Halaman
Buku Matematika Kelas 11 Kurikulum 2013Materi Pokok Pembelajaran:StatistikaAturan pencacahanLingkaranTransformasiTurunanIntegral
iiKelas XI SMA/MA/SMK/MAKHak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-UndangMILIK NEGARATIDAK DIPERDAGANGKANDisklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014. vi, 230 hlm. : ilus. ; 25 cm.Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2ISBN 978-602-282-095-6 (jilid lengkap)ISBN 978-602-282-098-7 (jilid 2b)1.Matematika — Studi dan Pengajaran I. JudulII. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan510Kontributor Naskah:Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi Bayuzetra.Penelaah: Agung Lukito, Turmudi, dan Dadang Juandi.Penyelia Penerbitan: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.Cetakan Ke-1, 2014Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.
iiiMatematikaMatematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.Buku Matematika Kelas XI untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Walaupun demikian, sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan untuk penyempurnaan. Oleh karena itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami mengucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Jakarta, Januari 2014Menteri Pendidikan dan KebudayaanMohammad Nuh
ivKelas XI SMA/MA/SMK/MAKKata Pengantar ................................................................................................................iiiDaftar Isi...........................................................................................................................ivPeta Konsep Matematika SMA Kelas XI ........................................................................viiiBab 7Statistika ................................................................................................1A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................1B.Peta Konsep ..............................................................................................2C.Materi Pembelajaran ..................................................................................3 1. Ukuran Pemusatan ............................................................................3 2.Ukuran Letak Data ..............................................................................12 3.Ukuran Penyebaran Data ....................................................................20Uji Kompetensi 7 ...............................................................................................26D.Penutup.......................................................................................................31Bab 8Aturan Pencacahan.........................................................................................33A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................33B.Peta Konsep ..............................................................................................35C.Materi Pembelajaran ..................................................................................361.Menemukan Konsep Pecahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ..........................................................................................36Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................622.Peluang ...............................................................................................64Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................71D.Penutup ................................................................................................74Bab 9Lingkaran ................................................................................................75A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................75B.Peta konsep ...............................................................................................76C.Materi Pembelajaran ..................................................................................771.Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran .......................................772.Bentuk Umum Persamaan Lingkaran .................................................82Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................ 853.Kedudukan Titik terhadap Lingkaran ..................................................874.Kedudukan Garis terhadap Lingkaran ...............................................905.Persamaan Garis Singgung Lingkaran ..............................................95Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................102D. Penutup ................................................................................................104 Diunduh dari BSE.Mahoni.com
vMatematikaBab 10Transformasi ...................................................................................................105A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................105B.Peta Konsep ..............................................................................................106C.Materi Pembelajaran ..................................................................................1071.Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ...........107 2. MemahamidanMenemukanKonsepRefleksi(Pencerminan)............113Uji Kompetensi 10.1 ..........................................................................................1253.Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)..................1274.Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)...................137Uji Kompetensi 10.2 ..........................................................................................144D. Penutup ................................................................................................146Bab 11Turunan.............................................................................................................149A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................149B.Peta Konsep ..............................................................................................151C.Materi Pembelajaran ..................................................................................1521.Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi .......................................1521.1Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen ..................1521.2Turunan sebagai Limit Fungsi ......................................................1561.3Turunan Fungsi Aljabar.................................................................160Uji Kompetensi 11.1 ..........................................................................................1662.Aplikasi Turunan ..................................................................................1672.1 Fungsi Naik dan Turun..................................................................1672.2Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun ................................................................................................1692.3Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimumdan Minimun..................................................................................1772.4Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatandan Percepatan.............................................................................1883.Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan ........................191Uji Kompetensi 11.2 ..........................................................................................196D. Penutup ................................................................................................198Bab 12Integral .............................................................................................................201A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................201B.Peta Konsep ..............................................................................................202C.Materi Pembelajaran ..................................................................................2031.Menemukan Konsep Integral tak Tentu sebagai Kebalikan dariTurunan Fungsi ..................................................................................203Uji Kompetensi 12.1 ..........................................................................................2082.Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu .........................209Uji Kompetensi 12.2 ..........................................................................................224D. Penutup ................................................................................................227Daftar Pustaka................................................................................................................228
viKelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:1.Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnnya.2.Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.3.Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.4.Menunjukkan sikap bertanggung jawab,rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.5.Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan, letak dan penyebaran data sesuai dengan karakteristik data melalui aturan dan rumus serta menafsirkan dan mengomunikasikannya.6.Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Berdiskusi,bertanyadalammenemukankonsep dan prinsip statistik melalui pemecahan masalah autentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan.• Berkolaborasimemecahkanmasalahautentikdengan pola interaksi edukatif. • Berpikirtingkattinggidalammenyajikan,sertamenga-nalisis statistik deskriptif.STATISTIKA• Mean• Median• Modus• Simpanganbaku• Varian• Histogram• Quartil• Desil• PersentilBab7
2Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB.PETA KONSEPMATERIPRASYARATStatistikaPenyajian DataDiagramAngketMedianPengumpulanTabelWawancaraRata-rataPengolahan DataGrafikObservasiModusBILANGANPENGUKURANMasalahOtentik
3Matematika1. UKURAN PEMUSATANMean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan. Untuk lebih memahami tentang ukuran pemusatan data, mari kita cermati dari masalah berikut ini.Masalah-7.1KepalaSekolahSMANegeri1Bakara-Baktirajainginmengevaluasihasilbelajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap 64 siswa/siswi kelas XI dinyatakan sebagai berikut. 6183888182606698938138909285768878747048806376498479807068926183888182728387818281915665637489739097489092857674887590977583798680517172827093729167888063764984Guru berencana menyederhanakan data tunggal tersbut menjadi bentuk data berintervaldanmembuatstatitistiknya,halinidilakukanuntukmengefisienkanlaporanevaluasihasilbelajarsiswa.Bantulahgurutesebutuntukmenyusunlaporannya!Alternatif PenyelesaianUntuk dapat memudahkan penggunaan data tersebut, susun data berdasarkan urutan terkecil hingga terbesar. Urutan data tersebut dinyatakan sebagai berikut.3848484949515660616163636365666768707070717272727374747475757676767678797980808080818181818182828282838383838484858586878888888888899090909091919292929393979798C.MATERI PEMBELAJARAN
4Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetelah data diurutkan, dengan mudah kita temukan, data terbesar adalah 98 dan data terkecil adalah 38. Selisih data terbesar dengan data terkecil disebut sebagai jangkauan data. Untuk data yang kita kaji, diperoleh:Jangkauan Data adalah 60. Langkah kita selanjutnya adalah untuk mendistribusikan data-data tersebut ke dalam kelas-kelas interval. Untuk membagi data menjadi beberapa kelas, kita menggunakan aturan Sturgess. Aturan tersebut dinyatakan bahwa jika data yang diamati banyaknya n dan banyak kelas adalah k, banyak kelas dirumuskan sebagai berikut:k = 1 + (3, 3). log nUntuk data di atas diperoleh, Banyak Kelas = 1 + (3,3). log 80= 1 + (3,3). (1,903)= 7,28 = 7Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.Pertanyaan kritis: Jelaskan mengapa angka pembulatan yang dipilih angka 7 bukan angka 8?Sekarang kita perlu menentukan berapa banyak data yang terdapat pada satu kelas interval. Banyak data dalam satu interval, disebut panjang interval kelas, yang dirumuskan sebagai berikut:Maka diperoleh: Panjang Kelas =Jangkauan dataBanyak kelasdari data di atas dapat di perolehPanjang Kelas = Jangkauan 60= = 8,57 9Banyak Kelas 7≈Selanjutnya, dengan adanya banyak kelas adalah 7 dan panjang kelas adalah 9 dapat kita gunakan untuk membentuk kelas interval yang dinyatakan sebagai berikut:Kelas I : 38 – 46 Kelas II: 47 – 55Kelas III : 56 – 64Kelas IV : 65 – 73Kelas V: 74 – 82Kelas VI: 83 – 91Kelas VII: 92 – 100
5MatematikaDari hasil pengolahan data di atas dapat dibentuk ke dalam bentuk tabel berikut.Tabel 7.1. Tabel FrekuensiKelasFrekuensi38 – 46147 – 55556 – 64765 – 731274 – 822583 – 9122 92 – 100880Perlu dicermati bahwa pembentukan interval kelas tersebut harus memuat semua data. Jika ada satu data yang tidak tercakup pada interval kelas, maka terdapat kesalahan dalam mendistribusikan data. Bentuk histogram dari hasil pengolahan data nilai siswa di atas digambarkan sebagai berikut.Gambar 7.1 Histogram Data Nilai Siswaa. Menentukan Nilai Mean (Rata-rata)Sajian data pada tabel di atas, tentunya harus kita memaknai setiap angka yang tersaji.Dari Interval 38 – 46 dapat diartikan bahwa:38 disebut batas bawah interval46 disebut batas atas interval.Titik tengah interval, dinotasikan xi , diperoleh:x-i-i=()+12batas bawah interval kebatas atas interval keii()Sehingga: []1138 46 422x= +=
6Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetiap interval memiliki batas bawah, batas atas, dan titik tengah interval ( xi ).Data hasil belajar siswa di atas, dapat diperbaharui sebagai berikut:Tabel 7.2 Tabel FrekuensiKelasxiFxi . F38 – 464214247 – 5551525556 – 6460742065 – 73691282874 – 8278251,95083 – 9187221,91492 – 100968768Total806,177Titik tengah setiap interval diartikan sebagai perwakilan data setiap interval. Nilai ini digunakan untuk menentukan rata-rata data tersebut. Data yang diperoleh dari Tabel 7.2 dapat digambarkan kedalam bentuk histogramGambar 7.2 Histogram Data Nilai SiswaDengan mengembangkan konsep mean pada data tunggal, yakni, mean merupakan perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data. Dari tabel dan histogram dapat kita peroleh jumlah seluruh data, yakni, jumlah perkalian nilai tengah terhadap frekuensi masing-masing. Maka jumlah seluruh data adalah: = (1) 42 + (5) 51 + (7) 60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 78 + (22) 87 + (8) 96Sehingga diperoleh rata-rata (mean):mean=()()()()()+()()+++++++++142551760126925782287+8961571225222+8617777.21==80
7MatematikaDengan demikian, dengan tabel frekuensi di atas dan nilai rata-rata data, ditemukan:Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di bawah nilai rata-rata!Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di atas nilai rata-rata!Perhitungan rata-rata di atas dapat kita dirumuskan secara matematis menjadi:Meanxxffxfxfxfxffffkkkiiik()==()++++++++=1122331231.......∑∑∑=fiik1Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat disimpulkan bahwa rata-rata (mean) merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut.xfxffxfxfxfxffffiiikiikkkk==++++++++==∑∑11112233123......dimana:fi: frekuensi kelas ke-ixi: nilai tengah kelas ke-iSelain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata-rata. Dengan data yang sama, cermati langkah-langkah di bawah ini.Tabel 7.3 Perhitungan Rataan sementaraInterval (xi)fidi = xi-xsxs = 78fi. di38 – 46421-36-3647 – 55515-27-13556 – 64607-18-12665 – 736912-9-10874 – 8278250083 – 918722919892 – 10096818144Total80-63
8Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan cara memperkirakan bahwa nilai rata-rata sementara yang dipilih pada kelas yang memiliki frekuensi tertinggi dan letak rata-rata sementara tersebut adalah titik tengah kelas interval.Secara lengkap, langkah-langkah menentukan rata-rata data dengan menggunakan rata-rata sementara sebagai berikutLangkah 1. Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar sebagai mean sementara xsLangkah 2.Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan mean sementara dan catat hasilnya dalam kolom di=xi–xs.Langkah 3. Hitung hasil kali f, d, dan tuliskan hasilnya pada sebuah kolom, dan hitung totalnya.Langkah 4.Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan sementara.Sehingga diperoleh rata-rata adalah:xxfdfsiiikiik=+()==∑∑.11dengan:xs: rata-rata sementara.di : deviasi atau simpangan terhadap rata-rata.fi: frekuensi interval kelas ke-i.xs: nilai tengah interval kelas ke-i.Maka untuk data di atas dapat diperoleh:Meanxfdfsiiikiik=+()=+−===∑∑...1178117647721b. Menentukan Nilai ModusPada waktu SMP kamu telah membahas modus untuk data tunggal, untuk data berkelompok secara prinsip adalah sama yakni nilai yang sering muncul. Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita mengambil 3 kelas interval yakni kelas interval dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas interval
9Matematikasebelum dan sesudah kelas modus. Dengan bantuan histogram dapat digambarkan sebagai berikut:DGambar 7.3 Penentuan Modus dengan Histogram Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa ∆ ABG sebangun dengan ∆ DCG, dan panjang AB = d1 ; CD = d2 ; EG = ∆x dan FG = k - ∆x. Secara geometri dari kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini;ABCDEGFGddxkxdkxdxdkdxdxdxd=⇔=∆−∆⇔−∆()=∆⇔−∆=∆⇔∆+∆121211212xxdkxdddkxdkddxkddd=⇔∆+()=⇔∆=+()⇔∆=+1121112112
10Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSehingga dapat diperoleh modus adalah:Mtxtkdddbb0112=+∆=++Mtkdddb0112=++dimana:M0: Modustb: Tepi bawah kelas modusk: Panjang kelasd1: Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2: Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyaPerhatikan tabel berikut.Tabel 7.4 Perhitungan ModusNoKelasTitik tengah (xi)Frekuensi (fi)138 – 46421247 – 55515356 – 64607465 – 736912574 – 827825683 – 918722792 – 100968Dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut:Tampak modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus 74 – 82 dengan dan panjang kelas k = 9. Oleh karena itu, tb= 73,5, dan d1= 25 – 12 =13 serta d2= 25 – 22 = 3.Jadi modus data di atas adalah:MtkdddMobo=++=++=+=1127359131337357318081,,,,
11MatematikaMtkdddMobo=++=++=+=1127359131337357318081,,,,c. MedianMedian dari sekelompok data yang telah terurut merupakan nilai yang terletak di tengah data yang membagi data menjadi dua bahagian yang sama. Untuk data berkelompok berdistribusi frekuensi median ditentukan sebagai berikut:MtknFfebm=+−2dengan : Me= Mediantb= tepi bawah kelas median k= panjang kelasn= banyak data dari statistik terurut ∑fiF= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas medianfm= frekuensi kelas medianDari data sebelumnya diperoleh k = 9 ; tb = 73,5 ; N = 80; fm = 25sehingga:Masih menggunakan data di atas maka kita bentuk tabel berikut ini.Tabel 7.5 Perhitungan MedianKelasFrekuensi fiFrekuensi Kumulatif F38 – 461147 – 555656 – 6471365 – 73122574 – 82255083 – 912277 92 – 10088080
12Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMedian=+−=+−=+tknFfbm273598022525735,,3370577205,,=Pertanyaan kritis:Dari ketiga pembahasan tentang ukuran pemusatan data pada data kelompok, dapatkah kamu menemukan hubungan antara ketiga pemusatan data di atas? Diskusikan dengan temanmu!Dapatkah terjadi nilai ukuran xMoMe= =pada sekumpulan data, jelaskan.2. UKURAN LETAK DATAUkuran letak data yang dimaksud dalam subbab ini adalah kuartil, desil, danpersentil. Ingat kembali materi statistik yang telah kamu pelajari di kelas X, konsep kuartil dan desil untuk data berdistribusi analog dengan yang ada pada data tunggal.a. KuartilJika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil dan data terbesar, maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang membagi empat bagian dari sekumpulan data disebut kuartil. Untuk lebih memahami pengertian kuartil perhatikan ilustrasi berikut.XminQ1XmaxQ2Q3Gambar 7.4 Letak KuartilUntuk menentukan Kuartil data berdistribusi, dirumuskan:QLkinFfiiQQi=+−4
13Matematikan: banyak datak: panjang kelasQi: Kuartil ke-i data, untuk i = 1,2, 3.Li: Tepi bawah kelas ke-i. Li= batas bawah – 0.5.FQ: jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i.Fi: frekuensi kelas yang memuat Kuartil ke-i.Contoh 7.1Perhatikan tabel berikut ini dan tentukan a. Kuartil bawah (Q1)b. Kuartil tengah (Q2)c. Kuartil atas (Q3)Tabel 7.6 Distribusi FrekuensiKelasFrekuensi fi42 – 46247 – 51552 – 56557 – 611562 – 66767 – 714 72 – 762Alternatif PenyelesaianDengan melengkapi tabel 7.6 diperoleh:Tabel 7.7 Distribusi Frekuensi KumulatifKelasFrekuensi fiFrekuensi Kumulatif F42 – 462247 – 515752 – 5651257 – 61152762 – 6673467 – 71438 72 – 76240
14Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKa. Kuartil ke-1 Kuartil bawah dapat juga disebut kuartil ke-1 (Q1), dan untuk menentukan letak Q1 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat Q1 yakni dengan menghitung nilai dari ( )1140 1044n==. Hal ini berarti Q1 adalah data ke-10, kelas interval 52 – 56, dan fi = 11.Dari tabel juga diperoleh L1= 51,5, FQ = 7, 1Qf = 5, k = 5.Sehingga kuartil bawah diperoleh:QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+=451551065515455511,,,Sehingga kuartil ke-1 adalah 55,5b. Kuartil ke-2Analog dengan mencari Q1 maka diperoleh nilai Q2 , yakni: 24144020n=()=. Hal ini berarti Q2 berada pada kelas interval 57 – 61, dan 2Qf= 15.Dari tabel juga diperoleh L2 = 56,5, FQ = 12, 2Qf= 15, k = 5.Sehingga dapat ditentukan kuartil tengah adalah:QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+=456552012155652665922,,,,116Sehingga kuartil ke-2 adalah 59,16F
15Matematikac.Kuartil ke-3Sama seperti menentukanQ1 dan Q2 maka diperoleh nilai-nilai yang kita perlukan untuk memperoleh nilai Q3 , yakni: 34344030n=()=. Hal ini berarti Q3 berada pada kelas interval 62 – 66, dan 3Qf= 7.Dari tabel juga diperoleh L1 = 61,5, FQ = 27, 3Qf= 7, k = 5.Sehingga dapat ditentukan kuartil atas adalah:QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+=461553027761521463633,,,,44Sehingga kuartil ke-3 adalah 63,64b. Desil Prinsip untuk mencari desil hampir sama dengan kuartil, jika kuartil mem-bagi data yang terurut menjadi empat bagian maka desil menjadi 10 bagian dengan ukuran data n > 10. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 9 nilai desil, yakni D1, D2, D3, ..., D9Untuk menentukan Desil, dirumuskan sebagai berikut:DLkinFfiiDDi=+−10i= 1,2, 3, ... , 9Di: Desil ke-iLi: Tepi bawah kelas yang memuat desil ke-iFD: jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-iiDf: frekuensi kelas yang memuat desil ke-in: Banyak datak: panjang kelas.
16Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 7.2Dari 1.000 siswa peserta Olimpiade Matematika diperoleh data skor berupa tabel berikut.Tabel 7.8 Skor Olimpiade MatematikaSkorFrekuensi0-9510-195420-2921530-3926340-4922350-5912460-697270-793880-89590-991Tentukanlah desil a. Desil ke-1 b. Dan desil ke-8Alternatif PenyelesaianDengan melengkapi tabel 7.8 diperoleh:Tabel 7.9 Distribusi Frekuensi KumulatifSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F0-95510-19545920-2921527430-3926353740-49223760
17MatematikaSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F50-5912488460-697295670-793899480-89599990-9911000a. Desil ke-1Untuk menentukan letak D1 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat D1 yakni dengan menghitung nilai dari 1101101000100n=()=. Hal ini berarti D1 adalah data ke-100 yaitu, kelas interval 20 – 29, dan 1Df= 215.Dari tabel juga diperoleh L1 = 19,5, FD = 59, 1Df= 215, k = 10.Sehingga kuartil bawah diperoleh:DLkinFfDDiiDDi=+−=+−()=+10195101005921519543761,,,116326=,Sehingga kuartil ke-1 adalah 63,26b. Desil ke-8Untuk menentukan letak D8terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat D8 yakni dengan menghitung nilai dari 8108101000800n=()=. Hal ini berarti D8 adalah data ke-800, kelas interval 40 – 49, dan8Df= 223.Dari tabel juga diperoleh L8 = 39,5, FD = 573, 8Df= 223, k = 10.
18Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSehingga kuartil bawah diperoleh:DLkinFfDiiDDi=+−=+−()=+ 310951080057322339510178,,,DD84967=,Sehingga kuartil ke-8 adalah 49,67c. Persentil Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut menjadi empat dan sepuluh bagian maka desil menjadi 100 bagian data. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 99 nilai persentil, yakni P1, P2, P3, ..., P99. Untuk menentukan persentil, dirumuskan sebagai berikut:PLkinFfiiPPi=+−100i = 1,2, 3, ... , 9Pi: Persentil ke-iLi: Tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-iFP: jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-iiPf: frekuensi kelas yang memuat persentil ke-in: Banyak datak: panjang kelas.Contoh 7.3Dengan menggunakan data pada contoh 7.2 Tentukanlah a. persentil ke-10b. persentil ke-99
19MatematikaAlternatif PenyelesaianPerhatikan tabel berikutTabel 7.10 Distribusi Frekuensi KumulatifSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F0-95510-19545920-2921527430-3926353740-4922376050-5912488460-697295670-793899480-89599990-9911.000a. Persentil ke-10Untuk menentukan letak P10 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuatP10 yakni dengan menghitung nilai dari 10100101001000100n=()=. Hal ini berarti P10 adalah data ke-100, kelas interval 20 – 29, dan 10Pf= 215.Dari tabel juga diperoleh L10 = 19,5, FP = 59, 10Pf= 215, k = 10.Sehingga kuartil bawah diperoleh:PLkinFfPiiPPi=+−=+−()=+101951010059215195437610,,,PP106326=,Sehingga persentil ke-10 adalah 63,26
20Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKb.Persentil ke-99Untuk menentukan letak P99 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat P99yakni dengan menghitung nilai dari 99100991001000990n=()=. Hal ini berarti P99adalah data ke-990, kelas interval 70 – 79, dan 99Pf= 38.Dari tabel juga diperoleh L99 = 69,5, FP = 956, 99Pf= 38, k = 10.Sehingga kuartil bawah diperoleh:PLkinFfPPiiPPi=+−=+−()=+ 61095109909563869589499,,,9997844=,Sehingga persentil ke-99 adalah 49,67Dari ukuran letak data yang telah dibahas di atas tentu kita akan menemukan keterkaitan nilai ukuran satu dengan yang lainnya. Misalkan data yang dimiliki adalah sama maka akan ditemukan nilai median = Q2 = D5 = P50, dan Q1 = P2, dan Q3 = P75. Cobalah membuktikannya dengan teman kelompokmu.3. UKURAN PENYEBARAN DATAUkuran penyebaran data menunjukkan perbedaan data yang satu dengan data yang lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Adapun ukuran penyebaran data yang akan kita kaji adalah sebagai berikut. a. Rentang Data atau Jangkauan (Range)Masalah-7.2Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah sekolah diperoleh data tinggi badan siswa yang mendaftar adalah sebagai berikut:
21MatematikaTabel 7.11 Distribusi Tinggi Badan SiswaTinggi badan (cm)Banyak siswa yang mendaftar (fi)140-1447145-1498Tinggi badan (cm)Banyak siswa yang mendaftar (fi)150-15412155-15916160-16424165-16913170-1742 Tentukanlah rentang (range) dari data distribusi di atas!Alternatif PenyelesaianRange merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Sedangkan untuk data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan data terendah diambil dari nilai kelas yang terendah, sehingga diperoleh:Nilai tengah kelas tertinggi =+=1701742172Nilai tengah kelas terendah =+=1401442142Sehingga dari kedua hasil di atas diperoleh range untuk data berdistribusi adalah: Rentang (R)= 172 – 142= 30b. Rentang Antar Kuartil (Simpangan Kuartil)Dengan pemahaman yang sama yakni rentang merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil, maka rentang antar kuartil dirumuskan dengan selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil yakni kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1), maka dapat dituliskan dengan: simpangan kuartil = Q3 – Q1Dengan menggunakan hasil pada contoh 7.1 maka dapat kita peroleh rentang antar kuartil data tersebut adalah: Simpangan kuartil= 63, 4 – 55, 5= 7,9
22Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. Simpangan Rata-RataAndaikan kita memiliki data x1, x2, x3, ..., xn maka dengan konsep nilai rentang data kita dapat menentukan rentang nilai rata-rata atau simpangan rata-rata sehingga diperoleh urutan data yang baru yaitu:xxxxxxxxn123−()−()−()−(),,,,Dalam urutan data di atas mungkin ada yang positif dan negatif namun konsep jarak atau rentang tidak membedakan keduanya, untuk itu diambil harga mutlak sehingga diperoleh:xxxxxxxxn123−−−−,,,,Dan jika urutan nilai data tersebut dijumlahkan kemudian dibagi dengan banyak data (n) maka akan diperoleh simpangan rata-rata sebagai berikut:SxxnRiin=−=∑1dengan :SR= Simpangan rata-rataxi= nilai data ke-ix-= nilai rata-rata n= banyak dataFormula di atas merupakan simpangan rata-rata untuk data tunggal. Data berdistribusi memiliki nilai frekuensi dalam tiap kelompok atau interval data dan nilai data pengamatan merupakan nilai tengah kelas sehingga untuk data berdistribusi diperoleh simpangan rata-rata yang dituliskan sebagai berikut:SfxxfRiiiniin=−==∑∑11dengan :SR= Simpangan rata-rataxi= nilai tengah kelas ke –ix-= nilai rata-rata fi= frekuensi kelas ke –i
23MatematikaContoh 7.4Dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi sebagai berikut:Tabel 7.12 Distribusi FrekuensiKelasFrekuensi38 - 46147 - 55556 - 64765 - 731274 - 822583 - 9122 92 - 100880dan rata-rata = 77.21. Tentukanlah simpangan rata-rata dari data di atas!Alternatif PenyelesaianDengan melengkapi tabel 7.12 agar dapat diperoleh nilai-nilai yang diperlukan, sehingga diperoleh tabel yang baru seperti berikut ini:Tabel 7.13 Distribusi FrekuensiKelasFrekuensi(fi)TitikTengah (xi)xxi−fxxi−38 - 4614235.2135,2147 - 5555126.21131,0556 - 6476017.21120,4765 - 7312698.2198,5274 - 8225780.7919,7583 - 9122879.79215,3892 - 10089618.79150,32fi =80Σ fi ǀ xi -ǀ=639.65
24Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh:SfxxfRiiiniin=−====∑∑11799639.6580,Jadi, simpangan rata-rata data di atas adalah 7,99d. Ragam dan Simpangan BakuPenentuan nilai simpangan rata-rata memiliki kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang berakibat simpangan rata-rata tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dan lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut ahli statistik menggunakan simpangan baku yang menggunakan kuadrat pada rentang datanya, simpangan baku dirumuskan sebagai berikut:SnfxxBiiir=−()=∑112..Ragam, atau sering disebut varian merupakan kuadrat dari nilai simpangan baku, data berdistribusi dirumuskan sebagai berikut:SnfxxBiiir2121=−()=∑..dengan:SB: Simpangan bakuS2B: Ragam/varian.fi: frekuensi kelas ke-i.xi: titik tengah interval ke-i.x-: rata-rata.n: ukuran data.Contoh 7.5Masih dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi sebagai berikut:
25MatematikaKelasFrekuensi(fi)TitikTengah (xi)ixx−()2ixx−()2ifx x−38 - 46142-35.211239.741239.74447 - 55551-26.21686.963434.82156 - 64760-17.21296.182073.28965 - 731269-8.2167.40808.849274 - 8225780.790.6215.602583 - 9122879.7995.842108.5792 - 10089618.79353.062824.513Σ fi =80Σ fi ǀ xi -ǀ=12505.38Sehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh:Simpangan bakuSnfxxBiiir=−()=∑112..SB==180.12505.3912.5Ragam atau varianSnfxxBiiir2121=−()=∑..SB2180=.12505.39=156.31Untuk semua jenis ukuran penyebaran data ini, tentunya tidaklah sesuatu hal yang sulit untuk menentukan nilainya. Namun, yang penting dari semua adalah memahami makna setiap angka statistik yang diperoleh.
26Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 71.Perhatikan tabel penjualan 4 jenis mainan anak-anak pada sebuah toko pada periode 5 minggu berturut-turut.MingguMainan 1Mainan 2Mainan 3Mainan 4150486451252553453335524332420123030515202528Jumlah172187196194Dari tabel diatas, Gambarkan diagram batang, garis, serta lingkaran pada masing-masing jenis mainan dalam 5 minggu.Tentukanlah semua ukuran yang terdapat pada data tersebut!2.Tentukanlah nilai mean, median, dan modus pada data penghasilan orang tua siswa di suatu yayasan sekolah swasta berikut ini.Pengahasilan tiap bulan (Rp)Banyak orang tua1.000.000 – 2.000.0003002.000.000 – 3.000.0005903.000.000 – 4.000.0007504.000.000 – 5.000.0001505.000.000 – 10.000.00070> 10.000.00040
27Matematika3.Suatu pertandingan karate mewajibkan setiap team yang akan masuk babak final harus memperoleh poin rata-rata 205 pada empat kali pertandingan. Pada babak semifinal diperoleh 3 tim dengan data sebagai berikut.TimNilai Setiap Pertandingan1234I210195200xII200200195xIII205198218xTim yang manakah yang akan masuk babak final jika diperoleh nilai 215 pada pertandingan keempat?4.Tentukanlah nilai a dan b dari tabel distrubusi frekuensi dibawah ini, jika median adalah 413,11 dan ∑ f = 1000NilaiFrekuensi200 - 23480235 - 2499250 - 27417275 - 299a300 - 32488325 - 349b350 - 374326475 - 4995
28Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK5.Data berikut mempunyai modus 162. NilaiFrekuensi140-1493150-1598160-169x170-1792Tentukanlah :a. Nilaixb. Mean6.Gaji karyawan suatu pabrik ditampilkan dalam tabel berikut.Gaji (×Rp 10.000)Frekuensi66-70371-751276-80x81-853686-902491-95y96-1009a.Tentukan rata-rata gaji jika setiap karyawan mendapat tambahan sebesar Rp50.000,00.b.Jika modus data di atas adalah Rp830.000,00, dan banyak data 120, tentukanlah nilai x – y.7.Dengan menggunakan tabel yang lengkap pada soal no.5, tentukan:a. Kuartil ke-1b. Kuartil ke-2c. Kuartil ke-3
29Matematika8.Dari grafik histogram di bawah ini, bentuklah tabel frekuensi realatif dan tentukan seluruh ukuran pemusatan data.9.Dari tabel data di bawah ini tentukanlah :a.Simpangan kuartilb.Simpangan rata-ratac.Simpangan bakuNilaiFrekuensi40-44545-49850-54755-59460-64465-69370-74275-801
30Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK10.Suatu penelitian terhadap dua jenis baterai mendapatkan hasil pengukuran daya tahan pemakaian yang ditampilkan pada data berikut ini.Nilai statitikJenis 1Jenis 2Banyaksampel10080Rentang 240120Kuartil bawah468488Kuartil atas533562Simpangan baku4020Simpangan kuartil6574Rata-rata500600Median 500500Berdasarkan data penelitian di atas jelaskan merek baterai mana yang memiliki ukuran penyebaran yang besar!ProjekKumpulkanlah data-data perkembangan ekonomi yang ada di indonesia, misal data pergerakan nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing (dolar, ringgit, dll). Tabulasi dan gambarkan data tersebut kedalam diagram. Analisislah data tersebut dalam bentuk statistik deskriptif serta presentasikan di depan kelas.
31MatematikaD.PENUTUPBerdasarkan materi yang telah kita uraikan di atas, beberapa konsep perlu kita rangkum guna untuk mengingatkan kamu kembali akan konsep yang nantinnya sangat berguna bagi kamu sebagai berikut. 1.Jangkauan Data = Data tertinggi – Data terendah = xmaks – xmin.2.Statistik yang membagi data menjadi empat bagian disebut Kuartil.3.Statistik terurut memiliki kuartil jika banyak data ≥ 4, sebab kuartil Q1dan Q2 membagi data menjadi empat kelompok yang sama.4.Statistik yang membagi data menjadi 10 bagian disebut Desil.5.Jika banyak data ≥ 10, maka kita dapat membagi data menjadi 10 kelompok yang sama, dengan setiap kelompok memiliki 110data. Ukuran statistik ini disebut Desil.6.Mean untuk data berkelompok didefinisikan dengan xfxffxfxfxfxffffiiikiikkkk==++++++++==∑∑11112233123 dengan fi = frekuensi kelas ke-i; xi = nilai tengah kelas ke-i.7.Mean untuk data berkelompok dengan rumusan rataan sementara didefinisikan dengan xxfdfsiiikiik=+==∑∑11 dengan fi = frekuensi kelas ke-i; xi = nilai tengah kelas ke-i.8.Modus untuk data berkelompok didefinisikan dengan Mtkdddob=++112dengan tb = tepi bawah kelas modus; k = panjang kelas; d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya; d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
32Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK9.Median untuk data berkelompok didefinisikan dengan Median = tknFfbm+−2Dengan tb = tepi bawah kelas median; k = panjang kelas; N = banyak data dari statistik terurut = ∑ fi; F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median; fm = frekuensi kelas median.10.Simpangan rata-rata untuk data berkelompok didefinisikan dengan:SfxxfRiiiniin=−==∑∑1111.Simpangan baku dan varian untuk data berkelompok di-definisikan dengan:• SnfxxBiiir=−()=∑112..• SnfxxBiiir2121=−()=∑..