Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR1.Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2.Mendeskripsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli.3.Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.Melalui pembelajaran materi barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya, siswa memperoleh pengalaman belajar:•Menemukan konsep dan pola barisan dan deret melalui pemecahan masalah otentik.•Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur.•Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan pola barisan dan deret tak hingga dalam memecahkan masalah otentikBARISAN DAN DERET TAK HINGGA• PolaBilangan• Beda• Rasio• BarisanTakHingga• BarisanKonstan,Naik,danTurun• DeretTakHingga• JumlahsukutakhinggaBab5
154Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1B.PETA KONSEPFungsiMateriPrasyaratDeret Tak HinggaBarisan BilanganMasalah OtentikBarisan Tak HinggaSuku awalNaikBedaUnsurNilaiSukuTurunSuku ke-nJumlah Suku Ke-nKonstan
155MatematikaC.MATERI PEMBELAJARAN1.Menemukan Konsep Barisan dan Deret Tak Hingga. Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret tak hingga berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Dalam mempelajari materi pada bab ini, ingat kembali barisan dan deret aritmatika (geometri) yang sudah kamu pelajari di kelas X. Kita akan mempelajari beberapa kasus dan contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret tak hingga pada bab ini. Barisan suatu obyek membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu. Aturan yang dimaksud adalah pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap suatu barisan untuk menemukan pola. Selanjutnya cermati masalah berikut.Masalah-5.1Dua potong kawat besi disandarkan pada sebuah dinding rumah tempat bunga menjalar. Di antara kedua kawat dibuat potongan–potongan kawat E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya seperti terlihat pada gambar berikut. ABCD1 mGambar-5.2. Posisi KawatTersandar di Dinding RumahxO(0,0)E1 E3 E5 E2 E4 QE6 Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah
156Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Kemiringan posisi kawat sebelah kiri adalah r dengan 0 < r < 1, r∈R dan kemiringan kawat sebelah kanan adalah 1. Jarak kedua kawat di tanah adalah 1 meter dan jarak BE1 = QE2 adalah r meter. a.Tentukan panjang potongan kawat E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r.b.Temukan susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak dari titik A ke titik B, jarak titik B ke Q dan seterusnya sampai ke titik D!c.Tentukan fungsi yang menyatakan susunan bilangan dalam r!d.Tentukan jarak titik dari A ke D!Alternatif PenyelesaianMari kita gambarkan posisi kawat besi dalam sumbu koordinat.ABCD1 mGambar-5.2. Posisi KawatTersandar di Dinding RumahxO(0,0)E1 E3 E5 E2 E4 QE6 Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding RumahKoordinat titik A(0,0) dan B(1,0) adalah dua titik yang berada pada sumbu x. Karena ruas garis AC (kawat sebelah kiri) memiliki gradien r dengan 0 < r < 1 dan ruas garis BC (kawat sebelah kanan) memiliki gradien 1, maka kedua ruas garis bertemu pada satu titik, yaitu titik C. Misalkan titik E1 pada ruas garis AC. Karena ruas garis AC bergradien r dan panjang AB adalah 1 maka panjang BE1 adalah r. Titik E2 berada pada ruas garis BC, karena gradien BC adalah 1, maka panjang E1E2 adalah r dan panjang E1E2 = BQ = r.
157Matematika• KarenagradiengarisAC adalah r dan panjang E1E2 = r, maka panjang E2E3 = r2. • KarenagradiengarisBC adalah 1, maka panjang E3E4 = r2 dan QR = r2. Dengan cara yang sama, diperoleh panjang E5E6 = r3 dan jika kita tambahkan potongan kawat di antara garis AC dan BC di atas E5E6 menuju titik C, maka diperoleh panjang potongan kawat berikutnya r3, r4, r5, .... Mengapa?a.Panjang E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r adalah r, r2 r3, r4, r5, ...b.Susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak titik A ke titik B, titik B ke Q, titikQ ke R dan seterusnya sampai ke titik D, yaitu: 1, r, r2,r3, ..., dengan 0 < r < 1.c.Fungsi yang menyatakan susunan bilangan pada bagian (b) adalah u(n) = r n– 1, n∈N.d.Panjang AD adalah hasil penjumlahan 1, r, r2, r3, ... AD = 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... =rnn−=∞∑11 dengan 0 < r < 1Perhatikan Gambar-5.2 di atas, dengan menggunakan aturan dalam trigoniometri, diperoleh jarak BD = CD = r + r2 + r3 + r4 + ...Misalkan s = 1 + r + r2 + r3 + r4 + ...Karena panjang ruas garis BD = r + r2 + r3 + r4 + ... = s - 1, maka CD = s – 1Perhatikan ADABCDBE=1 ataussr11=−. ssr11=−⇔rs = s - 1 ⇔ (1- r)s = 1⇔s =11−rBerdasarkan uraian di atas panjang AD = s =11−r , dengan 0 < r < 1. Panjang segmen garis AD ini dapat diartikan jumlah takhingga suku-suku barisan 1, r, r2, r3, r4, r5, ...
158Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Masalah-5.2Siti menggunting kertas menjadi dua bagian yang sama besar. Potongan kertas berikutnya digunting lagi menjadi dua bagian yang sama besar, seperti gambar berikut.Potongan pertamaPotongan keduaPotongan ketigaPotongan keempatPotongan seterusnyaSusunlah bilangan-bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, apabila potongan kertas berikutnya digunting dua bagian yang sama.Alternatif PenyelesaianSiti menggunting kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar1 kertas 2 potong kertasDua potongan kertas di atas, digunting menjadi dua bagian yang sama besar untuk setiap potongan kertas sehingga diperoleh potongan kertas berikut.
159Matematika2 potong kertas 4 potong kertasMisalnya n menyatakan guntingan ke-nUntuk n = 1, diperoleh banyak potongan kertas adalah 2Untuk n = 2, diperoleh banyak potongan kertas adalah 4Untuk n = 3, diperoleh banyak potongan kertas adalah 8Untuk n = 4, diperoleh banyak potongan kertas adalah 16Jika guntingan kertas dilanjutkan maka akan diperoleh suatu susunan bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, yaitu: 2, 4, 8, 16, 32, ... Susunan bilangan tersebut membentuk sebuah barisan tak hingga, dengan nilai suku-suku barisan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi u(n) = 2n dengan n∈N. Lengkapilah tabel berikut untuk melihat jumlah parsial dari susunan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, .... Tabel 5.2: Jumlah parsial suku-suku barisan u(n) = 2nDeretJumlah suku–suku Jumlah Potongan Kertass1u12s2u1 + u26s3u1 + u2 + u3s4u1 + u2 + u3 + u4.........snu1 + u2 + u3 + u4... + un.........snu1 + u2 + u3 + u4 ... + un + ............Amati data pada tabel yang kamu temukan. Dapatkah kamu menentukan suku dengan n = 20? Berapa jumlah 2, 4, 8, 16, 32, .... , jikan→∞ ?
160Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Masalah-5.3Sebuah bola jatuh dari ketinggian 9 meter ke lantai yang disajikan pada gambar berikutGambar-5.3: Pantulan BolaBola memantul kembali secara terus menerus setinggi 23 dari ketinggian sebelumnya.a.Tentukanlah susunan bilangan yang menyatakan ketinggian pantulan bola tersebut!b.Tentukan panjang lintasan yang dilalui bola setelah memantul ke lantai!Alternatif Penyelesaiana.Ditemukan susunan bilangan dari hasil pantulan bola.Dari masalah diketahui bahwa ketinggian pantulan bola adalah 23 dari ketinggian pantulan sebelumnya. Dengan demikian ketinggian yang dicapai bola untuk tiap-tiap pantulan ditentukan sebagai berikut.Ketinggian bola awal = 9 mPantulan pertama =2396×=Pantulan kedua =2364×=Pantulan ketiga =23483×=dan seterusnya ...
161MatematikaTabel 5.1 Tinggi Pantulan Bola...4321Pantulan ke...16/98/346Tinggi pantulan (m)...u4u3u2u1Suku ke ...• Cobakamuteruskanmengisitabelpadapantulanberikutnya• Apakahmungkinterjadiketinggianpantulanbolasamadengannol?Pantulan bola diperlihatkan seperti gambar di bawah iniCermati gambar di samping! • Apakahbolasuatusaatakan berhenti?• Bagaimanatinggipantulanbola untuk n menuju tak hingga n→∞()0 1 2 3 4 5tinggilantaiGambar-5.4: Posisi Pantulan BolaBerdasarkan perhitungan dan gambar di atas diperoleh susunan bilangan menyatakan ketinggian pantulan bola, yaitu: 6, 4, 83, 169, 3218, ...9m6m4m𝟖𝟖𝟑𝟑𝒎𝒎...𝑥𝑥23𝑥𝑥23𝑥𝑥23𝑥𝑥23
162Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan. Nilai r dinyatakan: ruuuuuuuunn====...=−2132431. Jadi u1 = 9. 23= 6 u1 = au2 = u1.23 = 6. 23 = 4 u2 = u1.r = aru3 = u2.23 = 4. 23 = 83u3 = u2.r = ar.r = ar2u4 = u3.23 = 83. 23 = 169u4 = u3.r = ar2.r = ar3u5 = u4.23 =169. 23 = 3227u5 = u4.r = ar3.r = ar4Susunan bilangan 6, 4, 83, 169, 3227, 6481, 128243,... dapat dinyatakan dalam sebuah fungsi u(n) = 9(23)n , dengan n ∈N.Susunan bilangan di atas dapat diekspresikan sebagai barisan tak hingga.𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥aarar2.....arn-1𝒖𝒖1 𝒖𝒖3 𝒖𝒖2 𝒖𝒖n 𝒖𝒖... .....b.Ditentukan panjang lintasan yang dilalui bola untuk 10 kali pantulan.Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S.suuuuu=++++...+()2123410⇔suuuuuu=++++...+()−21234101⇔ss=210
163MatematikaTabel 5.2: Jumlah Parsial Lintasan BolaDeret Jumlah suku-sukuNilais1u16s2u1 + u261236536943+==−()()s3u1 + u2 + u36123249619962789++==−()()s4u1 + u2 + u3 + u4612324948276652768116125+++==−()().........snu1 + u2 + u3 + u4+ ... + unsnnnn=−−63231()Berdasarkan tabel di atas deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah,ssssn123,,,...,,...yaitu 63236323632363231102213321(),(),(),...,()−−−−−nnnJadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah s=2s10 atau s=−632310109()Perhatikan kembali susunan bilangan yang diperoleh dari Masalah-5.1, Masalah-5.2, dan Masalah-5.3, yaitu:• 1, r, r2, r3, r4, r5, ... yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = rn-1 dengan n∈N• 2,4,8,16,32,...yangdinyatakandalamfungsiu(n) = 2n-1 dengan n∈N.•6, 4, 83, 169, 3227, 6481, 128243,... yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = 9(23)ndengan nεN.Berdasarkan beberapa model barisan bilangan di atas, dapat dipastikan bahwa barisan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli (N) dan rangenya adalah suatu himpunan (Rf) bagian dari S, ditulis f : N → S, Rf⊆ S.
164Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Definisi 5.1Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunanRSu⊆. DitulisunNn()⊆,.Definisi 5.2Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ ...+ un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga. •Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga. Ditulis (sn),n∈N atau s1, s2,s3, ...,sn, ...•Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku barisan tak hingga. Ditulis uuuunnn==∞∑=+++1123...Contoh 5.1Perhatikan barisan angka berikut:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... Amatilah barisan angka tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah angka pada urutan ke 44 × 53!Alternatif PenyelesaianPertama,kitaperlihatkanurutansetiapangkapadabarisan,padagrafikberikut:12345012345678910...nsGambar-5.5: Barisan Sebagai FungsiGambar-5.5: Barisan Sebagai Fungsi
165MatematikaJika kamu amati dengan teliti, kelompok angka 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 pada urutan ke-1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok angka terjadi pada setiap kelipatan 10 angka pertama. Jadi, angka pada urutan ke-1 sama dengan angka pada urutan ke-11, urutan ke-21, urutan ke-31 dan seterusnya. Kedua, angka pada urutan ke- 44 × 53 adalah angka pada urutan 256 × 125 = 32.000 atau 32000 = 3200 × 10 sehingga perulangan kelompok angka tersebut mengalami perulangan sebanyak 3200 kali. Dengan demikian, angka pada urutan ke-32000 adalah angka pada urutan ke-10 yaitu 4. Contoh 5.2Sebuah susunan angka dituliskan sebagai berikut: 246810121416182022242628303234363840... dengan memandang setiap angka adalah suku barisan bilangan sehingga suku ke-10 = 4, suku ke-11 = 1, suku ke-12 = 6 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-1457?Alternatif PenyelesaianMari kita amati kembali barisan tersebut, dengan memandang setiap angka adalah suku-suku barisan, maka susunan barisan menjadi:24681012141618202212345678...?↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu91011121314151617182013...un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ...Kita akan menentukan angka pada suku ke-1457, dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut: Langkah 1.Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (2 sampai 8): 2, 4, 6, 8 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 4 = 4 suku.Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 98) 10, 12, 14, 16, 18 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku20, 22, 24, 26, 28 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku...90, 92, 94, 96, 98 terdapat 2 õ 5 suku = 10 sukuBanyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 10 = 90 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 2 sampai 98 adalah 4 + 90 = 94 suku.
166Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Langkah 3.Menentukan banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 998)100, 102, 104, 106, 108, ..., 198 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku200, 202, 204, 206, 208, ..., 298 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku300, 302, 304, 306, 308, ..., 398 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku...900, 902, 904, 906, 908, ..., 998 terdapat 3 õ 50 suku = 150 sukuBanyak suku untuk barisan bilangan ratusan dari mulai 100 sampai 998 adalah 9 × 150 = 1350 sukuJadi terdapat sebanyak 4 + 90 + 1350 = 1444 suku pada barisan bilangan 2 sampai dengan 998 sehingga suku ke-1444 adalah 8. Suku berikutnya (suku ke-1457) adalah barisan bilangan dengan bilangan ribuan sebagai berikut.998100010021004114421443144414451446↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓uuuuuuuuuuuuuuuuu14471448144914501451145214531454145514561457 ....Bilangan pada suku ke-1457 adalah 1.Sifat 5.1Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = adan rasio = r dengan rεR danr<1maka jumlah tak hingga suku-suku barisan tersebut adalahsar=−1.Bukti:Misalkan un = ar n-1 dengan -1 < r < 1, n εNIngat kembali deret geometri yang telah kamu pelajari sebelumnya, telah diperoleh bahwa sn = a + ar + ar2 + ... + ar n – 1 ............... Pers-1Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan Persamaan 2 berikut.rsn = ar + ar2 + ar3 + ... + ar n ............... Pers-2Sekarang, dari selisih persamaan 1) dengan 2), diperoleh
167Matematikasn – rsn = (a + ar + ar2 + ... + arn – 1) – (ar + ar2 + ar3 + ... + arn) sn(1 – r) = a – arn saarrnn=−−1Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah sarrrnn=−−<(),.111denganKita ingin menentukan jumlah tak berhingga suku-suku barisan geometri, ini, yaitu, Sn bila n →∞.Karena rε R dan -1 < r < 1 dan n→∞,makalimlim()nnnnsarr→∞→∞=−−11= lim(n→∞ar1− -rrn1−)=ar1−.Mengapa?s ==−−=∞∑ararnn111 (terbukti)•Coba pikirkan bagaimana jumlah suku-suku barisan geometri jika r ∈ R, r > 1dan r < -1.•Bagaimana jika r =1 atau r =-1, coba beri contoh barisannya.Contoh 5.3Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 555+dan rasionya adalah 155. Tentukan suku pertama deret tersebut!Alternatif PenyelesaianKarena r = 155< 1, maka jumlah tak hingga suku barisan adalahar1−.sehingga .5551155+=−a⇔a = (5 + 5 5)(1 -5)⇔a = 5 5 + 55-5⇔a = 4 Dengan demikian suku pertama barisan tersebut adalah a = 45
168Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 5.4Diberikan barisan bilangan 2,43891627231,,,...,,...nn− dengan n ∈N•Tentukan suku ke-9!•Tentukan jumlah tak hingga barisan tersebut!Alternatif PenyelesaianDiketahui 2,43891627231,,,...,,...nn− dengan n ∈ N(un) = 231nn− , n ∈ NSuku ke-9 adalah u9 =235126561991−=un = , n ∈ NBerati u1= a = 2 dan r = 23< 1Jumlah tak hingga suku-suku barisan 2,43891627231,,,...,,...nn− dengan n∈N adalah snnnnn===−==−=∞−=∞∑∑23223212321361111 (karena r = 23 < 1)Jadi s = 6Contoh 5.5Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-suku genap adalah 2. Tentukan suku pertama deret itu!Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, maka 6 =ar1− dan diperoleh nilai a = 6(1 -r).Deret geometri tak hingga suku-suku genap adalah ar + ar3 + ar5 + ar7 + ..., maka rasionya adalahuuararrnnnn++==122 .
169MatematikaKarena r<1atau -1 < r < 1, makar21< atau -1 < r2 < 1 dan jumlah tak hingga suku-suku genapnya adalah2 = arr12−⇔ar = 2(1 – r2)⇔6(1 – r)r = 2(1 – r2)⇔6(1 – r)r = 2(1 – r)(1 + r)⇔ 6r = 2(1 + r)⇔r =12r = 12 disubtitusikan ke persamaan a = 6(1– r). Sehingga diperoleh a = 3. Jadi suku pertama deret geometri tak hingga tersebut adalah a = 3.2. Barisan Konstan, Naik, dan TurunAmatilah suku-suku beberapa barisan berikuta.un = 12, ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis,12 ,12 ,12 ,12 , ,12 ,12 ,12 ...b.un = -1, ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, -1, -1, -1, -1, -1, -1, ...c.un = k, ∀∈nN dan untuk suatu k∈R. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, k, k, k, k, ... Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa suku barisan pada poin (a), (b), dan (c), nilainya tetap atau sama untuk setiap suku sampai n→∞. Jika suatu barisan dengan suku-sukunya sama atau tetap untuk setiap n, n→∞, barisan itu disebut barisan konstan.
170Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Definisi 5.3Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan konstan jika dan hanya jika suku sebelumnya selalu sama dengan suku berikutnya.Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔un = un+1, ∀∈nN.Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikuta.un = rn-1, ∀∈nN dengan 0 < r < 1. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1, r, r2, r3, ...b.un = , ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis,12,131415,,,...c.un = (12)n , ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 12, 1418116,,,...Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin kecil suku barisannya sampai n→∞. Jika suatu barisan memiliki suku-sukunya makin kecil untuk suku sampai n→∞, barisan itu disebut barisan turun.Definisi 5.4Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan turun jika dan hanya jika suku berikutnya kurang dari suku sebelumnya.Ditulis (un) disebut barisan turun ⇔un = un+1, ∀∈nN.Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut.a.un = (3)n , ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 3, 9, 27, 81, ...b.un = 11n+, ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis,12,131415,,,...c.un = n+1, ∀∈nN. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
171MatematikaBerdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin besar nilai suku barisannya sampai n→∞. Jika suatu barisan memiliki nilai suku-sukunya makin besar untuk suku sampai n→∞, barisan itu disebut barisan naik.Definisi 5.5Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan naik jika dan hanya jika suku berikutnya lebih dari suku sebelumnya. Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔un = un+1, ∀∈nN.Perhatikan beberapa barisan berikuta.Barisan: 1, 1, 1, 1, 1, ... dengan un = 1, ∀∈nN. Barisan ini disebut barisan konstan dengan nilainya tidak lebih dari 1 (satu).b.Barisan -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., dengan un = (-1)n , ∀∈nN. Nilai mutlak suku-suku barisan tersebut tidak lebih dari 1 (satu).c.Barisan: 1,12,131415,,,... dengan un = 1n , ∀∈nN . Barisan ini disebut barisan turun dan suku-sukunya tidak lebih dari 1 (satu). d.Barisan: ..., -1,−−−13151712141618,,,...,,,,,...dengan un = −()11nn ,∀∈nNNilai mutlak suku-suku barisan ini tidak lebih dari 1 (satu) sampai n menuju tak hingga. Barisan pada (a) sampai (d) merupakan barisan yang terbatas.Definisi 5.6Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan terbatas jika dan hanya ada bilangan real M > 0 yang membawahi selur uh nilai mutlak suku barisan tersebut.Ditulis (un) dikatakan barisan terbatas⇔∃∈()>MRM0 sehingga un = uMn′′,∀∈nN.
172Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Barisan pada a sampai d merupakan barisan yang terbatas.BerdasarkanDefinisi5.6diatasdapatditurunkanbeberapasifatberikutSifat 5.2Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a, a ≠ 0 dan rasio = r dengan r∈R dan r < –1 atau maka barisan tersebut tidak terbatas.Contoh 5.6Diberikan barisan un = 2n, n∈N. Selidiki apakah barisan tersebut terbatas.Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (n), n ∈N adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Amatilah suku-suku barisan tersebut! Semakin besar urutan suku barisan tersebut, semakin besar sukunya dan naik menuju tak hingga.Rasio barisan adalah r =uunnnn++==>112221Barisan un = (2n), n ∈ N adalah barisan tak terbatas sebab berapapun kita pilih M ∈R, M > 0, maka ada suku barisan un yang lebih dari M. Dengan demikian ada n ∈ N, sehingga un > M. Mengapa? Contoh 5.7Diberikan barisan un = (-1)n, n∈N . Bentuklah beberapa barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan tersebut dan tentukan rumus fungsi dari barisan yang telah dibentuk.Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (-1)n, n∈N adalah -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, ...Kita dapat membentuk barisan tak hingga dari suku-suku barisan tersebut, dengan cara mengambil suku-suku ganjil dan suku-suku genap untuk membentuk dua kelompok barisan yang baru, yaitu:
173Matematikaa.Barisan -1, -1, -1, -1, -1, -1, ... dengan rumus fungsinya u(n) = -1, ∀n∈N.b.Barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... dengan rumus fungsinya u(n) = 1,∀n∈N.Kedua barisan yang baru dibentuk adalah barisan konstan, sebab sukunya sama untuk setiap n ∈N. Selanjutnya kedua barisan tersebut adalah barisan terbatas, sebab ada bilangan real M = 2 yang membawahi semua nilai suku-suku barisan tersebut atau−<∀∈12nnN,. Apakah nilai M = 1 membawahi semua nilai suku barisan un = (-1)n, n∈N? Dapatkah kamu membentuk barisan yang lain dari suku-suku barisan un = (-1)n, n∈N selain dari barisan bagian (a) dan (b)? Buatlah minimal 3 (tiga) barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan pada Contoh 5.6 di atas dan tentukan rumus fungsi barisan tersebut.Uji Kompetensi 5.11.Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23a. unNnnn=−+∈() 11b. unNnnn=∈+ 112,c. unNnnnn=∈++21,d. unNnnn=∈−+1,2.Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23.a.112131415,,,,,...b.unNnn=−∈()1,
174Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1c.10225112131415533−,,,,,,,,...d.unnNnn=∈!,23.Tunjukkanlah bahwa barisan di bawah ini adalah barisan naik atau turun atau konstan.a. unnNn=∈1,b. unNnn=()∈1,c. unNnn=∈2,d. unnnNnn=++∈21,4.Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku ketiga ditambah 2, maka terbentuk barisan geometri dengan rasi (r) = 2. Tentukan suku-suku barisan tersebut!5.Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu 292 dan hasil kali bilangan itu 32.768. Tentukan barisan geometri tersebut!6.Pola PQQRRRSSSSPQQRRRSSSSPQQRRRSSSS... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 26 34 ?7.Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan ganjil 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ... Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2015 ? (suku ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 9)8.Tentukan jumlah setiap deret berikut!a. 151=∞∑nnb.121211nnn−()+()=∞∑c.112nnn−()=∞∑d.3130−=∞∑nn
175Matematika8.Tentukanlah jumlah semua bilangan asli di antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 5! 10.Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketingggian23 dari tinggi sebelum pemantulan. Tentukan panjang lintasanbola!11.Beni berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai bulan 1 Agustus 2013, ia menerima uang saku sebesar Rp15.000.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp2.500.000,00. Berapa besar uang saku yang akan diterima Beni pada awal tahun 2018?12.Banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 2012, sebanyak 16 juta orang. Setiap 15 tahun penduduk kota Medan bertambah menjadi dua kali lipat dari jumlah semula. Berapakah banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 1945?13.Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang 81 cm, maka panjang tali semula adalah ....14.Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah....15.Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 2, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor ganjil (kecuali suku pertama) dan genap adalah 1. Tentukan deret tersebut!16.Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 1,5% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 1,5% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 30 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 100 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 100 tahun apabila pertumbuhannya 2%?17.Jumlah deret geometri tak hingga adalah 777+ dan rasionya adalah1497. Tentukan suku pertama deret tersebut!18.Jumlah suku-suku ganjil dari suatu deret tak hingga adalah 18. Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut 24. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!19.Jumlah deret geometri tak hingga122582523ppp−+−...adalah 13. Tentukan nilai p!
176Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1ProjekHimpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret tak hingga dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata disekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret tak hingga di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.D.PENUTUPKita telah menemukan konsep barisan dan deret tak hingga dari pemecahan masalah nyata beserta sifat-sifatnya. Beberapa hal penting sebagai simpulan dari hasil pembahasan materi barisan dan deret tak hingga disajikan sebagai berikut : 1.Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan Ru⊆S. Ditulis (un), n ∈N.2.Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ ...+ un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga. • Derettakhinggaadalahbarisanjumlahparsialnsukubarisantakhingga.Ditulis (sn), n ∈N atau s1, s2, s3, ..., sn, ... • Jumlahderettakhinggaadalahjumlahsuku-sukubarisantakhingga.Ditulis uuuunnn==∞∑=+++1123...3.Barisan bilangan dikatakan barisan naik, jika dan hanya jika uunNnn<∀∈+1,. 4.Barisan bilangan dikatakan barisan turun, jika dan hanya jika uunNnn>∀∈+1,. 5.Sebuah barisan bilangan yang suku-sukunya naik atau turun tak terbatas, barisan ini disebut barisan divergen.6.Sebuah barisan bilangan yang semua sukunya sama disebut barisan konstan.