Matematika · Bab 3 Barisan dan Deret Bilangan

Kana Hidayati SariDewi

24/08/2021 13:52:30

SMA 11 KTSP

Daftar Isi

Bab 1 Logika Matematika Bab 2 Relasi dan Fungsi Bab 3 Barisan dan Deret Bilangan Bab 4 Geometri Dimensi Dua Bab 5 Transformasi Bidang Datar

Halaman

85Barisan dan Deret BilanganBarisan dan Deret BilanganBab3A. Pengertian Barisan dan Deret BilanganB. Barisan dan Deret AritmetikaC. Barisan dan Deret GeometriSumber: www.lombokgilis.comSebuah home industry pada bulan Januari 2008 memproduksi 310 unit kerajinan tangan. Home industry tersebut menargetkan jumlah produksinya bertambah 20 unit setiap bulan. Berapakah jumlah produksi home industry tersebut pada bulan Desember 2008? Dengan menggunakan konsep barisan aritmetika, Anda dapat memecahkan masalah ini.Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari barisan bilangan, deret bilangan, dan penerapannya. Materi ini sebenarnya telah Anda dapatkan di Kelas IX SMP. Akan tetapi, pada pembelajaran kali ini materi pembelajaran lebih ditekankan pada masalah sehari-hari di sekitar Anda.Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Anda dapat menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah, yaitu mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan, menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika dan geometri.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi86Soal PramateriMateri tentang Barisan dan Deret Bilangan dapat digambarkan sebagai berikut.Peta KonsepKerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.1. Tentukanlah hasil operasi penjumlahan dan pengurangan berikut.a. 6 – (–6) c. –12 – 7 b. –19 + (–12) d. –15 – (–10)2. Tentukanlah hasil operasi perkalian dan pembagian berikut. a. 2 ¾ 53d. 6 : 232 b. 16 ¾ 24e. 90 : 142 c. 36 ¾132Barisan BilanganDeret BilanganUn = a + (n – 1) bSnnbn2n((a2aa–)1)Un = apn–1Sappnn(–)1Barisan AritmetikaDeret AritmetikaBarisan GeometriDeret GeometriBarisan dan Deret Bilanganmempelajari konsepterdiri atasrumus jumlah nsuku pertamarumus jumlah nsuku pertamauntuk p<1untuk p>1Sapn(–pn)113. Tentukanlah hasil operasi bilangan berikut. a. 2 32 52 b. 69 123 62 c. 12423 632 d. 241341342

87Barisan dan Deret BilanganKata Kunci• pola bilangan• barisan bilangan• deret bilngan• barisan konvergen• barisan divergenA Pengertian Barisan dan Deret BilanganPada pembahasan kali ini anda akan mengetahui perbedaan antara barisan bilangan dan deret bilangan. Pelajari pembahasan berikut dengan baik.1. Barisan BilanganSebelum mempelajari barisan bilangan, pelajarilah ilustrasi berikut.Andi dan Sandi adalah dua orang yang berprofesi sebagai salesman di sebuah perusahaan produk alat-alat rumah tangga. Keduanya biasa menjual atau menawarkan barang dagangannya secara door to door langsung mendatangi rumah calon konsumennya. Suatu hari pada rumah-rumah yang terletak di Jalan Delima, mereka berdua berbagi tugas. Andi memasarkan produk di sisi Utara, sedangkan Sandi memasarkan di sisi Selatan.Jalan DelimaAndiSandiU654321Secara kebetulan Andi mendatangi rumah-rumah bernomor 1, 3, 5,...dan seterusnya. Adapun Sandi mendatangi rumah-rumah bernomor 2, 4, 6,...dan seterusnya. Nomor-nomor rumah yang didatangi Andi dan Sandi dapat dituliskan dalam urutan bilangan berikut.Nomor rumah yang didatangi Andi :1, 3, 5,...Nomor rumah yang didatangi Sandi : 2, 4, 6,...Selanjutnya, nomor-nomor rumah yang didatangi Andi disebut urutan bilangan (1) dan nomor-nomor rumah yang didatangi Sandi disebut urutan bilangan (2). Oleh karena itu, dapat dituliskan:urutan bilangan (1) : 1, 3, 5,...urutan bilangan (2) : 2, 4, 6,...Coba Anda perhatikan. Jika Andi telah mendatangi rumah nomor 5 dan kemudian ia melanjutkan ke rumah di sebelahnya, dapatkah Anda menyebutkan nomor rumah bernomor yang didatangi Andi?

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi88Contoh Soal 3.1Ana seorang Manajer di sebuah perusahaan elektronika. Ia mendapat tugas dari atasannya untuk menjadi panitia dalam acara seminarmengenai "Strategi Pemasaran Barang-Barang Elektronika". Dalamruang seminar itu, kursi-kursi para peserta disusun seperti pada gambarberikut.Untuk menjawabnya, Anda harus menemukan pola atau aturan dari urutan bilangan (1). Dapatkah Anda menemukan polanya?Secara intuitif Anda dapat melihat polanya, yaitu "ditambah 2" Perhatikanlah pola urutan bilangan berikut. 1, 3, 5, ...+2+2+2Bilangan 1, 3, dan 5 terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Bilangan yang terletak pada urutan ke-2 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-1 dengan 2, demikian juga bilangan yang terletak pada urutan ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-2 dengan 2. Setelah Anda menemukan pola urutan bilangan (1) maka rumah yang didatangi Andi setelah ia mendatangi rumah nomor 5 adalah rumah bernomor 5 + 2 = 7.Dalam matematika, urutan bilangan yang memiliki pola disebut barisan bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah pengertian barisan bilangan berikut.Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.Dalam pembahasan mengenai barisan bilangan, dikenal istilah suku. Istilah suku di sini tidak sama dengan istilah suku dalam ilmu-ilmu sosial atau budaya yang merujuk pada pengertian etnis atau ras.Untuk memahami istilah suku dalam konsep barisan bilangan, coba Anda perhatikan kembali urutan bilangan (1). Pada urutan bilangan (1), angka 1, 3, dan 5 masing-masing terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa 1 merupakan suku ke-1, 3 merupakan suku ke-2, dan 5 merupakan suku ke-3 dari urutan bilangan (1).Dalam konsep barisan bilangan, suku ke-n disimbolkan dengan Un. Dengan demikian, pada barisan bilangan 1, 3, 5,...dapat dituliskan U1= 1, U2= 3, dan U3= 5.Gambar 3.1Nomor rumah di perumahan membentuk barisan bilangan. Sebelah kanan membentuk barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, ..., dan sebelah kiri membentuk barisan bilangan genap 2, 4, 6, ....

89Barisan dan Deret BilanganBaris ke-2Baris ke-ndan seterusnyaBaris ke-1Berdasarkan ilustrasi tersebut tentukan:a. Jika pada barisan terakhir terdiri atas 15 kursi, tentukan jumlah barisan yang disusun dalam ruangan tersebut.b. Jika untuk tamu undangan diperlukan tambahan 2 baris kursi maka tentukan jumlah tamu undangan tersebut.Jawab:a. Jumlah kursi yang disusun pada masing-masing barisan dalam ruang seminar adalah sebagai berikut.baris ke-1 = 3 kursibaris ke-2 = 5 kursibaris ke-3 = 7 kursiJika Anda cermati, ternyata untuk setiap barisnya jumlah kursi bertambah dengan pola "ditambah 2", berarti jumlah kursi pada setiap barisnya, dapat disusun menggunakan barisan bilangan berikut.3, 5, 7, 9, 11, 13,15Pada barisan tersebut, angka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti jumlah barisan yang disusun pada ruangan tersebut terdapat 7 baris.b. Jumlah tamu undangan dapat dihitung dari jumlah kursi dari 2 baris terakhir, yaitu baris ke-8 dan ke-9.Dengan melihat pola barisan bilangan yang menyatakan jumlah kursi pada setiap baris pada soal a dan kemudian ditambah 2 suku maka diperoleh barisan bilangan berikut.3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 17, 19dua suku tambahanBerdasarkan barisan bilangan di atas, diperoleh jumlah suku ke-8 dan ke-9 besarnya adalah U8 + U9 = 17 + 19 = 36.Jadi, jumlah tamu undangan adalah 36 orang.Gambar 3.2Jumlah kursi pada setiap baris di ruangan seminar dapat membentuk barisan bilangan.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi90Contoh Soal 3.2Pak Sanusi adalah seorang direktur perusahaan garmen nasional. Untuk memprediksi prospek keuntungan perusahaannya empat tahun ke depan, ia menggunakan jasa konsultan keuangan. Aspek-aspek yang menjadi pertimbangan ada dua macam, yaitu aspek dalam perusahaan dan aspek di luar perusahaan. Aspek dalam perusahaan meliputi kualitas SDM, sistem manajemen, dan kondisi neraca keuangan perusahaan. Aspek di luar perusahaan seperti tingkat inflasi, angka pertumbuhan penduduk, situasi politik regional, dan trend yang berlaku di masyarakat. Hasil prediksinya adalah sebagai berikut.Tahun2008200920102011Prediksi Keuntungan (dalam milyar rupiah)561117Jika Anda bekerja di perusahaan garmen tersebut dan menempati posisi sebagai akuntan keuangan, kemudian Anda mendapat tugas dari Pak Sanusi untuk memprediksi keuntungan perusahaan pada tahun 2012 dan 2013, dapatkah Anda menjawabnya?Jawab:Keuntungan perusahaan garmen dari tahun 2008 hingga 2011 dapat ditulis dalam urutan bilangan 5, 6, 11, 17, ...(1)Perhatikan urutan bilangan tersebut. Ternyata memiliki pola yang dapat dinyatakan sebagai berikut.U1 + U2 = U3¾ 5 + 6 = 11U2 + U3 = U4 ¾6 + 11 = 17Cermati kembali ilustrasi mengenai Andi dan Sandi pada awal Bab 3 ini, diskusikan dengan kelompok, Anda kemudian jawablah pertanyaan berikut.1. Jika Andi ditugaskan oleh supervisornya untuk memasarkan produknya untuk 15 rumah dan Sandi ditugaskan untuk 20 rumah, tentukan nomor rumah terakhir yang didatangi oleh Andi dan Sandi.2. Saat Andi selesai mendatangi rumah nomor 15, ia merasakan telepon selularnya bergetar dan ternyata SMS dari Sandi masuk. SMS itu berbunyi "Andi kamu telah mendatangi berapa rumah? Aku sudah sampai di rumah nomor 30". Dapatkah Anda membantu Andi menjawab SMS dari Sandi, dan apa jawaban yang tepat?3. Lihat kembali tugas nomor 2, berapakah jumlah rumah yang telah didatangi Sandi saat ia kirim SMS untuk Andi?TugasSiswa 3.1Gambar 3.3Keuntungan perusahaan garmen dapat diprediksi dengan menggunakan konsep barisan bilangan.

91Barisan dan Deret Bilangan2. Deret BilanganCoba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.1. Jumlah kursi pada setiap barisnya dalam ruang seminar tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2".Pada pembahasan kali ini, Anda akan diperkenalkan dengan konsep deret bilangan. Deret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan.Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Jika dalam ruang seminar pada Contoh Soal 3.1, terdapat 7 baris kursi maka Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.2. Misalkan, hasil penelitian konsultan keuangan mengenai prediksi keuntungan perusahaan garmen dalam 4 tahun mendatang seperti tabel berikut,Tahun2008200920102011Prediksi Keuntungan (dalam milyar rupiah)351224Diskusikanlah dengan kelompok Anda untuk memprediksikan keuntungan perusahaan pada tahun 2012 dan 2015.TugasSiswa 3.2Berarti urutan bilangan (1) tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola tertentu.Coba Anda amati, keuntungan perusahaan pada tahun 2012 merupakan suku ke-5 dari barisan bilangan (1) dan keuntungan perusahaan pada tahun 2013 merupakan suku ke-6, U5 dan U6 dihitung dengan cara berikut.U3 + U4 = U5¾ 11 + 17 = 28Berarti, keuntungan perusahaan pada tahun 2012 besarnya adalah 28 milyar rupiah. Dengan menambahkan U5 pada barisan bilangan (1), diperoleh barisan bilangan berikut.5, 6, 11, 17, 28, ...(2)U6 diperoleh dengan perhitungan berikutU4 + U5 = U6¾ 17 + 28 = 45,Jadi, keuntungan perusahaan pada tahun 2013 adalah 45 milyar rupiah.Notes• 1, 2, 3, 4, 5,... dinamakan barisan bilangan asli• 2, 4, 6, 8,10,... dinamakan barisan bilangan asli genap• 1, 3, 6, 10, 15,... dinamakan barisan bilangan segitiga• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...dinamakan barisan bilangan fibonacci• 1, 4, 9, 16, 25,... dinamakan barisan persegi• 2, 3, 5, 7, 11,... dinamakan barisan bilangan primaDapatkah Anda temukan pola barisan-barisan tersebut?

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi92jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut dapat dihitung dengan cara:3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku pada suatu deret disimbolkan dengan S7 maka pada deret 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... diperoleh S7 = 63. Uraian tersebut memperjelas definisi deret berikut.Jika U1, U2, U3,..., Un merupakan suku-suku suatu barisan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakan deret. Disimbolkan dengan Sn. Jadi, U1+ U2 + U3 + ...+ Un = SnBerikut dapat dilihat beberapa contoh deret. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 dinamakan deret 6 bilangan asli pertama2 + 3 + 5 + 7 + 11 dinamakan deret 5 bilangan prima pertama0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 dinamakan deret 7 bilangan genap pertama.Perhatikan deret bilangan asli, deret bilangan prima, dan deret bilangan genap pada uraian di atas. Kemudian, tentukanlah S10dari masing-masing deret tersebut.TugasSiswa 3.3Untuk lebih memahami konsep deret bilangan, pelajari Contoh Soal 3.3 berikut dengan baik.Contoh Soal 3.3Ani seorang staf di bagian personalia pada suatu perusahaan BUMN. Ia mendapat kepercayaan untuk menjadi ketua panitia pada hari ulang tahun ke-30 perusahaan tersebut. Peserta upacara pada hari ulang tahun perusahaan itu akan berbaris seperti gambar berikut.Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3Terdiri atas 7 kelompokKelompok 4....Tentukan jumlah peserta upacara yang harus dipersiapkan Ani.Jelajah MatematikaFibonacci(1170–1250)Leonardo dari Pisa adalah orang yang mengenalkan angka nol ke dunia Barat. Anak muda yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci ini belajar matematika dari orang-orang islam dan menjadi matematikawan jenius dengan autodidak. Ia menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya, deret Fibonacci, yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...Sumber: Ensiklopedi Matematika,2008

93Barisan dan Deret BilanganContoh Soal 3.4Biro Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember, selama tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18,.... Nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember.Berdasarkan ilustrasi tersebut,a. temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18,...dan tentukan pula nilai suku ke-4 sampai suku ke-6,b. tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan Juni.Jawab:a. Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, ...Nilai suku ke-2 barisan bilangan tersebut sama dengan hasil perkalian nilai suku ke-1 dengan 3. Demikian juga nilai suku ke-3 adalah hasil perkalian nilai suku ke-2 dengan 3. U1 = 2 U2 = 2 ¾ 3 = 6 U3 = 6 ¾ 3 = 18Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4, U5, dan U6 barisan bilangan tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan berikut. U4 = 18 ¾ 3 = 54 U5 = 54 ¾ 3 = 162 U6 = 162 ¾ 3 = 486Jawab:Jumlah peserta pada setiap kelompok dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 1, 4, 9, 16, .... Oleh karena barisan upacara itu terdiri atas 7 kelompok maka harus ditentukan jumlah peserta pada kelompok 5 hingga 7, dengan menentukan pola bilangan pada barisan tersebut terlebih dahulu, yaitu:U1 = 1 maka 12 = 1 diperoleh U1 = 12U2 = 4 maka 22 = 4 diperolehU2 = 22U3 = 9 maka 32 = 9 diperolehU3 = 32U4 = 16 maka 42 = 16 diperolehU4 = 42Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh pola bilangan Un = n2sehingga diperoleh:U5 = 52 = 25U6 = 62 = 36U7 = 72 = 49Oleh karena urutan bilangan tersebut memiliki pola maka urutan bilangan itu merupakan barisan bilangan.Jadi, jumlah seluruh peserta upacara adalah1 orang + 4 orang + 9 orang + 16 orang + 25 orang + 36 orang + 49 orang = 140 orang.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi941.Te n t ukan pola barisan berikut, kemudian ten-tukanlah U6,U8, danU10dari masing-masingbarisan.a.–6, 2, 10, 18, ...c.9, 2, –5, –12, ...b.–1, 3, 8, 14, ...d.3, 1, –4, –8, ...2.TentukanlahU5,U7, dan U10 dari pola-polabilangan berikut.a.Un = 2n+ 3c.Un=n2 + 2nb.Un = 3n– 5d.Un=7n–n23.Buatlahderet 10 suku pertama dari suku-sukubarisan pada soal nomor 1. Tentukanlah nilai S10dari derettersebut.4.Data kelahiran bayi di Kecamatan Rukun Makmur selama tahun 2000 sampai 2007 dapat dinyatakan dengan barisan berikut.40 bayi, 80 bayi, 160 bayi, ...Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablah per-tanyaan berikut.a. Te n t ukanlah pola barisan yang menyata-kan angka kelahiran bayi di KecamatanRukun Makmur.b.Tentukan angka kelahiran bayi pada tahun 2006dan 2007.c.Tentukan jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 2000 hingga 2007.5.Data nilai ekspor dari perusahaan bisnis ada-lah sebagai berikut. TahunNilai Ekspor (dalam milyar rupiah)200232003420046200592006132007182008...2009...Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablahpertanyaan-pertanyaan berikut.Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 3.1b. Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni membentuk barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486.Jadi, jumlah seluruh kelahiran bayi dari bulan Januari hingga Juni besarnya adalah 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.Lakukan tugas ini secara bekelompok. Datangilah kantor kelurahan atau kecamatan di tempat tinggalmu, kemudian mintalah data tentang jumlah seluruh angka kelahiran bayi dari tahun 1995 hingga tahun 2007. Dari data tersebut, dapatkah Anda menemukan polanya?. Kemudian prediksilah jumlah kelahiran dari tahun 2008 hingga 2012, dan hitunglah seluruh kelahiran dari tahun 2008 hingga 2012.TugasSiswa 3.4

95Barisan dan Deret BilanganB Barisan dan Deret AritmetikaSecara umum, Anda telah mempelajari perbedaan antara barisan dan deret bilangan pada Subbab A. Pada Subbab ini, Anda akan mempelajari barisan dan deret yang khusus, yaitu barisan dan deret aritmetika. Pelajarilah uraian berikut dengan baik. 1. Barisan AritmetikaCiri barisan aritmetika adalah antara bilangan pada suku-suku yang berdampingan memiliki selisih atau beda yang tetap. Perhatikan barisan berikut.(i) 0, 2, 4, 6,...(ii) 8, 5, 2, –1, –4,...Jika Anda cermati, setiap suku-suku yang berdampingan pada barisan bilangan (i) selalu memiliki beda yang tetap, yaitu 2.2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2.Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut. U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un – 1 = bPada barisan aritmetika, beda disimbolkan dengan , dan suku ke-1 yaitu U1 disimbolkan dengan a.Berdasarkan uraian tersebut, ciri barisan aritmetika adalah sebagai berikut.Un – Un –1 = bRumus suku ke-n dinyatakan dengan persamaan: Un = a + (n – 1)b Barisan (i) memiliki a = 0, dan b = 2. Suku-suku pada barisan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.U1 = 0 + (1 – 1) 2 = 0U2 = 0 + (2 – 1) 2 = 2U3 = 0 + (3 – 1) 2 = 4U4 = 0 + (4 – 1) 2 = 6a. Jika nilai ekspor dari tahun 2002 hingga 2007 membentuk suatu barisan bilangan maka tentukan pola barisan bilangan tersebut b. Prediksilah nilai ekspor perusahaan pada tahun 2008 dan 2009.c. Hitunglah jumlah prediksi nilai ekpor perusahaan tersebut dari tahun 2002 sampai dengan tahun 2010.Kata Kunci• barisan aritmetika• deret aritmetika

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi96Gambar 3.4Jika tabungan awal diketahui dan jumlah perubahan tabungan konstan setiap bulannya maka bulan ke-n dapat ditentukan dengan menggunakan barisan aritmetika.Soal PilihanLihat kembali barisan (ii) pada uraian di atas. Tentukanlah rumus suku ke-n pada barisan (ii) dan tentukan bilangan yang merupakan suku ke-20 pada barisan (ii).TugasSiswa 3.5maka diperoleh rumus suku ke-n pada barisan (i) adalah sebagai berikut.Un = a + (n – 1)bUn = 0 + (n – 1) 2Un = 0 + 2n – 2Un = 2n – 2ContohSoal3.5Andi membuka rekening tabungan di sebuah Bank. Pada bulan pertama, ia menyetor uang Rp100.000,00. Jumlah setoran akan ia naikkan sebesar Rp 20.000,00 dari setiap bulan sebelumnya. Tentukan: a.besar setoran Andi pada bulan ke-10,b.pada bulan ke berapakah jumlah setoran Andi Rp 340.000,00?Jawab:a.Jumlah setoran Andi setiap bulannya dapat dituliskan dengan barisan berikut.100.000, 120.000, 140.000, ...Setoran bulan ke-1Setoran bulan ke-2Setoran bulan ke-3Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika karena beda setiap suku yang bersebelahan besarnya tetap.Setoran pada bulan ke-1 = a= 100.000Kenaikkan setoran setiap bulannya = b = 20.000Setoran pada bulan ke-10 menyatakan suku ke-10 atauU10daribarisan tersebut.Dengan menggunakan rumus suku ke-n;diperolehUn=a + (n – 1)bU10= 100.000 + (10 – 1)20.000U10= 100.000 + 920.000U10= 100.000 + 180.000U10= 280.000Jadi, setoran Andi pada bulan ke-10 besarnya adalah Rp 280.000,00Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak, makin kecil uang yang diterima. Selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5000,00. Tentukan jumlah uang yang diterima oleh si bungsu.UAN, 2003Sumber : www.ebizzasia.comKonsep barisan aritmetika dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pelajarilah Contoh Soal 3.5 berikut agar Anda dapat memahaminya dengan baik.

97Barisan dan Deret BilanganContoh Soal 3.6Ayu seorang staf personalia di sebuah perusahaan manufaktur. Iamendapat tugas dari manajer untuk membuat laporan mengenai jumlah surat lamaran yang masukke perusahaan tersebut dari tahun 1999 sampai tahun 2006. Akan tetapi, catatan tersebut hilang. Ia hanya mengingat bahwa jumlah surat lamaran setiap tahun dari tahun 1999 sampai tahun 2006 membentuk suatu barisan aritmetika, jumlahpelamar pada tahun 2001 dan tahun 2005 besarnya masing-masing adalah 110 dan 210. Berdasarkan ilustrasi tersebut, tentukan jumlahpelamar setiap tahunnya dari tahun 1999 sampai tahun 2006.Jawab:Jika jumlah pelamar setiap tahun membentuk suatu barisan aritmetika, berarti jumlah pelamar pada tahun 1999 merupakan suku ke-1, jumlahpelamar pada tahun 2000 merupakan suku ke-2, dan seterusnya.Oleh karena, jumlah pelamar pada tahun 2001 dan 2005 merupakansuku ke-3 dan suku ke-7 dari barisan aritmetika tersebut.Oleh karena rumussuku ke-n barisan aritmetikaadalahUn=a+ (n– 1)b maka diperolehU3=a+ (3 – 1)b=a + 2bOleh karenaU3 = 110 makaa+ 2b = 110 ...(1), danU7=a+ (7 – 1)b = a + 6b,OlehkarenaU7 = 210 makaa+ 6b = 210 ...(2).Untuk memperoleh beda (b) dari deret aritmetika, dapat digunakan cara substitusi berikut. Dari persamaan (1), diperoleha+2b= 110 a = 110 – 26 ...(3)Subtitusi persamaan (3) pada persamaan (2), diperoleh(110 – 2b + 6b )= 210110 + 4b= 210110 + 4b= 210Soal Pilihanb. Pada bulan ke-n, setoran Andi sebesar Rp340.000, berarti diperoleh persamaan sebagai berikut. Un = 340.000 ...(1) Un = a + (n – 1) b = 100.000 + (n – 1) 20.000 ...(2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh340.000 = 100.000 + (n – 1) 20.000340.000 – 100.000 = 20.000 (n – 1)240.000 = 20.000 (n – 1)n – 1 = 240.00020.000n – 1 = 12n – 1 = 13Jadi, setoran Andi pada bulan ke-13 besarnya Rp340.000,00.Buatlah 5 contoh barisan aritmetika selain contoh yang sudah ada. Dari ke- 5 contoh tersebut, tentukan pula rumus jumlah suku npertamanya Untuk lebih memahami konsep barisan aritmetika pelajarilah Contoh Soal 3.6 berikut.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi982. Deret AritmetikaCoba Anda lihat kembali Contoh Soal 3.3 pada pembahasan sebelumnya. Jika ditanyakan "berapakah besar setoran Andi seluruhnya selama 10 bulan pertama?" maka jawabannya adalah deret berikut:S10=100.000 + 120.000 + 140.000 + ... + 280.000Setoran bulan ke-1Setoran bulan ke-10Deret tersebut merupakan deret aritmetika karena setiap sukunya memiliki perbedaan tetap. Deret tersebut menyatakan jumlah 10 suku pertama, disimbolkan dengan S10.Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mengetahui bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret disimbolkan dengan Sn.Jumlah n suku pertama deret aritmetika dapat diperoleh dengan persaman berikut.Sn = n2(a + Un) atauSn = n2 (2a + (n – 1) b)Keterangan:n = banyak suku, a = suku pertama, dan b = beda Jumlah total setoran Andi selama 10 bulan pertama dapat dihitung dengan perhitungan berikut.Sn = n2(2a + (n – 1)b)di mana n = 10, a = 100.000, dan b = 20.000 sehingga diperoleh4b = 210 – 110b =210 11041004=25Kemudian, untuk memperoleh U1 = asubstitusi b = 25 pada persamaan (3) sehingga diperoleha = 110 – 2 (25) = 110 – 50 = 60Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 60.Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, diperoleh barisan aritmetika yang menyatakan jumlah pelamar dari tahun 1999 hingga tahun 2006 adalah sebagai berikut. 60 orang, 85 orang, 110 orang, 135 orang, 160 orang, 185 orang, 210 orang.

99Barisan dan Deret BilanganSoal PilihanS10 = 102(2 100.000 + (10 – 1) 20.000 S10 = 5 (200.000 + 9 20.000) S10 = 5 (200.000 + 180.000) S10 = 5 (380.000) S10 = 1.900.000Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh besar setoran Andi selama 10 bulan adalah Rp1.900.000,00.Untuk jumlah suku yang tidak banyak, dapat dihitung dengan cara berikut:100.000 + 120.000 + 140.000 + 160.000 + 180.000 + 200.000 + 220.000 + 240.000 + 260.000 + 280.000 = 1.900.000Diperoleh hasil yang sama, tetapi untuk n yang cukup besar cara ini akan memakan waktu lama. Uraian tersebut Contoh Soal 3.7Jumlah angka kelahiran bayi di desa Sukamaju pada 1995 banyaknya1.000 orang per tahun. Biro Pusat Statistik (BPS) memperkirakan bahwa jumlah kelahiran bayi pada tahun-tahun berikutnya akan meningkat 200 orang dari tahun sebelumnya. Berdasarkan perkiraanBPS tersebut, tentukan:a.jumlah bayi yang lahir pada tahun 2007,b.jumlah seluruhkelahiran bayi dari tahun 1995 hingga tahun 2005,c.jumlah seluruhkelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005.Jawab:a.Jumlah bayi yang lahir setiap tahun di desa Sukamaju dapatditulis dalam barisan aritmetika berikut.1.000, 1.200, 1.400, ...Bayi yang lahir pada tahun 1995Bayi yang lahir pada tahun 1996Bayi yang lahir pada tahun 1997Bayi yang lahir pada tahun 1995 =a = 1.000Kenaikan jumlahkelahiran bayi tiap tahun = b = 200Bayi yang lahir pada tahun 2007 merupakan suku ke-13 dari barisan aritmetika tersebut. Berarti, bayi yang lahir pada tahun 2007 =U13dan n= 13Dengan menggunakan rumus suku ke-n:Un=a + (n– 1)b, diperolehGambar 3.5Jumlah angka kelahiran dari tahun ke tahun dapat ditentukan dengan konsep barisan dan deret aritmetika.Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Keuntungan sampai bulan keempat Rp30.000,00 dan sampai bulan kedelapan Rp172.000,00. Tentukan keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-18.UMPTN, 1998Sumber : images.diniauliya. multiply.commemperjelas definisi deret aritmetika berikut.Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3... + Un dinamakan deret

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi100 U13 = 1.000 + (13 – 1)·200 U13 = 1.000 + 12·200 U13 = 1.000 + 2.400 U13 = 3.400Jadi, jumlah kelahiran bayi pada tahun 2007 adalah 3.400 orang.b. Dari tahun 1995 sampai tahun 2005 terdiri atas 11 suku. Jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005, adalah S11 dengan a = 1.000, b = 200, dan n = 11.Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, diperolehSn = n2(2a + (n – 1)b) S11 = 112(2 1.000 + (11 – 1) 200) S11 = 112(2.000 + (10) 200) S11 = 112(2.000 + 2.000) S11 = 112(4.000) S11 = 22.000 Jadi, jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005 adalah 22.000 orang.c. Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 dapat dihitung dengan menjumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 sampai dengan tahun 2005. Kemudian, dikurangi jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 sampai tahun 2000.Jumlah bayi yang lahir dari tahun 1995 hingaga tahun 2000 = S6Jumlah bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005 = S11Jumlah bayi yang lahir dari tahun 2000 hingga tahun 2005 = S11 – S61995U12000U62005U11Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 adalah S11 – S6, di mana S11 = 22.000 S6 = 62(2 · 1.000 + (6 – 1) -200)= 3 (2.000 + 1.000) = 9.000Suatu perusahan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya produksinya turun secara tetap sebesar 80 unit per tahun. Produksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke ....a. 24b. 25c. 26d. 27e. 28JawabU1 = 5.000 b = 80Un= 3.000Un = a + (n – 1) b3.000 = 5.000 + (n – 1) (–80)–2.000 = –80 n + 80 = –80 n n = 2 08080.= 26Jawaban: cUAN SMK, 2002Solusi Cerdas

101Barisan dan Deret Bilangan sehingga= 22.000 – 9.000 = 12.000Jadi, jumlah kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 adalah 12.000 orang.Contoh Soal 3.8Diperoleh data mengenai jumlah karyawan baru yang diterima oleh suatu perusahaan dari tahun 1997 sampai tahun 2006. Ternyata datatersebut membentuk suatu barisan aritmetika. Diketahui jumlahseluruh karyawan yang diterima selama kurun waktu dari tahun 1997 sampai tahun 2006 berjumlah 325 orang, dan jumlahkaryawan yangditerima pada tahun 2000 adalah 25 orang. Tentukanlah:a.jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004,b.jumlah seluruh karyawan yang diterima perusahaan tersebut dalam kurun waktu tahun 2000 hingga 2006.Jawab:a.Jumlah karyawan yang diterima oleh perusahaan tersebut daritahun 1997 sampai tahun 2006 dapat dinyatakan dengan barisanbilangan berikut.U1,U2,U3, ...,U10....19971998...Olehkarena dari tahun 1997 sampai tahun 2006 terdiri atas 10 suku maka jumlah seluruh karyawan yang diterima oleh perusahaan tersebut dari tahun 1997 hingga tahun 2006 merupakan deret 10suku pertamanya, yaituU1+U2+U3+...+U10 = 325S10 = 325Dengan mengingat rumus jumlahn suku pertama suatu deretaritmetikaSn=n2(2a + (n– 1) b) maka diperoleh persamaan berikut.S10=102(2a + (10 – 1)b)325= 5(2a + 9b)325= 10a+ 45b ...(1)Persamaan lainnya dapat diformulasikan dari keterangan bahwajumlahkaryawan yang diterima pada tahun 2000 adalah 25 orang. Jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 merupakan suku ke-4 dari barisan maka dengan rumusUn=a + (n– 1)b,diperoleh persamaanU4=a+ (4 – 1)bU4=a+ 3b25 =a+ 3b...(2)

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi1021.Perhatikanbarisan aritmetikaberikut.i.2, 7, 12, 17, ...ii. –3, 5, 13, 21,...iii. 12, 6, 0, –6, ...iv. 2, –3, –8, –13, ...Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 3.2Dari persamaan (2), diperoleh25 = a + 3b ¾ a = 25 – 3b ...(3)Substitusi persamaan (3) pada persamaan (1), diperoleh persamaan berikut.325 = 10( 25 – 3b) + 45b325 = 250 – 30b + 45b325 – 250 = 15b75 = 15bb = 7515= 5Jadi, diperoleh beda barisan aritmetika tersebut adalah b = 5.Untuk memperoleh nilai a = U1, substitusi b = 5 pada persamaan (3), diperoleha = 25 – 3(5)a = 25 – 15a = 10Jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004 merupakan suku ke-8 maka diperoleh U8 = a + (8 – 1)b = 10 + (7)5 = 10 + 35 = 45.Jadi, jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004 adalah 45 orang.b. Jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000 sampai tahun 2006 dapat dihitung dengan mengurangkan jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006 dengan jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 1999.Karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006 adalah 325 orang dan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 1999 merupakan penjumlahan deret 3 suku pertamanya.Dengan demikian, diperoleh 325 – S3 = 325 – 32(2(10) + (3 – 1) 5)= 325 – 32(20 + 10)= 325 – 45 = 280Jadi, jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000 sampai tahun 2006 ada 280 orang.

103Barisan dan Deret BilanganJawablah pertanyaan berikut. a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan- barisan tersebut.(Petunjuk: tentukan dahulu nilai a dan b dari setiap barisan, kemudian substitusikan ke rumus Un) b. Tentukan suku ke 17 dari barisan i, suku ke-10 dari barisan ii, suku ke-9 dari barisan iii, dan suku ke 12 dari barisan iv. c. Pada barisan i, tentukan nilai n jika Un = 77. d. Pada barisan ii, tentukan nilai n jika Un = 93 e. Pada barisan iii, tentukan nilai n jika Un = –108 f. Pada barisan iv, tentukan nilai n jika Un = 48 g. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada barisan i. h. Tentukan jumlah 20 suku pertama pada barisan ii. i. Tentukan jumlah 15 suku pertama pada barisan iii. j. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada barisan iv. k. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku dari suku ke-5 hingga suku ke-12 pada barisan i. l. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku dari suku ke-10 hingga suku ke-15 pada barisan iv.2. Tentukan banyaknya suku pada barisan aritmetika berikut ini.a. –4, 8, 20, ...176b. 10, 6, 2, -2, ..., –70c. 8, 23, 38, ..., 158.3. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku pada barisan a, b, dan c soal nomor 2.4. Pak Budi membuka peternakan ayam pada awal tahun 2007. Mula-mula dipelihara 60 ekor ayam. Selama bulan Januari 2007, menetas 10 ekor ayam. Diprediksi jumlah ayam yang menetas setiap bulan akan bertambah 5 ekor dari bulan sebelumnya. Tentukan. a. jumlah ayam yang menetas pada bulan Februari 2008,Sumber : www.goodexperience.cob. jumlah seluruh ayam yang menetas se-lama tahun 2007,c. jumlah seluruh ayam yang dimiliki Pak Budi sampai Desember 2008,d. jumlah ayam yang menetas sepanjang tahun 2008.5. Berdasarkan sensus Departemen Sosial yang dilakukan di Kota X, berhasil diketahui bahwa jumlah seluruh penduduk yang hidup di bawah garis kemiskinan pada tahun 2000 adalah 576.000 jiwa. Setelah perbaikan ekonomi nasional, pada tahun 2001 jumlah penduduk miskin berkurang 1000 orang. Pengurangan jumlah penduduk miskin tersebut setiap tahun akan meningkat 2000 orang dari setiap tahun sebelumnya. Kapan seluruh penduduk kota X akan seluruhnya hidup di atas garis kemiskinan?6. Dalam suatu perusahaan terdapat 5 divisi. Divisi-divisi tersebut memiliki jumlah personel. Jika divisi-divisi tersebut diurutkan mulai dari yang jumlah personelnya paling sedikit ke jumlah personel yang makin banyak maka diperoleh urutan sebagai berikut: divisi personalia, divisi logistik, divisi keuangan, divisi pemasaran, dan divisi produksi. Setelah diurutkan, ternyata jumlah masing-masing personel dari setiap divisi tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui jumlah personel divisi keuangan adalah 320 orang dan jumlah personel divisi pemasaran dan produksi adalah 820 orang, tentukan:a. jumlah seluruh personel divisi personalia dan divisi logistik.b. jumlah seluruh karyawan perusahaan tersebut.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi104C Barisan dan Deret GeometriPada subbab B, Anda telah mempelajari barisan aritmetika. Ciri barisan aritmetika memiliki beda yang sama. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari barisan geometri. Apakah perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri? Pelajarilah uraian berikut.1. Barisan GeometriCoba Anda perhatikan barisan berikut.a. 3, 9, 27, 81, ...b. 32, 18, 8, 4, ...Dari barisan a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yang berdekatan memiliki hasil bagi yang tetap, yaitu:UU21933==UU322793==UU4381273==Berdasarkan perhitungan tersebut, Anda dapat melihat bahwa hasil bagi pada barisan tersebut adalah 3. Barisan tersebut memiliki ciri tertentu, yaitu perbandingan dua suku berurutan memiliki nilai tetap (konstan). Barisan yang memiliki ciri seperti ini disebut barisan geometri. Perbedaan yang konstan itu disebut rasio.Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki ciri sebagai berikut.UUrnn1=dengan r merupakan rasio barisan geometri.Rasio pada barisan geometri dapat merupakan bilangan bulat (positif dan negatif ), dapat pula merupakan bilangan pecahan (positif dan negatif ).Coba Anda lihat barisan b pada pembahasan sebelumnya. Barisan tersebut memiliki urutan bilangan sebagai berikut.32, 16, 8, 4, ...Kata Kunci• barisan geometri• deret geometri• rasio

105Barisan dan Deret BilanganDari suatu barisan geometri diketahui suku ke-5 adalah 25 dan suku ke-7 adalah 625. Suku ke-3 barisan tersebut adalah ....a. 125b. 15c. 0d. 1e. 5JawabU5 = 25 = ar4 .... (1)U7 = 625 = ar6 .... (2)Dari (1) dan (2) diperoleharar6462525¾r2 = 25r = ± 5Dari (1), diperolehar4 = a (5)4 = 25 a · 625 = 25 a = 25625= 125U3 = ar2 =125· (5)2Jawaban: dUAN SMK, 2003Solusi CerdasRasio pada barisan tersebut adalah r = UUnn1 r = UUUUUU213243 r = 163281648 r = 12Coba Anda bandingkan barisan a dan barisan b pada pembahasan tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan?t +JLBr > 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin besar.t +JLBr < 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin kecil.Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.Un = a · rn – 1dengan a merupakan suku ke-1 dan r merupakan rasio bilangan.Dapatkah Anda menentukan rumus suku ke-n pada barisan a dan b ?Barisan a memiliki a = 3 dan r = 3 maka rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 3 · 3n – 1 Un = 31 · 3n · 3– 1 Un = 3n · 31–1 Un = 3n · 30 Un = 3nJadi, rumus suku ke-n barisan 3, 9, 27, 81, ...Barisan b memiliki a = 32 dan r = 12maka rumus suku ke-n barisan ini adalah sebagai berikut. Un = 32 · 121n Un = 32 · 12121n Un = 32 · 12n. 2 Un = 64 · 12n

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi106Jadi, rumus suku ke-n barisan 32, 16, 8, 4, ... adalah Un = 64 12n.Sekarang, coba Anda perhatikan uraian berikut.t #JMBOHBOQBEBTVLVLFBEBMBIU1 = 64 · 121 U1 = 64 · 12 U1 = 32t #JMBOHBOQBEBTVLVLFBEBMBIU2 = 64 · 122 U2 = 72 · 14 U2 = 16t #JMBOHBOQBEBTVLVLFBEBMBIU3 = 64 · 123 U3 = 64 · 18 U3 = 8ContohSoal3.9Berdasarkan penelitian Biro Pusat Statistik (BPS), pertumbuhan penduduk di kota A, selalu meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya.Hasil sensus penduduk tahun 1998 menunjukkan jumlah pendudukdi kota tersebut adalah 900.000 jiwa.Tentukan:a.barisan geometri yang menyatakan jumlah pendudukdi kota A, mulai dari tahun 1998,b.jumlah penduduk di kota A pada tahun 2008 (menurut penelitian BPS).Jawab:a.Jumlah pendudukdi kota A tahun 1998 = a= 900.000Pertumbuhan penduduk meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya, berarti rasio = 3ataur = 3.Diperolehbarisan geometri sebagai berikut.900.000,2.700.000,8.100.000, ....×3×3Jadi, barisan geometri yang dimaksud adalah 900.000, 2.700.000,8.100.000, ...SearchKetik: www.e-dukasi.net/mapok/barisan dan deret.Website ini memuat materi barisan dan deret, yang terdiri atas barisan dan deret aritmetika dan geometri. Selain itu, memuat latihan dan simulasi menggunakan animasi sehingga Anda dapat berlatih secara on-line.

107Barisan dan Deret BilanganContoh Soal 3.10Biro Pusat statistik memperolehdata yang menyatakan bahwa jikaangka pengangguran diurutkan mulai dari tahun 2002 hingga tahun2007 maka terbentuk suatu barisan geometri. Diperoleh juga informasibahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000 orang dantahun 2006 adalah 8000 orang.Berdasarkan ilustrasi tersebut, tulislah barisan geometri yangmenyatakan angka dari tahun 2002-tahun 2007.Jawab:Barisan geometri yang dimaksud adalah sebagai berikut. Angka pengangguran tahun 2002, pengangguran tahun 2003, penganggurantahun 2004, pengangguran tahun 2005, pengangguran tahun 2006,pengangguran tahun 2007.Berdasarkan barisan geometri tersebut, diperolehketerangan bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000, merupakan sukuke-3 atau dituliskan U3 = 2000. Dengan memperhatikan bahwa rumussuku ke-npada barisan geometri dapat ditulis sebagai Un=a.rn–1,maka diperoleh,b. Jumlah penduduk tahun 1998 = 900.000 ¾ suku ke-1Jumlah penduduk tahun 1999 = 2.700.000 ¾ suku ke-2Jumlah penduduk tahun 2008 = ...? ¾ suku ke-11Berdasarkan pembahasan pada soal a, diperoleha = U1 = 900.000 r = 3diperoleh rumus suku ke-n sebagai berikut Un = arn – 1 Un = 900.000 · 3n – 1 Un = 900.000 · 33n3n·3–1 Un = 300.000 · 3nJumlah penduduk kota A tahun 2008 merupakan bilangan pada suku ke-11 dari barisan geometri sehingga diperoleh U11 = 300.000 ¾3 ¾ 11 U11 = 53.144.100.000 jiwa.Jadi, jumlah penduduk kota A pada tahun 2008 adalah 53.144.100.000 jiwa.Gambar 3.6Jumlah penduduk di suatu kota dari tahun ke tahun dapat diprediksi menggunakan barisan dan deret geometri.Sumber: dementad.comContoh Soal 3.9 merupakan aplikasi dari barisan geometri. Contoh lain dari aplikasi barisan geometri dapat Anda pelajari pada Contoh Soal 3.10 berikut.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi1082. Deret GeometriCoba perhatikan barisan geometri berikut.3, 9, 27, 81, ...Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya? Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120. SearchKetik: http://bebas_vism.org/v12/sponsor/sponsor.pendamping/praweda/matematikaBunga majemuk merupakan salah satu aplikasi deret geometri. Website ini memuat rumus bunga majemuk yang dapat digunakan untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p70), juga untuk masalah penyusutan mesin.U3 = 2000ar3 – 1 = 2000ar2 = 2000....(1)Angka pengangguran pada tahun 2006 adalah 8000, merupakan suku ke-5. Dengan cara yang sama, diperolehU5 = 8000ar5 – 1 = 8000ar4 = 8000....(2)Dari persamaan (1) dapat diperoleh persamaan(3) berikut.ar2 = 2000 ¾20002r ...(3)Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh20002r r4 = 80002000 r2 = 8000 r2 =8 0002 000.. r2 = 4 r = p4diperoleh r1 = 2 dan r2= –2 Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif (coba Anda jelaskan mengapa?).Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada persamaan (3), sehingga diperoleh a20002200045002.Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U1 = 500, dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan berikut.U2 = 500 22 – 1 = 500 2 = 1000U3 = 500 23 – 1 = 500 4 = 2000U4 = 500 24 – 1 = 500 8 = 4000U5 = 500 25 – 1 = 500 16 = 8000U6 = 500 26 – 1 = 500 32 = 16000Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000.

109Barisan dan Deret BilanganSoal PilihanJumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2000 mencapai 3,2 juta orang. Tentukan jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.Sipenmaru, 1985Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri.Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut. Sn = ar rn1 untuk r < –1 atau r > 1 Sn = ar1 rn1 untuk –1 < r < 1Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, ... dapat dihitung dengan rumus berikut. Sn = ar rn1di mana a = 3, r = 3, dan n = 3 sehingga S4 = 331 314 S4 = 32 811 S4 = 380288 S4 = 2402 S4 = 12036, 18, 9, 412, ...? Barisan geometri tersebut memiliki a = 36, r = 12. Oleh karena –1 < r < 1 maka jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut. Sn = arrn(–)–1((1 S6 = 361121126 S6 = 36116412

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi110Contoh Soal 3.11Sebuah perusahaan home industrypada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Olehkarena kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonominasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan perusahaan naik menjadi112kali lipat dari bulan sebelumnya.Tentukanlah:a.barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007,b.totalkeuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan Agustus.Jawab:a.Keuntungan bulan JanuariU1= 14.000.000Keuntungan bulan FebruariU2=112 × 14.000.000 = 32 × 7.000.000 = 21.000.000Keuntungan bulan MaretU3=112× 21.000.000 = 32 × 10.500.000 = 31500.000Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut.14.000.000,21.000.000,31.500.000,...b.Totalkeuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soala. Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000,r=112.Jadi, jumlahkeuntungan perusahaan sampai bulan Agustusdihitung dengan rumusSn=ar rn1Gambar 3.7Total keuntungan yang diraih suatu perusahan dapat dihitung menggunakan deret geometriSumber : www.suarantb.com S6 = 36 6464164 2 S6 = 72 · 6364 S6 = 5678 S6 = 7078

111Barisan dan Deret BilanganContoh Soal 3.12Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasionaldari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan minat membaca pendudukkecamatan Y selalu meningkat dari tahunke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total pendudukyang memilikiminat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membacapada tahun 2007.Jawab:Olehkarena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatanperbadingan yang tetap maka akan membentukbarisan geometri denganr > 1 berikut.U1,U2,U3,U4,U5,U620022007......Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membacaselalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r > 1.Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakandengan persamaan berikut U1+U2 = 80 ...(1)Persamaan (1) merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama darisuatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahannsukupertama dari suatu deret geometri adalahSarn()rr21))1makahasilpenjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri dapat dinyatakan dengan rumusSarn()rr21))1, sehingga diperolehpersamaan berikut.ar()rr21))1= 80 ...(2) diperoleh, S8 = 1400000021..000 218 S8 = 140000001..000 2561 S8 = 14.000.000 (255) S8 = 3.570.000.000Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus adalah Rp3.570.000.000,00.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi112Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.U1 + U2 + U3 + U4 = 800 ...(3)Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan Sarr4411() berikut.arr()411= 800 ...(4), Dari persamaan (2) dapat diperoleh persamaan (5) berikut.arr()211= 80 ¾ a =80 112()rr ...(5)Persamaan (5) substitusi ke persamaan (4) sehingga diperoleh perhitungan berikut.80 1111242()( )rrrr = 80080 1142()()rr = 800()()rr421180080Dengan mengingat (r4 – 1) = (r2 – 1)(r2 + 1), maka diperoleh perhitungan berikut.()()()rrr222111 = 10 r2 + 1 = 10r2 = 10 – 1 r2 = 9r =p9maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalahr1 = 3 atau r2 = –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan (2) diperoleha( )31312 = 80a( )9131 = 80a82 = 80 a =80 28 = 20

113Barisan dan Deret BilanganContoh Soal 3.13Suku ke-nsuatu deret geometri adalah 4-n.Tentukan jumlah berhinggaderet tersebut. Jawab:Un= 4–n maka U1=a = 4–1= 14r=UU21=4421=4–1=14S=ar1=14114=1434=13Jadi, jumlah takberhingga deret tersebut adalah13.3. Deret Geometri Tak BerhinggaPada deret geometri, untuk n yang besarnya menuju tak hingga maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah sebagai berikut.a + ar + ar2 + ar3 + ....Deret geometri tak berhingga tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 dan jumlah S = ar1. Jika r tidak terletak pada –1 < r < 1 maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai jumlah)Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 m. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Dapatkah Anda menentukan panjang lintasan bola tersebut dari pantulan awal sampai bola itu berhenti?Soal PilihanOleh karena jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah barisan geometri, makaU6 = 20.36 – 1 = 20.35 = 20.243 = 4860Jadi, jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah 4860 orang.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi114Contoh Soal 3.14Data nilai impor negara X dari tahun 2000 hingga tahun-tahun berikutnya selalu menurun dengan perbandingan yang konstan. Nilaiimpor negara X pada tahun 2000 adalah 640 milyar rupiahdan tahun2002 besarnya 160 milyar rupiah. Jika fenomena ini terus berlanjuthingga tahun-tahun mendatang, prediksilah nilai total impor negaraX tersebut hingga tahun-tahun mendatang.Jawab:Oleh karena penurunan nilai impor memiliki perbandingan yang konstan maka nilai impor dari tahun 2000 hingga tahun-tahun berikutnya membentuk barisan geometri tak hingga berikut.U1,U2,U3,U4, ...DenganU1= Nilai impor tahun 2000 = 640 milyarU2= Nilai impor tahun 2001,U3= Nilai impor tahun 2002 = 160 milyarMengingat bahwa nilai suku ke-nsuatu barisan geometri dapatdinyatakan dengan rumus Un=arn –1, maka U1dan U3dapat dinyatakandengan:U1=ar1 – 1=ar0=aU3=ar3 – 1=ar2Dengan memperhatikan nilai U1dan U3yang masing-masing besarnya adalah 640 dan 160 milyar, diperolehdua persamaan berikuta= 640 ...(1)ar2=160 ...(2)Dengan menyubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) makadiperoleh persamaan berikut.(640 109)r2= 160 109r2=16010640101499r=p14, diperolehr1=12atau r2= – 12Pada permasalahan ini, gunakanr yang bernilai positif karena tidak ada nilai impor yang bernilai negatif.Dengan demikian, diperoleh: U1=a=640U2=ar2–1=ar1=640 109 (12)1 = 320U3=ar3 – 1=ar2 = 640 109(12)2= 160U4=ar4–1=ar3= 640 109 (12)3 = 80, dan seterusnya.Nilai total impor negara X hingga tahun-tahun mendatang dapat

115Barisan dan Deret Bilangandihitung menggunakan deret geometri tak berhingga berikut.U1 + U2 + U3 + U4 + ... =ar1640 + 320 + 160 + 80 + ... = 640112 = 64012 = 640 ¾ 2 = 1280 Jadi, diperoleh nilai total impor negara X dari tahun 2000 hingga tahun-tahun mendatang besarnya adalah 1.280 milyar atau 1,28 triliun rupiah.I. Kerjakan soal-soal berikut.1.Tentukan rumus ke-n barisan geometriberikut, kemudian tentukan jumlah 8 suku pertamanya.a.6, 9, 13 , ...b.18, 12,8,...c.23, 2, –6, 18, ...d.20, 4, 45,425,...2.Pada awal tahun 2001, jumlah wisatawan yang mengunjungi pulauPadalah 18.000.000 orang. Akibat terjadinyabencana alam di awal tahun tersebut maka setiap bulan berikutnya jumlah wisatawanberkurang menjadi 34nya. Berapakahjumlahwisatawan yang mengunjungipulau Pdaribulan Januari 2001 hinggaOktober 2001?4.Sebuah perusahaan meubel pada bulan Maret 2005 mendapat pesanan meubelsebanyak 64 buah. Ternyata hingga bulan Desember 2005, pesanan selalu naik menjadi 112kali lipat tersebut dari bulan sebelumnya.a. Tentukan deret geometri yang terbentuk dari pesanan meubel pada perusahan itu dan tentukan rumus suku ke-n. b. Pada bulan apakah perusahaan meubel tersebut mendapat pesanan meubel se-banyak 486?c. Tentukan jumlah mebel yang sudah dibuat perusahaan meubel itu selama 1 tahun.5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga dari 8 + 163+ 320.6. Diperoleh data keuntungan perusahaan X mulai dari tahun 2003 hingga tahun 2007 membentuk suatu barisan geometri. Jika jumlah total keuntungan dari tahun 2003 sampai tahun 2007 adalah 85,25 milyar rupiah dan jumlah keuntungan mulai dari tahun 2003 sampai tahun 2005 adalah 5,25 milyar rupiah, tentukanlah keuntungan per-Evaluasi Materi 3.3

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi116Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.Deret adalah penjumlahan berurut dari suku-suku barisan.Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b a = suku pertama barisan aritmetika b = selisih dua suku yang berurutan (beda) n = banyaknya suku (bilangan asli 1, 2, 3, ...) Un = suku ke–nJumlah suku pertama barisan aritmetika adalah Sn = n2(a + Un) Sn= jumlah n suku pertama deret aritmetikaBarisan geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap.Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio.Rumus suku ke-n deret geometri adalah Un = a . r n – 1 Un = suku ke-n a = suku pertama r = rasioDeret geometri adalah jumlah suku dari suku-suku yang berurutan.Jumlah n suku pertama barisan geometri adalah selalu tetap. Sn = a rn1 r1 untuk r > 1 Sn = a rn1 r1 untuk r < 1.Jumlah deret geometri tak terhingga adalah S∞ = a r1; –1 < r < 1 S∞= jumlah deret geometri tak hinggaa = suku pertamar = rasio.RingkasanKaji DiriSetelah mempelajari materi tentang Barisan dan Deret Bilangan, tuliskan bagian mana saja yang belum Anda pahami. Selain itu, tuliskan juga materi yang Anda senangi beserta alasannya. Bacakan tulisan Anda di depan kelas.

117Barisan dan Deret BilanganI. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.Kerjakanlah di buku latihan Anda.1.Perhatikan barisan bilangan berikut.1, 2, 3, 5, ...Bilangan selanjutnya adalah ....a.–2d.10b.6e.7c.82.Rumus suku ke-nbarisan bilangan 10, 5, 0, –5, ... adalah ....a.10 – 2nd.10 + 3nb.2 + 3ne.n2–1c.15 – 5n3.Jumlah 10 suku pertama barisan bilangan10, 5, 0, –5, adalah ....a.–125d.–100b.90e.–75c.–854.Sebuahbarisan aritmetika suku pertamanya adalah 1. Jika jumlah 6 suku pertama barisanbilangan tersebut besarnya adalah 66 makabeda pada barisan tersebut adalah ....a.–4d.–2b.2e.5c.45.Suku ke–10 barisan aritmetika pada soalnomor. 4 adalah ....a.75d.190b.80e.200c.1006.Anton menabung setiap bulan di sebuahbank swasta, mulai Januari 2005 hinggaseterusnya. Setoran Anton per bulannyaterus naik sesuai dengan barisan aritmetikaberikut.200.000, 250.000, 300.000, ....Setoran Anton pada September 2005 besar-nya adalah ....a.Rp450.000,00b.Rp550.000,00c.Rp600.000,00d.Rp700,000,00e.Rp750.000,007.Jumlah total setoran Anton (pada soal nomor6) hingga Desember 2005 adalah ....a.Rp5.700.000,00b.Rp5.000.000,00c.Rp5.000.000,00d.Rp4.800.000,00e.Rp4.000.000,008.Rumussuku ke–nbarisan geometri 40, 20,10, 5, ... adalah ....a.Un=202nd.Un= 80nb.Un= 40ne.Un=802nc.40·2n9.Jumlah 10 suku pertama barisan 40, 20, 10,5 adalah ....a.60 12d.781825b.70e.8013c.79596410.Suatu barisan geometri memiliki suku pertama adalah 12, jumlah 3 suku pertamaadalah 57. Suku ke empat barisan geometritersebutadalah....a.4012d.40b.38e.36c.4511.Jumlah 5 suku pertama suatu barisan geometri adalah 93. Jika rasio barisantersebut adalah 2 maka suku ke–6 barisan tersebut adalah ....a.48d.96b.60e.100c.90Evaluasi Materi Bab 3

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi11812. Sebuah peternakan ayam memiliki 128 ekor ayam. Oleh karena terjadi wabah flu burung maka setiap hari jumlah ayam berkurang me n jadi 12 kalinya. Jumlah ayam menjadi tinggal 4 ekor pada hari ke .... a. 8 d. 4 b. 7 e. 3 c. 513. Jika barisan 24, 48, x, 192 merupakan barisan geometri ... maka nilai x2 adalah .... a. 4.760 d. 9.216 b. 8.560 e. 10.000 c. 9.00014. Jumlah 6 suku pertama dari barisan pada soal nomor 13 adalah .... a. 1.000 d. 1.600 b. 1.300 e. 1.512 c. 1.400 15. Jika barisan 20, x, 5, ... merupakan barisan geometri maka suku ke-5 nya adalah .... a. 1 d. 1,75 b. 1,25 e. 2 c. 1,5II. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Ibu Sarah memiliki 3 orang anak. Setiap hari ibu Sarah memberi anak-anaknya uang saku. Setiap harinya ibu Sarah mem beri Rp20.000,00 untuk anak pertama, Rp16.000,00 untuk anak kedua, dan Rp4.000,00 untuk anak bung-sunya. Ten tukan jumlah uang yang harus disediakan ibu sarah selama satu bulan untuk uang saku anak-anaknya.2. Ayah membeli sebuah mobil seharga Rp150.000.000,00. Harga mobil menyusut sebesar 0,8% setiap tahunnya. Taksirlah harga mobil tersebut pada tahun ke-15 setelah pembelian.3. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan bulan ke-4 adalah Rp30.000,00 dan bulan ke-8 adalah Rp172.000,00, tentukan keuntungan bulan ke-18.4. Pertambahan penduduk setiap tahun di suatu desa mengikuti deret geometri. Pertambah-an penduduk pada tahun 1996 sebanyak 24 orang, tahun 1998 sebesar 96 orang. Tentu-kan pertambahan penduduk tahun 2001.5. Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 10 dan suku pertamanya adalah 2. Tentukan rasio deret geometri tak hingga tersebut.Pilihan KarirPsikolog adalah seorang ahli dalam bidang psikologi, bidang ilmu pengetahuan yang mempelajari tingkah laku dan proses mental. Psikolog dapat dikategorikan ke dalam beberapa bidang tersendiri sesuai dengan cabang ilmu psikologi yang ditekuninya. Tetapi kata "psikolog" lebih sering digunakan untuk menyebut ahli psikolog klinis, ahli psikologi di bidang kesehatan mental. Psikolog di Indonesia tergabung dalam organisasi profesi bernama Himpunan Psikolog Indonesia (HIMPSI).