Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR1.Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.2.Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.3.Menganalisis sifat dua garis sejajar dansaling tegak lurus dan menerapkannya dalam menyelesaikanmasalah.4.Menganalisis kurva-kurva yang melaluibeberapa titik untuk menyimpulkan berupa garis lurus,garis-garis sejajar, atau garis-garis tegak lurus.Melalui pembelajaran persamaan garis lurus, siswa memperoleh pengalaman belajar:• berlatihuntuktangguhmenghadapimasalah• berlatihsiswauntukberpikirkritis,jujur,dandisiplin • menunjukkansikapbertanggungjawabdalammenyelesaikan masalah• menunjukkansikaprasaingintahudanpeduliterhadap lingkungan• berlatihmenganalisismasalahsecarakonsisten dan jujurPERSAMAAN GARIS LURUS• gradien• duagarissejajar• duagaristegaklurus• titikpotonggarisBab4
128Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1B.PETA KONSEPSistem Persamaan Linear dua VariabelMateri PrasyaratDua Garis Saling Tegak LurusAplikasi Persamaan Garis LurusPersamaan Garis LurusHubungan Antar GarisGradien (kemiringan Garis)MasalahOtentikDua Garis Saling Sejajar
129MatematikaC.MATERI PEMBELAJARAN1. Garis dan GradienMemulai subbab ini, kita awali dengan mengingat kembali materi yang sudah pernah kamu pelajari di SMP (Kelas VIII) tentang bagaimana menentukan persamaan garis lurus dan gradien suatu garis. Coba perhatikan bentuk persamaan garis dan gradien garis di bawah ini.1.Garis dengan persamaan axbyc+=gradien mab=−2.Garis dengan persamaan yaxc=+ gradien ma=3.Garis dengan persamaan yypxx−=−11()gradien mp=4.Garis dengan persamaan yyxxyyxx−−=−−112121gradien myyxx=−−2121abcxyR,,,,11∈-10-1010yx10-5-555lxy1224:+=lxy2510:+=lxy33515:−=BACGambar 4.1: Tiga perpotongan 3 garis lurus
130Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Dari gambar di atas, tentunya kamu dapat menentukan gradien dan titik titik potong antara garis dan titik potong garis dengan setiap sumbu y dan sumbu x .i.Dari persamaan garis l1 , kamu sudah dapat mengetahui gradien garis tersebut. Tetapi, gradien garis l1 dapat juga ditentukan melalui dua titik pada garis tersebut, misalnya A dan B. Tentunya hasilnya pasti sama.ii.Demikian halnya untuk garis l2 dan l3 .Dengan adanya persamaan garis atau dengan melalui titik potong garis, tentunya bukan sesuatu yang sulit menentukan gradien garis tersebut.Mari kita telaah kondisi berikut ini.Di jalan yang lurus dan datar mungkin kelajuan mobil dapat diusahakan tetap. Gerak pesawat terbang pada ketinggian tertentu akan memiliki kecepatan tetap. Kecepatan tetap dapat disajikan sebagai garis lurus. Kedua contoh tadi adalah contoh dari gerak lurus beraturan (GLB), lintasan benda berupa garis lurus dan arah gerak selalu tetap sehingga perpindahan dapat diganti dengan jarak dan kelajuan tetap dapat diganti dengan kecepatan tetap. Sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan tetap akan menempuh jarak yang sama untuk selang waktu t yang sama. Coba cermati grafik berikut ini.ØDari gambar di samping, apa kesimpulan yang dapat ditarik? ØGradien kecepatan mv>0 , gambarkan tiap-tiap grafik dengan mv<0,mv=0Bandingkan grafik pada Gambar 4.2 dengan grafik di bawah ini.Kita sebut gradien l4 adalah m4=-1 gradien l5 adalah m5 = 1.ØJika merupakan gradien m6, dapatkah kamu tentukan l6 ?Gambar4.2:Grafikjarakterhadapwaktulxy52:−=lxy42:+=lx65:=−55-5-51010-10-10Gambar 4.3
131MatematikaDari Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 dapat kita rangkum gradien tiap-tiap garis:a) lxy1224:+=dengan m11=−; b) lxy2510:+=dengan m215=−; c) lxy33515:−=dengan m335=; d) vvt:=10dengan mv=10; e) lxy42:+=dengan m41=−; d) lxy52:−=dengan m51=. ØMengapa garis l6 tidak mempunyai gradien?ØDengan mencermati kembali setiap grafik persamaan garis di atas, apa yang dapat kamu simpulkan tentang gradien garis.Berikut ini kita akan mengkaji masalah tentang penampungan air yang terjadi di daerah-daerah yang kesulitan air untuk keperluan sehari-hari.Masalah-4.1Keluarga Pak Bambang memiliki sumur dan mesin pompa untuk menyediakan airuntukkeperluanminum,cucidanmandi.Setelahmelaluiprosespenyaringan, air sumur tersebut dialirkan ke bak mandi keluarga tersebut.Setiaphari,keluargaPakBambangmemerlukan1000literair,yangdiperolehdenganduakalimengisibakmandi(setiappengisian500liter).Karenaketerbatasan daya listrik di rumah Pak Bambang, mesin pompa hanya dapatdigunakan pada saat alat-alat listrik lain di rumah tersebut tidak dioperasikan. Jumlah air yang tertampung setiap menit dinyatakan dalam tabel berikut ini.Tabel 4.1: Volume air pada bak mandi setiap menit.Waktu (menit)01234567...Volume (Liter)2581114172023...a)Dengan tanpa menunggu bak mandi hingga penuh, dapatkah kamu memberi tahu Pak Bambang tentang durasi waktu hingga bak tersebut penuh?
132Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1b)Jika Pak Bambang ingin mengurangi 50% durasi waktu pengisian bak mandi tersebut, berapakah volume air pe rmenit yang ditambah?Alternatif PenyelesaianHubungan volume air pada bak mandi dengan waktu dapat dideskripsikan pada grafik berikut ini. 10123456789waktu (menit)10(0,2)(1,5)(2,8)(3,11)(4,14)(5,17)(6,20)(7,23)2030volume air (laut)Gambar 4.4: Hubungan volume air dengan waktu.Sebaran koordinat waktu dan volume air berada pada satu garis lurus, dengan persamaan l : –3t + v = 2 (tunjukkan!). Persamaan –3t + v = 2 atau v = 3t + 2 memiliki gradien m = 3.Jelaskanartibilangan3dan2padapersamaanv=3t+2darimasalahpenampunganairtersebut.a)Ternyata, gradien persamaan garis tersebut merupakan faktor penentu besar tidaknya durasi waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi keluarga Pak Bambang, selain konstanta. Karena volume air pada saat bak mandi penuh adalah 500 liter, akibatnya:500 = 3t + 2 diperoleh t = 166 menit atau 2,76 jam.Jadi durasi waktu yang dibutuhkan Pak Bambang hingga bak mandi tersebut penuh adalah 166 menit.b)Coba kamu kerjakan. Jika kamu kesulitan, tanyakan kepada gurumu!Cermati gambar di bawah ini, terdapat garis horizontal y = b, garis vertikal x = a dan garis l1 dengan persamaan ax + by = c. Tentu kamu sudah tahu mana dari ketiga garis tersebut yang memiliki gradien.
133Matematika55-5-101010laxbyc1:+=yb�=xa�=Garis HorinzontalGaris Vertical-5-10Gambar 4.5: Garis vertikal, horizontal, dan garis l1: ax + by = c.ØUntuk memastikan pemahaman kamu akan eksistensi gradien suatu garis, dengan memperhatikan bentuk persamaan garis l1: ax + by = c a,b dan c merupakan bilangan real, selidiki syarat untuk:•m > 0;•m < 0;•m = 0 dan •garis l tidak memiliki gradien.Rangkum secara rinci untuk setiap syarat yang kamu temukan!Secara geometri, gradien atau kemiringan garis dijelaskan melalui grafik berikut ini.Dari titik A ke B titik, terdapat suatu kenaikan (perubahan tegak) sebesar dan perubahan mendatar sebesar(y2 – y1) . Jadi kemiringan ( x2 – x1) garis itu dinyatakan:
134Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1��( )11,yxA( )22,yxBxy12xx�12yy�1y2y1x2xGambar 4.6�OCDGambar 46mperubahankenaikanperubahanmendataryyxxxx==−−≠212121,ØPerhatikan kembali Gambar 4.6, apakah besar sudut BAD = besar sudut α?tana==BCOCyx22Pada Gambar 4.6, mari kita cermati segitiga siku-siku OBC, dengan siku-siku di titik C. Dengan mengingat kembali konsep perbandingan sudut pada segitiga siku-siku yang telah kamu pelajari pada kelas X, kita akan menentukan nilai tangen sudut α. Sudut merupakan sudut yang dibentuk garis yang melaui titik A dan B terhadap sumbu x. Perhatikan bahwa sudut dihitung dari sumbu x ke garis yang akan ditentukan gradiennya.ØPerhatikan kembali Gambar 4.6, apakah besar ∠BAD = besar ∠α? Berikan Alasannya.
135MatematikaContoh 4.1Tentukan nilai tangen sudut setiap garis seperti pada gambar di bawah ini.Keterangan:Sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh garis l1 dengan Sumbu-X dan bmerupakan sudut yang dibentuk oleh garis l2dengan Sumbu-XSatuan sudut yang digunakan adalah derajat.Alternatif PenyelesaianPada Gambar 4.7, kita akan menentukan nilaitanαdantanβ. Dengan segitiga siku-siku POR kita akan tentukan tanα, sedangkan dengan segitiga siku-siku QOSkita akan menentukantanβ.Ingat......!!!!Sin180−()=ααsincoscos180−()=−ααtantan180−()=−αα
136Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1a) Cermati segitiga POR.Panjang sisi PO = 6, dan OR = 6.tana===ORPO661Nilai tanα tersebut, mari kita bandingkan dengan gradien garis l1: y – x = 6. ;m1= 1.Hubungan m1 dengan nilai, tanαdituliskan sebagai berikut; m1= tanα.b)Dengan cara yang sama untuk segitiga SQO, diketahui panjang sisi QO dan OSberturut-turut adalah 8 dan 8. Oleh karena itu,tan180881−()===βOQOSGradien garis l2: x + y = 8. ; m2 = -1.Hubungan m2 dengan nilai tan180−()β dituliskan sebagai berikut:m2180=−()=−tantanββ.Bepikir KritisØDari pembahasan contoh 4.1 , kesimpulan apa yang dapat ditarik ?ØCermati kembali Gambar 4.7, coba tentukan nilai tangen sudut PTQ!Pertanyaan Menantang:Diberikan persamaan garis:l1: x + y = 3l2: -x + y = 3l3: x – y = 3l4: x + y = -3Hitunglah besar sudut yang dibentuk setiap garis dengan sumbu-x.
137MatematikaUji Kompetensi 4.11.T entukan gradien setiap garis pada grafik berikut ini.Jika ada garis yang tidak memiliki gradien, berikan alasannya!2.Tentukan nilai p untuk setiap koordinat di bawah ini.a.A (2,p) dan B(2,2p – 3) dengan m = 7.b.A (12 – 3p,4) dan B(8,7p – 3) dengan m = 5.c.A (5 – 6p,3p) dan B(8,7p – 3) denganm=12 .3.Jika Pxypp,() dan Qxypp,(), tentukan syarat yang harus dipenuhi agar garis yang melalui titik tersebut memiliki gradien yang positif.4.Tentukanlah nilai k untuk setiap persamaan garis berikut, untuka.gkxy13620:()−=dengan gradiennya sama dengan gradien gxy2216:−= .
138Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1b. lkxky13212:()++=dengan gradiennya sama dengan gradien .lxky27616:()−+−=5.Cermati grafik berikut ini.Tentukan persamaan garis untuk masing-masing garis pada gambar (i) dan (ii). Selanjutnya hitunglah nilai tangen setiap sudut yang diberikan pada gambar.6.Perhatikan gambar di bawah ini.Gambar 4.10Tentukan besar sudutα.
139Matematika7.Diberikan dua persamaan garis:lxy:236+=gxy:450−=Tentukan nilai sinus sudut yang dibentuk oleh garis l dan g .8.Gradien suatu garis sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis dengan sumbu X. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 3412xy+=danxy−=40dan memiliki gradien sama dengan nilai tangen sudut pada soal No.6.9.Diberikan dua persamaan garis:laxbyc1111:+=; a1 ≠ 0, b1 ≠ 0 dan laxbyc2222:+= ; a2 ≠ 0, b2 ≠ 0.aabbcc121212,,,,,bilangan real.Tentukan syarat yang harus dipenuhi apabila:a. mm12>b. mm12<dimana: m1 : gradien garis l1dan m2 : gradien garis l2.10.Perhatikan gambar garis di bawah ini.Gambar 4.11 Tentukanlah persamaan garis paling sedikit dua garis yang:a. Sejajar dengan garis gb. Tegak lurus dengan garis g
140Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 12. Hubungan Antar Garis a. Garis Garis SejajarPerhatikan titik-titik yang terdapat pada bidang kartesius berikut ini.Gambar 4.12ØDari gambar di atas, coba tarik garis yang melalui minimal tiga titik. Kemudian tentukan persamaan garis yang kamu peroleh.ØDari gambar di atas, coba tarik garis yang melalui dua titik. Kemudian tentukan persamaan tiap-tiap garis yang kamu peroleh.ØDari semua garis yang kamu peroleh, adakah kamu temukan titik potong garis-garis tersebut?Bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu.Dari Gambar 4.12, dapat kita tentukan persamaan garis yang melalui titik A (-3,6) dan D(3,-3). yx−−−=−−−−()()336333⇔yx+−=−3332323xy+=⇔
141MatematikaSebut lxy1323:+=ØSelidiki apakah garis l1 melalui titik B(-1,3) dan titik C(1,0)!Dengan persamaan garis lxy1323:+=, bandingkan dengan persamaan garis yang kamu peroleh.Persamaan garis l2 : 3x + 2y = 15 melalui titik E(7,-3) dan titik H(1,6) (selidiki!). Selain itu, garis l2 juga melalui titik G(4,3) dan titik F(5,0).ØMelalui grafik garis l1 dan l2 , kemudian tentukan gradien kedua garis, dan analisis gradien kedua garis tersebut.Selanjutnya, dari hasil kerja menentukan persamaan garis yang melalui dua titik, kita peroleh persamaan-persamaan berikut ini:i.lyx3239:−=merupakan persamaan garis yang melalui titik B(-1,3) dan H(1,6).ii.lxy4323:−=merupakan persamaan garis yang melalui titik C(1,0) dan G(3,3).iii.lxy53215:−=merupakan persamaan garis yang melalui titik D(3,-3) dan F(5,0).iv.lxy629:+=merupakan persamaan garis yang melalui titik A(-3,6) dan G(3,3).v.lxy725:+=merupakan persamaan garis yang melalui titik B(-1,3) dan F(5,0).vi.lxy821:+=merupakan persamaan garis yang melalui titik C(1,0) dan E(7,-3).Pada kesempatan ini, kita tidak mengkaji garis-garis horizontal dan garis-garis vertikalØDari persamaan garis, l2, l3, l4, l5, l6, l7, dan lg, selidiki pasangan garis yang saling sejajar. Tunjukkan grafik dan hubungan gradien setiap pasangan garis.ØPada Kelas X, kita telah mengkaji tentang sistem persamaan linear dua variabel. Coba kamu ingat kembali, apa syarat yang harus dipenuhi sistem;axbycrxsyt+=+=agar memiliki himpunan penyelesaian dan tidak memiliki himpunan penyelesaian. Jika memiliki himpunan penyelesaian, apakah tunggal atau banyak?Dari pembahasan di atas, mari kita tarik kesimpulan tentang dua garis yang saling sejajar.
142Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 4.2abc)))21343515610153214xyxyxyxyxy−=+=−=−+=−=2235xy+=Latihan MandiriTentu kamu masih ingat bagaimana memeriksa sistem yang memiliki solusi (tunggal atau banyak), dan yang tidak memiliki solusi. Perhatikan sistem a)!Dimisalkan: l1a : 2x – y = 1 ;l1b : x – 3y = 4.Pada garis l1a, perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m1a = 2) tidak sama dengan perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m1b = -13) pada garis l1b. Kondisi ini juga merupakan tanda bahwa sistem persamaan a) memiliki penyelesaian.Untuk sistem persamaan b), l2a: 3x – 5y = 15 l2b: -6x +10y = 15Pada garis l2a, perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m2a = 35 ) sama dengan perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m2a = 61035= ) pada garis l2b. Hal ini memiliki arti bahwa, garis l2a dan l2b tidak pernah melalui satu titik yang sama. Oleh karena itu, sistem b) tidak memiliki penyelesaian.Selanjutnya, sistem persamaan c), l3a: 3x – 2y =14l3b: 2x + 3y =5Perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m3a = 32) pada garis l3a berbanding terbalik dengan perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m3b = -23 ) pada garis
143Matematikal3b, serta hasil kalinya sama dengan -1. Dengan kondisi ini, secara sistem persamaan, sistem c) memiliki penyelesaian tunggal.Secara grafik, kondisi sistem a), b), dan c) disketsakan sebagai berikut.Gambar4.13:GrafiksistempersamaanlinearSecara umum, misalkan garisg1 : ax + by = c; a≠ 0 dan b≠ 0 g2 : rx + sy = t; r≠ 0 dan s≠ 0 : a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real.Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya arbs=. Dengan kata lain, Garis sejajar dengan jika dan hanya m1 = m2.���( )22,yxA'1'2yy�( )12,yxC( )11,yxB�12xx�12yy�( )'2'2',yxA( )'1'1',yxB( )'1'2',yxC'1'2xx�1lyxGambar 4.132l
144Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Secara geomteris, kondisi dua garis sejajar dideskripsikan sebagai berikut.Misal, garis l1 melalui titikAxy''',11()danBxy''',22(), dengan gradien m1 . Garis l2melalui titikAxy11,()danBxy22,()dengan gradien m2 . Mari kita cermati segitigaABCdanABC'''. Kedua segitiga tersebut merupakan dua segitiga yang sebangun. Oleh karena itu berlaku:yyxxyyxx21212121−−=−−''''ataum1=m2Selain itu, jarak titikAke titikA'sama dengan jarak titik Bke titik B'. Kondisi ini semakin memperkaya bukti bahwa garis l1sejajar dengan garisl2 .Dengan demikian, sifat dua garis sejajar dinyatakan dalam sifat berikut. Sifat 4.1Misalkan garisgaxbyc1:+=; a≠0danb≠0dengangradienm1grxsyt2:+=; r≠0dans≠0dengangradienm2a, b, c, r, s,t merupakan bilangan real.Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya jika gradien kedua garis sama.Secaramatematisdinotasikan:gg12//↔mm12=.Dari Sifat 4.1, mari kita cermati hubungan di antara koefisien-koefisien a, b, c, r, s, dan t. Karena m1 = m2, dapat kita tulis bahwaabrs= atau arbs= . Ingat, walaupunarbs= , tetapi tidak berlaku bahwa arct= atau bsct=bsct=(mengapa?).Perlakuan-perlakuan ini dapat kita simpulkan dalam sifat berikut ini.Sifat 4.2Misalkan garisgaxbyc1:+=;a≠0,b≠0danc≠0dengangradienm1grxsyt2:+=;r≠0,s≠0dant≠0dengangradienm2a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real.Jikaarbsct= = maka garis g1 berimpit dengan garis g2.
145MatematikaUntuk lebih memantapkan pemahaman kita akan hubungan dua garis yang sejajar, mari kita cermati contoh berikut ini.Contoh 4.3a)Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis-garis dengan per- samaan 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16 serta sejajar dengan garis 2x + y = 4.b)Carilah nilai k sedemikian sehingga garis kx – 3y = 10 sejajar dengan garis 2x + 3y = 6.Alternatif Penyelesaiana)Terlebih dahulu kita menentukan titik potong garis 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16. Dengan cara eliminasi ataupun subsitusi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut (2, 3). Misal, garis g merupakan garis yang melalui titik (2, 3), serta sejajar dengan garis 2x + y = 4 maka gradien garis , sebut mg = –2 Jadi persamaan garis g, diperoleh:y – 3 = –2 (x – 3) atau 2x + y = 3.b)Karena garis, kx – 3y = 10 sebut g1, sejajar dengan garis 2x + 3y = 6, sebut g2maka mg1 = mg2. Akitanyak323=−, atau k = –2. Dengan demikian dapat kita tulis bahwa garis –2x – 3y = 10 sejajar dengan 2x + 3y = 6.b. Garis-Garis Tegak Lurus Perhatikan grafik berikut ini.Sekarang mari kita amati segitiga ABC. Kita akan selidiki apakah segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku atau tidak. Tentu, sudut yang diduga merupakan sudut siku-siku adalah sudut ACB. Dengan menggunakan alat pengukur sudut (busur) atau penggaris berbentuk segitiga siku-siku, sudut ACB merupakan sudut-sudut siku-siku.
146Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Gambar 4.14: Garis l1 dan l2berpotongansecarategaklurus.Oleh karena itu, dapat kita tarik kesimpulan bahwa garis l1 memotong secara tegak lurus garis l2.Selanjutnya, akan kita selidiki hubungan gradien garis l1(m1) dan gradien garis l2(m2).l1 : y = x, dengan m1 = 1;l2 : y = –x, dengan m2 = 1.Ternyata, m1.m2 = –1.Masalah-4.1Perhatikan gambar berikut ini!
147MatematikaGambar 4.15: Garis l1 dan l2,dengangradienberbedatandaberpotongansecarategaklurus.Garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2 mempunyai gradien tan β = m2.Selidiki bahwa hubungan gradien garis l1 dengan l2!Alternatif PenyelesaianDiketahui garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2mempunyai gradien tan β = m2.Cermati segitiga siku-siku ABC!Karena ∠ A = α dan ∠ C = 900 maka ∠ B = 1800 β. Oleh karena itu β = (900 + α)(tunjukkan!).
148Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Diketahu tan β = m2. Akibatnya: tan = (900 + α) = m2↔−=↔−=11212tanammmdiperoleh: m1.m2 = –1 Dengan demikian, syarat dua garis yang saling tegak lurus dinyatakan dalam sifat berikut ini.Sifat 4.3Misalkan garis g1 : bx – ay = t ; a≠0danb≠0dengangradienmba1=g2 : ax – by = c ;a≠0danb≠0dengangradienmab2=−a, b, c, merupakan bilangan real maka:Garis g1 berpotongan tegak lurus dengan garis g2, dinotasikangg12⊥.Contoh 4.4Mari kita cermati grafik di bawah ini!Selidiki hubungan antar garis yang berlaku.Gambar 4.16Ingattan(900 + α) = -1tana
149MatematikaAlternatif PenyelesaianLangkah awal, dengan memperhatikan pasangan titik koordinat yang dilalui tiap-tiap garis, kita dapat menentukan persamaan dan gardien setiap garis.lxy:5315+=, dengan ml=−53gyx:6530−=, dengan mg=56kxy:530−= , dengan mk=53.Latihan 4.1Sebagai latihan secara mandiri, • selidiki apakah garis l dan garis k berpotongan secara tegak lurus? • selidiki juga hubungan garis l dan garis g!Diskusikan hasil kerjamu dengan temanmu.Uji Kompetensi 4.21.Selidikilah hubungan setiap pasangan garis dengan persamaan di bawah ini.a.g1 : –2x + 5y = 7 dan g2 : 3x – 4y = 12.b.l1 : ax + by = c dan l2 : px + qy = s, dengan a < b dan p > q, a, b, p, q∈R.2.Penelitian terbaru menunjukkan bahwa suhu rata-rata permukaan Bumi meningkat secara teratur. Beberapa peneliti memodelkan suhu permukaan Bumi sebagai berikut: T = 0.02t + 8.50, T menyatakan suhu dalam 0C dan t menyatakan tahun sejak 1900.a.Tentukan kemiringan garis tersebut, dan interpretasikan bilangan tersebut.b.Dengan menggunakan persamaan tersebut, prediksilah rata-rata perubahan suhu pada tahun 22003.Seorang manager perusahaan perabot harus menyediakan modal sebesar Rp22.000.000,00 untuk memproduksi 100 kursi kantor dan Rp48.000.000,00 untuk memproduksi 300 kursi yang sama.
150Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1a.Nyatakanlah biaya tersebut sebagai persamaan kursi yang diproduksi, dengan mengasumsikan hubungan antara biaya dan banyak kursi adalah linear. Kemudian gambarkan.b.Tentukan gradiennya, dan jelaskan arti bilangan itu.c.Dari sketsa, jelaskan makna grafik tersebut.4.Perhatikan persamaan garis di bawah ini!g1 : ax + by = c dan g2 : px + qy = t, a, b, p, q∈ R.Tunjukkan hubungan antara koefisien a, b dengan p, q agar g1//g25.Tentukanlah k untuk setiap persamaan garis berikut.a. g1 : (2 – k)x – y = 8 dan g2 : (4 + k)x + 3y = 12 agar gg12⊥.b. l1 : (3k + 5)x – 2y = 10 dan l2 : (–k – 3)x – 7y = 14 agar gg12//.6.Tentukan persamaan garis l1 yang melalui titik (–7, 3) dan tegak lurus dengan garis l2 : 3x – 5y = 12. Kemudian gambarkan grafiknya.7.Diberikan dua garis dengan persamaan yang diperoleh dari matriks berikut:−=3454pqxy.Tentukan perbandingan p dan q jika kedua garis saling tegak lurus. 8.Diketahui titik A(xa , ya), B(xb , yb), C dan AB adalah titik tengah. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus AB dan melalui titik C9.Diketahui P(3,3), Q(4,-1) dan R(-8,-4). Tentukan besar sudut perpotongan garis PQ dan QR.10.Diberikan garis l : (x – 2y) + a(x + y) = 5 dan garis g : (5y – 3x) –3a(x + y) = 12.Tentukan nilai a agar:a.lg//b.lg⊥
151MatematikaProjekCari masalah dalam kehidupan sehari (minimal dua masalah nyata) yang menerapkan hubungan dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang berpotongan secara tegak. Deskripsikan kebermaknaan garis tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Susunlah hasil temuanmu dalam bentuk laporan hasil kinerja suatu proyek. Kamu diberikan waktu satu minggu untuk menuntaskannya secara baik dan teliti.D.PENUTUPBeberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait sifat-sifat persamaan garis lurus adalah sebagai berikut.1.Persamaan linear, biasanya dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b, cmerupakan bilangan riil. Model matematika permasalahan sehari-hari, khususnya dalam masalah ekonomi sering menjadi masalah yang terkait persamaan garis lurus.2.Konsep dan sifat-sifat persamaan garis ini didasari oleh konsep persamaan linear dua variabel. Setiap garis, ax + by = c, memiliki kemiringan atau disebut gradien yang dinotasikan dengan m, kecuali garis vertikal. Gradien tersebut sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x positif.3.Garis l : ax + by = c dikatakan sejajar dengan garis g : px + qy = t jika dan hanya jika kedua garis tidak pernah berpotongan atau memiliki gradien yang sama. Dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis berpotongan dan hasil kali gradiennya sama dengan -1.Penguasaan kamu tentang persamaan garis lurus sangat penting bermanfaat untuk bahasan persamaan garis singgung pada lingkarang dan persamaan singgung pada kurva. Untuk penerapan persamaan garis lurus lebih banyak digunakan pada kajian persamaan garis singgung lingkaran dan persamaan garis singgung kurva. Sifat-sifat garis lurus akan dibahas secara mendalam dan dimanfaatkan dalam penyelesaian masalah matematika dan masalah otentik.
152Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Catatan:.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................