesaian:Sistem persaman linear di atas dapat diubah dalam bentuk matriks berikut.11 221232113<<<<£¤²²¥¦ ́ ́£¤²²¥¦ ́ ́=<£¤²²¥¦ ́ ́4xyzDengan demikian, kita dapat menentukan D, Dx, Dy, dan Dz.{
107MatriksD = 11 2212321<<<< = (1 – 6 – 8) – (–6 – 2 + 4) = –9Dx = 412112321<<<<< = (4 – 6 + 4) – (–6 + 1 + 16) = –9Dy = 14 221233 1<<< = (1 – 24 + 12) – (– 6 – 8 – 6) = 9Dz = 11 4211323<<< = ( – 3 – 3 – 16) – (– 12 + 6 + 2) = –18Nilai x, y, dan z ditentukan denganx = DDx = <<99 = 1; y = DDy = 99< = –1; z = DDx = <<189 = 2Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x = 1, y = – 1, dan z = 2.Untuk melatih kalian agar menguasai materi ini, kerjakan Uji Kompetensi 8 nomor 1dan 2 dengan metode determinan.{{{{EksplorasiTugasKerjakan di buku tugas1.Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut.a.5x + 2y = 17x – y = – 10b.2x – y = 4x – 2y = 52.Tentukan nilai a + b + c jika {(a, b, c)} adalah himpunanpenyelesaian dari sistem persamaan berikut.a.x + y – 2z = 0x + 2y – z = 2x + y + 2z = 4b.x + y + z = 35x + y + 2z = – 13x + 2y + 3z = 8
108Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Dengan menggunakan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaanberikut.a.x – y = –3f.2x – 3y = 72x + 3y = 45x – 3y = –5b.x – 2y = –1g.6x + 2y = 43x + 2y = 135x + 3y = –6c.4x + 3y = 4h.–x + 3y = 73x + y = –22x – 4y = –4d.x + 6y = –1i.2x + 3y = 302x + 3y = –112x – 5y = –2e.–2x + 4y = 4j.3x – 2y = 7x – 3y = –64x – 3y = 52.Dengan menggunakan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaanlinear berikut.a.3x – y + z = 4d.5x + y + 3z = 9x + 2y – 3z = 7x – y – z = –12x + 3y + 2z = 5–2x + 3y + z = 2b.x – 2y – z = –3e.x + 6y – 4z = 152x + y + z = 2–3x + 2y –5z = –8x + y – 2z = –16x – 3y + 2z = 25c.3x – 4y + 2z = 26f.–x + 8y + 2z = 54–2x + 5y + z = –154x – y + 2z = –21x – 3y – 4z = –5x + 5y – 4z = 33.Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut.(Petunjuk: Gunakan pemisalan variabel yang sesuai)a.xy+ = 2xy< = 1b.2x + y= 213x – 2y= 214.Misalnya keliling suatu persegi panjang adalah 50 cm dan 5 kali panjangnyadikurangi 3 kali lebarnya sama dengan 45 cm. Buatlah sistem persamaan linearnya.Kemudian, dari sistem persamaan itu, tentukan panjang dan lebar persegi panjangitu dengan menggunakan matriks.5.Sepuluh tahun lalu umur seorang ayah sama dengan 4 kali umur anaknya. Misalkanjumlah 2 kali umur ayah dan 3 kali umur anaknya sekarang 140 tahun. Buatlahsistem persamaan linear kasus itu, kemudian tentukan umur ayah dan anak sekarangdengan menggunakan matriks.Uji Kompetensi 8Kerjakan di buku tugas{{{{{{{{{{{{{{{{{{
109MatriksRangkuman1.Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang dandisusun menurut aturan baris dan aturan kolom.2.Jika suatu matriks mempunyai m baris dan n kolom, matriks tersebut dikatakanmempunyai ordo m×n.3.Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan caramenukarkan setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matrikstransposenya.4.Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama, pada penjumlahan berlakuA – B = A + (–B).5.Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ordonya sama, pada penjumlahanmatriks berlakua.sifat komutatif, yaitu A + B = B + A;b.sifat asosiatif, yaitu (A + B) + C = A + (B + C);c.terdapat unsur identitas, yaitu matriks nol sehingga A + O = O + A = A;d.setiap matriks A mempunyai invers penjumlahan, yaitu –A sehinggaA + (–A) = –A + A = O.Pada pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif, tidak asosiatif, dan tidakterdapat unsur identitas.6.Jika A, B, dan C adalah tiga matriks yang dapat dijumlahkan atau dikalikan dan ksuatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut:a.tidak komutatif AB&BA;b.asosiatif, yaitu (A×B) ×C = A× (B×C);c.distributif kiri, yaitu A× (B + C) = (A×B) + (A×C);RefleksiCoba ingat kembali materi matriksyang baru saja kalian pelajari. Ternyatakalian menemukan cara yang mudahdalam penyusunan angka-angka dengancara yang ringkas. Menurut kalian, apakahmateri ini dapat diterapkan dalam praktiknyata? Berikan alasan kalian.Tiga orang A, B, dan C berbelanja gula, beras, dan telur secarabersamaan. A membeli 2 kg gula, 3 kg beras, dan 1 kg telur; Bmembeli 1 kg gula, 2 kg beras, dan 2 kg telur; sedangkan Cmembeli 3 kg gula, 1 kg beras, dan 1 kg telur. Uang yangdibayarkan A, B, dan C berturut-turut adalah Rp17.000,00,Rp18.500,00, dan Rp15.500,00. Buatlah sistem persamaanlinearnya, kemudian dengan menggunakan matriks, tentukanharga gula, beras, dan telur per kilogramnya.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas
110Mmt Aplikasi SMA 3 IPSI. Pilihlah jawaban yang tepat.Latihan Ulangan Harian IIIKerjakan di buku tugas1.Nilai x yang memenuhi persamaanmatriksxy xyxy<+<£¤²¥¦ ́+<+£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́21354594340 5094 60adalah ....a.– 25d.20b.– 20e.25c.102.Diketahui matriks A = xy11<£¤²¥¦ ́,B = 3210£¤²¥¦ ́, dan C = 1012<<£¤²¥¦ ́.Nilai x + y yang memenuhi persamaanAB – 2B = C adalah ....a.0d.8b.2e.10c.63.Jika A = ́ ́¦¥²²¤£3023 maka A2 – A = ....a. ́ ́¦¥²²¤£60106d. ́ ́¦¥²²¤£30123b. ́ ́¦¥²²¤£90129e. ́ ́¦¥²²¤£30126c. ́ ́¦¥²²¤£901094.Jika A = 2143<£¤²¥¦ ́ dan A2 = mA + nI,dengan I matriks identitas ordo 2 × 2,nilai m dan n berturut-turut adalah ....a.– 5 dan 10b.– 5 dan –10c.5 dan –10d.5 dan 10e.10 dan 5d.distributif kanan, yaitu (A + B) ×C = (A×C) + (B×C);e.perkalian dengan skalar k, yaitu (kA) ×B = k (A×B);f.jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas,yaitu I sehingga AI = IA = A;g.perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.7.Jika k bilangan bulat positif dan A matriks persegi,Ak = A×A×A× ... ×A (sebanyak k faktor).8.Matriks A saling invers dengan matriks B jika AB = BA = I, dengan I matriks identitas.9.Jika A = abcd£¤²¥¦ ́ maka invers matriks A adalahA–1 = 1adbc<dbca<<£¤²¥¦ ́ = 1det Adbca<<£¤²¥¦ ́; ad – bc & 0. Nilai ab – bc disebutdeterminan matriks A, disingkat dengan det A. Jika det A = 0, matriks A tidakmempunyai invers dan disebut matriks singular, sedangkan jika det A& 0, matriksA disebut matriks nonsingular.
111Matriks5.Diketahui persamaan matriks A = 2Bt,dengan A = abc423£¤²¥¦ ́ danB = 23217cb aab<++£¤²¥¦ ́. Nilai c = ....a.2d.8b.3e.10c.56.Jika 42326811631240311x<£¤²¥¦ ́+<<<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́ 2 maka nilai x = ...a.0d.14b.10e.25c.137.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£7654, B = ́ ́¦¥²²¤£7553, danC = ́ ́¦¥²²¤£6543.Jika det A + det B + n det C = –6, nilai n= ....a.– 2d.4b.– 4e.– 1c.28.Jika A = ́ ́¦¥²²¤£3121 dan B = ́ ́¦¥²²¤£2223 makaA–1B = ....a. ́ ́¦¥²²¤£1213d. ́ ́¦¥²²¤£3120b. ́ ́¦¥²²¤£<0125e. ́ ́¦¥²²¤£3115c. ́ ́¦¥²²¤£<10219.Jika A = 12113<<£¤²¥¦ ́ adalah invers darimatriks B = xxy++£¤²¥¦ ́4162, nilai y = ....a.– 1d.4b.– 2e.5c.310. Diketahui A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£765543201 danB = ́ ́ ́¦¥²²²¤£21651543601.Nilai n yang memenuhi persamaandet A – n det B = 30 adalah ....a.2d.– 4b.– 2e.23c.411. Matriks A yang memenuhi persamaan ́ ́¦¥²²¤£3572A = ́ ́¦¥²²¤£<<9783 adalah ....a. ́ ́¦¥²²¤£<<2132b. ́ ́¦¥²²¤£<<2132c. ́ ́¦¥²²¤£<<2213d. ́ ́¦¥²²¤£<<2321e. ́ ́¦¥²²¤£<3132
112Mmt Aplikasi SMA 3 IPS12. Invers dari matriks ́ ́ ́¦¥²²²¤£431341331 adalah ....a. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<<110111337b. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<101011337c. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<010111337d. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<110101337e. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<<10011133713. Diketahui persamaan linear yangdinyatakan dalam bentuk matriksberikut.234137<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́xyNilai y = ....a.26b.713c.713<d.726<e.1413<14. Jika xy£¤²¥¦ ́ penyelesaian dari persamaan<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́134256xy maka xy22£¤²¥¦ ́ =....a. ́ ́¦¥²²¤£12d. ́ ́¦¥²²¤£22b. ́ ́¦¥²²¤£14e. ́ ́¦¥²²¤£94c. ́ ́¦¥²²¤£2415. Jika X adalah penyelesaian dari persa-maan 11431 221 331211<<<£¤²²¥¦ ́ ́£¤²²¥¦ ́ ́=<£¤²²¥¦ ́ ́xyz makamatriks X = ....a. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<213d. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<213b. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<213e. ́ ́ ́¦¥²²²¤£213c. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<213
113Matriks1.Diketahui matriks A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<101210112.Tentukana.A2;b.det A.c.A2×110011101£¤²²¥¦ ́ ́d.1det AA2×333222111£¤²²¥¦ ́ ́2. Tentukan nilai x yang memenuhipersamaan det A = det B jikaA = 553+£¤²¥¦ ́xxx dan B = 974<£¤²¥¦ ́x.II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.3.Jika A = ́ ́¦¥²²¤£3121 dan B = ́ ́¦¥²²¤£2223,tentukana.A–1B;c.AB–1;b.BA–1;d.B–1A.4.Diketahui sistem persamaan linearbentuk matriks berikut.a.23425 2006 800£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́.xy.b.213254<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́abTentukan nilai x + 2y + 3a + 4b.5.Diketahui sistem persamaan linear dalambentuk matriks berikut.1111114217510<<£¤²²¥¦ ́ ́£¤²²¥¦ ́ ́=£¤²²¥¦ ́ ́xyzTentukan nilai x + y – 10z.
114Mmt Aplikasi SMA 3 IPSI. Pilihlah jawaban yang tepat.1. Jika f(x) = x(x + 1)2 maka fxdx()0 ada-lah ....a.41x4 + 32x3 + 21x2 + cb.31x3 + 21x2 + 21x + cc.41x4 + 32x3 + –21x2 + cd.41x4 + –32x3 + 21x2 + ce.41x5 + 32x3 + 21x2 + c2. Nilai dari 41203xxdx()<0 adalah ....a. 17d.75b. 27e.82c. 723. Luas daerah yang diarsir berikut iniadalah ....4. Hasil dari ()1<0xxdx adalah ....a.25532xxxc<+b.14255xxx c<+c.12123xxx c<+d.212xxx c<+e.3253252xxc<+5. Misalkan b > 0 memenuhi()23 121xdxb<=0. Nilai b = ....a. 3d. 6b. 4e. 7c. 56. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 –3x – 4, sumbu X, garis x = 2, dan x = 6adalah ....a.2056satuan luasb.1223 satuan luasc.513 satuan luasd. 20 satuan luase.713 satuan luas7. Gradien garis singgung grafik fungsi y =f(x) di setiap titik P(x, y) sama dengan duakali absis titik tersebut. Jika grafik melaluititik (0, 1) f(x) = ....a. –x2 + x – 1b. –x2c.x2 + 1d.x2 + x – 1e.x2Latihan Ulangan Umum Semester 1XYO2y = –x2 + 4x4a.623d.1023b.1123 e.1213c.1013Kerjakan di buku tugas
115Latihan Ulangan Umum Semester 18. Diketahui df xdxx()=3. Jika f(4) = 19maka f(1) = ....a. 2d. 5b. 3e. 6c. 49. Luas daerah tertutup yang dibatasi olehkurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Padainterval 0 )x) 5 sama dengan ....a. 30 satuan luas d.503 satuan luasb. 26 satuan luas e.143 satuan luasc.643 satuan luas10. Luas daerah tertutup yang dibatasi olehbusur parabola y = 4x2 dan y2 = 2x adalah....a.16d.12b.14e. 1c.1311. Himpunan penyelesaian dari sistempertidaksamaan2x + y) 40x + 2y) 40x* 0; y* 0terletak pada daerah berbentuk ....a. trapesiumd. segi empatb. persegi panjang e. segi limac. segitigaPada soal berikut, daerah himpunan penye-lesaian adalah daerah yang tidak diarsir.12. Himpunan penyelesaian sistem pertidak-samaan 3x + y) 6, 2x + 3y) 12,x* 0, y* 0 berbentuk bidang ....a. segitigad. persegi panjangb. jajargenjange. segi limac. segi empat13. Himpunan penyelesaian sistem pertidak-samaan linear 5x + y* 5, 3y + x* 3,x* 0, y* 0 adalah ....a.b.c.d.e.O5131(0, 5)(3, 0)(0, 1)(1, 0)YXO5131(0, 5)(3, 0)(1, 1)(1, 0)XYO3115YX(0, 3)(5, 0)(0, 1)(1, 0)O3115YX(0, 3)(5, 0)(1, 0)(0, 1)O5131YX(0, 5)(3, 0)(1, 0)(0, 1)
116Mmt Aplikasi SMA 3 IPS14. Daerah yang tidak diarsir pada gambarberikut menunjukkan himpunan penyele-saian dari sistem pertidaksamaan ....a. 2x + y) 8, 3x + 2y) 12, x* 0, y* 0b.x + 2y) 8, 3x + 2y) 12, x* 0, y* 0c.x + 2y) 8, 3x + 2y) 12, x* 0, y* 0d.x + 2y* 8, 3x + 2y* 12, x* 0, y* 0e. 2x + y) 8, 2x + 3y) 12, x* 0, y* 015.Nilai maksimum dari z = 4x + 3y, dengansyarat x + y) 30, 4x + y) 60, x* 0, y* 0adalah ....a.60d. 90b. 70e. 100c. 8016. Daerah yang tidak diarsir pada gambarberikut merupakan himpunan penyele-saian dari ....a.x – 2y* 80, 3x – 2y* 189,5x + 2y* 200, x* 0, y* 0b.x + 2y* 80, 3x + 2y* 180,5x + 2y* 200, x* 0, y* 0c.x + 2y* 0, 3x + 2y) 180,5x + 2y* 200, x* 0, y* 0d.x – 2y* 80, 3x + 2y* 180,5x + 2y* 200, x* 0, y* 0e.x – 2y* 80, 3x – 2y* 180,5x – 2y* 200, x* 0, y* 0O4846YX(0, 6)(0, 4)(8, 0)(4, 0)17. Seorang pemborong akan membangunjembatan dalam dua tipe. Dengan modalRp120.000.000,00 dia sanggup memba-ngun 35 jembatan. Biaya untuk memba-ngun jembatan tipe I Rp4.000,000,00 danjembatan tipe II Rp3.000.000,00.Keuntungan yang diperoleh darijembatan tipe I Rp300.000,00 dan tipe IIRp250.000,00 untuk setiap jembatan.Pemborong ingin mendapatkan keun-tungan maksimal. Model matematika daripermasalahan tersebut adalah ....a. Menentukan nilai maksimumz = 300.000x + 250.000yKendala: x + y) 35, 4x + 3y) 120,x, y* 0b. Menentukan nilai maksimumx = 300.000x + 250.000yKendala: x + y) 35, 3x + 4y) 120,x, y* 0c. Menentukan nilai maksimumz = 300.000,00x + 250.000yKendala: x + y* 35, 4x + 3y* 120,x, y* 0d. Menentukan nilai maksimumz = 300.000x + 250.000yKendala: x + y* 35, 3x + 4y* 120,x, y* 0e. Menentukan nilai maksimumz = 300.000x + 250.000yKendala: x + y* 35, 4x + 3y) 120,x, y* 018. Banyaknya jembatan tipe I dan tipe IIyang dibangun oleh pemborong pada soalnomor 11 agar diperoleh keuntunganmaksimum berturut-turut adalah ....a. 20 dan 15d. 10 dan 25b. 15 dan 20e. 30 dan 5c. 25 dan 1019. Keuntungan maksimum yang diperolehpada soal nomor 11 adalah ....a. Rp5.000.000,00b. Rp7.000.000,00c. Rp9.500.000,00d. Rp10.000.000,00e. Rp10.500.000,00O8040100YX906040(0, 100)(80, 0)(60, 0)(40, 0)(0, 40)(0, 90)
117Latihan Ulangan Umum Semester 120. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangunrumah tipe A dan tipe B. Untuk rumahtipe A diperlukan 100 m2 dan tipe Bdiperlukan 75 m2. Jumlah rumah yangdibangun paling banyak 125 unit.Keuntungan rumah tipe A adalahRp6.000.000,00/unit dan tipe B adalahRp4.000.000,00/unit. Keuntunganmaksimum yang dapat diperoleh daripenjualan rumah tersebut adalah ....a. Rp550.000.000,00b. Rp600.000.000,00c. Rp700.000.000,00d. Rp800.000.000,00e. Rp900.000.000,0021. Diketahui matriks A = xy11<£¤²¥¦ ́, danB = 3210£¤²¥¦ ́, dan C = 1012<<£¤²¥¦ ́.Nilai x + y yang memenuhi persamaanAB – 2B = C adalah .... (UMPTN 1998)a. 0d. 8b. 2e. 10c. 622. Jika 4023280272xyx+<£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́maka x + y = ....a.<154d.154b.<94e.214c.9423.A = ppqps<+£¤²¥¦ ́12, B = 10<£¤²¥¦ ́st,C = 1101<£¤²¥¦ ́. Jika A + B = C2maka q + 2t = ....a. –3d. 0b. –2e. 1c. –124. Jika A = 120314<³μ dan AT adalah trans-pose dari matriks A maka baris pertamadari ATA adalah .... (UMPTN 1997)a.10 1 12()b.10 112<()c.101 14<()d.101 12<()e.10112<<()25. Ditentukan matriksA = 326x£¤²¥¦ ́ dan B = x32321<<£¤²¥¦ ́.Jika A–1 = BT dengan BT transpose dari Bmaka nilai x = ....a. 2d. 5b. 3e. 6c. 426. Diketahui A = 553+£¤²¥¦ ́xxxdanB = 974<£¤²¥¦ ́x. Jika determinan A dandeterminan B sama maka harga x yangmemenuhi adalah ....a. 3 atau 4b. –3 atau 4c. 3 atau –4d. –4 atau 5e. 3 atau –527. Hasil kali matriks (BA)(B + A–1)B–1 = ....a.AB + Ib.BA + Ic.A + B–1d.A–1 + Be.AB + A
118Mmt Aplikasi SMA 3 IPS28. Persamaan matriks:234551<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́xymerupakan persama-an dua garis lurus yang berpotongan dititik yang jumah absis dan ordinatnyasama dengan ....a. 0d. 4b. 2e. 5c. 329. Hasil kali matriksA×<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́530610 303527.Matriks A adalah .... (UM-UGM 2004)a.<<£¤²¥¦ ́1147d.7214<£¤²¥¦ ́b.<<£¤²¥¦ ́2471e.7241<£¤²¥¦ ́c.4271<<£¤²¥¦ ́30. Transpose dari matriks P adalah PT. Jikamatriks A = 3712£¤²¥¦ ́, B = 41(), danC = xy£¤²¥¦ ́ memenuhi A – BT = C makax + y = .... (SPMB 2004)a. –2d. 1b. –1e. 2c. 0II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Tentukan hasil integral-integral berikut.a.()233xdx<0b.(())12 123<+0xdx2. Diketahui persamaan parabola y = 4x – x2dan garis y = 2x – 3.a. Gambarkan sketsa parabola dan garistersebut.b. Tentukan koordinat titik potong pa-rabola dan garis.c. Nyatakan luas daerah yang dibatasiparabola dan garis dengan integraltentu.d. Hitunglah luas tersebut.3. Andaikan A adalah daerah yang dibatasioleh kurva y = –x + 3x, dan sumbu X.a. Gambarkan sketsa dari A dan Btersebut;b. Tentukan luas A.4. Seorang pemilik toko sepatu inginmengisi tokonya dengan sepatu jenis Asekurang-kurangnya 100 pasang dan jenissepatu B sekurang-kurangnya 150pasang. Toko tersebut dapat memuat 400pasang sepatu. Keuntungan yangdiperoleh per pasang sepatu jenis A adalahRp10.000,00 dan Rp5.000,00 untuk jenisB. Jika banyak sepatu jenis A tidak bolehmelebihi 150 pasangan, tentukankeuntungan terbesar yang dapat diperolehtoko tersebut.5. Diketahui:B = xy xxy+<<£¤²¥¦ ́1; C = 1232<<£¤²¥¦ ́xydan matriks A merupakan transposematriks B. Jika A = C, tentukan nilaix – 2xy + y.