Halaman
195TurunanSumber:CD Corel Boat 3TurunanVBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan arti fisisdan geometris turunandi satu titik;2. menentukan laju per-ubahan nilai fungsiterhadap variabel be-basnya;3. menggunakan aturanturunan untuk meng-hitung turunan fungsialjabar;4. menentukan persa-maan garis singgungpada suatu kurva;5. menentukan selang dimana suatu fungsi naikatau turun;6. menentukan titik sta-sioner fungsi dan jenisekstremnya;7. menentukan titik beloksuatu fungsi;8. menggambarkan gra-fik fungsi.9. memudahkan masalahyang berkaitan denganturunan fungsi;10.menyelesaikan danmenafsirkan modelmatematika yang ber-kaitan dengan turunanfungsi.MotivasiKecepatan dan percepatan merupakan dua buah besaranturunan yang sering dibicarakan dalam ilmu fisika. Konsepkecepatan diperoleh dari perubahan jarak terhadap waktu,sedangkan percepatan diperoleh dari perubahan kecepatanterhadap waktu. Contoh percepatan adalah dalam sebuah lombabalap speed boat. Pada saat berangkat dari start, speed boat mulaimelaju, kemudian mempercepat kelajuannya. Dapatkahkecepatan sesaat pada waktu tertentu ditentukan? Kasus-kasusseperti ini akan mudah ditentukan dengan menggunakan ilmuhitung turunan.
196Khaz Matematika SMA 2 IPS• aturan rantai• dalil L’Hopital• diferensiabel• fungsi naik• fungsi turun• garis singgung• gradien• kecepatan• maksimum• minimum• nilai stasioner• percepatan• titik kritis• turunanTurunanTurunan FungsiAljabarmempelajariFungsi Naik,Fungsi Turun,dan NilaiStasionerGrafikFungsiAplikasiRumus DasarTurunanAturanRantaiKasusMaksimumdanMinimumPenyelesaianLimit TakTentuKecepatandanPercepatanPersamaanGarisSinggungKata KunciPeta Konsepdiselesaikan denganuntuk menentukanlim()()0hfx h fxhA+<
197TurunanPrasyaratKerjakan di bukutugas1.Tentukan gradien dari garis y = 2x + 2.2.Diketahui f(x) = 2x + 2. Tentukanlim()()hfx hfxhA=+<0.3.Samakah hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antarasoal 1 dan 2?A. Turunan dan Tinjauan Geometrinya1. Pengertian TurunanPada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajarilimit fungsi yang mengarah ke konsep turunan (diferensial).Perhatikan kembali bentuk limit fungsi berikut.Misalkan diberikan fungsi y = f(x). Jika hxfhxfh)()(lim0<+Aada, fungsiy = f(x) dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di titik x.Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f'(x) atau dxdy.Jadi, turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut.dxdy = f'(x) = hxfhxfh)()(lim0<+ANotasi dxdy dibaca ”dy dx” artinya ”turunan dari y ke x”,Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari tentang limitfungsi. Limit fungsi merupakan materi prasyarat untukmempelajari turunan. Di akhir bab limit fungsi, kalian telahmempelajari limit fungsi yang mengarah pada konsep turunan.Pada bagian itu, kalian telah memperoleh bentuk limit yangmenjadi dasar turunan. Di samping itu, ketika di SMP kalianpernah mempelajari kemiringan (gradien) suatu garis.Kemiringan ini akan membantu kita dalam mempelajari konsepturunan.Sebelum mempelajari bab ini, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.Lagrange (1736–1813)Gambar 5.1Sumber:www.cygo.comSetelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, marilanjutkan mempelajari materi berikut.
198Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh 1:pertama kali diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716), sedangkan f'(x) diperkenalkan oleh Joseph LouisLagrange (1736–1813).Agar kalian ingat kembali materi tersebut, perhatikan contohberikut.Dengan menggunakan definisidxdy = f'(x) = hxfhxfh)()(lim0<+A,tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 + 1.Jawab:hxfhxfh)()(lim0<+A=lim() ( )hxhxhA++<+02211=hxhxhxh112lim2220<<+++A=hhxhh202lim+A = 0limAh2x + h = 2xContoh 2:Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 23x.Jawab:hxfhxfh)()(lim0<+A=hxhxh2203)(3lim<+A=hxhxhxh2220323lim<++A=2222220)2()2(33limxhxhxhhxhxxh++++<A=lim()hA<<++02222632xhhhxxh h x=lim()hxhxxhhxA<<++02222632= <64xx = –63x
199TurunanJendela InformasiInformasi lebih lanjutGottfried Wilhelm LeibnizSumber:www.cygo.comLeibniz (1646–1716)Pada akhir abad XVII, ahli matematikamengenal penjungkirbalikan pendapat yangluar biasa. Bilangan kecil yang nilainya tidakberhingga kecilnya sangat mencolok danmulai saat itu menggelitik para ahli. TokohJerman, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) menyumbangkan karyanya dalammembangun hitung diferensial (turunan) daninfinitesimal. Leibniz adalah pencipta notasiturunan dydx. Dia juga pencipta notasi integral0. Carilah informasi tentang tokoh ini dankarya-karyanya di perpustakaan atau internet.Sumber: www.noisefactory.co.ukSoal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugasDengan menggunakan definisi turunan suatu fungsi, tentukanturunan pertama dari fungsi-fungsi berikut.1.f(x) = 3x + 56.f(x) = x2.f(x) = 3x2 + 17.f(x) = xx3.f(x) = x2 + 3x + 48.f(x) = (3x – 2)24.f(x) = 52x9.f(x) = 11x+5.f(x) = <32x10.f(x) = (1 – x)32. Turunan Ditinjau dari Sudut Pandang GeometriSeperti telah dibahas pada babsebelumnya, limit yang mengarah padakonsep turunan dapat digambarkan sebagaikemiringan atau gradien suatu kurva di titiktertentu. Misalkan diberikan fungsi y = f(x),titik P(x, y), serta Q(x + 6x, y + 6y) sepertitampak pada gambar samping.Pada gambar di samping, sudut _adalah besar sudut yang dibentuk antara garisg yang menyinggung fungsi f(x) di titik Pdengan sumbu X, sedangkan sudut ` adalahbesar sudut yang dibentuk antara garisGambar 5.2
200Khaz Matematika SMA 2 IPSpenghubung titik P dan Q dengan sumbu X. Seperti yang kalianketahui bahwa nilai tangen merupakan koefisien kemiringansuatu garis. Koefisien arah suatu garis sama dengan nilai tangensudut garis terhadap sumbu mendatar. Oleh karena itu, darigambar tersebut, diperolehtan ` = xy66 = xxfxxf6<6+)()(.Nilai tan _, yaitu gradien persamaan garis singgung gterhadap f(x) di titik P dapat ditentukan dengan cara pendekatanberikut ini.Misalkan titik Q bergerak sepanjang f(x) mendekati titik P.Akibatnya, 6xA 0. Dengan demikian, besar sudut ` mendekatibesar sudut _. Dengan kata lain,`A6tanlim0x = xyx66A60lim = xxfxxfx6<6+A6)()(lim0 = tan _.Besar perubahan x yang dinyatakan dengan 6x biasanya jugadinyatakan dengan h.Dari bentuk limit terakhir, tampak bahwa kemiringan(gradien) suatu garis g merupakan nilai tangen sudut garis itu,yaitu tan _. Dengan demikian, f'(x) merupakan gradien garissinggung fungsi f(x) di titik (x, y). Selain diartikan sebagai gradiengaris singgung, f'(x) juga diartikan sebagai laju perubahan suatufungsi.Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Gradien garis singgungdi titik P(a, b) yang terletak pada fungsi y = f(x) adalah sebagaiberikut.m = f'(a) = hafhafh)()(lim0<+AContoh:Tentukan gradien garis singgung kurva yang memilikipersamaan f(x) = x4, untuk x& 0 di x = 2.Jawab:f'(x)= hxhxh44lim0<+A= )(444lim0hxxhhxxh+<<A
201Turunan= lim()hxx hA<+04= 24x<Dengan demikian, gradien garis singgung kurva y = f(x) untukx = 2 adalah m = f'(2) = 24x< = –1.Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1.Soal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugasUntuk soal nomor 1 – 5, tentukan gradien garis singgung fungsiberikut di titik yang diberikan.1.f(x) = 4x, di x = 22.f(x) = x2 – x, di x = 13.f(x) = 3x2 + 2x – 5, di x = 34.f(x) = 4x2 + 3x – 2, di x = 25.f(x) = 2x3 – 4x2 + x + 1, di x = 1Untuk soal nomor 6–8, tentukan laju perubahan fungsi di titikyang diberikan.6.f(x) = x3<, untuk x& 0 di x = 47.f(x) = x23, untuk x& 0 di x = 28.f(x) = 122+x, di x = 19.Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaanditunjukkan oleh persamaan C = 8Q2 – 400Q + 10.000(C dalam ratusan ribu rupiah Q jumlah unit barang).Fungsi biaya marginal (MC) dirumuskan sebagai MC =dCdQ. Tentukan fungsi biaya marginalnya.10. Suatu fungsi permintaan suatu barang ditaksir denganrumus Q = 16 – 14P, dengan Q jumlah barang yangdiminta dan P harga per unit (P dalam ribuan rupiah).a.Bagaimana bentuk grafiknya?b.Apakah jumlah barang maksimum bergantung padaharga per unitnya? Mengapa jawaban kaliandemikian? Jelaskan melalui konsep turunan.
202Khaz Matematika SMA 2 IPSB. Turunan Fungsi AljabarMisalkan terdapat fungsi f(x) = c, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3,f(x) = x4, dan seterusnya hingga f(x) = xn. Dengan menggunakanrumus dxdy = f'(x) = hxfhxfh)()(lim0<+A, kalian akanmemperoleh turunan fungsi f(x) = c adalah f'(x) = 0, turunanfungsi f(x) = x adalah f'(x) = 1, turunan fungsi f(x) = x2 adalahf'(x) = 2x, turunan fungsi f(x) = x3 adalah f'(x) = 3x2, danseterusnya.Secara umum, fungsi f(x) = xn, dengan n bilangan bulat,turunannya dapat ditentukan dengan f'(x) = hxhxnnh<+A)(lim0.Menurut teorema binomial, untuk x dan y bilangan real dann bilangan asli, berlaku(x + y)n= Cn0xn + Cn1xn–1y + Cn2xn–2y2 + ... + CnnynDengan teorema tersebut, diperoleh sebagai berikut.f'(x)=hxhxnnh<+A)(lim0=lim...hnnnnnnnnCxCx hCh xhA<+++<0011=lim...hnnnnnxCxhhxhA<+++<011=lim...hnnnCx hhhA<++011=Cn1xn–1=nxn–1Dengan demikian, apabila f(x) = xn dengan n bilangan aslimaka telah terbukti f'(x) = nxn–1. Dengan cara yang sama, jikaf(x) = axn maka dapat dibuktikan bahwa turunan f(x) adalah f'(x)= anxn–1. Rumus ini juga berlaku untuk n bilangan rasional (buktitidak diberikan). Coba kalian tunjukkan dengan salah satu ataubeberapa contoh bilangan rasional. Oleh karena itu, secara umumdapat dikatakan sebagai berikut.Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta, sedangkan f'(x)turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan sebagai berikut.PerhatianCnm adalah kombinasi nunsur dari m unsur yangtersedia yang dirumuskandengan Cnm = mnm n!!() !<.Notasi faktorial telah kalianpelajari di Bab II.
203TurunanJika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0.Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn–1.Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f'(x) = anxn–1.Contoh 1:Tentukan turunan daria.f(x) = 6x4;b.f(x) = x1.Jawab:a.Karena f(x) = 6x4 maka dalam hal ini a = 6 dan n = 4.Jadi, f'(x) = 6(4x4–1) = 24x3.b.f(x) = x1 = x–1. Dalam hal ini, n = –1.Jadi, f'(x)= –x–1–1= –x–2 atau f'(x) = 21x<.Contoh 2:Tentukan turunan dari f(x) = x.Jawab:Dengan menggunakan definisi turunan, diperolehf'(x)=limhxh xhA+<0=limhxh xhxh xxh xA+<×++++0= lim ( (( hx hxx hxA+<++022)))h=lim()hxhxhx h xA+<++0=limhxh xA++01 = 12xJika kalian menggunakan rumus turunan fungsi untuk f(x) =xn di atas, dalam hal ini n = 21, kalian akan memperoleh hasilf'(x) = 12121x< = 1212x<= 12x.Tugas: Investigasi• Kerjakan di buku tugasBuatlah fungsi dengan pang-kat variabelnya berupabilangan pecahan, misalnyaxx3527,, atau x13. Tentukanturunan fungsi-fungsi yangtelah kamu buat denganmemakai definisi fungsiturunan seperti di atas. Per-hatikan hasil yang diperoleh.Samakah hasilnya jikadikerjakan memakai rumusturunan fungsi f(x) = axn diatas?
204Khaz Matematika SMA 2 IPSC. Sifat-Sifat Turunan Suatu FungsiMisalkan n bilangan rasional, c konstanta, u(x) dan v(x)fungsi-fungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masingu'(x) dan v'(x). Jika f'(x) turunan dari f(x), berlaku sifat-sifatsebagai berikut.a.f(x) = c u(x), turunannya f'