Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:1.Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.2.Mendeskripsikan konsep integral tak tentu suatu fungsi sebagai kebalikan dari turunan fungsi.3.Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikanmasalah dunia nyata dan matematika yang melibatkan turunan dan integral tak tentu dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.4.Menurunkan aturan dan sifat integral tak tentu dari aturan dan sifat turunan fungsi.5.Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika Dalam memecahkan masalah nyata tentang integral tak tentu dari fungsi aljabar.Melalui proses pembelajaran integral, siswa memiliki penga-laman belajar sebagai berikut.• menemukankonsepintegralmelaluipemecahan masalah otentik;• berkolaborasimemecahkanmasalahaktualdengan pola interaksi sosial kultur;• berpikirtingkattinggi(berpikirkritis,kreatif)dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep integral dalam memecahkan masalah otentik.INTEGRALBab12• Integraltaktentu• Fungsialjabar• Derivatif• Antiderivatif
202Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB.PETA KONSEPMasalahOtentikIntegralFungsi AljabarPenerapanIntegral Tak TentuIntegral Tentu
203Matematika1. Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari Turunan FungsiMari kita ingat kembali konsep aplikasi turunan pada bidang fisika. Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak dan percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Bila kita berpikir kembali tentang aplikasi ini, bagaimana hubungan kecepatan jika percepatan yang diketahui. Hal ini mempunyai pemikiran terbalik dengan turunan, bukan? Nah, konsep inilah yang akan kita pelajari, yang disebut dengan integral.Integral adalah konsep yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu matematika dan penerapan diberbagai bidang. Ini berarti integral banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu pengetahuan. Menurut sejarah, orang yang pertama kali mengemukakan tentang ide integral adalah Archimedes yang merupakan seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur, dan sebagainya. Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Menurut sejarah pengembangan kalkulus juga sangat besar jasa dan peranan dari George Friederick Benhard Riemann (1826 – 1866).Pada bab ini akan dibahas tentang arti “antiturunan” (anti derivatif), “integral tak tentu”, dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika turunannya diketahui.Masalah-12.1Di pelabuhan selalu terjadi bongkar muat barang dari kapal ke dermaga dengan menggunakan mesin pengangkat/pemindah barang. Barang dalam jaring diangkat dan diturunkan ke dermaga. Terkadang barang diturunkan ke sebuah bidang miring agar mudah dipindahkan ke tempat yang diharapkan. Dari permasalahan ini, dapatkah kamu sketsa perpindahan barang tersebut? Dapatkahkamutemukanhubunganmasalahinidengankonsepturunan(IngatpelajaranTurunanpadaBabXI)C.MATERI PEMBELAJARAN
204Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut:Gambar 12.1 Barang yang diturunkan ke bidang miringSekarang, kita misalkan jaring (barang) yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius.Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 12.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi) pada Bab X, terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali.Berdasarkan Gambar 12.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung pada Bab XI bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 12.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′yxjaringditurunkanbidang miringGambar 12.2 Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat kartesiusy = f(x)+c1y = f(x)+c2y = f(x)+c3....y = f(x)+ckyxgaris singgungy = mx + nGambar 12.3 Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva
205Matematikaatau m = dydx= f′(x) (ingat notasi turunan di Bab XI) sehingga y adalah anti turunan dari m. Dengan demikian anti turunan dari m adalah y = f(x) + ck. Hal ini berarti bahwa nilai konstanta ck dapat berubah-ubah. Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Dan anti turunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut.Masalah-12.2Berdasarkan konsep turunan, beberapa fungsi tersebut bila diturunkan menghasilkan fungsi yang sama. Jika digunakan konsep antiturunan pada fungsi tersebut, bagaimanakah fungsinya? Apakah dapat kembali ke fungsi asal? Berikutadalahfungsi-fungsiyangakandiamati.a)F(x)=14x4 ,b)F(x)=14x4 + 4, c)F(x)=14x4 –8,d)F(x)=14x4 – 12,e)F(x)=14x4 – 13207. Turunkan fungsi-fungsi tersebut kemudian amatilah turunan nilai konstantanya! Hubungkan kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya! Buatlah kesimpulan dari hasil pengamatan dari penyelesaian yang kamu peroleh! (petunjuk:turunanfungsiF(x)adalahF′(x)=f(x)=y′Alternatif Penyelesaian:a) F(x) = 144x Adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx144 = x3b) F(x) =1444x+adalah F '(x) = f(x) = y'ddxx1444+ = x3c) F(x) =1484x−adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1448−= x3
206Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd)F(x) = 14124x− adalah Fxfxyddxxx'()()'===−=144312e)F(x) = 14132074x− adalah Fxfxyddxxx'()()'===−=144313207Jika dilakukan pengamatan kepada ketiga fungsi, maka seluruh fungsi F(x) tersebut di atas adalah antiturunan dari fungsi f(x) = x3, sementara fungsi F(x) mempunyai konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.F(x)f(x)F(x) + cturunananti turunanPerhatikan dan pahami definisi dan sifat berikut.Definisi 12.1f:R→RdanF:R→Rdisebut antiturunan atau integral tak tentufjikaF'(x)=f(x)∀x∈RSifat 12.1Proses menemukan y dari dydxmerupakan kebalikan dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan.Sifat 12.2Jika F(x)adalahsebuahfungsidenganF'(x)=f(x)dapat dikatakan bahwaa.turunan F(x)adalahf(x)danb.antiturunan dari f(x)adalahF(x)
207MatematikaContoh 12.1Jika m = 2x – 4 adalah gradien garis singgung dari sembarang kurva f(x). Tunjukkan bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi. Alternatif Penyelesaian:Dengan mengingat konsep gradien suatu garis singung dengan turunan bahwagradien adalah turunan pertama fungsi tersebut maka m = dydx = 2x– 4.Berdasarkan Definisi 12.1 maka y adalah antiturunan dari gradien dydx = 2x– 4 sehingga dengan konsep turunan maka y = x2 – 4x + c dengan c adalah konstanta bernilai real.Dengan c adalah konstanta bernilai real maka terdapat banyak fungsi y = f(x) yang memenuhi gradien garis singgung tersebut.Perhatikan gambar berikut!PGSPGSPGSPGSxyc1c2c3c4Gambar12.4Persamaangarissinggungdanfungsif(x)Pada Gambar 12.4 terdapat banyak persamaan garis singgung yang sejajar. Ingat kembali definisi persamaan garis yang sejajar. Dengan demikian, terdapat juga banyak fungsi (kurva) yang disinggung oleh garis singgung tersebut.
208Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 12.11.Tentukan antiturunan daria. f(x) = 2xe.f(x) = 6xb. f(x) = 3xf. f(x) = 7xc. f(x) = 4xg.f(x) = 8xd. f(x) = 4xh.f(x) = 9x2.Tentukan antiturunan dari fungsi f(x) berikut!a.f(x) = 2x2e.f(x) = 4x2b.f(x) = 2x3f.f(x) = 4x3c.f(x) = 3x2g.f(x) = axnd.f(x) = 3x33.Tentukan antiturunan daria.f(x) = x–2e.fxx()=−513b.f(x) = 2x–3f. fxx()=−2332c.fxx()=−12g.fxx()=−10014d.fxx()=13h.fxabxn()=−1dengan a, b bilangan real, b≠ 0, nrasional.4.Tentukan antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) dibawah ini!a.Jika f(x) = 8x3 + 4x dan g(x) = x4 + x2b.Jika fxx()= dan gxxx()=c.Jika f(x) = (x + 2)3 dan g(x) = (x + 2)45.Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi m = x2 – 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi gradien tersebut.
209Matematika2.Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu2.1Notasi IntegralKita telah banyak membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya pada beberapa fungsi yang sederhana pada sub-bab di atas. Pada kesempatan ini, kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari sebuah fungsi f(x) ditulis dengan menggunakan notasi “∫” (baca: integral).Perhatikan kembali Masalah 12.2. Alternatif penyelesaian di atas, dapat kita tuliskan kembali dengan menggunakan notasi integral tersebut.a) F(x) = 144x Adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx144 = x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414b) F(x) =1444x+adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1444+ = x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414c) F(x) =1484x−adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1448−= x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414Contoh 12.2Jika y = 3x4 + 2x3, carilah nilai dydx, kemudian tentukan ∫ 4x3 + 2x2dx.Alternatif Penyelesaian:Jika y = 3x4 + 2x3 maka dydx= 12x3 + 6x2 sehingga diperoleh∫ 12x3 + 6x2dx= 3x4 + 2x3 + c∫ 3(4x3 + 2x2)dx= 3x4 + 2x3 + c
210Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3 ∫ 4x3 + 2x2dx= 3x4 + 2x3 + c∫ 4x3 + 2x2dx= x4 + 23x3 + c2.2Rumus Dasar Integral Tak TentuBerdasarkan pengamatan pada beberapa contoh di atas, jika semua fungsi yang hanya dibedakan oleh nilai konstantanya diturunkan maka akan menghasilkan fungsi turunan yang sama sehingga bila diintegralkan akan mengembalikan fungsi turunan tersebut ke fungsi semula tetapi dengan konstanta c. Nilai konstanta c disebut tak tentu karena dapat digantikan oleh semua bilangan. Nilai konstanta c akan dapat ditentukan bila diketahui titik yang dilalui oleh fungsi asal tersebut. Titik asal (initial value) dapat disubstitusi ke fungsi hasil antiturunan sehingga nilai c dapat ditentukan.Sifat 12.3Jika F(x)adalahfungsidenganF′(x)maka∫ f(x)dx=F(x)+cDengan c sembarang konstanta Masalah-12.3Pada konsep turunan, kita dapat memperoleh aturan turunan dengan menggunakan konsep limit fungsi sehingga proses penurunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan lebih sederhana dan cepat. Bagaimana dengan konsep integral suatu fungsi? Adakah aturan yang dapat dimiliki agar proses integrasi suatu fungsi atau mengembalikan fungsi turunan ke fungsi semula dapat dilakukan dengan cepat?Alternatif Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan ini, kita akan melakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 12.1
211MatematikaTabel 12.1 Pola hubungan turunan dan antiturunan fungsi y = axnTurunan Fungsi (f(x))Antiturunan Fungsi (F(x))Pola1x010+1111= =1 0+1xx x2xx2121+1222= =21+1xx x3x2x3132+1333= =32+1xx x8x32x4333+1888= =43+1xx x25x45x5454+1252525 ==54+1xx x.........anxn-1axn−-1( -1)+1==1( 1)+1nnnaananxxxnaxn?n+1+1axnDari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau pola anti turunan dari turunannya yaitu 11nnaaxdxxn+=∫+.Agar kamu dapat melihat kebenaran pola ini, kamu harus memperlihatkan lebih banyak contoh yang melahirkan aturan tersebut seperti pada Tabel 12.1. Kamu lakukan kembali proses yang dilakukan pada Tabel 12.1 pada kegiatan berikut.
212Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 12.1Tentukanlah turunan dan antiturunan fungsi-fungsi yang diberikan pada tabel berikut seperti yang dilakukan pada Tabel 12.1Tabel 12.2 Pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi F(x)Turunan Fungsi (f(x))Antiturunan Fungsi (F(x))Pola...x10......x-2......-3x-12......-3x5 + 4x-5......0,5x0,5 - 1,25x1,5 + 2,5x-1,5......132x...113211+23xx−11--323223xx...2x-1......0,55x-1......-132x...
213MatematikaDari hasil pengamatanmu pada Tabel 12.2, dapatkah kamu tentukan syarat n pada y = axn agar pola integrasi tersebut berlaku secara umum? Apa yang kamu peroleh pada tiga baris terakhir pada Tabel 12.2? Tariklah sebuah kesimpulan dari hasil pengamatanmu.Dengan adanya aturan tersebut, proses penyelesaian soal pada Contoh 12.2 dapat lebih sederhana. Kamu amati kembali proses penyelesaian contoh tersebut pada Contoh 12.3 berikut tanpa melihat fungsi asalnya. Contoh 12.3Tentukan nilai ∫ 4x3 + 2x2dx.Alternatif Penyelesaian:∫ 4x3 + 2x2dx= 31214231 21xxc++++++= 434243xxc++= 4323xxc++Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian jika F′(x) = 4x3 + 2x2, maka F(x) = x4 + 23x3 + cF(x) = x4 + 23x3 + cBerdasarkan konsep yang telah kita peroleh pada subbab di atas, setiap hasil integrasi suatu fungsi menghasilkan fungsi dengan konstanta c, bukan? Konstanta c dapat ditentukan nilainya jika diketahui titik awal (initial value) yang dilalui fungsi asal tersebut. Perhatikan contoh berikut!
214Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 12.4Jika fungsi 32() 3 21Fxxxxdx= + −+∫ melalui titik 1(1, )12A− maka tentukanlah nilai F(x) Alternatif Penyelesaian:32() 3 21Fxxxxdx= + −+∫432321()432Fxxxxxc= + − ++Jika fungsi melalui titik 1(1, )12A− artinya 1(1)12F= − sehingga diperoleh:4323211(1) 111 14 3 212Fc= + − ++ =−2311212c+=− atau c = –2.Jadi, Fungsi tersebut adalah 432321()2432Fxxxxx= + − +−Dengan demikian, berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, kita menarik sebuah kesimpulan akan aturan sebuah integrasi, sebagai berikut:Sifat 12.4Untuk n bilangan rasional dengan n≠ – 1, dan a, c adalah bilangan real maka berlaku aturan:a.∫+11=++1nnx dxx cn b.11nnaaxdxxcn+=++∫
215MatematikaContoh 12.5Hitunglah integral berikut!a.34xdx∫c.3xdx∫b.21dxx∫d.31dxx∫Alternatif Penyelesaiana.34xdx∫= 31431xc+++= x4 + c b.21dxx∫= 2xdx−∫= 21121xc−++−+= 1xc−−+= 1cx−+c.3xdx∫= 32xdx∫= 3121312x++= 52152x= 225xxc+
216Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd.31dxx∫= 32xdx−∫= 3121312x−+−+= 12112x−−= 2cx−+Sifat 12.5Jika f(x)dang(x)merupakanduafungsiyangdapatdiintegralkandanc, kbilangan real, maka:1.∫dx = x + c4.∫∫kf(x)dx = k f(x)dx2.∫kdx = kx + c5.[]∫∫∫f(x)+ g(x) dx= f(x)dx + g(x)dx3.∫11n+nxx dx =+ cn+6.[]∫∫∫f(x)- g(x) dx= f(x)dx - g(x)dxContoh 12.6Tentukanlah hasil dari a.432xxdx∫b.( )21xdx+∫c.32xxdxx−∫
217MatematikaAlternatif Penyelesaian:a.432xxdx∫= 3422.xxdx∫= 3422.xxdx∫= 3422xdx+∫= 1122xdx∫= 1112121112xc+++= 13212132xc+= 132413xc+b.( )21xdx+∫= 221xxdx++∫= 21111221 11xxxc+++++++= 3213xxxc+ ++c.32xxdxx−∫= 32xxdxxx−∫= 11322. 2.xxxxdx−−−∫= 51222xxdx−∫
218Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK= 51112212511122xxc++−+++= 7322127322xxc−+= 73222473xxc−+= 32473xxxxc−+Contoh 12.7Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan 263CdCQMdQ+= = . Tentukan fungsi biaya total C dalam satu bulan!dimana:Q = banyak produksi (Quantity)C = Biaya produksi total (Total Cost)MC = Biaya marginal (Marginal Cost)Alternatif Penyelesaian:C(Q)= 263QdQ+∫= ( )233QdQ+∫= 233QdQ+∫
219Matematika= 221332QQc++= 2123QQc++Contoh 12.8Tentukan fungsi y = F(x) dari persamaan diferensial 22xdyyxdx= − dengan y = 1 di x = 1 Alternatif Penyelesaian:Langkah 1. Ubah bentuk persamaan diferensial tersebut menjadi:22xdyyxdx= −⇔22dyxdxyx= −⇔322ydyxdx−−= (ingat sifat eksponen)Langkah 2. Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh:⇔ 322ydyxdx−−=∫∫⇔ 312121132112yxc−+−+=+−+−+⇔ 1122yxc−−−=− +⇔ 12cyx−−= +Langkah 3. Dengan mensubstitusi titik awal ke 12cyx−−= +Karena y = 1 di x = 1 maka 1211c−−= + atau c = 1. Jadi, fungsi tersebut adalah 121yx−−= + atau 2xyx=−.
220Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 12.6Misalkan 12 nf (x),f (x),...,f (x)adalahfungsiyangdapatdiintegralkan.Integraltak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu:( )( )()( )( )∫∫∫1n 1nf x +...+f x dx = f x dx+...+ f x dxContoh 12.9Tentukan nilai dari ()62321xxdx−+∫Alternatif Penyelesaian:()62321xxdx−+∫= 623321xdxxdxdx−+∫ ∫∫= 733273xxxC− ++Contoh 12.10Carilah nilai f(x) jika 32'( )4 3fxxx=−+ dan f(0) = 1Alternatif Penyelesaian:32'( )4 3fxxx=−+ maka 32()4 3fxxxdx=−+∫32()4 3fxxxdx=−+∫⇒ f(x) = 4314343xxxc− ++, karena f(0) = 1⇒ f(0) = 0 – 0 + 0 + c = 1, berarti c = 1 sehingga 4314()3 143fxxxx= − ++
221MatematikaContoh 12.11Tentukanlah integral dari fungsi-fungsi berikut!a.F(x) = (x + 2)4b.F(x) = (2x – 3)5c.F(x) = (3x – 2)6d.23411 1 1 11( )...0! 1! 2!3!4!!nFxxxxxxn=++++++e.F(x) = (ax + b)nAlternatif Penyelesaian:Untuk menyelesaian contoh soal berikut, kita harus menjabarkan atau dengan menggunakan Binomial Newton. Untuk itu, ingat kembali prinsip Binomial Newton pada Bab 8. a.F(x) = (x + 2)4 = (x + 2)(x + 2)(x + 2)(x + 2) sehingga diperolehF(x) = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 1643 2( )8 24 32 16Fxdxxxxxdx=++ ++∫∫ (dengan menggunakan Sifat 12.6)54 3 2182432( )1654 3 2Fxdxxxxxxc=+ + + ++∫543 21( )2 8 16 165Fxdxxxxxxc= +++ ++∫(Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton)b.Coba kerjakan dengan menjabarkan berdasarkan definisi perpangkatan dan dengan menggunakan Bonomial Newton (diserahkan kepada siswa)c.Dengan menggunakan Binomial Newton maka diperoleh:F(x) = (3x – 2)6F(x)=6600(3 ) ( 2)Cx−+6511(3 ) ( 2)Cx−+6422(3 ) ( 2)Cx−+6333(3 ) ( 2)Cx−+ 6244(3 ) ( 2)Cx−+ 6155(3 ) ( 2)Cx−+ 6066(3 ) ( 2)Cx−F(x)=6(1)(729)(1)x + 5(6)(243)( 2)x− + 4(15)(81)(4)x + 3(20)(27)( 8)x− + 2(15)(9)(16)x + (6)(3)( 32)x− + (1)(1)(64)
222Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKF(x)=65432729 2916 4860 4320 2160 576 64xxxxxx−+−+−+sehingga dengan menggunakan Sifat 12.665432( )729 2916 4860 4320 2160 576 64Fxdxxxxxxxdx=−+−+−+∫∫7654327292916486043202160576( )6476 5 4 32Fxdxxxxxxxxc=−+−+−++∫765 432729( )486 972 1080 720 288 647Fxdxxxxxxxxc= − + − + − ++∫d.Dengan menggunakan Sifat 12.6.23411 1 1 11( )...0! 1! 2!3!4!!nFxdxxxxxxdxn=++++++∫∫2345111 1 1 11( )...1.0! 2.1!3.2!4.3!5.4!( 1) !nFxdxxxxxxxnn+= + + + + +++∫2345111 1 1 11( )...1! 2!3!4!5!( 1)!nFxdxxxxxxxn+=+++++++∫e.Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton. (diserahkan kepada siswa)Masalah-12.4Konsep antiturunan atau integral banyak berperan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang Fisika. Pada bidang ini juga banyak diperankan oleh konsep Turunan, contohnya adalah permasalahan kecepatan dan percepatan. Dengan mengingat integral adalah balikan dari turunan, maka dapatkah kamu temukan hubungan konsep turunan dan integral dalam permasalahan kecepatan dan percepatan? Coba kamu tunjukkan peran integrasi pada hubungan besaran tersebut? Alternatif Penyelesaian:Kita ingat kembali konsep yang telah diuraikan pada pelajaran Turunan pada bab sebelumnya.
223MatematikaPergerakan sebuah objek yang semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti ada terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu, yaitu:()()dstvtdt= atau () '()vtst= sehingga () ()stvtdt=∫Pergerakan dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan objek tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kendaraan. Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu, yaitu:()()dvtatdt= atau ( ) '( ) ''( )atvtst= =sehingga () ()vtatdt=∫dimana:t = waktus(t ) = fungsi lintasanv(t ) = fungsi kecepatana(t ) = fungsi percepatanContoh 12.12Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi a(t) = –2t2 + 3t +1 . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut?Alternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep di atas maka: () ()vtatdt=∫ atau 2() 2 3 1vtttdt=− ++∫3223()32vttttc=− + ++kemudian() ()stvtdt=∫ atau 3223()32sttttcdt=− + ++∫
224Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4 3223132()4 32sttttctd−= + + ++432111()622sttttctd=− + + ++Uji Kompetensi 12.21.Selesaikanlah!a.Jika y = x8, carilah dydx kemudian tentukan 7xdx∫ dan tentukan 72xdx∫b.Jika 12yx=, carilah dydx kemudian tentukan nilai 12xdx−∫ dan tentukan 122xdx∫c.Jika y = 4242xx−, carilah nilai dydx kemudian tentukan ()316 4xxdx−∫d.Jika y = ()431x+, carilah nilai dydx kemudian tentukan ()331xdx+∫e.Jika 14yx= −, carilah nilai dydx kemudian tentukan 114dxx−∫2.Selesaikan integral berikut!a.3xdx∫d.5xdx−∫g. 5920xdx∫b.33xdx∫e.10xdx∫h. 42dxx−∫c.45xdx∫f.2728xdx∫
225Matematika3.Tentukan nilai daria.23xdxx+∫b.212xxx+−∫dxc.31453xxdxx+−∫4.Buktikan!a.[]() ()()()fxgxdxfxdxgxdx+= +∫ ∫∫b. []() ()()()fxgxdxfxdxgxdx−= −∫ ∫∫Petunjuk: anggap F(x) merupakan antiturunan dari f(x) dan G(x) merupakan antiturunan dari g(x). selanjutnya carilah ()() ()dFxGxdx+ atau ()() ()dFxGxdx−5.Tentukan nilai daria.32xdxx+∫b.224 10xxdxxx−+∫c.( )31xdx+∫6.Selesaikanlah integral berikut!a. xxdx−()∫1d. xxdx933−∫b. 21xxdx−∫e. xxdx223−∫c. 3312xxdx−∫f. 232xxdx−∫
226Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK7.Tentukan nilai y jikaa. dydx=10d. dydxxx=+4332b. dydx=110e. dydxxxx=+−2225c. dydxx=−242f. dydxxx=+228.Carilah nilai f(x) dan f(1) = 1 jikaa.'( ) 2 1fxx= −b.32'( )fxxx= +9.Selesaikanlah persamaan-persamaan diferensial berikut:a.23 41dyxxdx= +−, y = 5 di x = 2b.()421dyxdx= +, y = 6 di x = 0c.()2222dyyxdx=−+, y = 1 di x = 010.Tentukan persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, – 1) dan gradien garis singgung di setiap titik (x, y), pada grafiknya ditentukan persamaan ,04xyyy=≠.11.Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 yang melalui titik (4, 0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh persamaan 1()fxxx= +.12.Tentukan persamaan fungsi f jika grafik fungsi y = f(x) melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung di setiap titiknya ditentukan oleh persamaan 4' 1 16 , 0yxx−=−≠.
227Matematika13.Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a(dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v0 (dalam centimeter per detik) dan jarak s0 (dalam centimeter). Tentukanlah kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik.a.a = t, v0 = 2, s0 = 0b.a = ( )31t−+, v0 = 4, s0 = 6c.a = 321t+, v0 = 0, s0 = 10d.a = ( )31t−+, v0 = 4, s0 = 0ProjekKumpulkanlah masalah tentang penerapan integral tak tentu dari fungsi aljabar dalam berbagai bidang maupun masalah nyata yang ada di sekitarmu. Ujilah sifat-sifat dan rumus dasar tentang integral tak tentu di dalam pemecahan masalah tersebut, kemudian buatlah laporan hasil karyamu untuk disajikan di depan kelas.D.PENUTUPBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Integral, disajikan sebagai berikut:1.Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan turunan.2.Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F ‘(x) = f(x) dapat dikatakan bahwaa. Turunan dari F(x) adalah f(x) danb. Antiturunan dari f(x) adalah F(x)3.Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).4.Jika F ‘(x) = f(x) maka fxdxFxC()()=+∫
228Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDAFTAR PUSTAKAAnton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, IncBall, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All Students (Toward a Strategic Research and Development Program in Mathematics Education). United States of America: RAND.Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United States of America: The Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD).Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press.Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education national research council (2001). Educating Teachers of science, mathematics, and technology (new practice for new millennium. United States of America: the national academy of sciences.Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United States of America: Clay Mathematics Institute. Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael’s College Colchester.Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem Solving 7. Columbus-USA,The McGraw-Hill Companies, Inc.Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University of Cambridge.Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge.
229MatematikaSlavin, Robert, E. (1994). Educational psychology, theories and practice. Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore: Federal Publication (S) Pte Lsd.Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics For Yhe International Student (International Baccalaureate Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.Van de Walle, John A. (1990). Elementary school mathematics: teaching developmentally. New York: Longman.Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (teaching developmentally). United States of America: Allyn & Bacon.
230Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCatatan:............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Diunduh dari BSE.Mahoni.com