Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR1.Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2.Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.3. Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya.Melalui pembelajaran materi matriks, siswa memperoleh pengalaman belajar:• mengamatisecaracermataturansusunanobjek.• berpikirmandirimengajukanidesecarabebasdan terbuka.• menemukanhubungan-hubungandiantaraobjek-objek.• melatihberpikirkritisdankreatif.• bekerjasamamenyelesaikanmasalah.MATRIKS• Operasipadamatriks• Determinanmatriks• InversmatriksBab2
38Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1B.PETA KONSEPdeterminaninvers matikssifat-sifatMatriksMasalahOtentikMatriks kofaktorMatriks adjointUnsur-unsurmatriksOperasipenjumlahanpenguranganperkalianelemenbariselemenkolomMateri PrasyaratSistem Persamaan Linier
39Matematika1. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-SifatnyaSaat duduk di kelas X, kamu telah mempelajari konsep matriks, jenis dan operasi pada matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita. Pada kesempatan ini, kita akan menganalisis sifat-sifat operasi pada matriks dan menggunakannya dalam pemecahan masalah otentik. Amatilah dengan cermat berbagai informasi dan masalah yang diajukan dan temukan sifat-sifat operasi matriks di dalam langkah pemecahan masalah yang diajukan.a. Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnyaMasalah-2.1Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan 2 jenis kue, yaitu; bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara perempuan dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk tiap-tiap kue seperti pada tabel berikut:Tabel Biaya Toko di Padang (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue1.000.0001.200.000Chef2.000.0003.000.000Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue1.500.0001.700.000Chef3.000.0003.500.000Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?C.MATERI PEMBELAJARAN
40Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif Penyelesaian Jika kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya di Medan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut.A = 1000000120000020000003000000........dan B = 1500000170000030000003500000.........Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh, sebagai berikut. Total biaya bahan untuk bronis = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.000Total biaya chef untuk bronis = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks berikut:Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue2.500.0002.900.000Chef5.000.0006.500.000Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks Adan B.A + B = 1000000120000020000003000000........ + 1500000170000030000003500000........= 1000000150000012000001700000200000030000003............+++.....0000003500000+= 2500000290000050000006500000........Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan karena kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks.
41MatematikaNah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan dua matriks dalam konteks matematis.Definisi 2.1Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aijdan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C=A+B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh cij=aij+bij(untuk semua idanj).Catatan:Duamatriksdapatdijumlahkanhanyajikamemilikiordoyangsama.Ordomatrikshasilpenjumlahanduamatrikssamadenganordomatriksyangdijumlahkan.Contoh 2.1a). Jika diketahui matriksPxxQy=−=2417522811,dan PQ+=12412236Tentukan nilai x dan y!Jika dimisalkan R = P + Q, maka jumlah matriks P dan Q adalahRPQxxy=+=++++++=12412236222481175112412236-Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperolehx + 2 = 12 atau x = 10x – 7 + y = 3 atay 10 – 7 + y = 3 atau y = 0Jadi diperoleh nilai x = 10 dan y = 0b).Diketahui matriks T=631550137. Tunjukkan bahwa T + 0 = T dan 0 + T = T dengan 0 adalah matriks nol berordo 3 × 3.
42Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1•TO+=+631550137000000000=+++++++++=603010505000103070631550137==T• OT+=+=+++++0000000006315501370603010505500010307++++=631550137=TDalam kajian selanjutnya, jika dikatakan matriks nol, maka kita harus memikirkan matriks nol dengan ordo yang sama dengan matriks yang sedang dikaji. Demikian juga halnya untuk matriks identitas, I.Masalah-2.2Cermati skema dan biaya penerbangan salah satu jenis pesawat dari Bandara Soekarno Hatta Jakarta ke berbagai kota yang ada di Pulau Sumatera yang disajikan sebagai berikut.Gambar 2.1 : Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota MPTKJAPBPDPPANJ1 1,5 0,41,10,80,60,71 ,50 ,40 ,40 ,50 ,71,20 ,60 ,5Gambar-2.1: Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota
43Matematikaa)Sajikan lintasan pesawat dalam bentuk matriks A = (aij), dengan elemen aijmenyatakan adanya lintasan penerbangan yang langsung antar dua kota.b)Sajikan biaya penerbangan dalam bentuk matriks B = (bij), dengan bijmenyatakan biaya penerbangan antar dua kota. Selanjutnya tentukan biaya penerbangan yang paling rendah dari kota Jakarta (J) ke kota Aceh (A) dengan bobot biaya penerbangan yang tersedia dalam juta rupiah!c)Jika matriks pada bagian a) dikalikan dengan dirinya sendiri, apa yang dapat kamu simpulkan dari unsur-unsur matriks tersebut?Alternatif Penyelesaian Bagian a)Kata kunci pada persoalan ini adalah adanya lintasan antar dua kota, secara matematis, fungsi lintasan antar dua kota tersebut, dinyatakan sebagai berikut: Dari hasil pengamatan lintasan penerbangan pesawat pada skema di atas, diperoleh data sebagai berikut:aijijij==≠01,,untukuntukJika tidak ada lintasan langsung dua kotaJika ada lintasan langsung dua kotai)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Jakarta (J) ke kota yang lain adalah 7 lintasan, yaitu dari Jakarta ke Tanjung Karang (TK); dari Jakarta ke Palembang (P); dari Jakarta ke Pangkal Pinang (PP); dari Jakarta ke Jambi (JA), dari Jakarta ke Padang (PD), dari Jakarta ke Pekan Baru (PB), dan dari Jakarta ke Medan (M).ii)Banyak lintasan penerbangan pesawat dari Tanjung Karang ke kota lain adalah 1 lintansan, yaitu dari Tanjung Karang (TJ) ke Jakarta (J).iii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Palembang (P) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Palembang (P) ke Jakarta (J); dari Palembang ke Aceh (A); dan dari Palembang (P) ke Medan (M).iv)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pangkal Pinang (PP) ke kota yang lain adalah 1 lintasan, yaitu dari Pangkal Pinang ke Jakarta.v)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Jambi (JA) ke kota yang lain adalah 2 lintasan, yaitu dari Jambi (JA) ke Jakarta (J); dari Jambi (JA) ke Aceh (A).
44Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1vi)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Padang (PD) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Padang (PD) ke Jakarta (J); dari Padang (PD) ke Medan (M); dari Padang (PD) ke Pekan Baru (PB).vii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pakam Baru (PB) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Pekan Baru (PB) ke Jakarta (J); dari Pekan Baru (PB) ke Padang (PD); dan dari Pekan Baru (PB) ke Medan (M).viii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Medan (P) ke kota yang lain adalah 6 lintasan, yaitu dari Medan (M) ke Jakarta (J); dari Medan (M) ke Padang (PD); dari Medan (M) ke Pekan Baru (PB); dari Medan (M) ke Palembang (P); dari Medan (M) ke Aceh (A); dari Medan (M) ke Nias (N).ix)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Aceh (A) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Aceh (A) ke Jakarta (J); dari Aceh (A) ke Medan (M); dari Aceh (A) ke Jambi (JA).x)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Nias (N) ke kota yang lain adalah 1 lintasan, yaitu dari Nias (N) ke Medan (M).Dari data di atas, adanya lintasan penerbangan pesawat antar dua kota, dapat disajikan dalam sebuah matriks A berikut.Perhatikan elemen matriks A di atas, jumlah elemen-elemen baris menyatakan banyaknya lintasan penerbangan dari kota pada baris matriks tersebut. Misalnya pada baris pertama matriks A, jumlah elemen matriks adalah 7, artinya ada 7 lintasan penerbangan dari Jakarta ke kota-kota yang lain pada gambar.Bagian b)Dari skema penerbangan di atas, biaya penerbangan antar dua kota yang terhubung langsung, dapat disajikan dalam sebuah matriks B berikut.
45MatematikaPerhatikan Gambar-2.1 dan Matriks B di atas, terdapat 8 cara (lintasan) penerbangan dari kota Jakarta (J) menuju kota Banda Aceh (A), yaitu:i)Dari Jakarta menuju kota Medan dan dari Medan menuju Aceh dengan total biaya 2 juta Rupiah.ii)Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,1 juta Rupiah.iii)Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,4 juta Rupiah.iv)Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,8 juta Rupiah.v)Dari Jakarta menuju Jambi, dan dari Jambi menuju Aceh, dengan total biaya 2 juta Rupiah.vi)Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,9 juta Rupiah.vii)Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru Menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,4 juta Rupiah.viii)Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Aceh, dengan total biaya 2,1 juta Rupiah.Dari ke delapan lintasan dari Jakarta menuju Aceh, biaya terendah diperoleh melalui jalur Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,8 juta Rupiah.
46Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Ingat kembali materi operasi penjumlahan matriks yang kamu sudah pelajari di kelas X, jika kita jumlahkan matriks B dengan dirinya sendiri diperolehBB+= ,,,,,,,,,,,00406070811115000400000000006000000071500700000000000800000001201000000404001100000400500150,,,,,,,,00700040500506001501200050000000000600,,,,,,,,,+ ,,,,,,,,,,,00406070811115000400000000006000000071500700000000000800000001201000000404001100000400500150070,,,,,,,,,00040500506001501200050000000000600,,,,,,,,
47MatematikaBB+=200406070811115000400000000006000000071500.,,,,,,,,,,,77000000000080000000120100000040400110000040050015,,,,,,,,000700040500506001501200050000000000600,,,,,,,,,B + B = 2B.Makna elemen matriks 2B adalah biaya pulang pergi untuk penerbangan antar dua kota. Misalnya biaya penerbangan dari Jakarta menuju Medan, dan sebaliknya, biaya pulang pergi adalah 2 × 1,5 juta = 3 juta.MisalkanmatriksBBBBB=++++=12334556718...1244344223345567123345567123345567++++=....1233455671288812444444444434444444444B33345567Definisi 2.2Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n×m, n∈ N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k∈ N adalah kB, ditulis BBBBkBk++++=...1244344, dan matriks kB berordo n×n.
48Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1b. Sifat Komutatif Penjumlahan MatriksMasalah-2.3Perhatikan masalah di bawah ini!Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang dijual antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan kualitas sedang. Pedagang satu memiliki 3 kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg mangga kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki 1 kg mangga dengan kualitas tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua pedagang tersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu menambah 20 kg mangga berkualitas tinggi dan 15 mangga kualitas sedang, sedangkan pedagang kedua menambah 20 kg mangga kualitas tinggi dan 10 kg mangga kualitas sedang. Berapakah persediaan mangga setiap pedagang sekarang?Alternatif penyelesaianPedagang satu dan pedagang dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang dan pada hari berikutnya kedua pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di bawah ini:Tabel persediaan mangga sebelum penambahanKualitas TinggiKualitas SedangPedagang I36Pedagang II18Tabel tambahan persediaan manggaKualitas TinggiKualitas SedangPedagang I2015Pedagang II2010Jika kita misalkan matriks persediaan buah mangga sebelum penambahan sebagai matriks A dan sesudah penambahan sebagai matriks B. Matriks A dan B disajikan sebagai berikut.
49MatematikaA = 3 61 8⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B = 20 1520 10⎛⎝⎜⎞⎠⎟.Ingat kembali materi operasi pada matriks yang sudah dipelajari. Dua matriks dapat dijumlahkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks A dan B memiliki ordo yang sama, yaitu; matriks berordo 2 × 2.Maka jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut.AB+=++++++=361820152010320615120810232121118201520103618203156201108+=+++++=BA=23212118Berdasarkan hasil operasi di atas dapat disimpulkan (1) total persediaan mangga Pedagang I adalah 23 kg mangga kualitas tinggi dan 21 kg mangga kualitas sedang; (2) total persediaan mangga Pedangang II adalah 21 kg mangga kualitas tinggi dan 18 kg mangga kualitas sedang; (3) ternyata hasil penjumlahan matriks A + B = B + A.Contoh 2.2Misalkan matriks A = 3−1 20 6 41 5 1⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ dan matriks B = −3−1 20 6 41−5−1⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟AB+=−+−−−−=+−31206415131206415133()−−+−++++++−+−1122006644115511()()()
50Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1BA+=−−−−+−=−+−+−312064151312064151331(1122006644115511)+++++−+−+BA+=−0240128200AB+=−0240128200Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa A + B = B + A.Mari kita buktikan secara umum bahwa operasi penjumlahan pada matriks memenuhi sifat komutatif. Misalkan matriks A dan B berordo n×k. Elemen-elemen matrik Adan B adalah bilangan real yang disajikan sebagai berikut.Aaaaaaaaaaaaakkk=111213121222323132333..................................aaaaBbbnnnnk123111=dan2213121222323132333bbbbbbbbbbkkk..,...............................bbbbnnnnk123
51MatematikaABaaaaaaaaaaaakkk+=111213121222323132333..................................aaaabbbnnnnk1231112+113121222323132333..,.........................bbbbbbbbbkkk......bbbbnnnnk123=+++++++abababababababakk111112121313112121222223232......kkkkkbabababab+++++231313232333333........................aababababnnnnnnnknk112233++++...Karena nilai aij dan bijuntuk setiap i dan j adalah bilangan real, maka nilai aij + bijsama dengan nilai bij + aij atau aij + bij = bij + aij. Dengan demikian hasil penjumlahan A + B = B + A.Sifat 2.1Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika A +B = B + A.Diberikan matriks A = x−2yy4 1⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B = 532xx−y⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dengan hasil penjumlahan matriks B + A = 1 816 2⎛⎝⎜⎞⎠⎟ . Tentukan matriks A dan B!Contoh 2.3
52Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif penyelesaianBerdasarkan Definisi-2.2 di atas, A + B = B + A, sehingga diperolehA + B= xyy−241+ 532xxy−=xyyxxy−+++−+253241Berdasarkan Definisi-2.2 di atas, A + B = B + A, sehingga diperolehxyyxxy−+++−+253241= 18162Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperolehx – 2y + 5 = 1; y + 3 = 8; 2x + 4 = 16, dan x – y + 1 = 2. Dari keempat persamaan ini diperoleh nilai x, dan y.2x + 4 = 16 diperoleh x = 6.y + 3 = 8 maka y = 5Dengan demikian matriks A = xyy−241= −4541dan matriks B = 53121c. Sifat Asosiatif Penjumlahan MatriksMasalah-2.4Pada suatu acara perlombaan masak pada acara 17 Agustus di SMA yang terdiri dari tiga sekolah, terdapat tiga peserta perwakilan dari masing-masing sekolah. Terdapat tiga orang anggota tim juri menilai dari setiap hasil masakan dari masing-masing sekolah, dengan nilai rentang nilai 6 sampai 10. Tabel nilai tersebut adalah Tabel persediaan mangga sebelum penambahanJuri IJuri IIJuri IIISMA I889SMA II788SMA III1088
53MatematikaAlternatif penyelesaianMisalkan:•Nilai dari juri I untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAIII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥•Nilai juri II untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥•Nilai juri III untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥(I + II) + III = 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥= 161518⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ = 252326⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥atauI + (II+III) = 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟
54Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1= 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+171616⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟=252326⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Dari penyelesaian tersebut dapat diketahui peringkat I adalah SMA III, Peringkat kedua adalah SMA I, dan peringkat ketiga adalah SMA II. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa matriks I + (II + III) = (I + II) + III. Hal ini dinamakan sifat asosiatif operasi penjumlahan pada matriks.Contoh 2.4Misalkan A = 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟, B = 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ , dan C = 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟A + (B + C) = 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟= 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−41 64−2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟A + (B + C) = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟(A + B) + C= 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟
55Matematika = 11−68−74 0⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks A + (B + C) = (A + B) + C = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟Sifat 2.2Misalkan matriks A,B dan C berordo n x k. Penjumlahan matriks A,B dan Cmemenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A +(B+C) = (A+B) + C.2. Pengurangan Dua MatriksSebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh masalah berikut ini.Masalah-2.5Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10 % dari harga perolehan sebagai berikut:Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!Jenis AktivaHarga Perolehan (Rp)Penyusutan Tahun I (Rp)Harga Baku (Rp)Mesin A25.000.0002.500.000Mesin B65.000.0006.500.000Mesin C48.000.0004.800.000
56Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif penyelesaianMisalkan:Harga perolehan merupakan matriks A = 25.000.00065.000.00048.000.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Penyusutan tahun pertama merupakan matriks B = 2.500.0006.500.0004.800.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah A – B = 25.000.00065.000.00048.000.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥−2.500.0006.500.0004.800.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=22.500.00058.500.00043.200.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks –B, ditulis:A-B=A+(-B).Matriks –B merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian dengan matriks B. Dari pemahaman penyelesaian Masalah-2.5 di atas, pengurangan dua matriks dapat juga dilakukan dengan mengurangkan langsung elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu : A-B = abijij−3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan MatriksDalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.
57MatematikaSebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A+ (–B), (–B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B. Artinya, matriks (–B) dapat kita tulis sebagai :–B = k.B, dengan k = –1.Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan A suatu matriks berordo m×n dengan elemen-elemen aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m×n dengan elemen-elemennya ditentukan oleh :cij= k.aij (untuk semua i dan j ).Contoh 2.5a) Jika T =, Maka 2.H=−−−−24124552224212242425482481010×−×−××−×−×=−−−−()()()().b) Jika S =, Maka189360243151812−−13131813913313601324133131513181312S=××××××−×××−()()=−−6312081564.c) Jika P =, Maka162440603672143414161424144014601436147234PP+=××××××+×11634243440346034363472×××××=+=461015918121830452754122440603672=P
58Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 14. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnyaMasalah-2.6P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan tersebut memiliki beberapa toko penjulan di beberapa kota besar di Indonesia. Persediaan alat-alat olah raga di setiap toko disajikan pada tabel berikut.Tabel 1.1: Alokasi setiap sumber yang tersediaSumberJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 95688575Surabaya705712080Makasar85605690Yogya45908764Bandung75549065Tabel di bawah ini menyatakan harga satu buah untuk setiap jenis alat musikJenis Alat MusikHarga (Rp)Piano 15.000.000,–Gitar1.500.000,–Terompet5.000.000,–Seksofon5.000.000,–Setiap toko di masing-masing kota telah berhasil menjual berbagai jenis alat musik yang disajikan pada tabel berikut.
59MatematikaKota/ TerjualJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 85568470Surabaya55528565Makasar80484386Yogya42606762Bandung72517860Amatilah data di atas dan tentukan nilai daria. Nilai persediaan alat musik seluruhnya!b. Penghasilan kotor perusahaan P.T MelodiAlternatif PenyelesaianMisalkan P adalah matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota dan matriks H adalah matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik serta T adalah matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual di setiap kota. Matriks P, H, dan T dapat ditulis sebagai berikut.Kota/ TerjualJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 85568470Surabaya55528565Makasar80484386Yogya42606762Bandung72517860
60Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 19570854575685760905485120568790758090646515000000150000050000005000000855580427256524860518485436778706586626095708545756857609054851205687907580906465×15000000150000050000005000000P =Nilai Barang Keseluruhan = dan H =dan T =9515000000681500000855000000755000000701500000()()()()(+++00571500000120500000080500000085150000006015)()()()()(++++000000565000000905000000451500000090150000087)()()()()++++(()()()()()50000006450000007515000000541500000905000000+++++655000000()142500000010200000042500000037500000010500000008550000++++00600000000400000000127500000080000000280000000450000+++++000067500000013500000043500000032000000011255000000810++++000000450000000325000000++23270000002135500000280500000076400000001981000000===Berdasarkan hasil perhitungan di atas, diperoleh nilai barang keseluruhan di setiap toko di masing-masing kota adalah
61Matematika23270000002135500000280500000076400000001981000000MedanSurabayaMakasarYogyaBanduungNilai Inventori Barang = Berdiskusilah dengan temanmu, coba tentukan nilai barang yang terjual di setiap toko di kota.Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap elemen baris pada matriks Cberkorespondensi satu-satu dengan setiap elemen kolom pada matriks D. Seandainya terdapat satu saja elemen baris ke-1 pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan elemen kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D. Banyak perkalian akan berhenti jika setiap elemen baris ke-n pada matriks C sudah dikalikan dengan setiap elemen kolom ke-n pada matriks D. Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut. Misalkan matriks Am×n dan matriks Bn×p, matriks A dapat dikalikan dengan matriks Bjika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B berordo n×p adalah suatu matriks berordo m×p. Proses menentukan elemen-elemen hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.Aaaaaaaaaaaaaaaamnmmmnnn×112131112223221323333123 aamnBbbbbbbbbbbbbbbbnpnnnppp×112131112223221323333123 bbnp, dan =Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Am×n terhadap matriks Bn×p, dinotasikan C=A.B, maka C berordo m×p. Elemen-elemen matriks C pada baris ke-idan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-idari matriks A terhadap elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan cij=ai1.b1j+ai2.b2j+ai3.b3j+...+ain.bnj
62Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Definisi 2.3Misalkan A = aijadalah matriks yang berordo m × p dan B = adalah matriks yang berordo q × n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m × ndinotasikan A × B = C =cijberordo m × n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: cij= ai1b1j + ai2b2j+ ai3b3j+ ...+ aipbpj, dengan i = 1,2,3, ..., m; dan j = 1,2,3,...,n.Catatan:MatriksAdanBdapatdikalikanapabilabanyakkolommatriksAsamadenganbanyakbarismatriksB.Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan konsep di atas!Contoh 2.6Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.a) Diketahui matriks A3 × 3=aaaaaaaaa112131122232132333 dan B3 × 3=bbbbbbbbb112131122232132333 matriks hasil perkalian matriks A dan matriks B, A.B =aaaaaaaaabbbbbb11213112223213233311213112223.22132333bbb=+++++abababababababa111112211331211122212331311132................bababababababab21333111121222133221122222233+++++2231123222333211131223133321132abababababababa.......+++++22232333311332233333.....babababab+++Sekarang, silahkan tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks? Berikan alasanmu!b) Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 135246213240., dengan menggunakan
63Matematikakonsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:13524621324012213241526113=+++........+++++++=223342536214203440546041016...........77172741220.Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a) dan b), silahkan periksa apakah matriks 213240 dapat dikalikan terhadap matriks 135246? Berikan penjelasanmu!a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian MatriksMisalkan Matriks A = 51231 ; B = −−51231C = 2111−A × B = 5123151231×−−A × B = −+−+−−25366012153361A × B = 11481235−B × A = −−×5123151231B × A = −+−−+−25366012153361B × A = 11481235−Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif sebab A × B≠ B × AMari kita cek sifat asosiatif!A× (B×C) = 51231512312111×−−×−A× (B×C) = 51231723813×−−
64Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1A× (B×C) = 3461183−Sekarang perhatikan hasil perkalian matriks(A×B )×C = 51231512312111×−−×−(A×B )×C = 114812352111−×−−(A×B )×C = 3461183−Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan A× (B× C) = (A×B) ×C.Sifat 2.3Misalkan matriks Aberordom×n, Bberordon×p dan Cberordop×q dengan m,n,p,q∈N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A×(B×C) = (A×B) ×C.Perhatikan kembali matriks A, B, dan C di atas.Matriks A = 51231 ; B = −−51231 dan C = 2111−A × (B + C) = 51231512312111×−−+−= 5123131320×−= 24231024−(A×B) + (A×C ) = 51231512315123121×−−+×−−11= 114812351325211−+−−= 24231024−
65MatematikaDari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa A× (B + C) = (A×B) + (A×C).Sifat 2.4Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q∈N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi pen–jumlahan matriks jika dan hanya jika A × (B + C) = (A × B) + (A × C).Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks A berordo p×q.Diketahui matriks A = 0110−.Tentukanlah A2013Contoh 2.7Alternatif PenyelesaianMari cermati langkah-langkah berikut!A2 = A.A = 01100110100111001−−=−−=−..==−1Jika A2 = –I, maka A4 = I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A kelipatan 4, akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut:2013=4.(503)+1.Akibatnya, A2013 = A(4.(503)+1) = (A4 )503 .A1. Matriks A4 = I, dan In = I,n = 1,2,3,..., akibatnya berlaku, (A4 )503 = I. Oleh karena itu, A2013 = I.A = A = 0110−.Dari hasil pembahasan Contoh 2.7, secara umum dapat kita nyakan dalam definisi berikut ini.Definisi 2.7Misalkan matriks A berordo p × q dan n∈N. AAAAAnn faktor=×××...
66Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1A2013 pada contoh di atas, dengan A=0110−, kebetulan memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun, jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan An, n bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks Asebanyak n faktor.Pertanyaan Kritis:ApakahA4=Iberlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ? Uji Kompetensi 2.11.Hasil penjumlahan matriks ppq+++=23256634985. Tentukan nilai pdan q!.2. Misalkan matriks A = p+2325B = pq663+ Bila 3A = B, Tentukan nilai pdan q!.3. Diberikan matriks A = 4325−−B = 4363− dan C = −−−263235 Tunjukkan bahwa A + B = B2. + C.4. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut!a.1202541524c. −−230011111100010001b.271657301−d. 1000100011353462535.Apa yang dapat kamu jelaskan tentang operasi pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C? Paparkan di depan kelas!6.Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan:i. (A + B)2 = A2 + B2 ii. A2 – B2 = (A – B).(A + B)
67Matematika7.Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00. a)Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. b)Paket mana yang menawarkan biaya termurah?8.Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini.EksekutifEkonomiACUmum404241Mahasiswa334135Pelajar303928Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada tabel berikut.Kategori penumpangJumlah penumpangUmum123Mahasiswa109Pelajar94Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?
68Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 19.Tentukanlah B3 – 4B2 + B – 4I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 3 dan matriks B = 11212121110.Jika matriks D = 112121211 , maka tentukanlah matriks D 3– 4D 2 + D + 4.I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 311. Tentukanlah nilai p dan q yang memenuhi syarat berikut ini!a) R = pq02 dan R2 = Ib) S = ..3215−− dan S 2 = p.S+ q.IProjekRancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.5. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS a. Determinan Matriks.Masalah-2.8Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan teman-temannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya?
69MatematikaAlternatif PenyelesaianCara IPetunjuk : Ingat kembali materi sistem persamaan linier yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks.Misalkan :x = harga satu porsi ayam penyety = harga es jeruk per gelasSistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 70.0005x + 3y = 115.000Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :352370000115000=xy..Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel.axbycaxbycaabbxyc11122212121+=+=→=.cc2Solusi persamaan tersebut adalah:xbcbcabab=−−21121221.... dan yacacabab=−−12211221.... , a1b2 ≠ a2b1 ...........................................(2)ØIngat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesain SPLDV. Tentunya, kamu mampu menunjukkannya.Cara IIDalam konsep matriks, nilai a1.b2 – a2.b1 disebut sebagai determinan matriks aabb1212, dinotasikanaabb1212atau det (A), dengan matriks aabb1212= AOleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (2), dapat ditulis menjadi:xccbbaabb=12121212 dan yaaccaabb=12121212...................................................................................(3)
70Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1dengan aabb12120¹.Kembali ke persamaan (1), dengan menerapkan persamaan (3), maka diperoleh:x==−−=−−=7000011500023352321000023000091020000120000......yy==−−=−−=35700001150003523345000350000910500015000......Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp20.000,00 dan harga satu gelas Jus adalah Rp5.000,00.Notasi DeterminanMisalkan matriks A = acbd. Determinan dari matriks A dapat dinyatakan det AAacbdadbc()===−b. Sifat-Sifat Determinan.Misalkan matriks A = −−−−3241 dan matriks B = 3241−−det AA()==−−=−+=3241385det BB()==−−−−=−−=−3241385jadi AB ́ = 25Matriks A×B = 32413241−−−−−−.= −−178169
71MatematikaDengan demikian det ABAB×()==−−=−+=−17816915312825Sifat 2.5Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m∈N. Jika determinan matriks A dinotasikan Adan determinan matriks B dinotasikanB, maka ABAB=..Contoh 2.8Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.Diketahui A = 4256 dan matriks B = 1324.Tunjukkan bahwa ABAB..!=Alternatif PenyelesaianSebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:AB...==4256132419202828Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh AB..==−1920282828Sekarang kita akan bandingkan dengan nilai AB.. Dengan matriks A =4256Maka A = 14, dan B = 1324 Maka B = –2 nilai AB.= 14.(–2) = –28 ABAB..==−28Soal Tantangan....•Selidikiapakah|A.B.C|=|A|.|B|.|C|untuksetiapmatriks-matriksA,B,danCberordon×n.• JikamatriksAadalahmatrikspersegi,dankadalahskalar.Cobatelusuri,nilaideterminanmatriksk.A.
72Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 2.9Sebuah matriks P ordo 2 × 2 denganPcd=ab dengan a, b, c, d ∈R. Jika determinan P adalahα, denganα∈R. Tentukanlah determinan dari matriksQaxcsabxdsb=-- dengan x, y ∈R.Alternatif PenyelesaianJika Pacbd=, dan determinan matriks P adalahα, maka berlaku acbd = ad – bc = αElemen matriks Q memiliki hubungan dengan matriks P, yaitu: q21= hasil kali skalar x terhadap p21 – hasil kali skalar s terhadap p11.q22= hasil kali skalar x terhadap p22 – hasil kali skalar s terhadap p12.Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks Q menjadi kelipatan matriks P. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:Q=→→axcsabxdsbbarisbaris--12Elemen baris 1 matriks Q = elemen baris 1 matriks P. Mereduksi dalam hal ini adalah mengoperasikan elemen baris 2 matriks Q menjadi elemen baris 2 matriks P. Unsur q21 dapat dioperasikan menjadi:(q21 )* = s.q11 + q21, akibatnya kita peroleh:Q=→→axcbxdbarisbaris12**.Menurut sifat determinan matriks (silahkan minta penjelasan lebih lanjut dari guru Matematika), maka Qxabcdxabcd===.,.αα jadi Q=xa
73MatematikaSoal Tantangan....MisalmatriksPadalahmatriksberordo3×3,dengan|P|=αdanmatriksQberordo3×3danmengikutipolaseperticontohdiatas.TentukandeterminanmatriksQ.Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat kembali menentukan transpose sebuah matriks yang sudah dipelajari, Matriks A = 3241−− dan matriks transpose dari matriks At3421−−.Determinan adalah det AAtt()=−−=−+=3421385Perhatikan dari hasil perhitungan det (A) dan det (At) diperoleh det(A) = det(At).Sifat 2.5Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m∈N. Jika det AA()=� dan det AA−−()=11makaMasalah-2.9Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.KategoriAirbus 100Airbus 200Airbus 300Kelas Turis507540Kelas Ekonomi304525Kelas VIP325030
74Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut.KategoriJumlah PenumpangKelas Turis305Kelas Ekonomi185Kelas VIP206Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan:x : banyaknya pesawat Airbus 100 y : banyaknya pesawat Airbus 200 z : banyaknya pesawat Airbus 300 Sistem persamaan yang terbentuk adalah:5075403053045251853250302065xyzxyzxyz++=++=++=↔003032754550402530305185206=.xyzSebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular. Cara untuk menentukan det (A), dengan Metode Sarrus. Yaitu sebagai berikut:Misalnya matriks Aaaaaaaaaa33111213212223313233×
75Matematikaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1121311222321323311213112223213233112=1131122232aaaa=++−−aaaaaaaaaaaaaaa1122331223311321323122133223..........111332112−aaa..Untuk matriks pada Masalah 4.9,503032754550402530503032754550402530503032754550==++−−−(..)(..)(..)(..)(..)(5045307525324030503245405025503003075100..).=-–––+++Analog dengan persamaan (2), kita akan menggunakan determinan matriks untuk menyelesaikan persoalan di atas.xz==−−==305185206754550402530503032754550402530300100350303327545503051852065030327545504025302001002=−−=y==−−=5030323051852064025305030327545504025301001001xz==−−==305185206754550402530503032754550402530300100350303327545503051852065030327545504025302001002=−−=
76Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Oleh karena itu:banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unitbanyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unitbanyak pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.•Analog dengan cara II untuk penyelesaian masalah Pembelian Tiket PRJ, coba kamu selesaikan masalah pengadaan pesawat ini dengan cara yang sama. Mintalah bimbingan dari gurumu.c. Invers MatriksPerhatikan Masalah-2.8 di atas, kamu dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan cara berikut. Perhatikan sistem persamaan linier yang dinyatakan dalam matriks berikut,352370000115000=↔...xyAAXBXAB...=↔=−1Karena A adalah matriks tak singular, maka matriks A memiliki invers. Oleh karena itu, langkah berikutnya adalah menentukan matriks X.XXxy=−−=13523352370000115000...=−−−=11200005000200005000....Diperoleh xy=−−200005000..x = 20.000 dan y = 5.000Ditemukan jawaban yang sama dengan cara I. Tetapi perlu pertimbangan pemilihan cara yang digunakan menyelesaikan persoalannya.•Mengajak siswa untuk menemukan aturan untuk menentukan invers sebuah matriks berordo 2 × 2 dengan meninjau kembali langkah-langkah pemecahan masalah di atas. Membuat kesepakatan terkait batasan persyaratan yang diperlukan untuk menentukan invers sebuah matriks. Misalkan A dan B adalah matriks yang memenuhi persamaan berikut.A. X = B..............................................................................................................(4)
77MatematikaPersoalan kita: bagaimana menentukan matriks X pada Persamaan (4)?Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks, tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks persegi, berordo 2 × 2, Aacbd=. Maka invers matriks A, dinotasikan A(-1):Aa.db.cdcbd-()11=−−− dengan a.d. ≠b.cdcbd−−disebut adjoint matriks A, dinotasikan adj(A).Salah satu sifat invers matriks adalah A(-1).A=A.A(-1)=I Akibatnya persamaan (4)dapat dimodifikasi menjadi:A-1.A.X = A-1B. (semua ruas dikalikan A-1).(A-1.A).X = A-1BI.X = A-1BX = A-1B (karena I.X = X).....................................................................................(5)Rumusan ini berlaku secara umum, dengan syarat det (A) ≠ 0, namun ada beberapa teknik yang harus diperhatikan. Untuk selanjutnya akan dikaji pada subbab berikut.Definisi 2.3Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n∈N.•MatriksAdisebut matriks tidak singular, apabila det(A)≠0.•Matriks Adisebut matriks singular, apabila det(A)=0.• A-1disebut invers matriksAjika dan hanya jikaAA-1=A-1A=I,dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks.Masalah-2.10Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba, yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, dan makan di Singgalang Restaurant. Paket perjalanan yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan dengan biaya Rp2.030.000,00. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan dengan biaya Rp1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata dan 4 kali makan dengan biaya Rp2.500.000,00. Berapakah biaya sewa hotel tiap malam, satu kali transportasi dan satu kali makan?
78Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif PenyelesaianMisalkan x : biaya sewa hotely : biaya untuk transportasiz : biaya makanPaket 1Paket 2Paket 3Sewa hotel435Transportasi345Makan574Biaya Total2.030.0001.790.0002.500.000Dalam bentuk matriks adalah seperti berikut :4353475542030000179000025=xyz.....000000.Determinan untuk matriks masalah 2.10 di atas :Maka detA=435347554A=435347554435347=××()+××()+××()−××()−××()−××()=−44435553754545733432x=203000017900002500000347554435347554......=−−=1752000032547500...
79Matematikay=435203000017900002500000554435347554......=−−=1896000032592500...z=435347203000017900002500000435347554......=−−=374000032116875...Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00Cobalah kamu selesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu.d. Metode Kofaktor Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n×n, maka minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij, didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks Aberordo (n-1) × (n-1) setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.Misalkan matriks A = aaaaaaaaa112131122232132333minor elemen a11 adalah aaaaaaaaa112131122232132333sehingga M11 aaaa22322333
80Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1M11, M12, dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkanCMcMaaaaijijijijijij=−()=−()=−()+++1111122233233dandet()cccc1111121213132114754191355413135471=−=−=−==−==+++()()()(()()()(−==−=−=−=−=−+++13754231455491453713212222232331ccc11345551435551433473132323333)()()+++=−=−=−=−=cc Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus :C(A)=aaaaaaaaaaaaaaaa+−+−+22322333213123332131223221321333aaaaaaaaaaaaaaaaaaa11311333113112321222132311211323112−+−+1112221923513951137aa=−−−−−Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj(A) = (Cij)t, yaitu:Adj()Accccccccct==−11213112223213233319113123913557−−−−
81MatematikaDari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus :AAadjA−=()11detSehingga: AadjA−==−−−−−−=111321913123913557det()A11932133213223329321332532532732−−−−Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA-1 = A-1A = I, dengan I adalah matriks identitas 3 × 3.Bentuk matriks permasalahan 2.10 adalah 43534755420300=xyz..00017900002500000....Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi dan biaya makan, kita kalikan matriks A-1 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX= B, sehingga diperolehXAB==−−−−−−11913133213223329321332532532732×203000017900002500000......X=547500592500116875...Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00.Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan
82Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Sifat 2.6Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N. Jika det(A)≠0,A−=11det()Aadj(A)dan AA-1 = A-1A = I, I adalah matriks identitas perkalian matrikse. Sifat-Sifat Invers Matriks Misalkan matriks A=−−2132det(A) = 2(-2) – 1(-3) = -1AAadjA−==−−−11112132det()()=−−2132AAadjA−−−−()==−−−=−111111121322132det()()=APerhatikan uraian di atas diperoleh bahwa (A-1)-1 = A.Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriksSifat 2.7Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m∈N. Jika det AA()=� dan det AA−−()=11makaAA-1=1/ detSifat 2.8Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m∈N. det(A)≠0,JikaA-1 adalah invers matriks A, maka (A-1)-1 = A.Perhatikan pertanyaan, apakah (AB)-1 = B-1 ×A-1Misalkan matriks A=2132−− dan B=−−2130det (A) = 2(-2) – 1(-3) = -1
83MatematikaAadj−==−−−=−−111121322132det()()AAdet (B) = 0(-2) – 3(-1) = 3BBB−==−−=−−11130132013123det()()adjABAB×=−−×−−×=−213221301063Dengan demikian dipereloh det(AB) = -3 – 0 = -3.Selanjutnya, ()det()()ABABAdjAB−==−−−=−1113360110213()AB−=−112013BA-1-1=−−−−=−011323213210213Dari perhitungan di atas diperoleh (AB)-1 = B-1A-1.Sifat 2.9Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n∈N. det(A)≠0dandet(B)≠0,Jika A-1 dan B-1 adalah invers matriks A, dan B maka (AB)-1 = B-1A-1.•Coba kamu diskusikan dengan temanmu satu kelompok, apakah (AB )-1 = A-1B-1. Jika tidak, beri alasannya!.
84Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Uji Kompetensi 2.21.Misalkan A sebarang matriks persegi. Jika pertukaran elemen-elemen sebarang dua baris atau dua kolom dari matriks A, maka buktikan bahwa nilai determinannya berubah tanda. 2.Misalkan A sebarang matriks persegi. Buktikan bahwa jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) matriks A dikalikan dengan sebuah bilangan k∈R, maka determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.3.Jika B matriks persegi dengan det (B) × 0, tunjukkan bahwa BBtt=−−11.4.Selidiki bahwa det (Kn)=(det K )n, untuk matriks;a) A = −2134 dengan n = 2b) A = 215123346−−dengan n = 65.Diketahui adgbehcfi = -8, tentukanlah:a) dgaehbficb) 343434adgbehcfi---!6.Tentukanlah nilai z yang memenuhi persamaan berikut!zzzz33112103365−−=−−−.
85Matematika7.Selidiki bahwa det (C + D)=det C + det D ! untuk setiap matrik C dan D merupakan matriks persegi. i.8.Diberikan matriks M adalah matriks berordo 2 × 2, dengan |M| ≠ 0. Tentukan hubungan |M| dengan det (M-1). Coba kamu generalisasikan untuk matriks Mberordo n × n!9.Tentukanlah nilai z yang memenuhi persamaan berikut ini!zzzz−−=−−−1311032613510.Jika semua elemen baris ke-1 suatu matriks persegi adalah nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut!11.Diketahui matriks R adalah matriks berordo n× n dengan semua elemen kolom ke-1 adalah nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut. Berikan juga contohnya!12.Periksalah kebenaran setiap pernyataan berikut ini. Berikanlah contoh penyangkal untuk setiap pernyataan yang tidak berlaku!a)det(2A)=2.det(A)b)|A2 |=|A|2c)det (I+A)=1+det (A) 13.Misalkan matriks-matriks P dan Q adalah matriks berordo n× n, dengan PQ ≠ QP. Apakah det(PQ) = det(QP)? Jelaskan!14.Masalah NutrisiWinarno bermaksud mengikuti ujian saringan masuk perwira. Setelah berkonsultasi dengan seorang perwira dan memperoleh saran mengenai pola makan yang hendak dikonsumsi lebih baik dimasak sendiri. Pengalaman perwira tersebut menyarankan untuk mencampurkan dua sumber zat gizi dalam jumlah yang berbeda untuk menghasilkan tiga jenis biskuit. Jumlah (dalam satuan gram) kalsium, protein, dan karbohidrat dalam setiap sumber gizi ditunjukkan oleh matriks G, dan jumlah (dalam satuan gram) setiap sumber zat gizi yang dikonsumsi dalam setiap biskuit ditunjukkan oleh matriks J.
86Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Sumber I Sumber IIGJ==1216322420824182525kalsiumproteinkarbohidrat33216sumber Isumber IIBiskuit a Biskuit b Biskuit ca) Tentukanlah jumlah kalsium dalam biskuit B!b)Hitunglah G.J dan jelaskan arti setiap elemen matriks tersebut!15.Masalah alokasi sumber daya. Agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Bali. Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan. Paket III dengan 5 malam menginap, 4 tempat wisata dan tidak ada makan. Sewa hotel Rp400.000,00 per malam, tranprotasi ke tiap tempat wisata Rp80.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp90.000,00. Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan.Nyatakan matriks paket yang ditawarkan.Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket.Paket mana yang menawarkan biaya termurah?16.Masalah Persediaan Toko Cat.Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persedian tiga jenis cat eksterior yaitu regular, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia dalam empat pilihan warna yaitu, biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat (dalam gallon) selama satu minggu dicatat dalam matriks R, sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini.RRegularDeluxeCommercial=524131866357RRegularDeluxeCommercial=312010245132BiruBiruHitamHitamKuningKuningCokelatCokelat
87Matematikaa) Tentukan inventaris toko pada akhir minggub)Jika toko tersebut menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T. Tentukan inventaris toko yang baru.17.Dengan menggunakan matriks persegi, tunjukkan bahwa (B-1 )-1 = B dan [Bt-1)=[B-1 ]t!18.Tentukanlah determinan dari matriksM=nnnnnnnnn22222222212123234()()()()()()()()++++++++!19.Diberikan suatu sistem persamaan linier dua variabelxyxy+=−=32020. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem tersebut dengan menggunakan konsep matriks.D.PENUTUPSetelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai kesimpulan yang dijadikan pengangan dalam mendalami dan membahas ma-teri lebih lanjut, antara lain: 1. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.2.Dalam operasi penjumlahan dua matriks berlaku sifat komutatif dan assosiatif, misal jika A dan B adalah matriks, maka a.AAAAkAk++++ =b.A + B = B + Ac.A + I = I + A, dengan I adalah matriks identitas penjumlahan matriksd.A + (B + C) = (A + B) + C3.Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemen-ele-men k kali elemen-elemen matriks semula.
88Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 14.Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikali sama dengan banyaknya baris matriks pengalinya.5.Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Hasil kali matriks A dan B menghasilkan matriks C yang elemen-elemennya merupakan hasil kali elemen baris matriks A dan elemen ko-lom matriks B, ditulis Ap × q×Bq × r = Cp × r . 6.Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas, hasilnya adalah matriks A.7.Perkalian dua atau lebih matriks, tidak memenuhi sifat komutatif. Tetapi perka-lian matriks memenuhi sifat asosiatif.8.Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determi-nannya tidak nol (0).