Gambar Sampul Matematika · Bab IV Barisan dan Deret
Matematika · Bab IV Barisan dan Deret
Siswanto

22/08/2021 10:08:22

SMA 12 K-13

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
119Barisan dan DeretBarisan dan DeretBab IVTujuan PembelajaranPernahkah kalian merenungkan keteraturan yang terjadi di alamini? Munculnya matahari setiap pagi, datangnya musim penghujandan kemarau pada masa tertentu, pertumbuhan populasi manusia,populasi rusa, serta populasi tumbuhan adalah beberapa contoh ketera-turan yang terjadi di alam ini. Para ahli menganalisis peristiwa-peristiwa tersebut dengan suatu barisan atau deret tertentu. Dapatkahkalian memberikan contoh keteraturan lain di alam ini?MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri barisan aritmetika dan baris geometri;2. merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;3. menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;4. menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah;5. menghitung jumlah deret geometri tak hingga;6. menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma;7. menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deretaritmetika atau geometri;8. merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah;9. menentukan penyelesaian dari model matematika;10. memberikan tafsiran terhadap solusi (hasil yang diperoleh) dari masalah;11. menjelaskan rumus-rumus dalam hitung keuangan dengan deret aritmetika ataugeometri;12. menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999
120Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• barisan bilangan• barisan berhingga• barisan tak berhingga• barisan aritmetika• barisan geometriPeta KonsepBarisan dan DeretNotasi Sigmamempelajari•beda• deret• sigma• sukuDeret dalam HitungKeuanganmembahasBarisan dan DeretmembahasSifat-SifatNotasi SigmaMenyatakanSuatuPenjumlahandengan NotasiSigmaMenghitungNilaiPenjumlahanyangDinyatakandengan NotasiSigmaDeret KhususBarisan dan DeretAritmetikaBarisan dan DeretGeometriSisipan dalamBarisan AritmetikaSisipan dalamBarisan GeometriPenggunaan Barisan dan DeretDeret GeometriTak Berhingga
121Barisan dan DeretPada pokok bahasan ini, kita akan mempelajari notasi sigmasebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan yang memuat banyaksuku yang memiliki pola (keteraturan) tertentu. Kemudian, kitalanjutkan dengan membahas pengertian barisan dan deret bilanganyang meliputi barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri,serta deret-deret khusus seperti deret bilangan asli dan deret kuadratbilangan asli.Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, ada baiknya kalianjawab soal-soal berikut.1.Apakah yang disebut barisan dan deret?2.Tunjukkan, mana yang merupakan barisan? Berilah alasan.a.1, 2, 3, 4, 5, ....b.1, 1, 1, 1, 1, ....c.4, 3, 5, 2, 6, 7, 9, ....3.Di SMP, kalian telah mempelajari bunga, baik bunga tunggalmaupun bunga majemuk. Apakah bunga itu? Apa pula bungatunggal dan bunga majemuk itu? Berikan gambarannya.Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkanke materi berikut.A. Notasi SigmaMatematika sering disebut sebagai bahasa lambang atau bahasasimbol. Hal ini disebabkan di dalam matematika banyak digunakanlambang-lambang atau simbol-simbol untuk menyatakan suatupernyataan yang lebih singkat dan lebih jelas. Di antara penggunaanlambang ini adalah pada bentuk penjumlahan suku-suku yangmemiliki pola (keteraturan) tertentu. Lambang yang digunakan untukmenuliskan bentuk penjumlahan suku-suku seperti ini adalah notasiY” (dibaca: sigma). Simbol ini diambil dari abjad Yunani ”S” yangmerupakan huruf pertama kata ”Sum” yang berarti jumlah.Dalam penggunaannya, notasi Y selalu diikuti dengan indeksatau variabel yang menentukan batas bawah dan batas atas penjumlah-an tersebut. Indeks penjumlahan ini dapat dipilih sembarang hurufkecil. Daerah penjumlahan dapat berhingga (terbatas) dan dapat pulatak terhingga (tak terbatas).1. Menyatakan Suatu Penjumlahan denganNotasi SigmaMisalkan terdapat penjumlahan bilangan asli dari 1 sampaidengan 100, yaitu 1 + 2 + 3 +...+ 100. Jika semua sukunya ditulis,Uji PrasyaratKerjakan di buku tugas
122Mmt Aplikasi SMA 3 IPSbentuk penjumlahan tersebut menjadi sangat panjang. Denganmenggunakan notasi sigma, penulisan ini dapat dipersingkat,yaitu sebagai berikut.1 + 2 + 3 + ...+ 100 = nn1001=- (Dibaca: sigma n, untuk n = 1sampai dengan 100).Pada penulisan tersebut, variabel yang digunakan adalah n,sedangkan batas bawahnya n = 1 dan batas atasnya n = 100.Contoh:2. Nilai Penjumlahan dalam Notasi SigmaUntuk menghitung nilai penjumlahan yang dinyatakandengan notasi sigma, bentuk penjumlahan tersebut dinyatakansebagai bentuk biasa terlebih dahulu, kemudian ditentukanhasilnya. Perhatikan contoh-contoh berikut. Nyatakan penjumlahan berikut ini dengan notasi sigma.a.3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24b.1211 ... 433221++++c.xy2 + x2y3 + x2y3 + x3y4 + ... + x11y12Penyelesaian:a.3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 = kk381=-b.11211 ... 433221111+-=++++=kkkc.xy2 + x2y3 + x3y4 + ... + x11y12 = 1111+=-kkkyxContoh:Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut.a.2155zz=-b.3) (251+-=pp
123Barisan dan DeretPenyelesaian:a.2155zz=-=52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 + 132 + 142 + 152= 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + 169 + 196 + 225 = 1.210b.3) (251+-=pp = (2(1) + 3) + (2(2) + 3) + (2(3) + 3) + (2(4) + 3) + (2(5) + 3)= 5 + 7 + 9 + 11 + 13=451.Nyatakan bentuk penjumlahan berikut dengan menggunakan notasi sigma.a.1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100b.4 + 8 + 12 + 16 + ... + 1.000c.1 × 3 + 4 × 6 + 9 × 11 + ... + 100 × 102d.2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + ... + 101 × 103e.601.360...1741035221+++++f.8683 ... 107968574+++++g.3100333231...xxxx++++h.xyn–1 + x2yn–2 + ... + xn2.Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa. Jika tidakmemungkinkan untuk menulis seluruhnya, gunakan titik-titik seperti pada soalnomor 1.a.)5 (881+-=kkf.2516) (2+-=iib.)8 (1001+-=kkg.-=++101263kkkkc.kk6123=-h.-=+10121pppd.ii361=-i.-=<1012)1(ppe.6) 2 (28l ++-=kkkj.-=+<1012)12(nnnUji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugas
124Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Hitunglah nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma berikut.a.5) (261+-=kkf.2 281+-=kkkb.21016) (<-=kkg.-=<+312223ppppc.1) 5 (2251++-=ppph.-=+1012)1(pppd.3821) (<-=ppi.-=<1232)2(pppe.1) 3 2 (2341++<-=ppppj.-=<101)73(nnn3. Sifat-Sifat Notasi SigmaCoba pahami kembali notasi sigma di atas. Jika kalian telahmenguasainya, tentu kalian akan dapat menemukan sifat-sifatyang berlaku pada notasi sigma. Sifat-sifat yang berlaku padanotasi sigma adalah sebagai berikut.Jika a, bD himpunan bilangan bulat positif, sedangkan Ukdan Vk adalah rumus suku ke-k dari suatu notasi sigma makaberlaku sifat-sifat berikut.1.kbakkbakkkbakVUVU===-+-=+- ) (2., kbakkbakUccU==-=- untuk c D R3.a.pkpbpakkbakUU<++==-=-b.pkpbpakkbakUU+<<==-=-4.cbak=- = (b – a + 1)c5.kbakkbpkkpakUUU==<=-=-+-16.0 1=-<=kaakU
125Barisan dan Deret7.2222)(kbakkkbakkbakkkbakVVUUVU====-+-+-=+-Bukti:1.-=+bakkkVU)(=(Ua + Va) + (Ua+ 1 + Va+ 1) + ... + (Ub + Vb)=(Ua + Ua+ 1 + ... + Ub) + (Va + Va+ 1 + ... + Vb)=--==+bakkbakkVU........................ (terbukti)2.-=bakkcU=cUa + cUa + 1 + cUa + 2 + ... + cUb=c(Ua + Ua + 1 + Ua + 2 + ... + Ub)=-=bakkUc ......................................... (terbukti)3.a.Ukkab=-=Ua + Ua+1 + Ua+2 + ... + Ub=U(a+p)–p + U(a+p)–p+1 + U(a+p)–p+2 + ... + U(b+p)–p=-++=<pbpakpkU ................................ (terbukti)b. Dengan cara serupa, tentu kalian dapatmenunjukkan bahwa --<<=+==pbpakpkbakkUU.4.-ba=kca–bc1)+(=Bukti:4434421sukuabbakccccc)1(...+<=++++=- = (b – a + 1) c ......... (terbukti)6.01=-<=aakkUBukti:Dari sifat ,1---==<==+bpkbakkkpakkUUU diperoleh.1---==<=<=bpkbakkkpakkUUU
126Mmt Aplikasi SMA 3 IPSJika p = a, diperoleh 01=<=---==<=bakbakkkaakkUUU.. (terbukti)Sifat (5) dan (7) mudah untuk dibuktikan. Coba kalian kerjakansebagai latihan.1.Tentukan nilai dari ).3(231kkk+-=Penyelesaian:Cara 1:)3(231kkk+-== ((12) + 3(1)) + (22 + 3(2)) + (32 + 3(3))= 4 + 10 + 18 = 32Cara 2:kkkkkkk3 )3 (31231231===-+-=+-=(12 + 22 + 32) + (3(1) + 3(2) + 3(3))= ((1 + 4 + 9) + (3 + 6 + 9))=322.Buktikan bahwa 11). (5 6) 5(5112+-=+-<==ppnpnpPenyelesaian:6) 1) (5( 6) (5112++-=+-<==ppnpnp= 6) 5 (511++-<=pnp= 11) (511+-<=pnp..................................................................... (terbukti)3.Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan bahwanpppnpnpnp 8 16 1) (412121+-<-=<-===.Penyelesaian:1) 8 (16 1) (42121+<-=<-==pppnpnp=1 8161121npnpnppp===-+-<-=nppnpnp 8 16121+-<-== ........................................................ (terbukti)Contoh:
127Barisan dan Deret1.Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan pernyataan-pernyataan berikut.a.nkkknknknk 8 16 1) (412121+-+-=+-===b. 144 24 12) (12121nkkknknknk+-<-=<-===c.5) 11( 3 2) (3336<+-=+-<==nkknknkd.3) 14( 6 5) (3123324<+-+-=+-<=<==nkkknknknke.2) (9 6 1) (2122123<+-+-=+-<=<==nkkknknknkf.kknknk2312 4) (2+==-=+-2.Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 0.a.knk63=-d.231) (3<-=knkb.3) (22+-=knke.6) 3 (21<+-=iinic.)5(4+-=iinif.1) 2 (2) (225+<+-=iiini3.Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 2.a.knk70=-d.207) (2+-=knkb.)6 (51<-=knke.8) 4 (21+<-=iinic.)2)(6 (1<+-=iinif.5 3 2) (220+++-=iiiniUji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugasB. Barisan dan DeretDalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Perhatikan urutanbilangan-bilangan berikut.1) 0, 2, 4, 6, 8, ...2) 1, 3, 5, 7, 9, ...3) 0, 1, 4, 9, 16, ...4),51 ,41 ,31 ,21 1, ...Bentuk-bentuk di atas dinamakan barisan bilangan. Jadi, barisanbilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturantertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah a1, a2, a3, ..., an, ...
128Mmt Aplikasi SMA 3 IPSSetiap bilangan yang terurut pada barisan bilangan di atas disebutsuku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un(n bilangan asli). Dengan demikian, a1 disebut suku pertama atau U1,a2 disebut suku kedua atau U2, dan an disebut suku ke-n atau Un. Diantara suku-suku barisan bilangan dan himpunan bilangan asliterdapat korespondensi satu-satu seperti terlihat dalam diagramberikut.a1a2a3....anbbbbb 1 2 3....nDengan demikian, dapat dikatakan bahwa suku-suku suatubarisan bilangan merupakan suatu nilai fungsi f dari himpunanbilangan asli ke himpunan bilangan real dengan aturan Un = f(n).Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus suku ke-n dari barisan bilangantersebut.Contoh:1.Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan Un = n2 – 1.Penyelesaian:Karena rumus Un = n2 – 1, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 – 1 = 0, U2 = 22 – 1 = 3,U3 = 32 – 1 = 8, U4 = 42 – 1 = 15, dan U5 = 52 – 1 = 24.Jadi, lima suku pertamanya adalah 0, 3, 8, 15, 24.2.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = n2 + n.a.Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 156?Penyelesaian:a.Karena Un = n2 + n, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 + 1 = 2, U2 = 22 + 2 = 6,U3 = 32 + 3 =12, U4 = 42 + 4 = 20, dan U5 = 52 + 5 = 30.Jadi, 5 suku pertamanya adalah 2, 6, 12, 20, 30.b.Diketahui suku ke-n = 156. Berarti,Un = 156‹n2 + n = 156‹n2 + n – 156 = 0‹ (n – 12)(n + 13) = 0‹n = 12 atau n = –13 (dipilih nilai n positif)Jadi, suku yang nilainya 156 adalah suku ke-12.Misalkan suku ke-n dari suatu barisan tidak diketahui. Kita dapatmenentukan rumus umum untuk mencari suku ke-n barisan bilangantersebut dengan memerhatikan pola suku-suku barisan itu.
129Barisan dan DeretContoh:Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilai sukuyang diminta di dalam tanda kurung.a.5, 10, 15, 20, 25, ... (U100)b.2, 5, 10, 17, 26, ... (U24)Penyelesaian:a.5, 10, 15, 20, 25, ...U1 = 5 × 1U2 = 10 = 5 × 2U3 = 15 = 5 × 3U4 = 20 = 5 × 4U5 = 25 = 5 × 5...Un = 5nJadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 5n dan U100 = 5 × 100 =500.b.2, 5, 10, 17, 26, ...U1 = 2 = 1 + 1 = 12 + 1U2 = 5 = 4 + 1 = 22 + 1U3 = 10 = 9 + 1 = 32 + 1U4 = 17 = 16 + 1 = 42 + 1U5 = 26 = 25 + 1 = 52 + 1...Un = n2 + 1Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 + 1 dan U24 = 242 + 1 = 577.Selain dengan memerhatikan pola suku-sukunya, suku-sukubarisan bilangan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus.Bagaimana caranya?Perhatikan barisan bilangan berikut.1.aaaaa .....2.a1a2a3a4a5 ..... b b b b3.a1a2a3a4a5 ..... b1 b2 b3 b4 ......c c cCatatan: pada kasus ini tanda ”–” kita baca ”berselisih”.Un = a, untuk a konstanta, n= 1, 2, 3, ...Un = an + b, untuk a dan bkonstanta, n = 1, 2, 3, ...Un = an2 + bn + c, untuka, b, c konstanta,n = 1, 2, 3, ...
130Mmt Aplikasi SMA 3 IPSPada kasus 1, suku-suku barisan selalu sama sehingga disebutbarisan konstan. Pada kasus 2, selisih dua barisan yang berurutanselalu sama. Barisan rumus suku-sukunya ini memiliki bentukpersamaan linear. Barisan seperti ini nantinya akan kita sebut barisanaritmetika. Kasus 3 dapat kalian pahami dari bagan sehingga diperolehselisih konstan.Menentukan konstanta a, b, dan c pada kasus 3, yaituUn = an2 + bn + c.Ambil 3 suku, misalnya U1, U2, dan U3 sehingga diperoleh sistempersamaan linear tiga variabel, yaituU1 = a(12) + b(1) + c‹a + b + c = U1U2 = a(22) + b(2) + c‹ 4a + 2b + c = U2U3 = a(32) + b(3) + c‹ 9a + 3b + c = U3Selesaikan sistem persamaan tersebut sehingga diperoleh sukuke-n, yaitu Un = an2 + bn + c.Contoh:Tentukan suku ke-n barisan 2, 5, 9, 14, 20, ....Penyelesaian:2591420....3456....111....Dari urutan barisan di atas, terlihat bahwa suku ke-n barisan tersebut sesuai dengankasus 3, yaitu Un = an2 + bn + c.Untuk menentukan a, b, dan c, ambil 3 suku, misalnya U1 = 2, U2 = 5, dan U3 = 9.Dengan demikian, diperolehU1 = a(12) + b(1) + c‹a + b + c = 2U2 = a(22) + b(2) + c‹ 4a + b + c = 5U3 = a(32) + b(3) + c‹ 9a + b + c = 9Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, diperoleh nilai a= 21, b = 23, dan c = 0.Jadi, barisan tersebut adalah Un = 21n2 + 23n + 0 atau Un = 21n(n + 3).Coba, kalian tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisanberikut.1.5, 8, 11, 14, 17, ...3.9, 16, 28, 48,79, ...2.7, 12, 20, 31, 45, ...4.4, 5, 9, 18, 34, 59, ...EksplorasiTugasKerjakan di buku tugas
131Barisan dan DeretBerdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan men-jadi dua macam.a.Barisan berhingga, yaitu barisan yang banyak suku-sukunyaberhingga (tertentu).Misalnya, barisan bilangan asli yang kurang dari 12, yaitu1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan barisan bilangan ganjil yangkurang dari 100, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99.b.Barisan tak berhingga, yaitu barisan yang banyak suku-sukunya tak berhingga.Misalnya, barisan bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, ... danbarisan bilangan bulat, yaitu ..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka terbentuklahsuatu deret.Misalkan a1, a2, a3, ..., an adalah suatu barisan bilangan. Deretbilangan didefinisikan dengan a1 + a2 + a3 + ... + an.Berpikir KritisDiskusiDiskusikan dengan teman-teman kalian, bagaimana rumusumum untuk menentukan suku-suku barisan berikut.a.1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....b.4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, ....c.–1, 2, – 3, 4, – 5, ....d.–1, 1, –2, 2, –3, 3, ....Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas1.Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut.a.Un = 3n – 5e.Un = n2 – 3nb.Un = n2f.Un = 21n + 6c.Un = n2 + 4g.Un = 4121+nd.Un = 3n2h.Un = 41n2 + 2n – 12.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 5n + 4.a.Tentukan enam suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 504?3.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n2 – 8.a.Tentukan empat suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 12.792?
132Mmt Aplikasi SMA 3 IPS4.Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilaisuku yang diminta di dalam kurung.a.3, 6, 9, 12, ... (U16)d.3, 10, 21, 36, ... (U8)b.1, 4, 7, 10, ... (U20)e.)( ... ,81 ,61 ,41 ,2110Uc.0, 3, 8, 15, ... (U12)f.)( ... ,94 ,83 ,72 ,6115U5.Tentukan suku ke-25 dan suku ke-30 dari barisan-barisan berikut.a.3, 10, 17, 24, ...d.–3, –6, –9, –12, ...b.6, 11, 16, 21, ...e.–4, 0, 4, 8, ...c.12, 15, 18, 21, ...f.12, 1, 32, 2, ... 6.Tentukan rumus suku ke-n barisan-barisan berikut.a.1, 4, 9, 16, 25d.1, 2, 6, 13, 23b.4, 7, 12, 19, 28e.2, 3, 7, 14, 24c.6, 9, 14, 24, 317.Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah Un = an + b. Jika U2 = 11dan U3 = 12, tentukan U100.8.Jika suku ke-n suatu barisan bilangan adalah Un = an2 + b, U3 = 28, dan U5 = 76,tentukan nilai dari U10 + U13.Soal TerbukaKerjakan di buku tugasDiketahui barisan bilangan dengan suku ke-n dirumuskan Un =an + b.Jika U2 + U4 = 28 dan U12U10 = 6, tentukana.Un;b.U100;c.Un + Un+1.1. Barisan dan Deret AritmetikaBarisan dan deret ini sebenarnya telah kalian pelajari di SMP.Namun, kali ini kalian diajak untuk mempelajari lebih lanjutmateri ini. Untuk itu, perhatikan Tabel 4.1.a.Barisan AritmetikaJika kalian amati, pada Tabel 4.1, barisan mendatarmemiliki selisih tetap, yaitu 1 dan barisan menurun jugamemiliki selisih tetap, yaitu 8. Barisan-barisan seperti inidinamakan barisan aritmetika.
133Barisan dan DeretTabel 4.11234 56789 101112 1314151617181920212223242526272829303132Barisan aritmetika atau barisanhitung adalah suatu barisan bilangan,dengan setiap suku-suku yang berurutanmemiliki selisih tetap (konstan). Selisihyang tetap ini disebut beda dandilambangkan dengan b. Pada tabel diatas terdapat beberapa barisan aritmetika,di antaranya sebagai berikut.12345 ...(b = 1)+1+1+1+12101826(b = 8)+8+8+82112029(b = 9)+9+9+9Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.Apabila Un adalah rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika,berlaku bahwa selisih suku ke-n dan suku ke-(n – 1) selalu tetap,ditulisUn – Un–1 = bb disebut beda.Jika suku pertama dari barisan aritmetika (U1) dinotasikan dengana dan beda dinotasikan dengan b yang nilainya selalu tetap makasuku-suku barisan aritmetika tersebut dapat dituliskan sebagaiberikut.U1 = aU2 = a + bU3 = (a + b) + b = a + 2bU4 = (a + 2b) + b = a + 3b...Un = a + (n – 1)bOleh karena itu, diperoleh barisan aritmetika berikut.a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)b, ...Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika baku denganrumus umum suku ke-n sebagai berikut.Un = a + (n – 1)bKeterangan:Un= suku ke-nb=bedaa= suku pertaman= banyak sukuTes MandiriKerjakan di buku tugasSisi-sisi sebuah segi-tiga siku-siku mem-bentuk suatu barisanaritmetika. Jika keliling-nya 72 cm maka luassegitiga itu adalah ....a. 108 cm2b. 135 cm2c. 162 cm2d. 216 cm2e. 270 cm2Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2003
134Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:1.Tentukan suku ke-7 dan suku ke-10 dari barisan-barisan berikut.a.3, 7, 11, 15, ...b.x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ...Penyelesaian:a.3, 7, 11, 15, ...Suku pertama barisan tersebut adalah a = 3 dan bedanya b = 7 – 3 = 4. Olehkarena itu, rumus umum suku ke-n barisan itu adalah Un = 3 + (n – 1)4.Suku ke-7: U7 = 3 + (7 – 1)4 = 27Suku ke-10: U10 = 3 + (10 – 1)4 = 39b.x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ...Suku pertama barisan tersebut a = x + p dan bedanya b = (x + 6p) – (x + p) =5p.Suku ke-7: U7 = (x + p) + (7 – 1)5p = x + 31pSuku ke-10: U10 = (x + p) + (10 – 1)5p = x + 46p2.Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 adalah 16 dan 20.Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.Penyelesaian:Rumus barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b.Karena U3 = 16 maka a + 2b = 16 ..................................................................... (1)Karena U5 = 20 maka a + 4b = 26 ........................................................................ (2)Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a = 12 dan b = 2.Berarti, Un = 12 + (n – 1)2 dan U20 = 12 + (20 – 1)2 = 50.Problem SolvingTiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 24 danhasil kalinya adalah 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut.Penyelesaian:Tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan a, a + b, a + 2b,tetapi jika diambil pemisalan tersebut, penyelesaiannya agak panjang. Agarpenyelesaiannya lebih mudah, ketiga bilangan itu dimisalkan p – q, p, dan p + q. (ingat:pemisahan kedua ini juga memiliki beda yang tetap, yaitu q).Karena jumlahnya 24 maka (p – q) + p + (p + q)= 24‹ 3p = 24‹p = 8Karena hasil kalinya 384 maka (p – q) ×p× (p + q) = 384‹p(p2q2) = 384
135Barisan dan Deret1.Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c membentukbarisan aritmetika apabila memenuhi persamaan 2b = a + c.2.Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan dmembentuk barisan aritmetika apabila memenuhi persamaanb + c = a + d.b.Sisipan dalam Barisan Aritmetika (Pengayaan)Pada suatu barisan aritmetika, dapat disisipkanbeberapa suku di antara dua suku yang berurutan sehinggadiperoleh barisan aritmetika yang baru. Perhatikan barisanaritmetika berikut.a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)bApabila di antara setiap dua suku yang berurutandisisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetika baru yangsuku pertamanya sama dengan suku pertama barisan semula,yaitu a, beda b', dan banyaknya suku adalah n'. Besarnyanilai b' dan n' dapat ditentukan dengan cara berikut.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugask sukuTabel 4.2Barisan Aritmetika SemulaU1U2U3 ...Barisan Aritmetika Baruvvv v+UUUUk1231... vvv v++++UUUUkkkk23422 ... v+Uk23 ...k suku14424431442443Dari tabel di atas, diperoleh rumusan sebagai berikut.a.Suku pertama barisan semula sama dengan sukupertama barisan yang baru, yaitu . '11aUU==Untuk p = 8, diperoleh 8(64 – q2) = 384‹ 64 – q2 = 48‹q2 = 16 = ±4Untuk p = 8 dan q = 4, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 8, dan 12.Untuk p = 8 dan q = –4, ketiga bilangan tersebut adalah 12, 8, dan 4.Jadi, ketiga bilangan itu adalah 4, 8, dan 12.Coba kalian selesaikan contoh 3 dengan menggunakan pemisalan a, a + b, dan a + 2b(di sini a bilangan terkecil dan b beda). Apakah hasilnya sama?
136Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb. Rumus suku ke-n barisan semula adalah Un = a +(n – 1)b, rumus suku ke-n' barisan yang baru adalah.1) ( ''''bnaUn<+=c.Suku ke-2 barisan yang baru bersesuaian dengan sukuke-(k + 2) barisan yang lama, yaitu U2 = a + b ........ (1)dan Uk+2 = a + ((k + 2) – 1)b' .................................... (2)Karena persamaan (1) dan (2) bersesuaian, diperoleha + b = a + (k + 2 –1)b'‹a + b = a + (k + 1)b'‹b = (k + 1)b'‹b' = 1 +kbDengan demikian, dapat disimpulkan bahwa apabiladi antara setiap dua suku yang berurutan pada suatu barisanaritmetika disisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetikabaru yang suku pertamanya sama dengan suku pertamabarisan aritmetika sebelumnya dan rumus umumnya adalah''nU = a + (n' – 1)b'dengan n' = n + (n – 1)k dan 1 '+=kbb.Contoh:Diketahui barisan aritmetika 3, 9, 15, 21, .... Di antara setiap dua suku yang berurutanpada barisan tersebut disisipkan dua suku sehingga diperoleh barisan aritmetika baru.Tentukan beda, suku ke-12, dan suku ke-37 barisan yang baru.Penyelesaian:Diketahui barisan: 3, 9, 15, 21, .... Berarti suku pertama a = 3 dan beda b = 9 – 3 = 6.Banyak suku yang disisipkan adalah k = 2 sehingga beda barisan yang baru adalah2 1 261 '=+=+=kbb. Oleh karena itu, rumus umum barisan aritmetika yang baru adalahU'n' = a' + (n' – 1)b' = 3 + (n' – 1)2Suku ke-12 dari barisan yang baru adalah U'12 = 3 + (12 – 1)2 = 25 dan suku ke-37adalah U'37 = 3 + (37 – 1)2 = 75.Jadi, beda barisan yang baru 2, suku ke-12 dan ke-37 barisan yang baru berturut-turutadalah 25 dan 75.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJumlah dari 33 sukupertama dari deretaritmetika adalah 891.Jika suku pertamaderet adalah 7 makasuku ke-33 adalah ....a. 41d. 49b. 45e. 51c. 47Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2004
137Barisan dan Deret1.Diketahui suku ke-6 dan suku ke-9 dari suatu barisan aritmetika masing-masingadalah 30 dan 45. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-25 barisan tersebut.2.Pada suku keberapakah dari barisan aritmetika 84, 8012, 77, ... yang nilainya samadengan 0?3.Dalam suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-3 adalah 9, sedangkan jumlahsuku ke-5 dan ke-7 adalah 36. Tentukan suku ke-100 barisan tersebut.4.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 30 danhasil kalinya 750. Tentukan ketiga bilangan tersebut.5.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 18 danhasil kalinya 192. Tentukan ketiga bilangan tersebut.6.Diketahui suatu barisan mempunyai urutan k + 1, 3k + 3, 4k + 4, .... Agar barisantersebut merupakan barisan aritmetika, tentukan nilai k.7.Misalkan Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika. Jika diketahui bahwa U1+U2 + U3 = –9 dan U3+ U4 + U5 = 15, tentukan nilai U1+ U2 + U3+ U4+ U5.8.Sebuah trapesium sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui bahwaalas trapesium merupakan sisi terpanjang. Apabila sisi terpendeknya 10 cm,tingginya 2 cm, dan luasnya 50 cm2, tentukan keliling trapesium itu.9.Jika suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 5, suku terakhirnya adalah 23,serta selisih antara suku ke-8 dan ke-3 adalah 10, tentukan banyak suku dari barisanaritmetika tersebut.10. Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, .... Di antara setiap dua suku yangberurutan pada barisan tersebut disisipkan satu suku sehingga diperoleh barisanaritmetika baru. Tentukan beda, suku ke-24, dan suku ke-40 dari barisan yang baru.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Diketahui beda dan suku pertama dari suatu barisanaritmetika masing-masing adalah 6 dan –4. Di antara setiapdua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehinggadiperoleh barisan aritmetika baru. Tentukan suku ke-12 dansuku ke-15 dari barisan yang baru.2.Di antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,... disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisanaritmetika baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama daribarisan aritmetika baru tersebut.Uji Kompetensi 4Kerjakan di buku tugas
138Mmt Aplikasi SMA 3 IPSc.Deret AritmetikaKalian telah mengetahui definisi barisan aritmetika.Jumlah seluruh suku-sukunya ditulis dalam bentukpenjumlahan dari suku pertama, suku kedua, dan seterusnya,bentuk ini dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret aritmetikaatau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengancara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika. Jika a, a+ b, a + 2b, ... , a + (n –1)b adalah barisan aritmetika bakumaka a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b) disebutderet aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetikadinotasikan dengan Sn sehinggaSn=a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b)=)1) ( (1bkank<+-=Rumus jumlah n suku dapat ditentukan sebagai berikut.Sn = a+ (a + b)+ (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)Sn = (a + (n –1)b)+ (a + (n – 2)b)+ (a + (n –3)b) + ...+ a––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– – 2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)4444444444444434444444444444421suku sebanyak n‹ 2Sn = n(2a + (n – 1)b)‹Sn = 12n(2a + (n – 1)b)Karena rumus suku ke-n suatu deret aritmetika adalahUn = a + (n – 1)b maka Sn = 12n(a + Un ).Jadi, rumus jumlah n suku suatu deret aritmetika adalahSn = 12n(2a + (n –1)b) atau Sn = 12n(a + Un)Keterangan:Sn= jumlah n sukub = bedaa = suku pertaman = banyaknya sukuTes MandiriKerjakan di buku tugasDari suatu deret arit-metika suku ke-5 adalah52 3< dan suku ke-11adalah 11 2 9+. Jum-lah 10 suku pertamaadalah ....a.502 + 45b. 502 + 35c. 552 + 40d. 552 + 35e. 552 + 45Soal UMPTN, Kemam-puan Dasar, 2001Diskusikan dengan teman-teman kalian apakah benar bahwa:Un = bn + (ab)Sn = 12 bn2 + (a12b) nJika benar, apa yang dapat kalian katakan mengenai Un dan Sndipandang sebagai fungsi n?KreativitasDiskusi
139Barisan dan Deret1.Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + ....Penyelesaian:Diketahui deret 2 + 5 + 8 + 11 + .... Dari deret tersebut, diperoleh a = 2, b = 3, dann = 20.Cara 1:Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalahSn= 21n(2a + (n –1)b)S20 = 21(20)(2(2) + (20 – 1)3) = 10(61) = 610Cara 2:Un=a + (n – 1)bU20= 2 + (20 – 1)3 = 59Sn=21n(a + Un)S20=21(20)(2 + U20) = 10(2 + 59) = 10(61) = 6102.Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4.Penyelesaian:Bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 adalah 4, 8, 12, 16, ..., 96.Berarti, a = 4, b = 8 – 4 = 4, dan Un = 96. Kita tentukan nilai n sebagai berikut.Un = a + (n – 1)b‹ 96 = 4 + (n – 1)4‹ 96 = 4n‹n = 24 (Barisan ini mempunyai 24 suku).Jumlah bilangan-bilangan tersebut adalahSn= 12n(a + Un)‹S24 = 21× 24(4 + 96) =12 (100) = 1.200.3.Di antara setiap 2 suku berurutan pada deret 5 + 8 + 11 + 14 + ... disisipkan 5 sukusehingga terbentuk deret aritmetika yang baru. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 20suku pertama pada deret yang baru.Penyelesaian:Deret aritmetika semula 5 + 8 + 11 + 14 + ... berarti, a = 5 dan b = 3. Disisipkan 5 suku,berarti k = 5. Dengan demikian, pada deret aritmetika yang baru, diperoleh a = 5dan b' = 1 +kb211 53=+=. Suku ke-15 deret yang baru adalah '15U = 5 + (15 –1)21 = 5 + 7 = 12, sedangkan jumlah 20 suku yang pertama adalah'20S = 21(20)(2(5) + (20 – 1)21) = 10(10 + 9,5) = 195Contoh:
140Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Tentukan jumlah deret aritmetika berikut.a.2 + 5 + 8 + 11 + ... sampai dengan 20 suku.b.3 + 9 + 15 + 31 + ... sampai dengan 18 suku.c.1 + 6 + 11 + 16 + ... sampai dengan 16 suku.d.60 + 56 + 52 + 48 + ... sampai dengan 12 suku.e.–20 – 14 – 8 – 2 – ... sampai dengan 25 suku.2.Tentukan banyak suku dan jumlah deret aritmetika berikut.a.4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104c.72 + 66 + 60 + 54 + ... – 12b.–12 – 8 – 4 – 0 – ... – 128d.–3 – 7 – 11 – 15 ... – 1073.Tentukan banyak suku dari deret berikut.a.6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756b.56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36c.10 + 14 + 18 + 22 + ... = 6404.Tentukan nilai k pada deret berikut.a.4 + 10 + 16 + 22 + ... + k = 444b.5 + 8 + 11 + 14 + ... + k = 4405.Dalam suatu deret aritmetika diketahui suku pertama adalah 3, suku ke-n = 87,serta jumlah suku ke-6 dan suku ke-7 adalah 39. Tentukan jumlah n suku pertamadari deret tersebut.6.Dalam suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-4 dan suku ke-8 masing-masingadalah 17 dan 58. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret tersebut.Uji Kompetensi 5Suku ke-2 suatu deret aritmetika adalah 5, sedangkan jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah28. Tentukan suku ke-9 dan jumlah dari 12 suku pertama deret tersebut.Penyelesaian:U2 = a + b = 5 ........................................................................................................... (1)U4 + U6 = 28‹ (a + 3b) + (a + 5b) = 28‹ 2a + 8b = 28‹a + 4b = 14 ................................................................................... (2)Dari persamaan (1) dan (2), diperoleha + b= 5a + 4b= 14 –3b= –9 ‹b = 3Nilai b = 3 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga diperoleh a = 2.Suku ke-9 adalah U9 = a + 8b = 2 + 8(3) = 26.S12 = 21(12) (2(2) + (12 – 1)3) = 6 (4 + 33) = 222.Jadi, jumlah 12 suku yang pertama deret tersebut adalah 222.Problem Solving
141Barisan dan Deret2. Barisan dan Deret GeometriSeperti halnya barisan dan deret aritmetika, materi tentangbarisan dan deret geometri ini juga pernah kalian pelajari di SMP.Mari kita perdalam lagi materi ini.a.Barisan GeometriMisalnya kalian memiliki selembar kertas berbentukpersegi. Dari kertas itu, kalian lipat sehingga lipatan satudengan lipatan yang lainnya tepat saling menutupi. Jikalipatan dibuka maka akan terdapat 2 segi empat dengansebagian sisinya berupa bekas lipatan. Setelah lipatanpertama, jika kalian melanjutkan melipatnya, kalian akanmendapatkan 4 segi empat dengan sisi-sisi sebagian segiempat berupa bekas lipatan. Jika kegiatan melipat diteruskan,diperoleh gambaran seperti di samping.Barisan 1, 2, 3, 4, 8, .... dinamakan barisan geometri.Sekarang perhatikan juga barisan 1, 3, 9, 27, 81, ....Pada barisan ini, suku kedua adalah tiga kalinya sukupertama, suku ketiga tiga kalinya suku kedua, demikianseterusnya. Barisan yang demikian juga dinamakan barisan11 Segi empat12344 Segi empat122 Segi empat1.Pada suatu bimbingan belajar, murid baru yang mendaftarsetiap bulannya bertambah dengan jumlah yang sama.Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan ke-4 adalah 20 orang, sedangkan jumlah pendaftar pada bulanke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Tentukan jumlah murid yangmendaftar sampai dengan bulan ke-10.2.Tentukan nilai dari 92 ... 8 6 4 291 ... 7 5 3 1++++++++++.Soal TerbukaKerjakan di buku tugas7.Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret berikut.a.3 + 5 + 7 + ...d.18 + 1512 + 13 + ...b.–8 + (–4) + 0 + 4 + ...e.0 + x + 2x + 3x + ...c.15 + 12 + 9 + ...8.Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 300 dan 700 yang habis dibagi 4.9.Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 1.000 dan 2.000 yang habis dibagi 13.10. Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 500 dan 1.000 yang habis dibagi 9.11. Dalam suatu deret aritmetika yang terdiri atas 10 suku, diketahui suku pertama 0dan beda 6. Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan tiga bilangansehingga terbentuk deret aritmetika baru.12. Tentukan jumlah deret nnnnnn3 2 1 <+<+< + ....
142Mmt Aplikasi SMA 3 IPSgeometri. Jadi, barisan geometri atau barisan ukur adalahsuatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengancara mengalikan suku di depannya dengan bilangan yangtetap (konstan). Bilangan yang tetap ini disebut pembanding(rasio) yang dinotasikan dengan r. Secara umum, dapatdikatakan sebagai berikut.Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un disebut barisan geometriapabila berlaku1<nnUU = rMisalnya:13927 ...(r = 3)× 3 × 3 × 31214181 ...(r = 21)21×21×21×2–48–16 ... (r = –2))2(<×)2(<×)2(<×Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa apabila suku-sukudari suatu barisan geometri positif semua atau negatif semua,rasio barisan itu positif. Namun, apabila suku-suku dari suatubarisan geometri bergantian tanda, rasio barisan itu negatif.Apabila suku pertama (U1) dari barisan geometridinyatakan dengan a dan rasio r makaU1 = aU2 = arU3 = ar × r = ar2U4 = ar2×r = ar3...Un = arn–1Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ar3,..., arn–1, ...Barisan ini disebut barisan geometri baku. Rumus umumsuku ke-n barisan itu adalahUn = arn–1Keterangan:Un= suku ke-nr= rasioa= suku pertaman= banyak suku123456788 Segi empatTes MandiriKerjakan di buku tugasDalam suatu barisangeometri, U1 + U3 = p,dan U2 + U4 = q maka U4= ....a.ppq322+d.qqp222+b.qpq322+e.pqpq2322++c.pqpq3322++Soal UMPTN, 1996Berpikir KritisTugasKerjakan di buku tugasAmbil sembarang deretaritmetika yang ba-nyaknya suku ganjil.Perhatikan bahwasuku tengah dari derettersebut adalahUt = snn atauUt= 12 (U1 + Un)= 12 (U2 + Un–1)= 12 (U3 + Un–2)= 12(U4 + Un–3)...demikian seterusnya.
143Barisan dan DeretDari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-5, dansuku ke-9.a.1, 2, 4, ...b.9, 3, 1, ...Penyelesaian:a.1, 2, 4, ...Dari barisan tersebut, diperoleh a = 1 dan r = 12 = 2. Oleh karena itu, suku ke-5dan suku ke-9 masing-masing adalahU5 = ar5–1 = 1(24) = 16;U9 = ar9–1 = 1(28) = 256.b.9, 3, 1, ...Dari barisan tersebut, nilai a = 9 dan r = 3193=. Oleh karena itu, suku ke-5 dansuku ke-9 masing-masing adalahU5 = ar5–1 = 9(31)4 = 91;U9 = ar9–1 = 9(31)8 = 9(6.5611) = 7291.Contoh:Problem SolvingTiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 26 dan hasilkalinya 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah pa, a, dan ap.Jumlah ketiga bilangan itu 26 sehinggapa + a + ap = 26 ....................................................................................................... (1)Hasil kalinya 216 sehingga pa× a × ap = 216 ....................................................... (2)Dari persamaan (2), diperoleh a3 = 216 atau a = 6. Jika nilai a = 6 disubstitusikan kepersamaan (1), diperolehp6 + 6 + 6p = 26
144Mmt Aplikasi SMA 3 IPS‹ 6 + 6p + 6p2 = 26p‹ 6p2 – 20p + 6 = 0‹ (3p – 1)(2p – 6) = 0‹p = 31 atau p = 3Untuk a = 6 dan p = 31, ketiga bilangan tersebut adalah 18, 6, dan 2. Untuk a = 6 dan p = 3,ketiga bilangan tersebut adalah 2, 6, dan 18. Jadi, ketiga bilangan itu adalah 2, 6, dan 18.Dapatkah kalian menyelesaikan soal ini jika ketiga bilangan dimisalkan dengan a, ap,dan ap2? Mana yang lebih mudah? Jelaskan.Barisan Geometri SemulaU1U2U3Barisan Geometri Baru4434421suku'1'3'2'1 ... kkUUUU+'2+kU44443444421suku'22'5'4'3 ... kkkkkUUUU++++'32+kUTabel 4.31.Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c memben-tuk barisan geometri apabila memenuhi persamaan b2 = ac.2.Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan dmembentuk barisan geometri apabila memenuhi persamaanad = bc.b.Sisipan dalam Barisan Geometri (Pengayaan)Seperti pada barisan aritmetika, pada barisan geometrijuga dapat disisipkan beberapa suku di antara setiap duasuku yang berurutan sehingga diperoleh barisan geometriyang baru. Perhatikan barisan geometri baku berikut.a, ar, ar2, ar3, ..., arn–1Jika di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkank bilangan, diperoleh barisan geometri baru dengan sukupertama sama dengan suku pertama barisan geometri semulayaitu U1= a, rasio = r', dan banyaknya suku yang baru adalahn'. Untuk mengetahui hubungan antara r' dan n' dengan rdan n, perhatikan tabel berikut.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugasDari tabel tersebut, tampak adanya kesesuaian antarasuku ke-2 barisan semula, yaitu U2 = ar dengan suku ke-(k+ 2) pada barisan yang baru, yaitu U'k+2= a(r')k+1 sehinggadiperoleh
145Barisan dan DeretDiketahui barisan geometri 1, 9, 81, .... Di antara masing-masing suku yang berurutandisisipkan satu suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasiodan suku ke-8 dari barisan yang baru.Penyelesaian:Barisan geometri semula adalah 1, 9, 81, .... Berarti a = 1 dan r = 9. Di antara dua sukuyang berurutan disisipkan 1 suku (k = 1) sehingga rasio barisan yang baru adalahr' = rk+1 = 911+ = 9 = 3.Oleh karena itu, suku ke-8 barisan yang baru adalahU8 = a(r')8–1 = 1( 37) = 2.187Contoh:ar = a(r')k+1‹r= (r')k+1‹r'= rk+1Dengan demikian, rumus suku ke-n pada barisan yang baru adalahUn' = a(r')n'–1dengan n' = n + (n – 1)k dan r' = rk+1Uji Kompetensi 6Kerjakan di buku tugas1.Dari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-12,dan suku ke-15.a.2, 4, 8, 16, ...d.2, 6, 18, ...b.4, 2, 1, ...e.–3, 6, –12, ...c.1, –2, 4, –8, ...f.5, 15, 45, ...2.Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 35 danhasil kalinya 1.000. Tentukan ketiga bilangan tersebut.3.Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3, untuk k > 0, membentuk tiga suku pertama dari deretgeometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut.4.Jika 2k – 5, k – 4, dan 51(k – 4) adalah tiga bilangan yang membentuk barisangeometri, tentukan nilai k.5.Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan geometri, dengan rasio lebih besar darisatu. Jika bilangan terakhir dikurangi 3, ketiga bilangan itu membentuk barisanaritmetika, sedangkan jika ketiga bilangan itu dijumlahkan, hasilnya adalah 54.Tentukan selisih bilangan ke-3 dan bilangan ke-1.6.Jika suku pertama dan ke-3 dari barisan geometri masing-masing adalah m3 danm, untuk m > 0, tentukan suku ke-13 dan ke-15.7.Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang bagian yang satu dengan yang lainmembentuk suatu barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 3 cm danterpanjang adalah 96 cm, tentukan panjang tali semula.
146Mmt Aplikasi SMA 3 IPSc.Deret GeometriSeperti halnya deret-deret lainnya yang diperolehdengan menjumlahkan suku-sukunya, deret geometri atauderet ukur adalah suatu deret yang diperoleh denganmenjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu,jika a, ar, ar2, ..., arn – 1 adalah barisan geometri baku, dereta, ar, ar2, ..., arn – 1 disebut deret geometri baku.Jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakandengan Sn sehinggaSn = a + ar + ar2 + ... + arn–1 = 11<=-knkar. Rumus jumlah nsuku pertama dari deret geometri dapat ditentukan sebagaiberikut. Sn= a + ar + ar2 + ... + arn–1rSn=ar + ar2 + ar3 + ... + arn––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––(1 – r)Sn = a – arn‹rraSnn 1) (1<<=Jadi, rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometriadalah sebagai berikut.rraSnn 1) (1<<=, untuk r < 1l 1) (<<=rraSnn, untuk r > 1Apa yang terjadi jika r = 1?8.Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, .... Di antara masing-masing suku yangberurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru.Tentukan rasio dan suku ke-10 dari barisan geometri yang baru.1.Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat2x2 + x + a = 0. Jika p, q, dan21pq membentuk barisangeometri, tentukan nilai a.2.Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri, denganrasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, terbentuk sebuahbarisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan aritmetikaitu 30, tentukan hasil kali ketiga bilangan itu.Soal TerbukaKerjakan di buku tugasTes MandiriKerjakan di buku tugasJika r rasio (pem-banding) suatu deretgeometrik tak hinggayang konvergen dan Sjumlah deret geometriktak hingga13132+++rr()++133()r+ ...maka ....a.1412<<Sb.3834<<Sc.131<<Sd.3443<<Se.1545<<SSoal UMPTN, Ke-mampuan IPA, 1998
147Barisan dan Deret1.Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + ...Penyelesaian:1 + 2 + 4 + 8 + ..., berarti a = 1 dan r = 2 > 1.31 11) 1(21 21) 1(2555=<=<<=S2.Suatu deret geometri dinyatakan dengan notasi sigma 21032 3 <=×-=nnnS. Tentukanberikut ini.a.Suku pertamab.Rasioc.Rumus suku ke-nd.Rumus jumlah n suku pertamaPenyelesaian:Perhatikan bentuk -=<×1032.23nnUntuk n = 3, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 23 – 2 = 3 × 2 = 6.Untuk n = 4, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 24 – 2 = 3 × 22 = 3 × 4 = 12.Untuk n = 5, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 25 – 2 = 3 × 23 = 3 × 8 = 24.Mdan seterusnya.Untuk n = 10, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 210 – 2 = 3 × 28 = 3 × 256 = 768.Oleh karena itu, bentuk panjangnya adalah 6 + 12 + 24 + ... + 768.a.Tampak dari bentuk panjangnya bahwa suku pertamanya adalah 6.b.Rasio (r) = 61212=UU = 2.c.Rumus suku ke-n adalah Un = arn – 1 = 6 × 2n – 1 = 3 × 2 × 2n – 1 = 3 × 2n.d.Rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = 12)12(61)1(<<=<<nnrra = 6(2n – 1).Contoh:Ambil sembarang deret geometri yang banyaknya suku ganjil.Perlihatkan bahwa suku tengah deret tersebut dalah Ut =UUU Unn121 ..=< = UUn32 .< = UUn43 .< demikianseterusnya.InkuiriTugasKerjakan di buku tugas
148Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDiketahui deret geometri 10 + 40 + 160 + ... (sampai dengan 6 suku). Di antara setiapdua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.a.Hitunglah jumlah deret geometri semula.b.Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.c.Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.Penyelesaian:Suku pertama deret geometri yang diberikan adalah a = 10, rasionya r = 1040 = 4, danbanyaknya suku n = 6.a.Jumlah deret geometri semula adalahS6 = 31) 10(4.0961 41) 10(46<=<< = 13.650.b.Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentukderet geometri baru dengan r' = r11+ = 4 = 2 dan n' = n + (n – 1)k = 6 + (6 – 1)1 = 11.Berarti, jumlah deret geometri yang baru adalahS11 = 1 21) 10(211<< = 10(2.048 – 1) = 20.470.c.Jumlah suku-suku yang disisipkan= jumlah deret geometri yang baru – jumlah deret geometri semula= 20.470 – 13.650 = 6.8501.Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut.a.1 + 4 + 16 + ...d.1 – 32 + 94 – ...b.2 – 6 + 18 – ...e.20 + 10 + 5 + ...c.1 + 32 + 94 + ...f.–8 + 4 – 2 + ...2.Dalam satu deret geometri diketahui suku ke-9 dan suku ke-4 masing-masing adalah128 dan –4. Tentukan suku ke-12 dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.3.Dalam suatu deret geometri diketahui suku pertama dan suku ke-3 masing-masingadalah 64 dan 16. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 15 suku pertama deret tersebut.4.Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk deret geometri. Tentukan jumlah nsuku pertama deret tersebut jika U1 = k – 2.Problem SolvingUji Kompetensi 7Kerjakan di buku tugas
149Barisan dan DeretContoh:Pada deret bilangan asli, tentukana.Suku ke-5 dan suku ke-40.b.Jumlah 5 suku pertama dan jumlah 40 suku pertama.5.Diketahui deret geometri 1491681++ +.... Di antara dua suku yang berurutandisisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.Tentukan suku ke-8dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri yang baru.6.Diketahui deret geometri 2 + 16 + 128 + ... (sampai dengan 10 suku). Di antarasetiap dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk deretgeometri baru.a.Hitunglah jumlah deret geometri semula.b.Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.c.Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.C. Deret Khusus dan Deret Geometri TakBerhinggaKalian telah mempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n sukupertama deret aritmetika dan deret geometri. Sekarang, kita akanmempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret-deret khusus yang mungkin bukan merupakan deret aritmetikamaupun deret geometri.1. Deret Bilangan AsliHimpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, ...} sehingga deretbilangan asli adalah 1 + 2 + 3 + .... Dengan demikian, jumlah nbilangan asli pertama dapat dinyatakan dengan notasi sigma knk1=-.Dengan memerhatikan pola suku-sukunya, dapat kita ketahuibahwa deret bilangan asli merupakan deret aritmetika, dengan sukupertama a = 1 dan beda b = 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkansebagai berikut.Dalam suatu deret bilangan asli, berlakusuku ke-n adalah Un = n;jumlah n suku pertama adalahSn= )1(21+nn atau ).1(211+=-=nnknkInovasiTugasKerjakan di buku tugasPerhatikan rumusjumlah n suku deretgeometri. Tunjuk-kan bahwa jumlahderet bilangan asliadalahSn = 12n(n + 1).
150Mmt Aplikasi SMA 3 IPS2. Deret Kuadrat Bilangan AsliHimpunan kuadrat bilangan asli adalah {12, 22, 32, ...} se-hingga deret kuadrat bilangan asli adalah 12 + 22 + 32 + .... Dengandemikian, jumlah n kuadrat bilangan asli pertama dapat dinyata-kan dengan notasi sigma .21knk=- Selanjutnya, perhatikan bahwaS1 = 12 = 1S2 = 12 + 22 = 5S3 = 12 + 22 + 32 = 14S4 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30Mdan seterusnya.Tampak bahwaS1 = 1 = 61(1)(1 + 1)(2 (1) + 1))S2 = 5 = 61(2)(2 + 1)(2 (2) + 1))S3 = 14 = 61(3)(3 + 1)(2 (3) + 1))S4 = 30 = 61(4)(4 + 1)(2 (4) + 1))MSn = 61n(n + 1)(2n + 1)Dengan memperhatikan pola suku-suku dari deret n kuadratbilangan asli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.Dalam suatu deret kuadrat bilangan asli, berlakurumus suku ke-n adalah Un = n2;jumlah n suku pertama adalahSn = 61n(n + 1)(2n + 1) atau ).12)(1(6112++=-=nnnknkPenyelesaian:a.Suku ke-5 adalah 5 dan suku ke-40 adalah 40.b.Jumlah 5 suku pertama adalah S5 = 21× 5(1 + 5) = 21× 30 = 15, sedangkanjumlah 40 suku pertama adalah S40 = 21× 40(1 + 40) = 21× 1.640 = 820.
151Barisan dan Deret3. Deret Kubik Bilangan AsliHimpunan kubik (pangkat tiga) bilangan asli adalah {13, 23,33, ...} sehingga deret kubik bilangan asli adalah 13 + 23 + 33 + ....Dengan demikian, jumlah n kubik bilangan asli pertama dapatdinyatakan dalam notasi sigma 31knk=-. Selanjutnya, perhatikanbahwaS1 = 13 = 1S2 = 13 + 23 = 1 + 8 = 9S3 = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36S4 = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100Mdan seterusnya.Tampak bahwaS1 = 1 = 22)11(1 ́¦¥²¤£+S2 = 9 = 22)12(2 ́¦¥²¤£+S3 = 36 = 22)13(3 ́¦¥²¤£+S4 = 100 = 22)14(4 ́¦¥²¤£+Sn= 22)1( ́¦¥²¤£+nnDengan memerhatikan suku-suku deret n kubik bilanganasli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.Contoh:Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukana.suku ke-10 dan suku ke-45;b.jumlah 10 suku pertama dan 45 suku pertama.Penyelesaian:a.Suku ke-10 adalah U10 = 102 = 100 dan suku ke-45 adalah U45 = 452 = 2.025.b.Jumlah 10 suku pertama adalah S10 = 61× 10(10 + 1)(2 × 10 + 1) = 385.Jumlah 45 suku pertama adalah S45 = 61× 45(45 + 1)(2 × 45 + 1) = 31.395.
152Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDalam suatu deret kubik bilangan asli, berlakurumus suku ke-n adalah Un = n3;jumlah n suku pertama adalah221) ( ́¦¥²¤£+=nnSn atau 2132)1( ́¦¥²¤£+=-=nnknk.Contoh:Pada deret kubik bilangan asli, tentukana.suku ke-6 dan suku ke-30;b.jumlah 6 suku pertama dan 30 suku pertama.Penyelesaian:a.Suku ke-6 adalah U6 = 63 = 216 dan suku ke-30 = U30 = 303 = 27.000b.Jumlah 6 suku pertama adalah S6 = 6(6 1)22+£¤¥¦ = 212 = 441.Jumlah 30 suku pertama adalah S30 = 30(30 1)22+£¤¥¦ = 4652 = 216.225.4. Deret Geometri Tak BerhinggaPada awal pembahasan bab ini, telah dijelaskan bahwa ber-dasarkan banyaknya suku, suatu barisan dapat dibedakan menjadidua macam, yaitu barisan berhingga dan barisan tak berhingga.Perhatikan barisan-barisan geometri berikut.a.1, 2, 4, 8, ...c.5, –25, 125, –625, ...b.27, 9, 3, 1, ...d.–216, 72, –24, 8, ...Barisan-barisan di atas merupakan contoh barisan tak hingga.Perhatikan barisan a dan c pada contoh di atas. Misalkan sukuke-n barisan itu adalah Un. Makin besar nilai n pada barisantersebut, harga mutlak suku-suku barisan a dan c makin besar.Barisan seperti itu dinamakan barisan divergen. Adapun barisanb dan d berlaku sebaliknya, makin besar nilai n, harga mutlaksuku-sukunya makin kecil. Barisan seperti itu dinamakan barisankonvergen. Dengan kata lain, pengertian kedua barisan itu dapatditulis sebagai berikut.Misalkan r adalah rasio suatu barisan geometri tak ber-hingga, barisan itu disebuta. barisan divergen jika |r| > 1, artinya r < –1 atau r > 1;b. barisan konvergen jika |r| < 1, artinya –1 < r < 1.
153Barisan dan DeretApabila suku-suku barisan yang konvergen dijumlahkan,diperoleh deret yang konvergen. Pada deret konvergen, jumlahsuku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapiterus-menerus mendekati harga tersebut. Harga tertentu inidisebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan 'S.Harga 'S merupakan harga pendekatan (limit) jumlah semuasuku (Sn), untuk n mendekati tak berhingga.Dengan memperhatikan kenyataan bahwa untuk –1 < r < 1jika dipangkatkan bilangan yang sangat besar maka hasilnyamendekati 0.Misalnya 0101101,02121000.1000.1100100A= ́¦¥²¤£A= ́¦¥²¤£, dan sete-rusnya.Oleh karena itu,'S = nnS'Alim ..................... (dibaca: limit Sn untuk n mendekatitak berhingga) = rrann 1) (1lim<<'A ......(karena deret konvergen maka |r| < 1)= rarann<<'A1lim = ra 1< .....................(karena )0 lim='AnnraDengan demikian, rumus jumlah tak berhingga suku darideret geometri yang konvergen adalah'S = ra 1<Tes MandiriKerjakan di buku tugasDeret geometri takhingga (x – 1), (x – 1)2,(x – 1)3, ... konvergenuntuka. –1 < x < 1b. 0 < x < 2c.x > 2d.x < 2e. semua xSoal SKALU, 1978Contoh:1.Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.a.1 + ... 814121+++b.... 4121 1 210++++Penyelesaian:a.1 + ... 814121+++
154Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 21 sehingga'S = ar1 11112<=<=12 = 2.b.... 4121 1 210++++Perhatikan deret 2 + 1 + 21 + 41 + ....Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 12.Dengan demikian, 'S = 21212<==124.Jadi, ... 4121 1 210++++ = 104 =10.000.2.Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah Un = n23. Tentukan:a.suku pertama;b.rasio;c.jumlah tak berhingga suku.Penyelesaian:a.Suku pertama adalah U1 = 23231=.b.Suku ke-2 adalah U2 = 43 sehingga r = UU21343212 ==.c.Jumlah tak berhingga suku adalah'S = ar1133212<=<=.Problem SolvingTentukan nilai x agar deret 1 + (x – 1) + (x – 1)2 + ... konvergen.Penyelesaian:Rasio deret tersebut adalah r = x – 1. Syarat deret konvergen adalah |r| < 1 sehingga |r| < 1‹1 <x < 1‹ –1 < x –1 < 1‹ 0 < x < 2Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai x terletak pada interval 0 < x < 2.
155Barisan dan DeretInovasiTugasKerjakan di buku tugasPerhatikan deret geometri tak hingga yang konvergen a + ar +ar2 + ....a.Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil(Sganjil) adalah Sganjil = ar12+.b.Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan genap(Sgenap) adalah Sgenap = arr12<.c.Buktikan bahwa Sgenap : Sganjil = r.KegiatanKerjakan di buku tugasTujuan:Menentukan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjildan pada kedudukan nomor genap dari deret geometri takberhingga 15100 + 1510.000 + 151.000.000 + ....Permasalahan:Bagaimana rumus jumlah suku-suku pada kedudukan nomorganjil dan pada kedudukan nomor genap dari deret geometritak berhingga tersebut?Langkah-Langkah:1.Pisahkan deret suku-suku pada kedudukan nomor ganjil danpada kedudukan nomor genap.2.Dari masing-masing deret tersebut, tentukan suku pertamadan rasionya.3.Dengan rumus deret geometri tak berhingga tentukanjumlah dua deret tersebut.Kesimpulan:Jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjil adalah 1 5009 999..,sedangkan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor genapadalah 159 999..
156Mmt Aplikasi SMA 3 IPS1.Pada deret bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-15 dan ke-60b.Jumlah 15 suku pertama dan jumlah 60 suku pertama2.Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-20 dan suku ke-35b.Jumlah 20 suku pertama dan 35 suku pertama.3.Pada deret kubik bilangan asli, tentukan berikut ini.a.Suku ke-8 dan suku ke-40b.Jumlah 8 suku pertama dan 40 suku pertama.4.Tentukan jumlah tak berhingga dari deret berikut.a.2 + 2 + 1 + ...c.1 – 32 + 94278 + ...b.1 + 32 + 94 + ...d.±1 +12±13+14± ...5.Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah 52n. Tentukan:a.suku pertama;c.jumlah tak berhingga suku.b.rasio;6.Tentukan jumlah deret geometri tak berhingga jika diketahui suku pertama dan ke-3masing-masing adalah 2 dan 0 125,.7.Tentukan nilai daria.38+4+2+1+...b.312141618 ...xxxx()+()+()+()+c.222... (Petunjuk : 2 ((212==))12121828.Diketahui suatu deret geometri konvergen dengan suku pertama a dan jumlah seluruhsuku-sukunya 2. Tentukan batas-batas a yang mungkin.9.Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri 3, 3(1 – x), 3(1 – x)2, ... konvergen.(Petunjuk: barisan geometri konvergen jika –1 < r < 1)10. Perhatikan gambar lingkaran di samping.Luas L1 = a cm2.Jika diameter L2 = 21 diameter L1, diameter L3 = 21 dia-meter L2, diamater L4 = 21 diameter L3, dan seterusnya,tentukan jumlah luas seluruh lingkaran L1 + L2 + L3 + L4+ ... dalam a.Gambar 4.1L1L2L3L4Uji Kompetensi 8Kerjakan di buku tugas
157Barisan dan DeretD. Penggunaan Barisan dan DeretDalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang dapatdiselesaikan dengan menggunakan kaidah barisan maupun deret,misalnya perhitungan bunga bank, perhitungan kenaikan produksi,dan laba suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terlebihdahulu kita tentukan apakah masalah tersebut merupakan barisanaritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, atau deret geometri.Kemudian, kita selesaikan dengan rumus-rumus yang berlaku untukmemperoleh jawaban dari persoalan yang dimaksud.Contoh:1.Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada awal tahun 1987, dengan jumlahproduksi 10.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya berkurang 500pasang sepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut tidak mampu berproduksilagi?Penyelesaian:Produksi tahun pertama adalah 10.000 pasang sepatu, produksi tahun ke-2 adalah9.500 pasang sepatu, tahun ke-3 adalah 9.000 pasang sepatu, dan seterusnya. Darisini terlihat bahwa dari tahun ke tahun produksi sepatu perusahaan itu membentukbarisan aritmetika 10.000, 9.500, 9.000, ..., dengan a = 10.000 dan b = –500.Perusahaan tidak memproduksi lagi, berarti Un = 0 sehinggaUn = 0‹ a + (n – 1)b = 0‹ 10.000 + (n – 1)(–500) = 0‹ 10.000 – 500n + 500 = 0‹ 500n = 10.500‹n = 21Jadi, perusahaan tersebut tidak mampu lagi berproduksi pada tahun ke-21 atautahun 2008.2.Pada awal bulan Juni 2006, Yunita menyumbang Rp10.000,00 ke dalam sebuahkotak dana kemanusiaan. Sebulan kemudian, Yunita mengajak 10 orang temannyauntuk menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kota tersebut. Bulan berikutnya, setiaporang dari 10 orang yang diajak Yunita mengajak 10 orang lainnya untukmenyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak yang sama. Demikian seterusnya. Jikasetiap orang hanya sekali menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak danakemanusiaan dan Yunita adalah orang pertama yang menyumbangkan dana ke dalamkotak itu, tentukan jumlah uang yang terkumpul hingga akhir bulan Maret 2007.Penyelesaian:Uang yang terkumpul pada bulan Juni 2006 Rp10.000,00.Uang yang terkumpul hingga bulan Juli Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00).Uang yang terkumpul pada bulan Agustus Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00) +10(10(10.000,00)).
158Mmt Aplikasi SMA 3 IPSUang yang terkumpul pada bulan September Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00)+ 10(10(Rp10.000,00)) + 10(10(10(Rp10.000,00))).Dan seterusnya hingga Maret 2007.Jumlah uang yang terkumpul setiap bulan dianggap sebagai jumlah bilangan berikut.10.000 + 10(10.000) + 10(10(10.000,00)) + 10(10(10(10.000))) + ....=10.000)... 1.000 100 10 1(geometrideret 4444434444421++++Jumlah tersebut mengikuti pola deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio10.Sn=rran 1) (1<<S10=1 10)1 1(1010<< = 1.111.111.111Dengan demikian, jumlah uang yang terkumpul hingga bulan Maret 2007 adalahRp10.000,00 × S10 = Rp10.000,00 × 1.111.111.111 = Rp11.111.111.110.000,00.1.Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada tahun 1990 dengan jumlah produksi5.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya bertambah 100 pasangsepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut mampu memproduksi 100.000pasang sepatu?2.Selama 5 tahun berturut-turut jumlah penduduk di Kota A membentuk deretgeometri. Pada tahun terakhir, jumlah penduduknya 4 juta jiwa, sedangkan jumlahpenduduk tahun pertama dan ke-3 adalah 1,25 juta jiwa. Tentukan jumlah pendudukKota A pada tahun ke-4.Gambar 4.2ABCDEFHGIUji Kompetensi 9Kerjakan di buku tugas3.Perhatikan gambar segitiga sama sisi di samping.Panjang sisi segitiga itu adalah a. Di dalam segitiga itu dibuatsegitiga sama sisi dengan titik sudut terletak di tengah-tengahsisi segitiga semula. Hal ini diulang terus-menerus. Tentukanjumlah ruas seluruh segitiga yang terbentuk. (Pada gambar disamping, jumlah ruas seluruh segitiga yang dimaksud adalahluas 6ABC + luas 6DEF + luas 6GHI + ...)4.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kalisesudah bola terjatuh ke lantai, bola itu terpantul kembalihingga mencapai ketinggian 43 dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruhlintasan bola tersebut hingga berhenti. (Ingat: panjang lintasan meliputi lintasannaik dan lintasan turun)
159Barisan dan DeretGambar 4.3Bunga juga dapat dinyatakan dalam persentase. Besarnyabunga bergantung pada besar modal yang dipinjam dan tingkatsuku bunganya.Bunga yang dibayarkan peminjam pada akhir periodepeminjaman (tertentu), dengan besar peminjaman dijadikan dasarperhitungan dan bunga pada periode berikutnya selalu tetap,dinamakan bunga tunggal.Misalkan diketahui uang sebesar Rp200.000,00 dibungakanatas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%.Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00= Rp200.000,00 (1 + 10%).Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00+ 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + 2 × 10%).Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00+ 10% × Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00= Rp200.000,00 (1 + 3 × 10%)5.Jarak melintang secara berurutan yang dilalui sebuah banduladalah 36 cm, 24 cm, 16 cm, ....Tentukan total jarak yang dilalui bandul itu sebelum berhenti.E. Deret dalam Hitung KeuanganDalam hitung keuangan, deret sangat sering digunakan untukpenyelesaian kasus-kasus yang berhubungan dengan permodalan,bunga, dan pertumbuhan uang.Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas bunga tunggal,bunga majemuk, dan anuitas.1. Bunga TunggalDalam melakukan usaha, seseorang tentu menginginkan per-tumbuhan dari modal usahanya. Misalkan modal yang digunakandalam usaha sebesar Rp1.000.000,00. Setelah menjalankanusahanya, ternyata modalnya tumbuh dan menjadi Rp2.000.000,00.Selisih antara hasil usaha dan modal ini dinamakan bunga.Namun, pengertian bunga tidak sesempit itu. Misalkan seseorangmeminjam uang sebesar Rp1.000.000,00 dan pada waktu tertentuharus mengembalikannya sebesar Rp1.450.000,00. Selisih antarajumlah uang yang dikembalikan dan jumlah uang yang dipinjamini juga dapat dinamakan bunga.
160Mmt Aplikasi SMA 3 IPSJumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t adalahRp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + ...+ 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + t× 10%).Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bungatunggal selama t periode waktu dengan tingkat suku bunga(persentase) r. Bunga (B) dan besar modal pada akhir periode(Mt) adalahB=M0× t × rMt=M0 (1 + t × r)Contoh:Suatu bank perkreditan memberikan pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bungatunggal sebesar 3% per bulan. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesarRp6.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 tahun, tentukana.besar bunga setiap bulannya;b.besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan.Penyelesaian:Diketahui r = 3%, M0 Rp6.000.000,00, dan t = 24 bulan.a.Besar bunga setiap bulan adalahB=M0× t × r= Rp6.000.000,00 × 1 × 3%= Rp180.000,00b.Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 24 bulan adalahMt=M0 (1 + t × r)M24= Rp6.000.000,00 (1 + 24 × 3%)= Rp6.000.000,00 (1,72)= Rp10.320.000,00Dari contoh di atas, tentu kalian dapat menyatakan bahwaperhitungan bunga tunggal berhubungan erat dengan deret arit-metika. Coba jelaskan alasan kalian, mengapa demikian?Problem SolvingHerman meminjam uang di Bank Jaya Bersama sebesar Rp4.000.000,00 dengan sukubunga tunggal 20% per tahun. Dalam waktu 90 hari, Herman sudah harus mengembalikanuang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Anggap1 tahun 360 hari)Penyelesaian:Dari soal di atas diketahui M0 = Rp4.000.000,00,r = 20% per tahun, dan t = 90 hari = 41 tahun.
161Barisan dan Dereta.Bunga: B=M0×t × r= Rp4.000.000,00 ×41× 20%= Rp200.000,00b.Jumlah uang yang harus dikembalikan adalahMt=M0 (1 + t × r)=M0 + M0×t × r=M0 + B= Rp4.000.000,00 + Rp200.000,00= Rp4.200.000,002. Bunga MajemukPada pembahasan di depan, kalian telah mengetahui per-hitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarangkita akan memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitungatas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah denganakumulasi bunga yang sebelumnya. Bunga ini disebut bungaberbunga. Perhitungan bunga berbunga semacam ini dapat kalianpahami melalui perhitungan deret geometri.Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bungamajemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) perperiode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat dihitungdengan cara berikut.M1=M0 + M0×i = M0 (1 + i)M2=M1 (1 + i) = [M0 (1 + i)] (1 + i) = M0 (1 + i)2M3=M2(1 + i) = [(M0 (1 + i)2] (1 + i) = M0 (1 + i)3MMt=Mt – 1(1 + i) = [M0 (1 + i)t – 1](1 + i) = M0(1 + i)tJadi, dapat kita katakan sebagai berikut.Jika modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga majemukdengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu,besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat ditentukan dengan rumusMt = M0 (1 + i)tContoh:Suatu bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 18% pertahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp10.000.000,00 dan bank itumembungakan secara majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikansetelah 2 tahun?Informasi Lebih LanjutTugasKerjakan di buku tugasCoba kalian caritahu dapat dipakaiuntuk masalah apasaja rumus bungamajemuk,a) jika i > 0;b) jika i < 0?
162Mmt Aplikasi SMA 3 IPSPenyelesaian:Dari soal diketahui M0 = Rp10.000.000,00, i = 12%18 = 1,5%, dan t = 24 bulan.Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun (24 bulan) adalahMt=M0 (1 + i)tM24= Rp10.000.000,00 (1 + 0,015)24= Rp10.000.000,00 (1,4295028)= Rp14.295.028,123. AnuitasKasus utang piutang penyelesaiannya dapat dilakukandengan berbagai cara. Salah satu cara pembayarannya dapatdilakukan dengan anuitas di samping dengan cara-carapembayaran yang telah kalian pelajari sebelumnya (denganbunga). Pembayaran yang dilakukan dengan anuitas akan makinkecil karena bunga yang dibayarkan juga makin kecil. Hal iniberakibat pokok pinjaman juga makin kecil. Jadi, anuitasmerupakan cara pembayaran maupun penerimaan yang secaraurut dalam jumlah tetap dengan jangka waktu juga tetap.Ada dua macam anuitas, yaitu anuitas pasti dan anuitas tidakpasti. Anuitas pasti mempunyai ciri khas tanggal mulai dantanggal selesai tepat. Misalnya pembayaran utang. Pada anuitastidak pasti, jangka pembayarannya disesuaikan keadaan.Misalnya, santunan asuransi kecelakaan. Pada kali ini, kita hanyaakan membicarakan anuitas pasti.Misalnya modal sebe-sar M dipinjamkan denganpembayaran n kali anuitas.Jika suku bunga yangdiberikan i (dalam persen)dan besar anuitas A, besaranuitas dapat ditentukandengan cara berikut.A = -=<+nkkiM1)1(Perhatikan ilustrasi di sam-ping.M012n...A(1 + i)-1A(1 + i)-2A(1 + i)-3A(1 + i)n...AA AA3
163Barisan dan DeretDari ilustrasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut.M=A(1 + i)–1 + A(1 + i)–2 + A(1 + i)–3 + ... + A(1 + i)n=A[((1 + i)–1 + (1 + i)–2 + (1 + i)–3 + ... + (1 + i)n]=Aμ˜—³–•++++++++niiii)1(1...)1(1)1(11132Bentuk terakhir merupakan deret geometri dengan suku awala = i+11 dan rasio r = i+11.Oleh karena itu,M = μ˜—³–•+<+=μμμμμ˜—³³³³³–•+< ́ ́¦¥²²¤£+<+=μ˜—³–•<<nnnniiiAiiiArraA)1(1)1(111)1(11111)1(,sehingga AMiiiMiiinnnn=++<=++<()()()().111111Jadi, besar anuitas dapat juga ditentukan dengan rumusAMiiinn=++<()()111Contoh:Pak Dani meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 pada suatu bank. Pelunasandilakukan dengan cara anuitas sebanyak 10 kali. Anuitas pertama dilakukan sebulansetelah uang pinjaman diterima. Tentukan besar anuitasnya jika suku bunga yangditetapkan bank 15% per tahun.Penyelesaian :Dari soal diketahui bahwaM = Rp10.000.000,00i= 15% per tahun= 12%15= 1,25% per bulann= 1010 juta01210.. .....AA AA3A(1 + 0,0125)–1A(1 + 0,0125)–2A(1 + 0,0125)–3A(1 + 0,0125)–10
164Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDengan menggunakan rumus anuitas, diperoleh1)1()1(<++=nniiMiA = 1)0125,01()0125,01)(0125,0(000.000.101010<++ = 1)0125,1()0125.1(000.1251010< = 13227083,0)13227083,1(000.125 = 1.070.030,74Jadi, anuitasnya sebesar Rp1.070.030,74. Artinya, Pak Dani setiap bulan harus membayarke bank sebesar Rp1.070.030,74 selama 10 bulan (sebanyak 10 kali).20 juta012310....A(1 + 0,05)–1AAAAA(1 + 0,05)–2A(1 + 0,05)–3A(1 + 0,05)–10MDengan menggunakan rumus anuitas, diperolehA=-=<+nkkiM1)1(=-