Gambar Sampul Matematika · Bab 11 Turunan
Matematika · Bab 11 Turunan
Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela

24/08/2021 12:07:33

SMA 11 2013

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:1.Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.2.Mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks lain dan menerapkannya.3.Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi.4.Mendeskripsikan konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi naik dan fungsi turun.5.Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis singgung kurva, garis tangen, dan garis normal.6.Mendeskripsikan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok).Melalui pembelajaran materi turunan, siswa memperoleh pengalaman belajar:Terlatih berpikir kritis, kreatif dalam menganalisis permasalahan.Bekerjasama dalam tim dalam menemukan solusi permaslahan melalui pengamatan, diskusi, dan menghargai pendapat dalam saling memberikan argumen.Terlatih melakukan penelitian dasar terhadap penemuan konsep.Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait turunan.Merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan turunan.TURUNANBab11
Kompetensi DasarPengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:7.Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum.8.Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar.9.Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun.10Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok).11.Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan mengkomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum.Melalui pembelajaran materi turunan, siswa memperoleh pengalaman belajar:Menyelesaikan model matematika untukmenganalisis dan mendapatkan solusi permasalahan yang diberikan.Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep turunan berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya.Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan turunan berdasarkan konsep yang sudah dimiliki.Menerapkan berbagai sifat turunan dalam pemecahan masalah.
151MatematikaB.PETA KONSEPFungsiLimit FungsiGrafik FungsiTurunan FungsiFungsi TurunTitik StasionerTitik BelokTitik Balik MaksimumTitik Balik MinimumFungsi NaikMASALAHOTENTIKMATERIPRASYARATf '(x) = 0f '(x) < 0f "(x) < 0f '(x) > 0f "(x) > 0f "(x) = 0
152Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga penguasaan kamu terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi membantu kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik/turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan. Kita memulainya dengan menemukan konsep persamaan garis tangen/singgung.1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung.Masalah-11.1Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang bergelombang. Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan. Perhatikan gambar di bawah ini.Gambar 11.1 Bermain skiPermasalahanSecara analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan sudut pandang tegak lurus ke depan sehingga terdapat garis dan papan ski adalah sebuah garis lurus. Dapatkah kamu tunjukkan hubungan kedua garis tersebut? B.PETA KONSEP
153MatematikaAlternatif PenyelesaianCoba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan deskripsi permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar berikut. Gambar 11.2 Garis sekan, garis singgung, dan garis normalPosisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Tujuan kita adalah mendapatkan persamaan garis singgung (PGS).Misalkan pemain ski mulai bergerak dari titik Q(x2, y2)dan melayang ke udara pada saat titik P(x1, y1)sehingga ia akan bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan kedua titik disebut garis tali busur atau garis sekan. Sepanjang pergerakan tersebut, terdapat banyak garis sekan yang dapat dibentuk dari titik Q menuju titik P dengan gradien awal myyxxsec=2121. Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x2 = x1 + ∆xdan y2 = y1 + ∆y sehingga: jika x makin kecil maka Q akan bergerak mendekati P atau jika x 0maka Q P.
154Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan gambar!Gambar 11.3 Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgungKarena y = f (x) maka gradien garis sekan PQ adalah mmyxfxfxxxPQ===sec()()2121.mfxxfxxxxmfxxfxxPQPQ=+−+−⇔=+−()()()()()111111Definisi 11.1Misalkan f : R R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + ∆y) pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien mfxxfxxsec()()=+−11Amati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka ∆x → 0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien:mfxxfxxPGSx=+−()lim()().011jika limitnya ada
155MatematikaDefinisi 11.2Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis:mmfxxfxxPGSxx==+−(→→limlim()()sec∆∆0011Jika limitnya ada))Contoh 11.1Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada kurva f(x) = x4.Alternatif Penyelesaian.Misalkan x1 = –1 dan y1 = (–1)4 = 1 sehingga titik singgung P(-1,1). Jadi, gradien garis singgung adalah: mfxxfxxPGSx=+−lim()()011mfxfxmxxPGSxPGSx=−+−−⇔=−+−−lim()()lim()()00441111mmxxxPGSx=−++−−+−−lim[()()][()()]∆∆022221111⇔=−++−−++−−+−−mxxxPGSxlim[()()][()()][()()]∆∆022111111xxmxxxxmxPGSxPGSx⇔=−++−+⇔=−+lim[()][]lim[(∆∆0201121))][]2124+−+=−∆xJadi, persamaan garis singgung adalah y – 1 = –4(x – (–1)) atau y + 4x + 3 = 0. Perhatikan gambar berikut.
156Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.4 Garis singgung dan garis normal kurva f(x) = x4 di titik P(-1,1)1.2 Turunan sebagai Limit FungsiKita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep turunan. Coba kamu perhatikan dan amati kembali sketsa kurva pada Gambar 11.3. Dengan memisalkan x2 = x1 + ∆x dan y2 = y1 + ∆y maka titik Q akan bergerak mendekati P untuk ∆x makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada titik P yang disimbolkan dengan:mfxfxxfxxxtan'()lim()().==+−()1011 jika limitnya adaJika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah:fxfxxfxxx'()lim()().=+−()→∆0 jika limitnya adaPerlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat berbeda-beda. Beberapa simbol turunan yang sering dituliskan adalah:Notasi Newtonf ’(x) atau y’ turunan pertama fungsi
157MatematikaNotasi Leibnizdfxdx()atau dydxturunan pertama fungsiDefinisi 11.3Misalkan fungsi f : S R, SR dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika lim()()xfcxfcx+−0ada.Definisi 11.4Misalkan f : S R dengan S R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.Masalah-11.2Seekor burung camar terbang melayang di udara dan melihat seekor ikan di permukaan laut. Burung tersebut terbang menukik dan menyambar ikan kemudian langsung terbang ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi f(x) = |x|. Dapatkah kamu sketsa grafik tersebut. Coba amati dan teliti dengan cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0).Alternatif Penyelesaian Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas XMisalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O(0,0) sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut (ingat cara meng-gambar kurvaf(x) = |x| di kelas X):
158Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.5 Kurva fungsi f(x) = |x| Berdasarkan konsep turunan di atas maka fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆0bila limitnya ada.i. Jika x ≥ 0 maka f(x) = x sehingga: fxfxxfxxxxxxxx'()lim()()lim()=+−=+−=→→∆∆001(limit kanan ada).ii. Jika x < 0 maka f(x) = –x sehingga:fxfxxfxxxxxxxx'()lim()()lim()()=+−=−+−−=−→→∆∆001 (limit kiri ada).Coba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju 0 didekati dari kiri, makafxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆0tidak sama, bukan? Hal ini mengakibatkan turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0.
159MatematikaDefinisi 11.5Misalkan fungsi f : SR, SR dengan (c – ∆x, c + ∆x)SFungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jikalim()()xfcxfcx++−0ada.Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika lim()()xfcxfcx+−0ada.Berdasarkan pembahasan Masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut.Sifat 11.1Misalkan fungsi f : SR, SR dengan xS dan LR. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:fxLfxxfxxfxxfxxLxx'()lim()()lim()()=⇔+−=+−=→→+−∆∆00Keterangan: 1.lim()()xfxxfxx++−0adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S.2.lim()()xfxxfxx+−0adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri pada domain S.Contoh 11.2Tentukan turunan fungsi yx=2
160Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianJikafxx()=2maka fxfxxfxxxxxxxxxx'()lim()()limlim=+−=+−=+00022222∆∆∆∆xxxxxxxxxxxxxxxx−++++=++=222222222220.lim()lim00222212xxxx++=(ingat perkalian sekawan)1.3 Turunan Fungsi AljabarMari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi berdasarkan limit fungsi yang telah dijelaskan di atas. Coba pelajari permasalahan berikut.Masalah-11.3Pada subbab di atas, telah dijelaskan bahwa turunan merupakan limit suatu fungsi, yaitu: fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆0. Coba kamu amati dan pelajari beberapa contoh penurunan beberapa fungsi berikut dengan konsep limit fungsi:Contoh 11.3Jika f(x) = x2 maka f '(x) =+−=+−=+=lim()()lim()limxxxfxxfxxxxxxxxx0022022
161MatematikaContoh 11.4Jika f(x) = x4maka f '(x) =+−=+−=+lim()()lim()limxxxfxxfxxxxxxxxx00440434++()+()+()=++()+(64464223440322xxxxxxxxxxxxxx∆∆∆∆lim))()=334xxxContoh 11.5Jika f(x) = x100 maka f '(x) =+−=+−==lim()()lim()lim?xxxfxxfxxxxxxx001001000....?(dengan menjabarkan; proses semakin sulit, bukan?)
162Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 11.6 Jika f(x) = x35maka f '(x) =+−=+−==lim()()lim()lim?..xxxfxxfxxxxxxx0035350..?(dengan menjabarkan; proses juga semakin sulit, bukan?)Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Jelas, kita kesulitan dan harus mempunyai banyak strategi aljabar untuk melanjutkan proses pada Contoh 11.5 dan 11.6. Bentuk suatu fungsi beragam sehingga penurunannya dengan menggunakan limit fungsi akan ada yang sederhana diturunkan dan ada yang sangat sulit diturunkan. Kita harus mempermudah proses penurunan suatu fungsi dengan menemukan aturan-aturan penurunan.1.3.1 Menemukan turunan fungsi f(x) = axn,untuk n bilangan asli.fxfxxfxxaxxaxxxxnn'()lim()()lim()=+−=+−00Gunakan Biinomial Newton()=++++−−lim...∆∆xnnnnaxanxxaCxxax01222nnnxnnnnnaxxxanxaCxxaxxanx=+++=−−∆∆lim(...)012211Coba kamu buktikan sendiri jika f (x) = au(x) dan u'(x) ada, maka f '(x) = au'(x)
163Matematika1.3.2 Menemukan turunan jumlah fungsi f(x) = u(x) + v(x) dengan u'(x) dan v'(x) ada. fxuxxvxxuxvxxuxxx'()lim[()()][()()]lim[(=+++−+=+∆∆00xxuxvxxvxxuxxuxxvxxvx)()][()()]lim()()()−−+−=+−++−0(()lim()()()()'()'()xxuxxuxxvxxvxxuxvxx=+−+=+−=+0Dengan cara yang sama, buktikan sendiri bahwa turunan fungsi f(x) = u(x) – v(x) adalah f '(x) = u'(x) – v'(x)Contoh 11.7Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut!a.f(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1Alternatif Penyelesaianf '(x) = 5.4x4–1 – 4.3x3–1 + 3.2x2–1 – 2.1x1–1 + 1.0x0–1f '(x) = 20x3 – 12x2 + 6x – 2b.fxxx()=−13251413Alternatif Penyelesaianfxxxfxxx'()..'()=−=−131425131122151411313423(Ingat Sifat 10.6 pada Bab 10 di kelas X)
164Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1.3.3 Menemukan turunan fungsi f(x) = [u(x)]n dengan u'(x) ada, nbilangan asli.Dengan konsep limit fungsi.fxfxxfxxuxxuxxxxnn'()lim()()lim[()][()]li=+−=+−=00mm[()()()][()][()()]xnnuxxuxuxuxxPuxxux+−+−=+=0Misalllim[()][()]limxnnxPuxuxx+−()=0Gunakan Binomial Newton→→−−+++++01122211PCPuxCPuxCPuxunnnnnnnn[()][()]...[()][(xxuxxPnPuxCPuxCnnxnnnn)][()]lim[()][()]...=++++−−01222nnnnnnnxnnPuxCPuxxPPnPux−−+=+22211012[()][()]lim([())]...[()][()])limlim222110+++=CPuxCuxxPxnnnnnnxx∆∆→→−−++++01222211([()]...[()][()])PnPuxCPuxCuxnnnnnnnn(Ingat Sifat 10.5 pada Bab X di kelas X)Karenalimlim()()'()limlim∆∆∆∆xxxxPxuxxuxxuxP→→=+−==000→→+−=00uxxux()()(lihat Definisi 11.3)=+=uxnuxnuxuxnn'()[[()]'()[()]011
165MatematikaAturan Turunan: Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, abilangan real dapat diturunkan maka:f(x) = a → f '(x) = 0f(x) = axf '(x) = af(x) = axnf '(x) = naxn–1f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x)f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v(x)f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)fxuxvxfxuxvxuxvxvx()()()'()'()()()'()[()]=→=2Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva akan lebih mudah ditentukan, bukan? Perhatikan contoh berikut!Contoh 11.11Tentukan persamaan garis singgung kurva fxxx()=21 di titik P(2, 4).Alternatif Penyelesaian.Titik P(2, 4) berada pada kurva fxxx()=21 sebab jika kita subtitusikan nilai x = 2 maka f()222142==.Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi fxxx()=21 dengan memisalkan u(x) = x2 sehingga u'(x) = 2x dan vxxx()()=−=−1112sehingga vxx'()()=−12112. Dengan demikian, turunan pertama fungsi adalahfxuxvxuxvxvx'()'()()()'()(())=2ataufxxxxxx'()()=−−21211212. Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalah f'()24212== sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah y – 4 = 2(x – 2) atau y – 2x = 0.
166Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.5 Garis singgung kurva fxxx()=21di titik P(2, 4).Uji Kompetensi 11.11.Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 1 pada tiap-tiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi.a. f(x) = 2xb. f(x) = 2x2c. f(x) = 2x3 – 1d. f(x) = 21x+e. f(x) = 22x2.Misalkan u(x), v(x), w(x), h(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan. Dengan menggunakan konsep turunan sebagai limit fungsi, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = (2x + 1)2b. f(x) = (x2x + 1)2c. f(x) = 2134xx++
167Matematikad. f(x) = u(x)v(x)w(x)e. f(x) = (h ° g)(x)3.Dengan menggunakan konsep turunan, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut.a. f(x) = x3(2x + 1)5b. f(x) = 12232334xxc. f(x) = fxxx()()=−1213214d. f(x) = xx++1e. f(x) = 1012323!!!!...!...++++++xxxxnn5.Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(–1,1) pada masing-masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan.a. f(x) = (x + 2)–9b. f(x) = 2123xc. f(x) = –x3(x + 2)–2d. f(x) =−−+xx22e. f(x) = xx+22122. Aplikasi TurunanKonsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva. 2.1 Fungsi Naik dan TurunCoba bayangkan ketika kamu pergi ke plaza atau mall, di sana kita temukan ekskalator atau lift. Gerakan lift dan ekskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan ekskalator saat turun dapat diilustrasikan
168Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKsebagai fungsi turun. Amatilah beberapa grafik fungsi naik dan turun di bawah ini dan coba tuliskan ciri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide untuk mendefinisikan fungsi naik dan turun.xdyyy = f(x)xdy = f(x)ydyxdydyy = f(x)xdydyy = f(x)xdxydyy = f(x)ydyy = f(x)xBeberapa grafik fungsi turun dari kiri ke kananBeberapa grafik fungsi naik dari kiri ke kananDari beberapa contoh grafik fungsi naik dan turun di atas, mari kita definisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut.Definisi 11.5Misalkan fungsi, Fungsi f dikatakan naik jikax1, x2S, x1 < x2f(x1) < f(x2)Fungsi f dikatakan turun jikax1, x2S, x1 < x2f(x1) > f(x2) Contoh 11.12Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3, xR dan x > 0 adalah fungsi naik.
169MatematikaAlternatif Penyelesaianf(x) = x3, xR dan x > 0 Ambil sebarang x1, x2R dengan 0 < x1 < x2x = x1f(x1) = x13x = x1f(x2) = x23Karena 0 < x1 < x2 maka x13<x23Karena x13<x23 maka f(x1) < f(x2)Dengan demikian x1,x2S, x1<x2f(x1) <f(x2). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Bagaimana jika f(x) = x3, xR dan x < 0, apakah grafik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki!2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi TurunMari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun dengan memperhatikan dan mengamati permasalahan berikut.Masalah-11.4Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan. PermasalahanDari ilustrasi ini, dapatkah kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Ingat pengertian periode pada pelajaran trigonometri di kelas X. Dapatkah kamu tentukan pada interval waktu berapakah lumba-lumba tersebut bergerak naik atau turun? Dapatkah kamu temukan konsep fungsi naik/turun?
170Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianGambar 11.7 Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentuGambar 11.8 Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam pengamatan tertentu Secara geometri pada sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interval 0 < t < 7,5 atau 16,5 < t < 25,5 atau 34,5 < t < 36 dan disebut bergerak naik di interval 7,5 < t < 16,5 atau 25,5 < t < 34,5.Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun.
171MatematikaGambar 11.9 Garis singgung di interval fungsi naik/turunSelanjutnya, mari kita bahas hubungan persamaan garis singgung dengan fungsi naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu x positif sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik singgungnya. Pada gambar di atas, misalkan besar masing-masing sudut adalah 00 < α1 < 900, 00 < α2 < 900, 00 < α3 < 900, 00 < α4 < 900 sehingga nilai gradien atau tangen sudut setiap garis singgung ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 11.1 Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turunPGSSudut Nilai tangenMenyinggung di PGS 1α1m = tan (α1) = f '(x) > 0Fungsi NaikPGS 23600 - α2m = tan(3600α2) = f '(x) < 0Fungsi TurunPGS 3α3m = tan (α3) = f '(x) > 0Fungsi NaikPGS 43600 - α4m = tan(3600α4) = f '(x) < 0Fungsi TurunCoba kamu amati Gambar 11.9 dan Tabel 11.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi naik/turun. Coba kamu perhatikan kesimpulan berikut:Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi naik maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0.
172Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJika garis singgung menyinggung di grafik fungsi turun maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa fungsi f(x) yang dapat diturunkan pada interval I, akan mempunyai kondisi sebagai berikut:Tabel 11.2 Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turunNo.Nilai turunan pertamaKeterangan1f ' (x) > 0Fungsi selalu naik2f ' (x) < 0Fungsi selalu turun3f ' (x) ≥ 0Fungsi tidak pernah turun4f ' (x) ≤ 0Fungsi tidak pernah naikSifat 11.2Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x I maka1.Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.2.Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.3.Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.4.Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.Konsep di atas dapat digunakan jika kita sudah memiliki fungsi yang akan dianalisis. Tetapi banyak kasus sehari-hari harus dimodelkan terlebih dahulu sebelum dianalisis. Perhatikan kembali permasalahan berikut!Masalah-11.5Tiga orang anak sedang berlomba melempar buah mangga di ketinggian 10 meter. Mereka berbaris menghadap pohon mangga sejauh 5 meter. Anak pertama akan melempar buah mangga tersebut kemudian akan dilanjutkan dengan anak kedua bila tidak mengenai sasaran. Lintasan lemparan setiap anak membentuk kurva parabola. Lemparan anak pertama mencapai ketinggian 9 meter dan batu jatuh 12 meter dari mereka. Lemparan anak kedua melintas di atas sasaran setinggi 5 meter. Anak ketiga berhasil mengenai sasaran. Tentu saja pemenangnya anak ketiga, bukan?
173MatematikaPermasalahan.Dapatkah kamu mensketsa lintasan lemparan ketiga anak tersebut? Dapatkah kamu membuat model matematika lintasan lemparan? Dapatkah kamu menentukan interval jarak agar masing-masing lemparan naik atau turun berdasarkan konsep turunan? Alternatif Penyelesaiana. Sketsa Lintasan LemparanPermasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius, sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut.Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3b. Model Lintasan LemparanKamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat kembali konsep fungsi kuadrat di kelas X Fungsi kuadrat yang melalui titik puncak P(xp, yp) dan titik sembarang P(x, y) adalah yyp = a(xxp)2 sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1, x2dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(xx1)(xx2), dengan xxxp=+122dan a0, a bilangan real. Jadi, model lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah:Sasaran
174Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLintasan lemparan anak pertamaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1(6,9). y = a(x – 0)(x – 12)ó 9 = a(6 – 0)(6 – 12)óa = –0,25Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = –0,25x2 + 3x.Lintasan lemparan anak keduaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P2(5,15). y – 15 = a(x – 5)2ó 0 – 15 = a(0 – 5)2óa = –0,6Fungsi lintasan lemparan anak kedua adalah y = –0,6x2 + 6x.Lintasan lemparan anak ketigaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P3(5,10). y – 0 = a(x – 5)2ó 0 – 10 = a(0 – 5)2óa = –0,4Fungsi lintasan lemparan anak ketiga adalah y = –0,4x2 + 4x.C. Interval Fungsi Naik/Turun Fungsi LintasanCoba kamu amati kembali Gambar 11.11! Secara geometri, jelas kita lihat interval fungsi naik/turun pada masing-masing lintasan, seperti pada tabel berikut:Tabel 11.3 Fungsi dan interval naik/turun fungsi lemparan anak 1, 2, dan 3 Lintasan keFungsiSecara GeometriInterval NaikInterval Turun1y = –0,25x2 + 3x0 < x < 66 < x < 122y = –0,6x2 + 6x0 < x < 55 < x < 103y = –0,4x2 + 4x0 < x < 55 < x < 10Mari kita tunjukkan kembali interval fungsi naik/turun dengan menggunakan konsep turunan yang telah kita pelajari sebelumnya.Fungsi naik/turun pada lintasan lemparan anak 1Fungsi yang telah diperoleh adalah y = –0,25x2 + 3x sehingga y = –0,5x2 + 3x. Jadi,fungsi akan naik: y = –0,5x2 + 3xx < 6 fungsi akan turun: y = –0,5x + 3 < 0 x > 6
175MatematikaMenurut ilustrasi, batu dilempar dari posisi awal O(0,0) dan jatuh pada posisi akhir Q(12,0) sehingga lintasan lemparan akan naik pada 0 < x < 6 dan turun pada 6 < x < 12.Bagaimana menunjukkan interval fungsi naik/turun dengan konsep turunan pada fungsi lintasan lemparan anak 2 dan anak 3 diserahkan kepadamu.Contoh 11.13Tentukanlah interval fungsi naik/turun fungsi f(x) = x4 – 2x2Alternatif PenyelesaianBerdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:f '(x) = 4x3 – 4x > 0 4x(x – 1)(x + 1) > 0x = 0 atau x = 1 atau x = –1Dengan menggunakan interval.- +- +110Interval TurunInterval TurunInterval NaikInterval NaikJadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval 1 –1 < x < 0 atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 – 2x2 tersebut.Gambar 11.12 Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4 – 2x2
176Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 11.14Tentukanlah interval fungsi naik fxxx()=−2Alternatif PenyelesaianMasih ingatkah kamu syarat numerusPx()adalah P(x) ≥ 0. Jadi, syarat numerus fxxx()=−2adalah x2x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan.x2x ≥ 0 x(x – 1) ≥ 0x = 0atau x = 1Dengan menggunakan interval.+-+10Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x 0 atau x 1Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jikaf '(x) > 0 sehingga:fxxxx'()=>21202 2x – 1 > 0 karena xx20−>dan x ≠ 0, x ≠ 1x>12Dengan menggunakan interval.1021naikJadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x > 1.
177MatematikaPerhatikanlah grafik fungsi fxxx()=−2berikut! Gambar 11.13 Fungsi naik/turun fxxx()=−2Coba kamu lakukan dengan cara yang sama untuk mencari interval fungsi turun! Jika kamu benar mengerjakannya maka fungsi turun pada interval x < 0.2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimum dan MinimumSetelah menemukan konsep fungsi naik dan turun, kita akan melanjutkan pembelajaran ke permasalahan maksimum dan minimum serta titik belok suatu fungsi. Tentu saja, kita masih melakukan pengamatan terhadap garis singgung kurva. Aplikasi yang akan dibahas adalah permasalahan titik optimal fungsi dalam interval terbuka dan tertutup, titik belok, dan permasalahan kecepatan maupun percepatan.2.2.1 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbuka
178Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-11.6Seorang anak menarik sebuah tali yang cukup panjang. Kemudian dia membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah sehingga terbentuk sebuah gelombang berjalan. Dia terus mengamati gelombang tali yang dia buat. Dia melihat bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi?Alternatif PenyelesaianGradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya.Gambar 11.15 Sketsa gelombang taliCoba kamu amati gambar di atas. Garis singgung (PGS 1, PGS 2, PGS 3 dan PGS 4) adalah garis horizontal atau y = c, c konstan, sehingga gradiennya adalah m = 0. Keempat garis singgung tersebut menyinggung kurva di titik puncak/optimal, di absis x = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4. Dari pengamatan, dapat disimpulkan bahwa sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu daerah jika m = f '(x) = 0. Titik yang memenuhi f '(x) = 0disebut titik stasioner. Berikutnya, kita akan mencoba menemukan hubungan antara titik stasioner dengan turunan kedua fungsi. Pada Gambar 11.15, f '(x1) = 0, f '(x2) = 0, f '(x3) = 0 dan f '(x4) = 0. Artinya kurva turunan pertama fungsi melalui sumbu x di titik A(x1, 0), B(x2, 0), C(x3, 0) dan D(x4, 0). Coba kamu amati kurva turunan pertama fungsi dan garis singgungnya sebagai berikut. Kesimpulan apa yang kamu dapat berikan?
179MatematikaGambar 11.16 Hubungan garis singgung kurva m = f '(x) dengan titik stasionerTitik A(x1, y1) adalah titik maksimum pada Gambar 11.15 sehingga titik dengan absis x = x1 adalah titik stasioner karena f '(x1) = 0. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien M pada fungsi m = f '(x) menyinggung di titik x = x1 membentuk sudut di kuadran IV sehingga nilai tangen sudut bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan M = m ' = f ''(x1) < 0. Dengan kata lain, titik A(x1, y1) adalah titik maksimum jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0. Kesimpulan: lihat Gambar 11.16 misalkan gradien persamaan garis singgung kurva m = f '(x) adalah M sehingga M = m ' = f ''(x) maka hubungan turunan kedua dengan titik stasioner adalah: Tabel 11.4 Hubungan turunan kedua fungsi dengan titik optimal (stasioner)PGSGradien M = m ' = f ''(x)Jenis TitikPergerakan kurvaaMa = f "(x1) < 0MaxNaik-Max-TurunbMb = f "(x2) > 0MinTurun-Min-NaikcMc = f "(x3) < 0MaxNaik-Max-TurundMd = f "(x4) > 0MinTurun-Min-NaikpMp = f "(x5) = 0T. BelokTurun-Belok-TurunqMq = f "(x6) = 0T. BelokNaik-Belok-NaikrMr = f "(x7) = 0T. BelokTurun-Belok-Turun
180Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 11.3Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1I sehingga: 1.Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1))disebut stasioner/kritis2.Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titk (x1, f(x1)) disebut titik balik minimum fungsi3.Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik balik maksimum fungsi4.Jika f ''(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok fungsiContoh 11.15Tentukanlah titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3Alternatif Penyelesaian 1 (Berdasarkan Konsep Fungsi Kuadrat)Dengan mengingat kembali pelajaran fungsi kuadrat. Sebuah fungsi f(x) = ax2+ bx + c mempunyai titik balik BbaDa(,)−−24di mana fungsi mencapai maksimum untuk a < 0 dan mencapai minimum untuk a > 0 sehingga fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai titik balik minimum pada BB((),()()()())(,)−−=−421441341212. Alternatif Penyelesaian 2 (Berdasarkan Konsep Turunan)Dengan menggunakan konsep turunan di atas maka fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai stasioner: f '(x) = 2x – 4 = 0 atau x = 2 dan dengan mensubstitusi nilai x = 2 ke fungsi y = f(x) = x2 – 4x + 3 diperoleh y = –1 sehingga titik stasioner adalah B(2, –1). Mari kita periksa jenis keoptimalan fungsi tersebut dengan melihat nilai turunan keduanya pada titik tersebut. f "(x) = 2 atau f "(2) = 2 > 0. Berdasarkan konsep, titik tersebut adalah titik minimum. Jadi, titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3 adalah minimum di B(2, –1).
181MatematikaGambar 11.17 Titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3Contoh 11.16Analisislah kurva fungsi y = f(x) berdasarkan sketsa kurva turunan pertamanya berikut.Gambar 11.18 Sketsa turunan pertama suatu fungsi y = f(x)Alternatif PenyelesaianSecara geometri sketsa turunan pertama fungsi di atas, nilai setiap fungsi di bawah sumbu x adalah negatif dan bernilai positif untuk setiap fungsi di atas sumbu x. hGambar 11.19 Analisis fungsi berdasarkan konsep turunan fungsi y = f(x)
182Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan demikian, melalui pengamatan dan terhadap grafik turunan pertama dan konsep turunan maka fungsi y = f(x) akan:Naik (f '(x) > 0) pada a < x < c, c < x < e dan x > iTurun (f '(x) < 0) pada x < a, e < x < g dan g < x < iStasioner (f '(x) = 0) pada absis x = a, x = c, x = e, x = g dan x = iOptimal maksimum (f '(x) = 0dan f "(x) < 0) pada absis x = eOptimal minimum (f'(x) = 0 dan f"(x) > 0) pada absis x = adan x = iTitik belok (f "(x) = 0) pada absis x = b, x = c, x = d, x = f, x = g dan x = h2.2.2 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbukaMasalah-11.7Coba kamu amati posisi titik maksimum dan minimum dari beberapa gambar berikut.Gambar 11.20 Titik maksimum dan minimum suatu fungsi Kesimpulan apa yang kamu peroleh?
183MatematikaAlternatif PenyelesaianGambar A di atas telah kita bahas pada permasalahan 11.6. Jika kamu amati dengan teliti, perbedaan antara gambar A dengan ketiga gambar lainnya (B, C dan D) adalah terdapat sebuah daerah yang membatasi kurva. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah terbuka dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi. Contoh 11.7Sebuah pertikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukanlah nilai optimal pergerakan partikel tersebut.Alternatif Penyelesaian.Daerah asal fungsi adalah {t | 0 t 6} Titik stasioner f '(t) = 0 f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t2 – 6t + 8) dan f "(t) = 6t – 18f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0t = 2 → f (2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0 Karena daerah asal {t | 0 t 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga: t = 0→ f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20 Nilai minimum keempat titik adalah -16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0,-16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6,20). Perhatikan gambar.
184Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.21 Titik optimal kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6.Masalah-11.8Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran tetapi terbuat dari bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume 43.120 cm3. Biaya pembuatan alas adalah Rp150,- per cm2, biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp80,- per cm2 sementara biaya pembuatan atap adalah Rp50,- per cm2. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan anak tersebut?Alternatif Penyelesaian.Mari kita sketsa tabung yang akan dibuat. Misalkan r adalah radius alas dan atap tabung, t adalah tinggi tabung π=227.Vrt t r==⇔=2274312072222 x 43120 Biaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya selimut) + (Luas atap × biaya atap)Biaya = 22722722722rrtr×××50 +80 50+Gambar 11.22 Tabungrrr2πrtt
185MatematikaBiaya =227227722227222rrrr×1××××5043120 8050++Biaya = 2272rr××2004312080+Biaya B(r) adalah fungsi atas radius r (dalam Rupiah).BrrrBrrrrr()'()=+=−==44007880070887223344960034496003449622r3 = 2744 = 143 ór = 14Jadi biaya minimum ×+×+=227141461630802200431208020080=123200246400369.6600Biaya minimum adalah Rp369.600,-Contoh 11.18Kamu masih ingat soal pada Bab Limit Fungsi di kelas X, bukan? Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0, 25t2 + 0,5t(cm2). Tentukanlah kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit.Alternatif penyelesaian pertama (dengan Numerik)Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu.
186Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan tabel!Tabel 11.5: Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2 + 0,5t pada saat t mendekati 512t = t-5f = f(t)-f(5)f /∆t1-4-822-3-6,752,253-2-52,54-1-2,752,754,5-0,5-1,43752,8754,9-0,1-0,29752,9754,99-0,01-0,0299752,99754,999-0,001-0,002999752,999754,9999-0,0001-0,0002999972,99997550,00000?5,00010,00010,0003000023,0000255,0010,0010,003000253,000255,010,010,0300253,00255,10,10,30253,0255,50,51,56253,125613,253,25Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t) akan mendekati 3 (cm2/menit).Alternatif Penyelesaian kedua (dengan konsep Limit)f(t) = 0,25t2 + 0,5tf(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75lim()()lim(,,)()lim,tttftftttftt→→=+−=552555025055502522525058755050517550505+−=+−=+,,lim,(,,)lim,(,tttttttt33555050535050553535,)()lim,(,,),(,,)tttt=+=+= x
187Matematikalim()()lim(,,)()lim,tttftftttftt→→=+−=552555025055502522525058755050517550505+−=+−=+,,lim,(,,)lim,(,tttttttt33555050535050553535,)()lim,(,,),(,,)tttt=+=+= x Alternatif Penyelesaian ketiga (dengan konsep Turunan)f(t) = 0,25t2 + ,5tf '(t) = 0,5t + 0,5 = 0 f(5) = 2,5 + 0,5 = 3Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah 3 (cm2/menit).Contoh 11.19Seorang karyawan berencana akan tinggal di rumah kontarakan setelah dia diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya pengeluaran, ia berharap dapat tinggal di kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja dan uang sewa kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka biaya transportasi adalah c rupiah per km per tahun. Biaya kontrakan adalah bx+1pertahun (dalam rupiah), dengan b dan c adalah konstanta bernilai real positif dan b > c. Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran karyawan tersebut?Alternatif PenyelesaianLangkah 1. Modelkan permasalahanBiaya = Biaya transportasi + Biaya sewa (per tahun)Bxcxbx()=++1dengan daerah asal x ≥ 0Langkah 2. Tentukan titik stasionerB(x) = cx + b(x + 1)-1sehingga B'(x) = cb(x + 1)-2 = 0
188Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK+−+=⇔=−−=−+cxbxxbcxbc()()1101122atauKarena b > c dan x 0 maka nilai x yang digunakan adalah xbc=−+1Langkah 3. Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsiB'(x) = cb(x + 1)-2 sehingga B"(x) = 2b(x + 1)-3 = 213bx()+Bbcbbcccb''()()−+==1223Karena b dan c adalah konstanta bernilai real positif maka Bbc''()−+>10 atau merupakan ekstrim minimum. Langkah 4. Tentukan biaya minimumMensubstitusikan nilai x = -1 + bcke fungsi B(x) sehinggaBbccbc()−+=−+12Jadi, biaya minimum karyawan tersebut adalah: −+cbc2(dalam rupiah) per tahun.2.4 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan PercepatanSecara arti fisis, konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi. Amati dan pelajarilah permasalahan berikut!
189MatematikaMasalah-11.9Seorang pembalap melakukan latihan di sebuah arena balap dengan lintasan yang berkelok-kelok. Dia melaju kencang meninggalkan garis start dengan kecepatan yang diatur dengan baik. Di setiap belokan lintasan, dia menurunkan kecepatannya tetapi berharap dengan secepat mungkin menaikkan kecepatan setelah meninggalkan titik belokan tersebut. Demikian dia berlatih membalap dan akhirnya dia berhenti mendekati titik finish. Apakah kamu dapat menemukan hubungan jarak lintasan dan kecepatan? Dapatkah kamu jelaskan ilustrasi di atas berdasarkan konsep turunan?Alternatif Penyelesaian.Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menemukan konsep turunan dan mengaplikasikannya kembali. Misalkan lintasan arena balap tersebut adalah sebuah lintasan yang berupa siklis yaitu garis start dan garis finish adalah sama, tetapi dipandang berlawanan arah. Garis start berarti garis tersebut ditinggalkan atau bergerak menjauhi sementara garis finish berarti garis tersebut didekati.Perhatikan gambar berikut:Gambar 11.24 Lintasan balapPada arena balap yang menjadi variabel adalah waktu sehingga lintasan yang ditempuh merupakan fungsi waktu s = f(t). Dengan demikian, daerah asal fungsi adalah waktu t ≥ 0 karena dihitung sejak diam. Setiap titik pada lintasan akan didekati dan dijauhi, bukan? Hal ini berarti ada peranan kecepatan v(t). Untuk titik yang dijauhi berarti kecepatan positif, dan titik yang akan didekati berarti kecepatan negatif.
190Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 11.6 Kecepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiDiamv(t)= 0Bergerak menjauhi titik tetap (Start)v(t) > 0Bergerak mendekati titik tetap (Finish)v(t) < 0Jadi, bergerak semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan, ada waktu perubahan waktu yaitu:vtfttfttftt()lim()()'()=+−=→∆0 atau v(t) = s'(t)Pergerakan pembalap pada lintasan di titik belok diperlambat atau dipercepat, sehingga posisi percepatan adalah sebagai berikut:Tabel 11.7 Percepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiKonstana(t) = 0Bergerak diperlambat a(t) < 0Bergerak dipercepata(t) > 0Jadi, bergerak dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan kenderaan tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kenderaan. Percepatan a(t) adalah laju perubahan dari kecepatan, yaitu:atvttvttvtt()lim()()'()=+−=→∆0atau a(t) = v'(t) = s"(t)Contoh 11.20Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t yaitu s(t) = t4 – 6t2 + 12.Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.Alternatif PenyelesaianDiketahui: s(t) = t4 – 6t2 + 12Ditanya: s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0
191MatematikaProses penyelesaianKecepatan adalah turunan pertama dari fungsiv(t) = s'(t) = 4t2 –12tPercepatan adalah turunan pertama dari kecepatana(t) = v'(t) = 12t2 – 12 = 0 12(t + 1)(t – 1) = 0 Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:v(1) = s'(1) = 4(1)3 – 12(1) = –8 s(1) = (1)4 – 6(1)2 + 12 = 73. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep TurunanBerdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah contoh berikut.Contoh 11.21Analisis dan sketsalah kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.Alternatif Penyelesaian.Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.f(x) = x4 + 2x3óx3(x + 2) = 0óx3 = 0 atau x + 2 = 0óx = 0 atau x = –2Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0,0) atau B(-2,0)Langkah 2. Menentukan titik stasioner.f '(x) = 4x3 + 6x2 = 0 ó 2x2(2x + 3) = 0ó 2x2 = 0 atau 2x + 3 = 0óx = 0 atau x=−32
192Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKNilai f(0) = 0 atau f()−=322716Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau C(,)−−322716.Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah:f '(x) = 4x3 + 6x2 > 0 ó 2x2(2x + 3) > 0óx = 0 atau x=−32Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.023++-Interval NaikInterval NaikInterval TurunJadi, fungsi akan naik pada x<−32 atau x > 0 dan turun pada −<<320x.Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan kedua fungsi.f "(x) = 12x2 + 12 x sehingga f "(0) = 0Titik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik.f "(x) = 12x2 + 12x sehingga f''()−=>3290TitikC(,)−−322716adalah titik balik minimum.Langkah 5.Menentukan titik belokf "(x) = 12x2 + 12x = 0 ó 12x(x + 1) = 0
193Matematikaó 12x = 0 atau x + 1 = 0óx = 0 atau x = –1Nilai f(0) = 0 atau f(–1) = –1Jadi, titik belok fungsi adalah A(0,0) atau D(–1, –1).Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu x-7/4-1/21/41/2y = x4 + 2x3-343/256-3/169/2565/16(x,y)P(-7/4,-343/256)Q(-1/2,-3/16)R(1/4,9/256)S(1/2,5/16)Gambar 11.25 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.Contoh 11.12Analisis dan sketsalah kurva fungsi fxxx()=21.Alternatif Penyelesaian.Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.fxxx()=21óxx210=óx2 = 0 dan x – 1 ≠ 0óx = 0 dan x ≠ 1Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik A(0,0)
194Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLangkah 2. Menentukan titik stasioner.fxxxxx'()()()()=−−=2111022ó 2x(x – 1) – x2(1) = 0 dan (x – 1)2 ≠ 0óx2 – 2x = 0 dan x ≠ 1óx(x – 2) dan x ≠ 1óx = 0 atau x = 2Nilai f(0) = 0 atau f(2) = 4Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau B(2,4).Langkah 3.Menentukan interval fungsi naik/turun. Interval pembuat fungsi naik adalah:fxxxx'()()=>22210ó (x2 – 2x)(x – 1)2 > 0óx(x – 2)(x – 1)2 > 0óx = 0, x = 2atau x = 1Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.Interval TurunInterval NaikInterval Naik++-201-Interval TurunJadi, fungsi akan naik pada x < 0 atau x > 2 dan fungsi akan turun pada 0 < x < 1 atau 1 < x < 2.Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi. Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasionernya ke turunan kedua fungsi.fxxxx'()()=2221sehingga fxxxxxxxx''()()()()()()()()=−−−−=22122111212243
195Matematikaf "(0) = –2 < 0 dan f "(2) = 2 > 0Titik A(0, 0) adalah titik balik maksimum dan titik A(2, 4) adalah titik balik minimum.Langkah 5. Menentukan titik belokfxx''()()==2103ó tidak ada nilai x pembuat fungsi turunan adalah nolJadi, tidak ada titik belok pada fungsi tersebut.Langkah 6.Menentukan beberapa titik bantuGambar 11.26 Sketsa kurva fungsi fxxx()=21.
196Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 11.21.Tentukanlah titik balik fungsi-fungsi berikut!a. f(x) = x2 – 2xb. fxxx()=−+−1223342c.f(x) = x3xd.f(x) = x3 – 6x – 9x + 1e. f(x) = x4x22. Analisis dan sketsalah bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan menunjukkan interval fungsi naik/turun, titik maksimum/minimum dan titik belok!a. f(x) = x2 – 2xb. f(x) = x3xc.f(x) = x4x2d.fxx()=11e. fxxx()=+213. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva dari suatu fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya.a.
197Matematikab. c. d. 4.Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Kemudian, dia berencana membuat sebuah bangun segiempat di dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segiempat menyinggung keliling kurva. a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut.b.Buatlah segiempat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah jenis-jenis segiempat yang dapat dibuat.
198Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc.Hitunglah masing-masing segiempat yang diperoleh.d.Segiempat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas segiempat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep diferensial.5.Sebuah segiempat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = (x – 1)2. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas.ProjekJika f adalah fungsi bernilai real pada – ∞ < x < ∞. Berdasarkan konsep, turunan adalah sebuah limit fungsi, yaitu fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆0. Nyatakanlah turunan kedua fungsi f "(x) sebagai limit fungsi. Kemudian tentukanlah turunan kedua dari fxx()=2pada x > 0.Buatlah laporan projekmu dan presentasikanlah di depan teman-temanmu dan gurumu!D.PENUTUPKita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut:1.Misalkan f : RR adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + y) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan titik P dan Q dengan gradien mfxxfxxsec()()=+−112.Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva. Gradien garis tangen/singgung di titik P(x1, y1) adalah nilai limit garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis mmfxxfxxxxtanseclimlim()()==+−→→∆∆0011
199Matematika3.Misalkan fungsi f : SR, S⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan hanya jika nilai lim()()xfcxfcx+−0ada.4.Misalkan f : SR dengan SR. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S. 5.Misalkan fungsi f : SR , SR dengan cS dan LR. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turunan kanan, ditulis:f '(c)= lim()()lim()()xcxcfxfcxcfxfcxcL→→+−==.6.Aturan Turunan: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real, dapat diturunkan maka:f(x) = af '(x) = 0f(x) = axf '(x) = af(x) = axnf '(x) = axn–1f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x)f(x) = a[u(x)]nf '(x) = au'(x)[u(x)]n–1f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v'(x)f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)fxuxvxfxuxvxuxvxvx()()()'()'()()()'()[()]=→=27.Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada xI makaJika f '(x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval IJika f '(x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval IJika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval IJika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I8.Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan kedua pada x1I sehingga:
200Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJika f '(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut dengan stasioner/kritis.Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik minimum fungsi.Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik maksimum fungsi.Jika f "(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik belok.9.Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:vtfttfttftt()lim()()'()=+−=→∆0atau v(t) = s'(t)Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:atvttvttvtt()lim()()'()=+−=→∆0atau a(t) = v'(t) = s"(t)