Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR1.Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ber-tanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari–hari.2.Mendeskripsikan dan menganalisis aturan sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam menentukan luas daerah segitiga.3.Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait luas segitiga dan menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikannyaMelalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Menemukankonsepperbandingantrigonome-tri melalui pemecahan masalah otentik.• Berkolaborasimemecahkanmasalahaktualdengan pola interaksi sosial kultur.• Berpikirtingkattinggi(berpikirkritisdankreatif)dalam menyelidiki dan mengaplikasikan kon-sep trigonometri dalam memecahkan masalah otentikTRIGONOMETRI• Aturansinus• Aturankosinus• LuassegitigaBab6
178Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1B.PETA KONSEPMasalahOtentikTrigonometriLuas daerah segitigaSegitigaMateri prasyaratAturan sinusAturan kosinus
179Matematika1. Aturan SinusPada pelajaran trigonometri di kelas X, kamu telah belajar konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku. Pada bahasan ini kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga. Permasalahan pada segitiga adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sisi segitiga diketahui, apakah kamu dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Atau kamu dapat menentukan besar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kamu dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya? Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus diketahui agar kamu mampu menyelesaikan masalah segitiga tersebut? Agar kamu dapat memahaminya, pelajarilah masalah-masalah berikut. Masalah-6.1Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 6.1 di bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l adalah 75◦ dan sudut yang dibentuk jalank dan jalan madalah 30◦. Tentukanlah jarak kota A dengan kota B!Jalan kABCJalan lJalan mGambar 6.1. Jalan k, l, dan m.C.MATERI PEMBELAJARAN
180Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif Penyelesaian ke-1(dengan memanfaatkan garis tinggi pada segitiga)Untuk memudahkah perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis BC, seperti Gambar 6.2 berikut.Jalan kABCJalan lJalan mDGambar 6.2. Segitiga ABC dengan garis tinggi ADIngat kembali konsep sinus pada segitiga siku-siku.Perhatikan ∆ABD!Dalam ∆ABD, diperoleh bahwa: sin B =ADABatau AD = AB. sin B...............(1)Dalam ∆ADC, diperoleh bahwa: sin C =ADACatau AD = AC. sin C..............(2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa: AB. sin B = AC. sin C.........(3)Diketahui bahwa∠C = 750;∠B = 300; dan jarak AC = 5.Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (3) maka diperolehAB. sin B= AC. sin CAB× sin 300= 5 × sin 750 (gunakan tabel sinus atau kalkulator, sinus 750 = 0, 965)AB= 5096512 ́,= 10 × 0,965= 9, 65Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 65 km.
181MatematikaPerhatikan Gambar 6.3 berikut.AbacBCPQGambar6.3SegitigaABCDari Gambar 6.3 di samping, diketahui bahwa ∆ ABC dengan panjang sisi-sisinya adalah a, b, dan c. Garis AP merupakan garis tinggi, dimana BC⊥AP dan garis CQmerupakan garis tinggi, dimana CQ⊥AB.Dari ∆ABP diperoleh, sin B =APcatau AP = c sin B ........................(1)Dari ∆ACP diperoleh, sin C =APbatau AP = b sin C ..............................(2)Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh, c sin B = b sin C (kalikan kedua ruas dengan 1sinsinBC)cBBCbCBCsinsinsinsinsinsin=Maka diperoleh,cCbBsinsin=.................................................(3)Dari ∆ACQ diperoleh, sin A =CQbatau CQ = b sin A ......................(4)Dari ∆BCQ diperoleh, sin B =CQaatau CQ = a sin B ......................(5)Dari Persamaan (4) dan (5) diperoleh, b sin A = a sin B(kalikan kedua ruas dengan 1sinsinBC)bAABaBABsinsinsinsinsinsin=
182Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Maka diperoleh,bBaAsinsin=................................................ (6)Berdasarkan persamaan (3) dan (6), maka diperolehaAbBcCsinsinsin==Alternatif Penyelesaian ke-2Perhatikan kembali Gambar 6.4 berikut.∆ABC lancip dan AD dan BE merupakan diameter lingkaran O dengan jari-jari r.Panjang garis AB = c; AC = b; BC = a; AD = BE = 2r.∠ABC =∠ADC = β; ∠ACB = ∠AEB = ødan∠ACD adalah sudut siku-siku = 900.Dari ∆ACD diperolehsin β =ACADbr=2sehingga2rb=sinβ.....................................................................(1)Dari ∆BAE diperolehsinθ==ABBEcr2sehingga2rc=sinθ......................................................................(2)Dari persamaan (1) dan persamaan (2) di peroleh bcsinsinβθ=LatihanDengan menggunakan ∠BAC = α, buktikanlah bahwa2ra=sinα.Dari uraian di atas, maka disimpulkan aturan sinus pada segitiga seperti berikut.Gambar6.4.∆ABC pada lingkaran O
183MatematikaQPRrqpAturan SinusUntuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlakuaAbBcCsinsinsin==.Latihan 6.1.Untuk segitiga tumpul PQR di samping, buktikanlah bahwapPqQrRsinsinsin== berlaku.Alternatif PenyelesaianBerdasarkan gambar di atas diperoleh sinPQXr=.............................................................................................................(1)sinRQXP=.............................................................................................................(2)berdasarkan (1) dan (2) diperolehQX = r sin P dan QX = p sin Rkarena QX = QX maka r sin P = p sin R sehingga rRpPsinsin=(terbukti)
184Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 6.1Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8, BC = 82, AC = b, sudut BAC= 45o, sudut ACB = yo dan sudut ABC = xo. Dengan memanfaatkan tabel sinus pada sudut xo maka tentukan panjang b.Gambar6.5SegitigaABCAlternatif PenyelesaianDengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh:BCAAByyyyyooooosinsinsinsinsinsinsin=⇔=⇔=⇔=⇔82458821228168ooooy==1230atauDengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu ∠A + ∠B + ∠C = 180o sehingga 45o + 30o + xo = 180o atau xo = 105o. Dengan menggunakan aturan sinus kembali maka diperoleh:
185MatematikaACxABybbboooooosinsinsinsinsinsin=⇔=⇔=⇔=⇔10583010581210516bbo= sin 16105.Dengan memanfaatkan tabel sinus atau kalkulator maka diperoleh:b = 16.sin 105o = 16 × 0,9659 = 15,4548.Jadi, panjang sisi AC adalah 15,4548 satuan panjang.2. Aturan CosinusPerhatikan Gambar 6.6 di bawah! Pada segitiga (i), diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga (ii), diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga tersebut? ssssssd(ii)(i)Gambar6.6.Segitigajikadiketahui(s,s,s)dan(s,sd,s)Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6.2 berikut.Masalah-6.2Dua kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut 60◦. Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 km/jam, dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.
186Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan bahwa pergerakan kapal membentuk segitiga seperti gambar di bawah.ABCbca60○Gambar 6.7 Segitiga ABC dengan sudut A = 60oDari gambar di atas, dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut.-Titik A merupakan titik keberangkatan kedua kapal tersebut.-Besar sudut A merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang berbeda yaitu sebesar 600. -AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga AB = 60 km.-AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam perjalanan dengan kecepatan 25 km/jam, sehingga AC = 50 km.-BC merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama 2 jam karena itu, pertanyaan yang harus dijawab adalah berapakah BC.Agar kita dapat menentukan jarak BC, maka kita perlukan gambar berikut. Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC, dimana CP⊥AB. Misalkan panjang APadalah x maka panjang BP adalah (c – x).Perhatikan ∆ACP! Dari ∆ACP berlaku: AC2 = AP2 + CP2atau CP2 = AC2 – AP2.Pc-xPc-xxABCbcaGambar 6.8 Segitiga ABC dengan garis tinggi CPDengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, maka CP2 =b2-x2 ........(1)Dari ∆BPC berlaku: BC2 = BP2 + CP2 atau CP2 = BC2 – BP2.
187MatematikaDengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, CP2 = a2 – (c-x)2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ........................................................................(2)Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:b2-x2= a2 – c2 + 2cx – x2b2= a2 – c2 + 2cx – x2 + x2b2= a2 – c2 + 2cxatau a2 = b2 + c2- 2cx..................................................................................................(3)Berdasarkan ∆APC, diperolehcos A =xb, maka x = b cos A.....................................................................................(4)dengan mensubstitusi persamaan. (4) ke dalam persamaan (3), maka diperoleh:a2 = b2 + c2- 2bc cos A.............................................................................................(5)Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan (5) maka diperoleha2= b2 + c2- 2bc cos A= 502 + 602 – (2×50×60×cos 600)= 2500 + 3600 – (600×12)= 4100 – 300= 3800Maka jarak antara kedua kapal tanker tersebut setelah perjalanan selama 2 jam adalah 3800 km. Berdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6.2 di atas, ditemukan aturan kosinus pada sebarang segitiga sebagai berikut.Aturan CosinusUntuk sembarang segitiga ABC,dengan panjang sisi-sisi a,b,cdan∠A,∠B,∠C,berlaku a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
188Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 6.2Perhatikan gambar berikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.Gambar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60oAlternatif PenyelesaianDengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh:RQ2 = PR2 + PQ2 – 2.PR.PQ.cos 60o(2 x+2)2 = (x + 1)2 + (x – 1)2 – 2.(x + 1).(x – 1).cos 60o4(x + 2) = (x + 1)2 + (x – 1)2 – (x + 1).(x - 1)4x + 8 = x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 – x2 + 1x2 – 4x – 5 = 0 (ingat konsep persamaan kuadrat)(x – 5)(x + 1) = 0sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 sehingga panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 4, 6 dan 27.3. Luas SegitigaMasalah-6.3Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di samping. Panjang sisi AB adalah 30 m, panjang sisi BC adalah 16 m dan besar sudut BAC adalah 300. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp250.000,00 untuk setiap meter persegi. Tentukan harga penjualan tanah tersebut. Gambar6.10.SegitigaABCABPC1630○30
189MatematikaAlternatif PenyelesaianGaris CP merupakan garis tinggi segitiga ABC sehinggaCPtegak lurusAB. Luas ∆ABC =12× AB×CP......................................................(1)Dari segitiga ACP diketahuisin A =CPAC, sehingga CP = AC× sin A..................................(2)Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperolehLuas ∆ABC=12×AB×AC× sin A= 12× 30 × 16 × sin 300= 120 Maka luas tanah tersebut adalah 120 m2.Jika harga 1 m2 tanah adalah Rp250.000,00, maka harga jual tanah tersebut ditentukan dengan 120 × 250.000 = 30.000.000.Maka harga jual tanah tersebut adalah Rp30.000.000,00Perhatikan Gambar 6.11 berikut.Gambar 6.11 Segitiga ABCGaris BP merupakan garis tinggi ∆ABC sehinggaACtegak lurusBP. Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a.Ingat kembali rumus menentukan luas daerah segitiga.Luas ∆ABC=12× AC×BP......................................................(1)
190Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Dari segitiga ABP diketahuisin A =BPAB, sehingga BP = AB× sin A...................................(2)Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperolehLuas ∆ABC=12×AC × BPLuas ∆ABC= 12×AC × AB × sin ALuas ∆ABC= 12×b× c × sin APerhatikan Gambar 6.12 berikut.Garis AQ merupakan garis tinggi ∆ABC sehinggaBCtegak lurusAQ. Panjang sisi AB, AC, dan BCberturut-turut adalah c, b, dan a.CabBAcQGambar6.12SegitigaABCLuas ∆ABC=12×BC×AQ ......................................................(1)Dari segitiga ABQ diketahuisin B =AQAB, sehingga AQ = AB× sin B ..................................(2)Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperolehLuas ∆ABC=12× BC × AQLuas ∆ABC=12× BC × AB × sin BLuas ∆ABC=12× a × c × sin B
191MatematikaLatihan 6.2Dengan menggunakan ∆BPC pada Gambar 6.11 dan ∆AQC pada Gambar 6.12, tentukanlah rumus Luas ∆ABC.Berdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas sebarang segitiga sebagai berikut.Definisi 6.1Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C,berlakuLuas∆ABC =12×ab sin C =12×bc sin A =12×ac sin B.Latihan 6.3Dengan menggunakan segitiga ABC tumpul seperti Gambar 6.13 dibawah, buktikan bahwa Luas ∆ABC =12×bc sin A.Gambar 6.13. Segitiga tumpul ABCBerdasarkan Gambar 6.13 diperoleh ΔBQA siku-siku di Q, sehinggaBQ = c sin A dan diperoleh juga BQ = a sin Ckarena Luas ΔABC = 12 ́ ́BQb= 12bCsin
192Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 6.3Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.Gambar 6.14 Segiempat ABCD pada lingkaran LTentukan luas segiempat ABCD dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.Alternatif PenyelesaianLangkah 1.Bagi daerah ABCD menjadi dua bagian dengan menarik garis AC atau BD. Misalkan, kita pilih garis BD sehingga gambar menjadi:Gambar6.15DaerahsegiempatABCDterbagiatasduasegitiga
193MatematikaLangkah 2.Manfaatkan aturan cosinus pada masing-masing daerah.Perhatikan segitiga BADDengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh:BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos ABD2 = 12 + 42 – 2.1.4.cos ABD2 = 17 – 8.cos APerhatikan segitiga BCDDengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh:BD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD.cos CBD2 = 22 + 32 – 2.2.3.cos CBD2 = 13 – 12.cos CBerdasarkan konsep sudut pada lingkaran maka ∠A + ∠C = 180 ̊ sehingga ∠C = 1800 – ∠A sehingga diperoleh:17 – 8.cos A = 13 – 12.cos C17 – - 8.cos A = 13 – 12.cos (180 ̊ – A) (ingat konsep trigonometri di kelas X)17 – 8.cos A = 13 + 12.cos A 20.cos A = 4cos A = 15Langkah 3.Berdasarkan konsep trigonometri pada kelas X maka diperoleh segitiga siku-siku dengan cos A = 15. Perhatikan Gambar!Dengan Phytagoras maka diperoleh panjang sisi di depan sudut A adalah2512426−==.Dengan konsep trigonometri dasar maka diperoleh:sin A = 265Gambar 6.16 Nilai cos A = 15pada segitiga siku-siku
194Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Langkah 4.Jadi, luas ∆ABCD = luas ∆BAD + luas ∆BCD luas ∆ABCD = 12.AB.AD.sin A +12.CB.CD.sin Cluas ∆ABCD =12.1.4.sin A +12.2.3.sin (180o – A)luas ∆ABCD = 2.sin A + 3.sin Aluas ∆ABCD = 5.sin A luas ∆ABCD = 5 × 265luas ∆ABCD = 26Jadi, luas segiempat ABCD pada lingkaran tersebut adalah26satuan luas.Contoh 6.4Pada segitiga ABC dengan luas L. Panjang AB = p, AC = q. Jika D pada BC sehingga AD membagi sudut BAC menjadi dua bagian yang sama yaitu xo maka tentukan panjang AD. Alternatif PenyelesaianSoal ini diserahkan kepada siswa. Kamu kerjakan soal tersebut dengan petunjuk pada langkah-langkah berikut.Langkah 1.Gambarkan segitiga yang dimaksudLangkah 2. Perhatikan bahwa segitiga terbagi menjadi dua bagian. Tentukan luas masing-masing bagian. Hasil jumlah kedua bagian segitiga sama dengan luas segitiga ABC.Langkah 3.Panjang AD telah ditemukan.
195MatematikaUji Kompetensi 6.11.Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal Aberlayar dengan dengan jurusan tiga angka 1020 dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 2320. Hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam, jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam. 2.Tentukan sisi-sisi segitiga ABC, jika diketahui sebagai berikut.a)a + b = 10, ∠A= 600, dan ∠B = 450b)a – b = 6, ∠A= 450, dan ∠B = 3003.Dua sisi yang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 84 cm dan 68 cm. Sudut apit sisi itu adalah 72°. Hitunglah luas jajargenjang tersebut.ABCabcPQRpqr4.Diketahui segitiga ABC seperti gambar di samping. Buktikanlah bahwaabcABC±=±sinsinsin.5.Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui berikut ini.∆ABC dengan a = 24 cm, b = 32 cm, dan ∠B = 520∆ABC dengan b = 20 cm, b = 18 cm, dan ∠B = 12406.Hitunglah besar sudut-sudut pada segitiga ABC, jika diketahui a = 5 cm, b = 7 cm, dan c = 9 cm.7.Diketahui segitiga PQR seperti gambar di samping. Buktikanlah bahwaprQRR=+sin()sin.
196Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1DCBAabacd8.Diketahui jajargenjang ABCDdengan panjang diagonal c dan dseperti gambar di samping. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga, buktikanlah bahwa c 2 + d 2= 2(a2 + b2).9.Diketahui segiempat ABCD seperti gambar di samping. Jika panjang diagonal BD = 6 cm, dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga tentukanlah panjang diagonal AC.ABCD3,5 cm5,5 cm4cm6cm10.Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan 3 cm berpotongan pada dua titik. Pada salah satu titik potong, garis singgung kedua lingkaran membentuk sudut 600 seperti gambar di samping. Tentukanlah jarak kedua titik pusat lingkaran tersebut.5cm3cmOP60○11.Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC, buktikanlah bahwaa)c2 < a2 + b2 jika ∠C lancip;b)c2 > a2 + b2 jika ∠C tumpul; danc)c2 = a2 + b2 jika ∠C siku-siku.12.Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwaa) coscoscosAaBbCcabcabc++=++2222b) coscoscos()()()ABCabcabacbcabcabc++=+−++−++−2222
197MatematikaProjekLukislah sebuah segitiga sembarang. Dengan menggunakan penggaris dan busur kemudian ukurlah panjang masing-masing sisi dan sudutnya. Selanjutnya buktikanlah bahwa aturan sinus dan aturan kosinus berlaku pada segitiga tersebut (Agar perhitunganmu akurat, gunakan kalkulator untuk menghitung nilai sinus dan kosinus sudut-sudut segitiga tersebut). Buatlah laporan hasilnya dan persentasikan di depan kelas.D.PENUTUPBerdasarkan uraian materi pada Bab 6 ini, beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan sebagai berikut.1.Untuk sembarang segitigaABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan sinusaAbBcCsinsinsin== .2.Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan cosinus(i)a2 = b2 + c2- 2bc cos A(ii)b2 = a2 + c2- 2ac cos B(iii) c = a2 + b2- 2ab cos C3.Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlakuLuas ∆ABC =12×ab sin C =12×bc sin A =12×ac sin BBeberapa hal yang telah kita rangkum di atas adalah modal dasar bagi kamu dalam belajar materi trigonometri secara lebih mendalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan baik karena akan membantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
198Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Anton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, IncBall, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All Students (Toward a Strategic Research and Development Program in Mathematics Education). United States of America: RAND.Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United States of America: The Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD).Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press.Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education national research council (2001). Educating Teachers of science, mathematics, and technology (new practice for new millennium. United States of America: the national academy of sciences.Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United States of America: Clay Mathematics Institute. Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael’s College Colchester.
199MatematikaHoward, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem Solving 7. Columbus-USA,The McGraw-Hill Companies, Inc.Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University of Cambridge.Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge. Slavin, Robert, E. (1994). Educational psychology, theories and practice. Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore: Federal Publication (S) Pte Lsd.Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics For Yhe International Student (International Baccalaureate Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.Van de Walle, John A. (1990). Elementary school mathematics: teaching developmentally. New York: Longman.Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (teaching developmentally). United States of America: Allyn & Bacon.
200Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Catatan:.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................