Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:1.Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.Mendeskripsikan dan menerapkan berbagaiaturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya.3.Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata.4.Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan.5.Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan-alasannya.6.Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Berdiskusi,bertanyadalammenemukankonsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan.• Berkolaborasimemecahkanmasalahautentikdengan pola interaksi edukatif..• Berpikirtingkattinggidalammenyelidiki,memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik.ATURAN PENCACAHAN• Pencacahan• Permutasi• Kombinasi• Kejadian• RuangSampel• TitikSampel• PeluangBab8
Kompetensi DasarPengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:7.Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya. 8. Mengidentifikasimasalahnyatadanmenerapkanaturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut.9. Mengidentifikasi,menyajikanmodelmatematikadan menentukan Peluang dan harapan suatu kejadian dari masalah kontektual.Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Berdiskusi,bertanyadalammenemukankonsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan.• Berkolaborasimemecahkanmasalahautentikdengan pola interaksi edukatif..• Berpikirtingkattinggidalammenyelidiki,memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik.
35MatematikaB.PETA KONSEPMasalahOtentikdapat dihitung melaluidihitung menggunakanAturanPerkalianPermutasiTitikSampelRuang SampelKombinasiTeorema BinomalPeluangKaidah PencacahanUnsur Peluang
36Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1.Menemukan Konsep Pencacahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi)a. Aturan PerkalianSetiap orang pasti pernah dihadapkan dalam permasalahan memilih atau mengambil keputusan. Misalnya: setelah tamat sekolah akan memilih program studi dan di perguruan tinggi yang mana? Ketika berangkat ke sekolah memilih jalur yang mana. Dalam matematika kita dibantu untuk menentukan banyak pilihan yang akan diambil. Untuk lebih memahami cermati masalah dan kegiatan berikut.Masalah-8.1Beni,seorangsiswaJurusanIPAlulusandariSMANegeri1TarutungTahun2013inginmenjadimahasiswadisalahsatuperguruantingginegeri(PTN)yangadadipulauSumaterapadaTahun2013.AyahBenimenyetujuicita-citaBeniasalkankuliahdiMedan.DiMedanterdapatPTNdanjugamemilikijurusanyangdigemaridanyangdipiliholehBeni,yaituBiologiatauPendidikanBiologi.PanitiaSNMPTNmemberikankesempatankepadacalonmahasiswauntukmemilihmaksimumtigajurusandiPTNyangadadiIndonesia.BantulahBeniuntukmengetahuisemuakemungkinanpilihanpadasaatmengikutiSNMPTNTahun2013?Alternatif PenyelesaianUntuk mengetahui semua pilihan yang mungkin, kita harus mengetahui apakah semua PTN di Medan memiliki Jurusan Biologi atau Jurusan Pendidikan Biologi. Ternyata, hanya USU dan Unimed saja yang memiliki pilihan Beni tersebut. USU hanya memiliki Jurusan Biologi, tetapi Unimed memiliki Jurusan Biologi dan Jurusan Pendidikan Biologi. Sesuai aturan panitia SNMPTN, Beni diberi kesempatan memilih maksimal 3 dan minimal 1 jurusan.Mari kita uraikan pilihan-pilihan yang mungkin.Untuk 3 Pilihan1.Seandainya Beni memilih 3 pilihan tersebut di satu kota, maka pilihannya adalah:Pilihan 1: Biologi USUPilihan 2: Pend. Biologi UNIMEDPilihan 3: Biologi UNIMEDC.MATERI PEMBELAJARAN
37MatematikaUntuk 2 Pilihan1.Beni hanya boleh memilih 2 jurusan di UNIMED, yaitu:Pilihan 1: Pend. Biologi UNIMEDPilihan 2: Biologi UNIMED2.Beni juga memilih 1 jurusan di USU dan 1 di UNIMED, yaitu:Pilihan 1: Biologi USUPilihan 2: Pend. Biologi UNIMEDAtau Pilihan 1: Biologi USUPilihan 2: Biologi UNIMEDUntuk 1 Pilihan1. Beni boleh hanya memilih Biologi USU.2.Beni boleh hanya memilih Pend. Biologi UNIMED3.Beni boleh hanya memilih Biologi UNIMEDJadi, banyak cara memilih yang mungkin yang dimiliki Beni sebanyak 7 cara.• Menurut kamu, seandainya tidak ada strategi memilih jurusan, berapa cara yang dimiliki Beni?•Coba kamu pikirkan, bagaimana pola rumusan untuk menghitung banyak cara yang mungkin untuk Masalah 8.1.Pernahkah kamu mengikuti pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu?Mari kita cermati contoh berikut, sebagai masukan jika suatu saat kamu menjadi panitia pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu.Contoh 8.1Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?Alternatif PenyelesaianAda beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut.Ingat!!!!Ada strategi memilih jurusan.
38Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKi.Cara MendaftarMari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu:a.Jabatan ketua OSISUntuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara.b.Jabatan sekretaris OSISKarena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa.c.Jabatan bendahara OSISKarena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu kandidat.Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat untuk menjadi pengurus OSIS adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.iI.Cara DiagramUntuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut.Gambar8.1DiagramPohonPemilihanKetuaOSIS
39Matematika♦Misalnya, Abdul merupakan siswa kelas X, Beny dan Cindy dari Kelas XI. Berapa banyak cara memilih pengurus OSIS jika Bendahara OSIS merupakan siswa dari kelas XI.Biasanya di kota-kota besar terdapat banyak jalur alternatif menuju suatu tempat dan jalur ini diperlukan para pengendara untuk menghindari macet atau mengurangi lama waktu perjalanan. Contoh berikut mengajak kita mempelajari banyak cara memilih jalur dari suatu kota ke kota lain.Contoh 8.2Dari Kota A menuju Ibukota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar 8.1.Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?Gambar8.2JalurdariKotaAkeKotaDAlternatif Penyelesaian•Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota BDari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat dilalui, sedangkan dari kota B terdapat 3 jalur yang dapat dilalui menuju kota D.Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 4 × 3 = 12 cara.•Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota CTerdapat 3 jalur dari kota A menuju kota C dan 3 jalur dari kota C menuju kota D.Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 3 × 3 = 9 cara.Jadi banyak jalur yang dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 12 + 9 = 21 cara.
40Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK♦Seandainya ada satu jalur yang menghubungkan kota B dan kota C, berapa banyak jalur yang dapat dipilih dari kota A menuju kota D?Kegiatan 8.1Catatlah baju, celana, dan sepatumu berdasarkan warna, kemudian isilah dalam bentuk tabel berikut ini:Tabel 8.1 Tabel Daftar Warna PakaianBajuCelanaSepatuPutihHitamCoklatMerahAbu-abuHitamBiruCoklatPutih Salin dan lengkapi tabel di atas kemudian perhatikan data yang diperoleh dan cobalah menjawab pertanyaan berikut:1.Jika diasumsikan setiap warna dapat dipasangkan, berapa banyak kemungkinan warna baju dan warna celana yang dapat dipasangkan?2.Berapakah banyak kemungkinan pakaian lengkap yakni baju, celana, dan sepatu kamu yang dapat dipasangkan?Alternatif Penyelesaian1.Jika diasumsikan setiap warna pada baju, celana dan sepatu dapat dipasangkan maka dapat ditentukan kemungkinan pasangan yang dihasilkan; yakni:Banyak warna baju × banyak warna celana = Banyak pasangan warna baju dan celana.2.Banyak pemasangan baju, celana, dan sepatu untuk tabel di atas adalah:Banyak warna baju × Banyak warna celana × Banyak warna sepatu = Banyak kombinasi warna pakaian.Dalam dunia kerja seorang pemimpin atau karyawan juga pernah dihadapkan dengan bagaimana memilih cara untuk menyusun unsur atau memilih staff. Masalah berikut ini, mengajak kita untuk memahami bagaimana cara kerja pada suatu supermarket.
41MatematikaMasalah-8.2Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seribarang.Diainginmenyusunnomorseriyangdimulaidarinomor3000sampaidengan8000dantidakmemuatangkayangsama.Tentukanbanyaknomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Alternatif PenyelesaianMari kita uraikan permasalahan di atas. Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi:Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan. Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin (mengapa?). Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin (mengapa?).Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?). Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: 5765Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara.
42Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBerkaitan dengan Masalah 8.2, Hitunglah banyak cara menyusun nomor seri barang, jika angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 diperbolehkan berulang.Seandainya manager supermarket tersebut ingin menyusun nomor seri barang adalah bilangan-bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka. Berapa cara menyusun nomor seri tersebut.Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini.Aturan Perkalian :Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan:n1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusunn3 = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun :nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek- unsur sebelumnya tersusunMaka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:n1 × n2 ×n3 × ... × nk.♦Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini.Matematika merupakan bahasa simbol. Oleh karena itu, penulisan aturan perkalian di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan faktorial. Mari kita pelajari dengan teliti materi berikut. b. FaktorialPada pembahasan di atas kamu telah melakukan perkalian 3 × 2 × 1 = 6. Coba anda lakukan perkalian berikut:1) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...2) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...3) 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...
43MatematikaPerkalian-perkalian semua bilangan bulat positif berurut di atas dalam matematika disebut faktorial, yang biasa disimbolkan dengan "!"Maka perkalian tersebut dapat dituliskan ulang menjadi:1)3 × 2 × 1 = 3! 2)5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!3)7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7!4)9 × 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 9!Secara umum faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut:Definisi 8.1a) Jikan bilangan asli maka n! (dibaca “nfaktorial”)didefinisikandengan:( ) ( ) ( )n!=n× n-1 × n-2 × n-3 ×...×3×2×1atau( ) ( ) ( )n!=1×2×3×...× n-3 × n-2 × n-1 ×nb)0! = 1Contoh 8.31.Hitunglah:a. 7! + 4!b. 7! × 4!c.7!4!Alternatif Penyelesaiana. 7! + 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)= 5.040 + 24 = 5.064b.7! × 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)= 5.040 × 24 = 120.960c.7!4!7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1==210
44Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2.Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk faktorial.a.7 × 6b.(6!) × 7 × 8c.n × (n – 1) × (n – 3)Alternatif Penyelesaiana.7 × 6=7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 15 × 4 × 3 × 2 × 1=75!!Maka dapat dituliskan bahwa 7 × 6=7!5!.b.(6!) × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8!c.Kerjakan secara mandiri3.Diketahui ( ) ( )( )14.1 !.4 !4!5. !.5 !120nnnn−−=−, tentukanlah nilai n, dengan n bilangan asli.Alternatif Penyelesaian( ) ( )( )14.1 !.4 !4!5. !.5 !120nnnn−−=−⇔( ) ( )( ) ( ) ( )14.1 !.4 !4!5. .1 !.5 .4 ! 120nnnnnn−−=−−−⇔( )144!5. .5120nn=−⇔( )145!.5120nn=−⇔n2 – 5n –14 = 0∴n = 7.c. Permutasi1) Permutasi dengan Unsur yang BerbedaMasalah-8.3Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tigaangkadariangka1,2,3,dan4.Tentukanbanyakpilihannomorantriandibuat dari:a. Tigaangkapertama.b.Empat angka yang tersedia.
45MatematikaAlternatif Penyelesaiana.Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah:123132213231312321Terdapat 6 angka kupon antrian.b.Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah:123142231312341421124143234314342423132213243321412431134214241324413432Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.Mari kita cermati bagaimana menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan konsep faktorial.1.Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3 maka banyak susunan nomor antrian adalah:6321321131333=××=××==−()!!!!2.Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah:2443214321141443=×××=×××==−()!!!!Demikian selanjutnya jika diteruskan, banyak susunan k angka dari n angka yang disediakan yang dapat dibuat adalah:( )!!nnk− dengan n ≥ k.(*)Untuk menguji kebenaran pola rumusan (*), coba kita gunakan untuk memecahkan masalah berikut ini.
46Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-8.4SekolahSMAGenerasiEmas,setiaptahunmengadakanacarapentasseni.Biasanya8bulansebelumacaraakbar,parasiswamelakukanpemilihanuntukjabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkandiri;yakni,Ayu(A),Beni(B),Charli(C),Dayu(D),danEdo(E).Bagaimanakitamengetahuibanyakcaramemilihketuadansekretarisuntukacarapentassenisekolahtersebut?Alternatif PenyelesaianUntuk mengetahui banyak susunan pengurus dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:a)Dengan cara mendaftar:Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut:ABBACADAEAACBCCBDBEBADBDCDDCECAEBECEDEEDDari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.b)Dengan Aturan Perkalian Untuk masalah ini, akan dipilih 2 pengurus dari 5 kandidat yang ada. Dengan menggunakan pola rumusan (*) diperoleh:n = 5 dan k = 2 maka ( )( )!5!!5 2!nnk=−− = 20 caraDengan pembahasan Masalah 8.3 dan 8.4 ditemukan bahwa banyak susunan kunsur berbeda dari n unsur yang tersedia dan memperhatikan urutan susunannya dapat dirumuskan dengan nnk!!−(). Bentuk susunan ini dikenal dengan ”permutasi”.
47MatematikaDefinisi 8.2Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan nkP atau nkP serta P(n, k) dengan k≤n.•Banyakpermutasin unsur ditentukan dengan aturan( ) ()−−nnP =n× n 1 × n 2 ×L×3×2×1=n!• Banyakpermutasiunsurdarinunsuryangtersedia,dapatditentukandengan:( )nkn!P=n-k !Pada buku ini, penulisan permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia kita menggunakan: nkP. Sekarang cermati permutasi-permutasi di bawah ini: 1)()10110!10 9!1010 1 !9!P×===−2)()10910!10!10!10 9 !1!P== =−3)( )878!8!8!8 7 !1!P== =−4)()454445!45!45!45 44 !1!P== =−5)()100011000!1000 999!10001000 1 !999!P×===−6)()201420132014!2014!2014!2014 2013 !1!P===−7)()100010001000!1000!1000!1000 1000 !0!P===−Diperlukan strategi untuk menyelesaikan perkalian dengan faktorial.
48Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDari pembahasan permutasi-permutasi di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini.Sifat 8.1Diketahui( )nkn!P=n-k !, dengan n≥k.1) Jikan – k = 1, maka ( )nkn!P=n-k ! = n!.2) Jikak = 1, maka ( )nkn!P=n-k ! = n.3) Jikan – k = 0, maka ( )nkn!P=n-k ! = n!.Bukti:1)Diketahui ( )!!nknPnk=− , dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1. Akibatnya:( )!!nknPnk=−⇔( )()!!!!!1!1!nknnnPnnkkk=== =−+−∴( )!!nknPnk=−= n!.2)Diketehui k = 1 dan ( )!!nknPnk=−, dengan n ≥ k, maka:( )!!nknPnk=−⇔( )( )( )11!!1!1!nnnnPnnn×−===−−3)Kerjakan sebagai latihanmu.
49Matematika2) Permutasi dengan Unsur-Unsur yang SamaMasalah-8.5Berapabanyaksusunanyangdapatdibentukdari3hurufyangdiambildarihuruf-hurufpembentukkataAPA?Alternatif PenyelesaianTersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, huruf-huruf yang sama (huruf A) diberi label A1, dan A2. Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:A1PA2, A2PA1, A1A2P, A2A1P, PA1A2, PA2A1.Susunan-susunan tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila labelnya dihapuskan.Misalnya:Kelompok A1PA2 dan A2PA1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi A PA .Kelompok A1A2P, A2A1P , jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP. Kelompok PA1A2, PA2A1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA.Dalam tiap-tiap kelompok di atas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur A1 dan A2. Sedangkan A1 dan A2 menjadi unsur-unsur yang sama jika labelnya dihapuskan. Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut.32 ,13!2 !.1!P==3 susunan
50Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-8.6Pada sebuah upacara pembukaan turnamen olah raga disusun beberapa benderaklubyangikutbertanding.Terdapat3benderaberwarnaputih,2benderaberwarnabiru,dan1benderaberwarnamerah.Tentukanlahsusunanbendera yang ditampilkan pada acara upacara pembukaan tersebut!Alternatif PenyelesaianDengan analogi yang sama pada Masalah 8.5 diperoleh:Banyak unsur yang tersedia 6, sedangkan unsur yang sama adalah1.3 bendera berwarna putih 2.2 bendera berwarna biru dan 1warna merah. Oleh karena itu dapat diperoleh banyak permutasi dari 6 unsur yang memuat 3 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama adalah63, 2 ,16!3!.2!.1!P= susunanDari pembahasan Masalah 8.5 dan 8.6 , dapat kita rumuskan pola secara umum permutasi nunsur dengan melibatkan sebanyak k1, k2, k3, ..., kn unsur yang sama adalah sebagai berikut.Sifat 8.2Misalkan dari n unsur terdapat k1, k2, k3, ..., kn unsur yang sama dengan k1 + k2+ k3 + ...+ kn≤n.Banyakpermutasidari unsur tersebut adalah123,,,...,123!! ! !... !nnkkkknnPkkkk=Contoh 8.4Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K?
51MatematikaAlternatif PenyelesaianTersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K. Dari 13 unsur yang tersedia memuat 4 huruf I yang sama, 2 huruf K yang sama dan 2 huruf T yang sama. Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K adalah sebagai berikut:kK + kO + kG + kN + kI+ kT + kV + kS = 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 13.Jadi permutasi yang melibatkan unsur yang sama, dihitung dengan menggunakan Sifat 8.2, diperoleh:123!13!129.729.600 cara.!. !. !.... !2!.1!.1!.1!.4!.2!.1!.1!knkkkk==Sampai sejauh ini, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan susunan unsur baik yang melibatkan unsur yang sama atau tidak. Pernahkan kamu melihat susunan objek- unsur dalam suatu meja berputar? Bagaimana menentukan banyak cara menyusun unsur jika disusun melingkar? Berikut ini, kita akan pelajari permutasi siklis sebagai cara menentukan banyak cara menyusun unsur yang tersusun melingkar. c. Permutasi SiklisMasalah-8.7Beny(B),Edo(E),danLina(L)berencanamakanbersamadisebuahrestoran.Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka. Selang beberapa waktu Siti datang bergabung dengan mereka. Berapabanyakcarakeempatorangtersebutdudukmengelilingimejabundartersebut?Alternatif PenyelesaianMeskipun dalam keseharian kita tidak mempersoalkan urutan posisi duduk mengitari suatu meja, tidak ada salahnya kita menyelidiki posisi duduk Beny, Edo, Lina, dan Siti yang duduk mengitari meja bundar. Adapun posisi duduk yang mungkin keempat orang tersebut adalah sebagai berikut:
52Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK(f)BELSBLE(d)S(e)BELS(c)BELS(b)BELSBLE(a)SGambar 8.3 Susunan posisi tempat dudukTerdapat 6 cara posisi duduk keempat mengitari meja bundar tersebut.•Ternyata, pola (n – 1)! Akan menghasilkan banyak cara dengan banyak cara yang diperoleh dengan cara manual, yaitu (4 – 1)! = 3! = 6 cara.Coba temukan susunan posisi duduk Beny, Edo, dan Lina secara manual. Kemudian bandingkan dengan menggunakan pola (n – 1)!.Masalah-8.8SeorangdirektorbankswastayangberkantordiJakartaakanmelakukanrotasikepalacabangyangterdapatdi5kotabesar,yaituFahmi(Jakarta),Cintha(Surabaya),Trisnawati(Bandung),Novand(Medan),danRahmat(Padang).Diamemintastaffahlinyauntukmenyusunpilihan-pilihanyangmungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulahstaffahlitersebutuntukmenyusunpilihanrotasikepalacabangbank swasta tersebutAlternatif PenyelesaianMisalkan kelima kepala cabang tersebut duduk melingkar, seperti diilustrasikan pada gambar berikut ini.
53MatematikaPosisi kepala cabang sebelum rotasiFCTNRJSBMPFCTRNJSBMPPilihanrotasi1FRCTNJSBMPPilihanrotasi4FRCTNJSBMPPilihanrotasi5FCRTNJSBMPPilihanrotasi2FCRNTJSBMPPilihanrotasi3Gambar8.4Ilustrasirotasikepalacabangbankswasta♦Menurut kamu, ada berapakah pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut? Berikan penjelasanmu.Untuk menentukan banyak cara menyusun unsur dalam posisi melingkar, kita dapat menguji validitas pola (n – 1)!.•Jika terdapat 4 unsur, maka banyak susunan adalah (4 – 1)! = 3! = 6 cara.•Jika terdapat 3 unsur, maka banyak susunan adalah (3 – 1)! = 2! = 2 cara.•Jika terdapat 5 unsur, maka banyak susunan adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.Secara umum, jika terdapat n unsur yang disusun melingkar, maka banyak susunan unsur yang mungkin disebut permutasi siklis, dinyatakan dalam sifat berikut ini.
54Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 8.3Misalkandarinunsuryangberbedayangtersusunmelingkar.Banyakpermutasisiklis dari n unsur tersebut dinyatakan:( )−siklisP =n 1!♦Perhatikan kembali Masalah 8.8, karena alasan keluarga Fahmi dan Trisnawati hanya mau dirotasi jika mereka berdua ditempatkan di pulau yang sama. Berapa pilihan rotasi kepala cabang bank swasta yang mungkin? Kerjakan secara mandiri dan bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu.1.4 Kombinasi Cara menyusun unsur dengan memperhatikan urutan telah dikaji pada sub pokok bahasan permutasi. Selanjutnya, dalam percakapan sehari-hari kita mungkin pernah mengatakan “kombinasi warna pakaian kamu sangat tepat” atau tim sepakbola itu merupakan kombinasi pemain-pemain handal”. Apakah kamu memahami arti kombinasi dalam kalimat itu? Untuk menjawabnya, mari kita pelajari makna kombinasi melalui memecahkan masalah-masalah berikut ini.Masalah-8.9HasilseleksiPASKIBRAdiKabupatenBantultahun2012,panitiaharusmemilih3PASKIBRAsebagaipengibarbenderadari5PASKIBRAyangterlatih,yaituAbdul(A),Beny(B),Cyndi(C),Dayu(D),danEdo(E).3PASKIBRAyangdipilih dianggap memiliki kemampuan sama, sehingga tidak perhatikan lagi PASKIBRAyangmembawabenderaataupenggerekbendera.BerapabanyakpilihanPASKIBRAyangdimilikipanitiasebagaipengibarbendera?Alternatif PenyelesaianMari kita selesaikan masalah ini dengan cara manual, sambil memikirkan bagaimana pola rumusan untuk menyelesaikannya.Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai pengibar bendera adalah sebagai berikut:•Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi•Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu
55Matematika•Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo•Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu•Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo•Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo•Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu•Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo•Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo•Pilihan 10: Cyndi, Dayu, EdoTerdapat 10 pilihan PASKIBRA sebagai pengibar bendera.Dengan menggunakan faktorial, 10 cara yang ditemukan dapat dijabar sebagai berikut:10 = 53!3× atau ( ) ()543215!1021 3 21 2!.3!××××==× × ××(#)♦Seandainya terdapat 4 PASKIBRA, berapa banyak cara memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera? Coba kerja dengan cara manual, kemudian coba uji dengan menggunakan pola (#). Perlu kita cermati, bahwa susunan kali ini perlu digarisbawahi bahwa pilihan (Abdul, Badu, Cyndi) sama dengan pilihan (Abdul, Cyndi, Badu) atau (Badu, Abdul, Cyndi) atau (Badu, Cyndi, Abdul) atau (Cyndi, Abdul, Badu) atau (Cyndi, Badu, Abdul). ♦Jika pembawa bendera harus PASKIBRA perempuan, berapa banyak pilihan pengibar bendera yang mungkin? Coba kerjakan secara mandiri.Masalah-8.10Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda campuran. Berapabanyakpasanganyangdapatdipiliholehtimpelatih?
56Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianMari kita selesaikan masalah ini dengan menggunakan cara manual. Untuk memilih 1 pasangan ganda campuran berarti memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan memilih 1 atlit laki-laki dari 4 atlit laki-laki.Misalkan tiga atlit wanita kita beri inisial: AW1¬, AW2, AW3; dan4 atlit laki-laki kita beri inisial: AL1¬, AL2, AL3, AL4.Dengan menggunakan metode diagram, banyak pilihan 1 pasangan ganda campuran dinyatakan sebagai berikut:AW1AL1AL2AL3 AL4AW2AL1AL2AL3AL4 AW3AL1 AL2 AL3AL4Terdapat 12 pasangan ganda campuran yang dapat dipilih. Gambar85DiagrampohonpilihanpasangangandacampuranDengan menggunakan faktorial, mari kita mencoba menentukan jabarkan 12 cara dengan menerapakan pola (#).12 = 3 × 4 = 343!4!1!1!111!.2 !1!.3! ×××= ×
57MatematikaDari pembahasan Masalah 8.9 dan 8.10, memilih k unsur dari n unsur tanpa memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi. Kombinasi k unsur dari n unsur yang didefinisikan sebagai berikut.Definisi 8.3KombinasikunsurdarinunsurbiasadituliskannkC; nkC ; C(n, k) atau nrBanyakkombinasik unsur dari n unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan:( )nkn!C=n - k !.k!, dengan n≥k, n, k merupakan bilangan asli.Untuk keseragaman notasi, pada buku ini kita sepakati menggunakan simbol nkCuntuk menyatakan kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.Contoh 8.5Selidiki hubungan nkPdengan nkC.Alternatif PenyelesaianPada Definisi 8.2 ( )!!nknPnk=−. Sedangkan berdasarkan Definisi 8.3 ( )!!. !nknCnkk=−.Dari kedua definisi tersebut, dipereoleh hubungan:!nnkkPCk=.♦Secara hitungan matematis, hubungan nkP dengan nkC adalah !nnkkPCk= . Jelaskan arti hubungan tersebut secara deskriptif.Dari pembahasan komputasi dan Contoh 8.5 di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini.
58Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 8.4Diketahui( )nkn!C=n - k !.k!, dengan n≥k.1) Jikan– k = 1, maka ( )nkn!C=n - k !.k!= n.2) Jikak = 1, maka ( )nkn!C=n - k !.k!= n.3) Jikan = k, maka ( )nkn!C=n - k !.k! =1.4) Jika( )nkn!P=n-k !, maka nnkkPC=k! .Bukti:1)Diketahui ( )!!. !nknCnkk=−, dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1, maka:( )!!. !nknCnkk=− = ( )()( )( )1!1!1.1!. !1 !. !kkkknkkkk++×== +=+−2) Karena k = 1, dan ( )!!. !nknCnkk=−, dengan n ≥ k, maka:( )!!. !nknCnkk=−( )( )( ) ( )11!!.1!.1!1!.1!nnnnCnnn×−⇔===−−3)Kerjakan sebagai latihanmu.1.5 Binomial NewtonKamu telah mempelajari tentang kombinasi sebagai bagian dari aturan pencacahan. Dengan menggunakan konsep kombinasi dapat juga kita kembangkan pada bahasan binomial. Perhatikan perpangkatan berikut ini.
59Matematika( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )()0122232223 22311112112113 3 1ababababababaabbababababaabbaababb+=+=++=+ +=+++=+ +=+ ++=+++( ) ( )( )( )()433 22343223313 3 114 6 4 1ababababaababbaabababb+=+ +=+ +++=++ ++Bagaimana untuk penjabaran pada perpangkatan yang lebih tinggi? Untuk itu perhatikan langkah berikut. Dengan menggunakan sifat distribusi penjabaran dari (a + b)4 adalah:aaabababbbaababababa×()++++×()++++146411464143223354322344bbabababbaababababb++++++++++46411510105132234554322345Sehingga diperoleh (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5.Koefisien-koefisien penjabaran di atas jika disusun dalam bentuk diagram dapat menghasilkan gambar di bawah ini:11112113311464115101051DiagramdiatasdikenaldengansebutansegitigaPascal
60Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSekarang amati pola segitiga Pascal. Dengan menggunakan konsep kombinasi nrCdapat dikaitkan dengan pola segitiga Pascal di atas yakni: CCCCCCCCCCCCCC000111022203330444055512132312= == == == == = === =33danseterusnyasehingga dengan menggunakan konsep kombinasi maka dapat diperoleh pola segitiga Pascal yang baru, yakni:Dari uraian di atas maka penjabaran perpangkatan dapat kita tuliskan kembali dalam bentuk kombinasi yaituabCabCaCbabCaCabCbabC+()=+()=++()=+++()=00010111202212222300331322323334044143242234aCabCabCbabCaCabCabCab++++()=+++33443505515425323523454555++()=+++++CbabCaCabCabCabCabCb
61MatematikaDengan pola di atas, dikenal sebagai aturan Binomial Newton (ekspansi binomial) dan bentuk umum (a + b)n dituliskan sebagai berikut:Aturan Binomial NewtonabCaCabCabCbabCannnnnnnnnnnnrnn+()=+++++()=−−−−011111ataurrrrnb=∑0n,rmerupakan bilangan asli.Contoh 8.6Jabarkan bentuk binomial berikut ini:1.(2a – 5)3 =2.(a + b)5 =3.(3a + 2b)4 =4.52aa+=5.Diketahui binomial 1412aa+. Jabarkanlah 3 suku pertama dan dua suku terakhir.6.Tentukanlah koefisien dari pada bentuk binomial 1222aa+.Alternatif Penyelesaian1.Dari soal di atas diketahui a = 2a dan b = 5 maka252525252528303301321231233033aCaCaCaCaa−()=()+()+()+()=()113453225111252516601501252332+()+()+()−()=+++aaaaaa
62Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2.abCabCabCabCabCabC+()=+++++−−−−606601661126622366334664456aabCabaabababababa655666666514433241511615201561−−+=++++++006654433246661520156baabababababb=++++++3.Cermati ekpansi di bawah ini.3233340440144112442234433abCabCabCabCab+()=()+()+()+()+−−−CCabaabababab44444431221304181143634313()=()+()+()+()+()=−881481694318132454124322344322aabababbaababa+()+()+()+=+++bbb34+♦Sebagai latihan untuk mengasah kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal binomial newton, kerjakan secara mandiri soal nomor 4, 5, dan 6. Uji Kompetensi 8.11.Seorang staff ahli di suatu POLDA mendapat tugas untuk menyusun nomor pada plat kendaraan roda empat yang terdiri 3 angka dan 4 angka. Staff tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk plat yang terdiri dari 3 angka dan angka 0 sampai 9 untuk plat yang terdiri 4 angka. a)Berapa cara menyusun plat kendaraan yang terdiri dari 3 angka dan 4 angka? b)Jika nomor-nomor plat tersebut akan dilengkapi dengan seri yang terdiri dari dua huruf vokal. Berapa banyak susunan seri plat yang mungkin? 2.Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Rangkailah bilangan yang terdiri dari 5 angka yang berbeda dengan syarat:a)Bilangan ganjilb)Bilangan genap3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut.
63Matematika4.Tentukan nilai dari:89388641!!!!××5.Sederhanakanlah persamaan berikut:a. nn!!−()1b. nn+()2!!c. nn+()−()11!!6.Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?7.Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?8.Tentukan banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola voli yang terdiri dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak bisa bermain karena cedera!9.Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak?10.Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Hitunglah banyak cara memilih delegasi tersebut. 11.Seminar Matematika dihadiri oleh 20 orang. Pada saat bertemu mereka saling berjabat tangan satu dengan yang lain. Berapakah jabat tangan yang terjadi?12.Perhatikan gambar berikut.Jika suatu segitiga dibentuk dengan menggunakan 3 titik. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk.13.Tentukanlah banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf:a. MATEMATIKAc. TRIGONOMETRIb. PENDIDIKANd. MALAKA
64Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK11.Jabarkanlah bentuk binomial berikut ini:a. (2a + 3b)8c. 226ab+b. (4a + 2b)10d. 23138ab+ProjekRancang suatu permainan yang menggunakan konsep aturan pencacahan. Sebelum kamu susun laporan projek ini, terlebih dahulu lakukan simulasi sebagai uji validitas penggunaan konsep.2. PELUANGKamu sudah mempelajari konsep peluang pada Bab 12 Buku Matematika kelas X. Dengan pengalaman belajar itu, kita akan mengembangkan konsep peluang dengan memperhatikan banyak cara semua kejadian mungkin terjadi dan banyak cara suatu kejadian mungkin terjadi. Dengan demikian, pada sub bab ini, kita akan mendalami bagaimana menentukan banyak anggota ruang sampel kejadian dengan menggunakan konsep aturan pencacahan.Mari kita mulai sub bab ini dengan mengkaji ruang sampel suatu kejadian.2.1 Konsep Ruang SampelMasih ingatkah kamu konsep himpunan yang kamu pelajari di kelas VII SMP? Pada sub bab ini, kita ingin membangun konsep ruang sampel dengan menggunakan konsep aturan pencacahan melalui konsep himpunan bagian.Mari kita cermati pembahasan di bawah ini.Diberikan S = {p, r, s, t} n(S) = 4. Tentu kamu masih ingat bagaimana cara menentukan himpunan bagian dari S. Semua himpunan bagian S disajikan di tabel berikut ini.
65MatematikaTabel 8.2: Himpunan bagian S dengan tidak memperhatikan urutanHimpunan Bagian Beranggota43210Kejadian{p,r,s,t}{p,r,s},{p,r,t},{p,s,t}{r,s,t}{p,r}, {p,s}, {p,t}, {r,s},{r,t}, {s,t}{p}, {r}, {s}, {t}∅1614641Total2n44C43C42C41C40CPerhatikan angka-angka; 1, 4, 6, 4, 1 merupakan koefisien binomial untuk ekspansi (a + b)4, yang dapat ditentukan berturut-turut melalui 40C , 41C , 42C, 43C, dan 44C.Dari tabel di atas, dapat diartikan bahwa banyak kejadian munculnya 2 anggota himpunan bagian dari S adalah 42C = 6. Banyak semua himpunan bagian dari himpunan S = 24 = 16. Himpunan kuasa S adalah koleksi semua himpunan bagian S (Ingat kembali konsep himpunan kuasa seperti yang telah kamu pelajari pada kelas VII SMP). Jadi 16 adalah banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian S. Selanjutnya Tabel 8.2 akan berubah jika kita memperhatikan urutan anggota. Kondisi ini disajikan pada tabel berikut ini.Tabel 8.3: Himpunan bagian S dengan memperhatikan urutanHimpunan Bagian Beranggota43210Kejadian{p,r,s,t}, {p,r,t,s}, {p,s,r,t}, ...{p,r,s},{p,s,r},...{p,r,t}, {p,t,r}, ...{p,s,t}, {p,s,t},... {p,r},{r,p} {p,s},{s,p} {p,t},{t,p} {r,s},{s,r}{r,t},{t,r} {s,t},{t,s}{p}, {r}, {s}, {t}∅{r,s,t}, {r,t,s}, ...652424641Total44P43P42P41P40P
66Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPada kasus memperhatikan urutan anggota, konsep kombinasi yang digunakan pada Tabel 8.2 berubah menjadi konsep permutasi. Analog dengan kombinasi, banyak anggota kejadian munculnya himpunan bagian S beranggota dua (dengan memperhatikan urutan) adalah 42P= 12. Sedangkan 65 merupakan banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian dengan memperhatikan urutan anggotanya. Tentunya sudah punya gambaran tentang penerapan konsep permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak kejadian muncul pada suatu percobaan.Berikut ini seorang ibu memiliki kesempatan memilih, mari kita selidiki apakah masalah tersebut menggunakan konsep permutasi atau kombinasi.Masalah-8.11Pada suatu tempat penitipan anak berusia 3 – 6 tahun menyediakan makanan danminimumbergiziyangbervariasi.BuSity,karenaalasanjamkerjamemilihmenitipkananaknyaditempatpenitipanini.Darisemuavariasimakanandanminimum,BuSityharusmemilih2jenisbuahdari4jenisbuahyangdisediakan dan memilih 4 makanan dari 6 jenis makanan yang disediakan.BerapabanyakpilihanyangdimilikiolehBuSity?Diasumsikansetiapanakmakan juga harus makan buah.Alternatif PenyelesaianDiketahui:Tersedia 4 jenis buah dan akan dipilih 2 jenis buah.Tersedia 6 jenis makanan dan akan dipilih 4 jenis makanan.Setiap si anak makan harus makan bauh.Ditanya: Banyak pilihan jenis susu dan jenis makanan.Untuk kasus ini, misalnya Bu Sity memilih jenis buah 1 (b1) dan jenis buah 2 (b2) sama saja dengan memilih b2 dan b1. Demikian juga makanan, jika Bu Sity makanan 1 (m1) dan makanan 3 (m3) sama saja dengan memilih m3 dan m1(mengapa?). Dengan demikian kita menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan banyak pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity.
67MatematikaKarena setiap makan anak Bu Sity juga harus makan bauh, maka banyak kombinasi pilihan makanan dan minuman dinyatakan sebagai berikut:46246 15 90CC× =×= pilihan.♦Menurut kamu, apa alasannya mengapa kita menggunakan operasi perkalian? Mengapa bukan operasi penjumlahan? Berikan alasanmu serta berikan contoh yang menggunakan operasi penjumlahan. Contoh 8.7Bu Jein Mumu, seorang guru matematika di Ambon. Suatu ketika dia ingin memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap di atas rata-rata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika berbentuk essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumu hanya meminta si anak mengerjakan 10 soal, tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15. Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu? Alternatif PenyelesaianSiswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan kombinasi (beri alasannya), yaitu:()()12712!12 11 10 9 8 7!72912 7 !.7!5 4 3 2 17!C× × ×××===−×××× × cara.Contoh 8.8Toko perhiasan yang berlokasi pusat perbelanjaan menerima 5 jenis cincin keluaran terbaru, misalkan C1, C2, C3, C4, dan C5. Tidak lama setelah toko itu buka, 4 wanita berminat mencoba kelima cincin itu. Berapakah banyak cara pemasangan cincin tersebut? Alternatif PenyelesaianUntuk menyelesaikan ini, kita menggunakan aturan kaidah pencahahan. Semua kemungkinan pemasangan cincin dengan keempat wanita tersebut, diilustrasikan sebagai berikut:
68Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKW1C1C2C3C4C5W2 C1C2C3C4C5W3 C1C2C3C4C5W4 C1C2C3C4C510 cara10 caraGambar8.6DiagrampemasangancincinDengan menggunakan permutasi pemasangan cincin ditentukan sebagai berikut:( )( )54115!4!5 4 205 4 ! 4 1!PP× =×=×=−− cara. ♦Jelaskan mengapa perhitungan permutasi di atas menggunakan operasi perkalian!Seandainya setiap dua wanita pertama ingin membeli masing-masing 1 cincin. Banyak pilihan cincin untuk kedua wanita itu dihitung dengan permutasi, yaitu:54115 4 20PP× =×= cara (selidiki dengan menggambarkan skema pencacahan).Dari pembahasan kajian, masalah-masalah, dan contoh-contoh di atas perlu kita tarik kesimpulan penggunaan permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak susunan/cara dalam memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Kesimpulan itu dinyatakan dalam prinsip berikut ini.Prinsip-8.1Misalkan dipilih k unsur dari n unsur (secara acak) yang tersedia, dengan n≥k,i. Jikaadaurutandalampemilihankunsur,makamenentukanbanyakcarapemilihan ditentukan dengan nkP.ii. Jikatidakurutandalampemilihank unsur, maka menentukan banyak cara pemilihan ditentukan dengan nkC.
69MatematikaContoh 8.9Dalam sebuah kantong berisi 8 manik putih dan 5 manik merah. Dari kantong itu diambil 6 buah manik. Berapa banyak pilihan untuk mengambil manik-manik itu, jika 6 buah manik itu terdiri atas:a) 5 manik putih dan 1 manik merah?b) 4 manik merah dan 2 manik putih?Alternatif PenyelesaianObjek yang akan diambil dari kantong adalah objek yang tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian, menentukan banyak pilihan menggunakan konsep kombinasi, yaitu:a)85518!5!2803!.5! 4!.1!CC×= × = cara.b)85428!5!7004!.4! 2!.3!CC×= × = cara.2.2 Peluang Kejadian Majemuk Masih ingatkah kamu konsep peluang yang telah kamu pelajari pada kelas X SMA? Definisi 12.3 pada buku matematika kelas X menyatakan:( )( )( )nEPEnS=Pada kelas X, kamu sudah mempelajari bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk kejadian tunggal. Pada Sub bab 2.1 di atas, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk suatu kejadian majemuk. Sekarang kita akan mempelajari menentukan peluang suatu kejadian dengan kejadian yang dimaksud adalah kejadian majemuk.
70Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMari kita mulai sub bab ini, dengan memecahkan masalah berikut ini.Masalah-8.12Dalamsebuahkolamkecilterdapatsebanyak10ikanleledansebanyak5ikangurame.Denganmenggunakanjaringtangan,akandiambil12ikansecara acak. Hitunglah nilai peluangnya jika yang terambil itu adalah:a) 10 ikan lele dan 2 ikan gurame,b) 9 ikan lele dan 3 ikan gurame,c) 7 ikan lele dan 5 ikan gurame.Alternatif PenyelesaianJelas untuk kasus ini, banyak cara memilih 12 ikan dari 15 ikan yang ada dihitung dengan menggunakan kombinasi, yaitu: ()151215!15 14 13 12!4553!.12!3 2 1 .12!C×××===×× cara.Artinya banyak anggota ruang sampel memilih 12 ikan dari 15 ikan adalah 455. a)Banyak cara memilih 10 ikan lele dari 10 ikan lele dan memilih 2 ikan gurame dari 5 ikan gurame, dihitung menggunakan konsep kombinasi, yaitu:105102CC×= 1 × 10 = 10 cara.Artinya banyak kejadian terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah 10 cara.Jadi, peluang terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah:( )( )( )nEPEnS=⇔10245591=♦Bagian b) dan c) kerjakan sebagai latihanmu.
71MatematikaUji Kompetensi 8.21.Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah:a)Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut.b)Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama.c)Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya.d)Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling sedikit terambil 2.2.Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda. Tentukanlah:a)Banyak bilangan yang dapat dibentuk.b)Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000.c)Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima.d)Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750.e)Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari angka di posisi satuan.3.Tentukan banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:a)ATURANb)INDONESIAc)KURIKULUMd)STATISTIKA4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata PERMUTASI dengan selalu mengandung unsur kata TAMU.5.Sepuluh buku yaitu: 6 buku IPA, 2 buku IPS, dan 2 buku Bahasa akan disusun di atas meja. Tentukanlah:a)Banyak susunan jika disusun berjajar.b)Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.c)Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPA selalu berada di pinggir.
72Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd)Banyak susunan jika disusun secara siklis.e)Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.6. Bayu pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 5 pintu masuk/keluar maka tentukan banyak cara Bayu memilih masuk ke stadion dengan dan keluar melalui pintu yang berbeda.7.Dua orang pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 6 pintu masuk/keluar maka:a.Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda.b.Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk.8.Didalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang sama dan berbeda warna, yaitu 6 bola berwarna Merah, 4 bola berwarna Biru, dan 2 berwarna hijau. Jika, seorang anak mengambil 3 bola secara acak maka tentukan:a.Peluang pengambilan ketiga bola tersebutb.Peluang terambil 2 bola berwarna merahc.Peluang terambil ketiga bola berbeda warnad.Peluang terambil banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya.e.Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau.9.Di dalam kandang terdapat 40 ekor ayam, yaitu 18 ekor ayam jantan, 6 diantaranya berbulu tidak hitam dan 21 ekor ayam berwarna hitam. Ibu memilih 2 ekor ayam untuk dipotong, maka tentukanlah peluang bahwa ayam yang terpilih untuk dipotong adalah ayam betina berbulu tidak hitam.10.Siti menyusun bilangan ratusan dari angka 0, 1, 2, 3, dan 5. Siti menuliskan setiap bilangan di kertas dan menggulungnya dan mengumpulkannya di dalam sebuak kotak. Siti meminta Udin mengambil sebuah gulungan secara acak. Tentukanlah:a.Peluang yang terambil adalah bilangan 123.b.Peluang yang terambil adalah bilangan ganjilc.Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah bilangan prima.d.Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321
73Matematika11.Dua puluh lima titik disusun membentuk pola bilangan persegi (5 5), seperi gambarJika dibentuk segitiga dengan menghubungkan tiga titik maka tentukan banyak segitiga yang dapat dibentuk.12.Didalam kelas terdapat 10 siswa (6 pria dan 4 wanita) sebagai calon pengurus OSIS, yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan peluang terpilih kepengurusan dengan:a.Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak menduduki salah satu posisi.b.Ketua dan sekretaris harus priac.Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanitad.Ketua harus seorang pria.13.Tunjukkan bahwa 01 23...2nnnnnnnCCCCC+++++= dengan n bilangan bulat positif.14.Jika nkP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nkCadalah kombinasi k unsur dari n unsur maka 5322nnC++= maka tentukan nilai 35nnP−−15.Jika nkP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nkC adalah kombinasi k unsurdari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi 1233 2nnnnnnnnPPPC+−−− −−− =
74Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKD.PENUTUPBerdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep aturan pencacahan, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.1.Aturan pencacahan merupakan metode untuk menentukan banyak cara/susunan/pilihan pada saat memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Aturan pencacahan ini meliputi perkalian berurut (faktorial), permutasi, dan kombinasi.2.Faktorial dinyatakan dengan n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1.3.Permutasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dalam satu urutan. Terdapat tiga jenis unsur permutasi yakni 1. Permutasi dengan unsur-unsur yang berbeda, 2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan 3. Permutasi siklis.Secara umum banyak permutasi dinyatakan dengan:( )!, dengan .!nknPnknk=≥−4.Kombinasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dengan tanpa memperhatikan urutannya, dinyatakan dengan ( )!, dengan .!!nknCnknkk=≥−5.Untuk kejadian majemuk, banyak anggota ruang sampel n(S) suatu kejadian merupakan banyak cara/susunan suatu kejadian majemuk tersebut. Sedangkan banyak anggota kejadian n(E) merupakan kombinasi atau permutasi suatu kejadian pada kejadian majemuk.6.Peluang suatu kejadian majemuk (E) dirumuskan: ( )( )( )nEPEnS= .Dengan memiliki sikap, pengetahuan, dan keterampilan akan aturan pecacahan dapat kamu aplikasikan mengatasi masalah dunia nyata. Untuk selanjutnya, konsep dasar aturan pencacahan ini akan membantu kamu memahami konsep peluang majemuk dan matematika diskrit. Selanjutnya kita akan membahas materi lingkaran, tentunya pengalaman belajar yang kita peroleh pada Bab VIII ini harus membantu cara berpikir kita memecahkan masalah.