Gambar Sampul Matematika · Bab III Matriks
Matematika · Bab III Matriks
Siswanto

22/08/2021 10:08:22

SMA 12 K-13

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
63MatriksMatriksBab IIITujuan PembelajaranSecara umum matriks merupakan suatu daftar yang berisi angka-angka dan ditulis di dalam tanda kurung. Daftar-daftar yang dapatditulis dalam bentuk matriks, misalnya perolehan medali dalam suatupermainan olahraga, daftar gaji pegawai, dan daftar nilai siswa.MotivasiSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri suatu matriks;2. menuliskan informasi dalam bentuk matriks;3. melakukan operasi aljabar atas dua matriks;4. menentukan determinan matriks persegi ordo 2 dan kaitannya dengan matriksmempunyai invers;5. menentukan invers matriks persegi ordo 2;6. membuktikan rumus invers matriks ordo 2;7. menjelaskan sifat-sifat operasi matriks;8. menjelaskan sifat-sifat matriks yang digunakan dalam menentukan penyelesaiansistem persamaan linear;9. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan inversmatriks;10. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengandeterminan.Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999
64Mmt Aplikasi SMA 3 IPSKata Kunci• elemen matriks• matriks• matriks baris• matriks diagonal• matriks identitasPeta Konsep• matriks kolom• matriks nol• ordotransposeMatriksPengertian,Notasi, danOrdo SuatuMatriksmempelajariDeterminanMatriksPenggunaanMatriks untukMenyelesaikanSistemPersamaanLinearBalikan atauInversMatriksPersamaanMatriksKesamaanDua MatriksPenjumlahandanPenguranganMatriksSifat-SifatPenjumlahanMatriksPerkalianMatriksTransposeSuatuMatriksPerkalianMatriks denganMatriksPerkalianSkalar denganMatriksmembahasMatriksKhusus
65MatriksMatriks merupakan bentuk penulisan yang sering kita jumpaidalam kehidupan sehari-hari, yaitu berupa isi di setiap baris dankolomnya. Misalnya, pada daftar gaji pegawai, data absensi siswa,dan daftar nilai siswa. Pembahasan matriks pada bab ini meliputipengertian, notasi, dan ordo suatu matriks, kesamaan dua matriks,penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian bilangan real(skalar) dengan matriks, perkalian matriks, balikan atau inversmatriks, dan penggunaan matriks untuk menyelesaikan sistempersamaan linear dua dan tiga variabel.Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, coba jawablah soalberikut.Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = rSusunlah koefisien-koefisien pada sistem persamaan itudalam tabel berikut.Tabel 3.1Koefisien xKoefisien yKoefisien zPersamaan 1......................................................Persamaan 2......................................................Persamaan 3......................................................Jelaskan arti (makna) angka-angka (elemen) pada tabel itu.Setelah kalian mampu menjawab permasalahan di atas, mari kitalanjutkan ke materi berikut.A. Pengertian Dasar tentang MatriksDalam kehidupan sehari-hari, banyak keterangan atau informasiyang disajikan dalam bentuk daftar berisi angka-angka yang disusunmenurut baris dan kolom. Misalnya, harga karcis masuk suatu tempatwisata disajikan dalam bentuk daftar seperti berikut.Tabel 3.2PengunjungHari BiasaHari Minggu Dewasa5.0008.500 Anak-Anak2.5003.750Uji PrasyaratKerjakan di buku tugas
66Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDaftar di atas dapat disusun lebih sederhana dengan menghilangkanjudul baris dan judul kolom sehingga tampak sebagai berikut.5.0008.5002.5003.750Jika susunan bilangan-bilangan tersebut ditulis di antara dua tandakurung (bukan kurung kurawal), diperoleh suatu susunan bilangansebagai berikut.5.000 8.5002.500 3.750£¤²¥¦ ́Susunan bilangan yang demikian disebut matriks. Secara umum,matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan menurut baris dan kolom serta ditempatkan dalam tandakurung (kurung biasa atau kurung siku).Pada matriks di atas 8.000 adalah elemen (unsur) matriks padabaris pertama dan kolom pertama, ditulis a11 = 5.000. Elemen-elemenyang lain, yaitu 8.500, 2.500, dan 3.750 berturut-turut menunjukkanelemen-elemen matriks pada baris pertama kolom kedua, baris keduakolom pertama, dan baris kedua kolom kedua. Selanjutnya, ditulisa12 = 8.500, a21 = 2.500, dan a22 = 3.750.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, danseterusnya. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam matriksdinamakan elemen matriks. Adapun bentuk umum matriks A yangmempunyai m baris dan n kolom adalahAaaaaaaaaannmmmn=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́111212122212.....................BBBKeterangan:aij adalah elemen pada baris ke-i kolom ke-j matriks A.a11, a12, ..., a1j adalah elemen-elemen baris ke-1.a11, a21, ..., ai1 adalah elemen-elemen kolom ke-1.Bentuk umum matriks A tersebut ditulis secara singkat menjadiA = (aij) m× n@baris ke-m@baris ke-1@baris ke-2kolom ke-1kolom ke-2kolom ke-n
67Matriks1.Hasil ulangan harian (UH) Matematika dari lima orang siswa adalah sebagai berikut.Tabel 3.3No.Nama SiswaUH 1UH 2UH 31.Anik6772.Nia5653.Hesti8784.Ardi7785.Danar687a.Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A.b.Berapa banyak baris pada matriks A?c.Sebutkan elemen-elemen pada baris pertama.d.Berapa banyak kolom pada matriks A?e.Sebutkan elemen-elemen pada kolom kedua.Penyelesaian:a. ́ ́ ́ ́ ́ ́¦¥²²²²²²¤£7 8 68 7 78 7 85 6 57 7 6b.Banyak baris pada matriks A adalah 5.c.Elemen-elemen baris pertama adalah 6, 7, dan 7.d.Banyak kolom pada matriks A adalah 3.e.Elemen-elemen kolom kedua adalah 7, 6, 7, 7, dan 8.2.Diketahui matriks A=£¤²¥¦ ́201432.Tentukan berikut ini.a.Elemen-elemen pada baris ke-1.b.Elemen-elemen kolom ke-3.c.Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3.d.Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1.Penyelesaian:a.Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 2, 0, dan 1.b.Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 1 dan 2.c.Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 adalah 1.d.Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 adalah 4.Contoh:
68Mmt Aplikasi SMA 3 IPSCarilah data tentang jumlah penghuni rumah kalian dan susunlahdalam bentuk tabel seperti berikut.Laki-LakiPerempuanOrang tua.......................................................Anak.......................................................PRT.......................................................Famili.......................................................Dari tabel itu, nyatakan dalam sebuah matriks. Ada berapa matriksyang terbentuk? Kemudian, dengan bahasa kalian sendiri, jelaskanarti angka-angka dari setiap elemen matriks yang terbentuk.1. Ordo MatriksJika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom, dikatakanbahwa ordo matriks A adalah m×n, ditulis dengan notasi Amn×.Perhatikan matriks R dan S di bawah ini.R=£¤²²¥¦ ́ ́214365 , S = (3 –2 1)Matriks R mempunyai ukuran 3 baris dan 2 kolom sehingga dapatdikatakan bahwa matriks R berordo 3 × 2 dan ditulis R32×. Adapunmatriks S mempunyai 1 baris dan 3 kolom sehingga dikatakan bahwamatriks S berordo 1 × 3 dan ditulis S13×. Secara umum, ordo suatumatriks dapat didefinisikan sebagai berikut.Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks tersebut yangdinyatakan dengan banyak baris kali banyak kolom.PenghuniObservasiTugasKerjakan di buku tugas2. Transpose Suatu MatriksTranspose dari matriksA adalah suatu matriks yang diperolehdengan cara menukar setiap elemen baris matriks A dengan elemenkolom matriks transposenya. Transpose suatu matriks A ditulis denganlambang Atatau A'.Contoh:Diketahui A=£¤²¥¦ ́135246 dan B = <<£¤²²¥¦ ́ ́325.Tentukan transpose dari matriks A dan B.
69Matriks3. Matriks-Matriks Khususa.Matriks PersegiMatriks persegi adalah suatu matriks yang banyak baris-nya sama dengan banyak kolomnya. Jika banyaknya barispada matriks persegi A adalah n, banyaknya kolom matriksA juga n sehingga ordo matriks A adalah n×n. Secarasingkat, matriks A dapat disebut matriks persegi ordo n.Elemen a11, a22, a33, ..., ann disebut elemen-elemen diagonalutama (pertama).Misalnya:Apqrs=£¤²¥¦ ́ merupakan matriks persegi ordo 2, dapat ditulisA22×.B=£¤²²¥¦ ́ ́123456789 merupakan matriks persegi ordo 3, dapatditulis B33×.Elemen-elemen diagonal utama pada matriks A adalah p dans, sedangkan elemen-elemen diagonal utama pada matriksB adalah 1, 5, dan 9.Coba cari tahu tentang pengertian matriks simetris. Apakahmatriks A = 530342021<<£¤²²¥¦ ́ ́ merupakan matriks simetris? Mengapa?Berpikir KritisTugasKerjakan di buku tugasPenyelesaian:Berdasarkan pengertian transpose suatu matriks, baris ke-1 matriks A menjadi kolomke-1 matriks At, sedangkan baris ke-2 matriks A menjadi kolom ke-2 matriks At. Dengandemikian, diperoleh At= ́ ́ ́¦¥²²²¤£654321.Dengan cara yang sama, jika B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<523, matriks transposenya adalah Bt = (–3 2 –5).
70Mmt Aplikasi SMA 3 IPSb.Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satubaris.Misalnya:D = (–1 3)E = (0 2 –4)c.Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satukolom.Misalnya:P=£¤²¥¦ ́01Q=£¤²²¥¦ ́ ́232R=<£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́4032d.Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah suatu matriks persegi dengansetiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalahnol.Misalnya:A=£¤²¥¦ ́2001B=£¤²²¥¦ ́ ́200030002e.Matriks SatuanMatriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengansetiap elemen diagonal utama adalah 1. Matriks identitasbiasanya dilambangkan dengan I atau In, untuk n bilanganasli.Misalnya:I21001=£¤²¥¦ ́I3100010001=£¤²²¥¦ ́ ́I41000010000100001=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́f.Matriks NolMatriks nol adalah suatu matriks yang setiap elemennyanol. Matriks nol berordo m×n dinotasikan dengan Omn×.Kalian tentu menge-nal matriks persegiordo 1. Adakah ma-triks identitas ordo1? Jika ada, sepertiapakah? Jika tidakada, berikan alasanseperlunya.DiskusiBerpikir Kritis
71MatriksUji Kompetensi 1Kerjakan di buku tugasMisalnya:OO1333000000000000××=()=£¤²²¥¦ ́ ́ , , O32000000×=£¤²²¥¦ ́ ́g.Lawan Suatu MatriksLawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan elemen dari matriks semula.Lawan dari suatu matriks A dinotasikan dengan –A.Misalnya:Lawan matriks A=<<<£¤²²¥¦ ́ ́4671023 adalah <=<<<£¤²²¥¦ ́ ́A4671023.Menurutmu, apa keunggulan penyajian suatu data denganmenggunakan matriks? Apakah semua jenis data dapat disajikandengan matriks? Berikan contoh dan alasan kalian.Mengomunikasikan gagasanDiskusi1.Hasil perolehan medali sementara pada suatu Pekan Olahraga Nasional adalahsebagai berikut.Tabel 3.4No.KontingenEmasPerakPerunggu1.Jawa Timur18762.Jawa Barat5973.DKI Jakarta5484.Lampung4535.DI Yogyakarta232a.Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A.b.Berapa banyak baris dan kolom pada matriks A?c.Sebutkan elemen-elemen pada baris keempat.d.Sebutkan elemen-elemen pada kolom pertama.e.Sebutkan elemen pada baris kedua kolom ketiga.f.Sebutkan elemen pada baris kelima kolom pertama.2.Diketahui matriks B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<<327313624732.
72Mmt Aplikasi SMA 3 IPSa.Tentukan ordo matriks B.b.Tentukan elemen baris kedua kolom keempat.c.Tentukan elemen baris ketiga kolom ketiga.d.Tentukan transpose matriks B.3.Tulislah koefisien dan konstanta sistem persamaan linear dua variabel berikut dalambentuk matriks lengkap, dengan ordo 2 × 3.a. 3x + 2y = 4c. 3x + 4y = 2 5x – 2y = 22y – 4x = 6b. 2xy = 6d. 4x = 0x + 5y = 7 3y = 94.Matriks A = (aij) ditentukan oleh A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<141235.a.Tentukan ordo matriks A.b.Hitunglah nilai a22 + a32, a11a31, dan a22 + a12.c.Jika k = a21, tentukan nilai kk2 + 6.d.Tentukan transpose matriks A.5.Diketahui matriks B = (bij) ditentukan oleh B = uv3124<£¤²¥¦ ́.Tentukan nilai u dan v jikaa.3b11 = 6b23 dan 2b22 = 4b21;b.2b11 – 4b22 = 6 dan b22 = b13.B. Kesamaan Dua MatriksAmatilah matriks-matriks A, B, dan C berikut ini.A = 2103410123102, , dan =£¤²¥¦ ́=+£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́BC.Apa yang dapat kalian katakan tentang matriks-matriks tersebut?Apakah matriks A = B? Apakah A = C? Mengapa?Dari ketiga matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = matriks Bkarena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama,sedangkan matriks A tidak sama dengan matriks C karena meskipunordonya sama, tetapi elemen-elemen yang seletak nilainya tidak sama.Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika keduamatriks itu ordonya sama dan elemen-elemen yang seletakbernilai sama.{{{{
73MatriksDiketahui matriks A = ac20£¤²¥¦ ́ dan B = 1302ba£¤²¥¦ ́ adalah dua matriks yang sama. Tentukannilai a, b, dan c.Penyelesaian:Diketahui A = B, berarti ac20£¤²¥¦ ́ = 1302ba£¤²¥¦ ́.Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, diperoleha = 1 2 = 3b‹b = 320 = 0 c = 2a‹c = 2 × 1 = 2.Oleh karena itu, diperoleh a = 1, b = 32, dan c = 2.Contoh:1.Tentukan nilai x dan y jika diketahui persamaan matriks berikut.a.22412xy£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́e.xyy<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́612613b.35745xyyx<<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́f.xxyxy yy+<£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́3842c.1097232410269xyxyxyxy<<++£¤²¥¦ ́=<+++£¤²¥¦ ́g.2352634395 2612 3xy<<£¤²²²¥¦ ́ ́ ́=<<<£¤²¥¦ ́d.6314624<+£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́xyxyxh.272417224<<£¤²²¥¦ ́ ́=<£¤²²¥¦ ́ ́xyy22.Tentukan nilai a, b, dan c jika diketahui persamaan matriks berikut.a.572bcaacac£¤²¥¦ ́=+<<£¤²¥¦ ́c.203102acba£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́b.abcacbc<+<£¤²¥¦ ́=++£¤²¥¦ ́247 125Uji Kompetensi 2Kerjakan di buku tugas
74Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Tentukan nilai a dan b jika matriks P = Qt.a.P = 24<<£¤²¥¦ ́32 dan Q = 2<£¤²¥¦ ́32abb.P = ́ ́¦¥²²¤£4236 dan Q = 3224abb+£¤²¥¦ ́c.P = <<<+£¤²²¥¦ ́ ́aab2143 624 dan Q = <<<£¤²²¥¦ ́ ́322235164bC. Operasi pada Matriks dan Sifat-SifatnyaSeperti halnya pada bilangan, matriks juga dapat dioperasikan.Misalnya, dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dengan skalar, dandikalikan dengan matriks dengan aturan tertentu. Namun, matrikstidak dapat dibagi dengan matriks lain.1. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksJumlah matriks A dan B, ditulis A + B adalah suatu matriksbaru C yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkanelemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Dengandemikian, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkanadalah ordo matriks-matriks itu harus sama.Tes MandiriKerjakan di buku tugasDiketahui:ABbC=<=<=<<£¤¥¦£¤¥¦£¤¥¦11110103243,,Jika C adalah inversdari (3A + B) maka nilaib sama dengan ....a. 3d. 6b. 4e. 7c. 5Soal SPMB, 2003Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<032421, B = ́ ́¦¥²²¤£<<<315042, C = abcd£¤²¥¦ ́, dan D = 2033ad£¤²¥¦ ́.Tentukan a.A + B; b.B + C; c.C + D.Penyelesaian:a.A + B= ́ ́¦¥²²¤£<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<315042032421= ́ ́¦¥²²¤£+<+++<+<<+30)1(35204)4(2)2(1 = ́ ́¦¥²²¤£<<327461
75Matriksb.B + C = <<<£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́240513abcd, tidak dapat dijumlahkan karena ordonyatidak sama.c.C + D= abcdad£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́2033= aabcdd++++£¤²¥¦ ́2033= 334abcd+£¤²¥¦ ́Bagaimana dengan pengurangan terhadap matriks?Pengurangan matriks dapat dikerjakan dengan menggunakansifat seperti pada pengurangan bilangan real, yaitu jika a dan bdua bilangan real maka ab = a + (–b). Oleh karena itu, untukdua matriks A dan B, berlakuAB = A + (–B)dengan –B adalah lawan matriks B. Syarat pengurangan matriksadalah ordo kedua matriks itu harus sama.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£57310 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<<3321. Tentukan AB.Penyelesaian:AB = A + (–B) = ́ ́¦¥²²¤£57310 + ́ ́¦¥²²¤£<<3321 = ́ ́¦¥²²¤£841112.Carilah matriks X jika 25411342£¤²¥¦ ́+=£¤²¥¦ ́X.Penyelesaian:X = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£102114522431Contoh:
76Mmt Aplikasi SMA 3 IPS2. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan MatriksUntuk mendapatkan sifat-sifat penjumlahan matriks,lakukan kegiatan berikut.KegiatanKerjakan di buku tugasTujuan:Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan danpengurangan matriks.Permasalahan:Sifat apakah yang berlaku pada operasi penjumlahan danpengurangan matriks?Langkah-Langkah:Kerjakan persoalan-persoalan berikut.1.Diketahui matriks A = ́ ́¦¥²²¤£4321, B = ́ ́¦¥²²¤£7654, danC = ́ ́¦¥²²¤£<2513.Selidiki hasil penjumlahan berikut ini, kemudian simpulkan.a.A + Bb.B + Ac.(A + B) + Cd.A + (B + C)2.Diketahui O = ́ ́¦¥²²¤£0000 dan P = ́ ́¦¥²²¤£<5223.Apakah O + P = P + O?3.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<1475 dan –A = ́ ́¦¥²²¤£<<1475.Tentukana.A + (–A);b.A + A;c.Apakah A + (–A) = – A + A?Kesimpulan:Dari soal 1, 2, dan 3 kalian akan memperoleh sifat-sifatpenjumlahan dan pengurangan matriks.Jika melakukan kegiatan di atas dengan benar, kalian akanmemperoleh sifat-sifat berikut.
77MatriksJika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berordo sama,pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut:a.komutatif sehingga A + B = B + A;b.asosiatif sehingga (A + B) + C = A + (B + C);c.unsur identitasnya O sehingga A + O = O + A = A;d.invers penjumlahan A adalah –A sehinggaA + (–A) = –A + A = O.EksplorasiTugasKerjakan di buku tugasSifat-sifat di atas dapat kalian buktikan dengan mudah.Coba kalian buktikan sifat-sifat di atas dengan mengambilmatriks A = (aij), B = (bij), C = (cij), dan O = (oij), untuk oij = 0.Ingat matriksA = aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMMLM£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ dapat ditulis A = (aij);i = 1, 2, ..., mj = 1, 2, ..., nApakah pada pengurangan matriks berlaku sifat komutatif dansifat asosiatif? Adakah unsur identitasnya? Coba kalian selidikidengan mengambil beberapa matriks yang dapat dijumlahkan ataudikurangkan. Kemukakan hasilnya.Uji Kompetensi 3Kerjakan di buku tugas1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<2312, B = ́ ́¦¥²²¤£<2245, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<6223.Tentukan hasil operasi berikut.a.A + Bd.(AB) + (BC)b.A + C Be.CBAc.A – (B + C)f.BC – (A + B)2.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£1432, Q = ́ ́¦¥²²¤£<1344, dan R = ́ ́¦¥²²¤£3652.Tentukan hasil operasi berikut.a.P + Qtd.(RP) – Qtb.RtP + Qe.(P + R) – (Q + Qt)c.Pt + (QtR)f.(PPt) + (RRt)3.Diketahui U=<<£¤²¥¦ ́423175 dan V=<<<<£¤²¥¦ ́125684.
78Mmt Aplikasi SMA 3 IPSTentukan hasil operasi berikut.a. (U + V)tc. (UV)tb.Ut + Vtd.UtVt4.Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.a. ́ ́¦¥²²¤£6123 + A = ́ ́¦¥²²¤£<<2214c. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<121436A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<012512b.A + ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<220142542135d. ́ ́ ́¦¥²²²¤£<< ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<<135413221221312142 = A5.Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut.a.<£¤²¥¦ ́+£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́1342352yxzzyb.3xzyzxxz<£¤²¥¦ ́+<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́11316.Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.a.6361771152bcaacacb£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́b.3423276251<£¤²²¥¦ ́ ́<<£¤²²¥¦ ́ ́=<<<£¤²²¥¦ ́ ́bacaccbaSoal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Tentukan nilai x, y, z, dan u yang memenuhi persamaan33336123xyzuxuyxyzuz£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́+++£¤²¥¦ ́.2.Diketahui A=<<<<<<£¤²²¥¦ ́ ́457213351046 danB=<<<<<<£¤²²¥¦ ́ ́310421231102.Tentukan matriks X jika (BA)t = X + Bt.3. Perkalian Suatu Skalar dengan MatriksKita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real(skalar) secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian.Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut
79Matriksberlaku juga pada operasi matriks. Misalkan diketahui matriksA = ́ ́¦¥²²¤£<4152.Oleh karena itu, A + A = ́ ́¦¥²²¤£<82104 = 2 ́ ́¦¥²²¤£<4152 = 2A.Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan asli k adalahpenjumlahan berulang matriks A sebanyak k kali. Dengan katalain, pengertian ini dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilanganreal dan A matriks berordo m×n maka kA didefinisikan dengankaaaaaaaaakakakakakakakakakannmmmnnnmmmn111212122212111212122212..........................................£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<325231 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<143752.Tentukana.2A + 5B;b.3A – 2B.Penyelesaian:a.2A + 5B= 2 ́ ́¦¥²²¤£<+ ́ ́¦¥²²¤£<<1437525 325231= ́ ́¦¥²²¤£<+ ́ ́¦¥²²¤£<<520153525106410462= ́ ́¦¥²²¤£<112425391912b.3A – 2B= 3A + (–2B)= 31325232257341<<£¤²¥¦ ́+<<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́= ́ ́¦¥²²¤£<<<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<<286141049615693= ́ ́¦¥²²¤£<<<<<7298191
80Mmt Aplikasi SMA 3 IPS4. Sifat-Sifat Perkalian SkalarJika A dan B adalah matriks-matriks berordo m×n,sedangkan k1dan k2 adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut.a.k1(A + B) = k1A + k1Bb.(k1 + k2)A = k1A + k2Ac.k1(k2A) = (k1k2)AJika A matriks persegi maka berlakud.I×A = A×I = Ae.(–I)A = –AMatriks identitas I merupakan matriks persegi.Bukti:Pembuktian sifat-sifat di atas sangat mudah. Untuk itu, di siniakan dibuktikan sifat a saja. Selebihnya dapat kalian kerjakansebagai bahan latihan.Misalkan k1 skalar,AaaaaaaaaaBbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́=£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK, dank1 (A + B)= k1 aaaaaaaaabbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn111212122212111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́•–³³³³³—˜μμμμμ= k1 ab ababab aba baba babnnnnmmmmmnmn11111212112121222222112 2+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= ka bkabkabkabkabkabkabkabkabnnnnmmmmmnmn1111111212111121211222212211 1 1 221+()+()+()+()+()+()+()+()+()£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML= kakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbkakbnnnnmmmmmnmn1111111121121111121121122122121211 11 1 2 1211+++++++++£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́LLMMML
81Matriks= kakakakakakakakakakbkbkbkbkbkbkbkbkbnnmmmnnnmmmn111112111211221211 1 21111112111211221211 1 21KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́ ́= kaaaaaaaaakbbbbbbbbbnnmmmnnnmmmn11112121222121111212122212KKMMKMKKKMMKMK£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́+£¤²²²²¥¦ ́ ́ ́ ́= k1A + k1B .................................................... (terbukti)Uji Kompetensi 4Kerjakan di buku tugas1.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£<<<121332. Tentukan hasil perkalian skalar berikut.a.3Pc.–2Ptb.–2Pd.5Pt2.Jika Q = ́ ́¦¥²²¤£<10864, tentukan hasil perkalian skalar berikut.a.4Qc.12(Q + Qt)b.12Qtd.21(5(Q + Qt))3.Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.a.4X = ́ ́¦¥²²¤£<<412168c.1336912153X=<<<<£¤²²¥¦ ́ ́b.122421086<<£¤²¥¦ ́ = Xd. ́ ́¦¥²²¤£23152 = X4.Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.a.2At = ́ ́ ́¦¥²²²¤£<<4681042c.12462210 8<£¤²¥¦ ́ = Atb.3At= ́ ́¦¥²²¤£<<9123636d.1333669 3<<£¤²¥¦ ́ = At
82Mmt Aplikasi SMA 3 IPS5.Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan berikut.a.52355abcd£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́c.12132<<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́dabccb.1211bacdad£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́d.216abcdcab£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́5. Perkalian AntarmatriksSuatu ketika Rini dan Nita membeli alat tulis di koperasisekolah. Rini membeli 3 buku tulis dan sebatang pensil,sedangkan Nita membeli 2 buku tulis dan 2 pensil. Harga sebuahbuku tulis adalah Rp1.000,00 dan harga satu pensil Rp500,00.Berapakah jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita?Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapatlangsung mengalikan jumlah barang yang dibeli dengan hargasatuan. Jumlah uang yang harus dibayar Rini adalah(3 × 1.000) + (1 × 500) = 3.500,sedangkan jumlah uang yang harus dibayar Nita adalah(2 × 1.000) + (2 × 500) = 3.000.Di samping itu, persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuktabel seperti terlihat berikut ini.Tabel 3.5Pembelian BarangBuku TulisPensilRini31Nita22Tabel 3.6Daftar Harga BarangNama BarangHarga SatuanBuku tulis1.000Pensil500Jika keperluan Rini kita tulis dalam bentuk matriks barisdan harga satuan barang dalam bentuk matriks kolom, jumlahuang yang harus dibayar Rini dapat dinyatakan sebagai perkalianmatriks berikut.(3 × 1.000) + (1 × 500) = (3 1) ́ ́¦¥²²¤£500 000.1 = 3.500Dengan cara yang sama, jumlah uang yang harus dibayarNita dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks.(2 × 1.000) + (2 × 500) = (2 2) ́ ́¦¥²²¤£500 000.1 = 3.000Hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara mengalikansetiap elemen matriks berordo 1 × 2 dengan matriks berordo2 × 1 yang hasilnya adalah matriks baru berordo 1 × 1. Untukmudah dalam mengingatnya, perhatikan bagan berikut.
83Matriks Ordo hasil kali(1 × 2)(2 × 1) = (1 × 1) samaJika matriks A = (a b) dikalikan dengan matriks B = pq£¤²¥¦ ́,hasilnya adalah A×B = (a b)pq£¤²¥¦ ́ = (ap + bq).Oleh karena itu, jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nitadapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks berikut.31221 0005003 5003 000£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=×+××+×£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́...(3 1.000) (1 500)(2 1.000) (2 500)Pada perkalian matriks di atas, matriks yang dikalikan (matriksyang terletak di sebelah kiri) berordo 2 × 2, matriks pengalinya(matriks yang terletak di sebelah kanan) berordo 2 × 1. Ordo hasil kali(2 × 2)(2 × 1) = (2 × 1) samaa.Perkalian Matriks Ordo mxq dengan Matriks OrdoqxnBerdasarkan uraian di atas, syarat agar dua matriks Adan B dapat dikalikan adalah banyak kolom matriks A harussama dengan banyak baris matriks B. Adapun caramengalikan kedua matriks itu adalah sebagai berikut.Jika A adalah matriks berordo m×q dan B adalah matriksberordo q×n, maka A×B adalah suatu matriks C = (cij)berordo m×n yang elemen-elemennya diperoleh daripenjumlahan hasil kali elemen-elemen pada baris ke-imatriks A dengan elemen-elemen pada kolom ke-j matriks Byang bersesuaian, dengan i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.Tes MandiriKerjakan di buku tugasPerkalian matriks121210xpx()£¤²¥¦ ́£¤¥¦=mempunyai akar positifx1 dan x2. Jika x1 = 4x2maka konstanta p =a. –6b. –4c. –2d. 4e. 6Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2006Tes MandiriKerjakan di buku tugasJikaab<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́325423271312maka a + b = ....a. 5d. 2b. 4e. 1c. 3Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2001
84Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui A = (2 3), B = ́ ́¦¥²²¤£<52, C = ́ ́¦¥²²¤£3641, dan D = ́ ́ ́¦¥²²²¤£570213. Tentukan hasil perkalianmatriks berikut.a.A×Bb.C×Dc.D×CPenyelesaian:a.A×B = (2 3) ́ ́¦¥²²¤£<52 = ((2 × (–2) + 3 × 5)) = (11)b.C×D = 1463312075£¤²¥¦ ́£¤²²¥¦ ́ ́ tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks Ctidak sama dengan banyak baris matriks D.c.D×C= 3120751463£¤²²¥¦ ́ ́£¤²¥¦ ́= (((327×+×× +××+ ×× + ××+×× +×£¤²²¥¦ ́ ́1) (1 6) (3 4) (1 3)1) (0 6) (2 4) (0 3)1) (5 6) (7 4) (5 3) = ́ ́ ́¦¥²²²¤£433782159b. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dariKananPada uraian sebelumnya, kita pelajari bahwa duamatriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriksA sama dengan banyak baris matriks B. Selanjutnya, jikaterdapat perkalian dua matriks A×B, dapat dikatakana.matriks B dikalikan dari kiri pada matriks A;b.matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<1342 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<2301.Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini.a.Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B.b.Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.
85Matriksc.Perkalian dengan Matriks Satuan dan SifatnyaPada pembahasan sebelumnya, dijelaskan bahwamatriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiapelemen diagonal utamanya 1. Jika suatu matriks dikalikandari kiri atau dari kanan dengan matriks satuan, hasilnyaadalah matriks itu sendiri. Oleh karena itu, perkalian suatumatriks A dengan matriks satuan memiliki sifatIA = AI = ADengan demikian, matriks satuan disebut juga matriksidentitas.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<<3221. Tentukan AI dan IA. Bagaimana hasil perkalian itu?Penyelesaian:AI = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<<322110013221IA = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£322132211001Dengan memerhatikan hasil perkalian di atas, tampak bahwa AI = IA = A. Coba kalianselidiki, bagaimana jika A bukan matriks persegi? Apakah AI = IA = A? Mengapa?Penyelesaian:a.Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B, berartiB×A = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<1404213422301b.Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B, berartiA×B = ́ ́¦¥²²¤£<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<2081423011342Dari contoh tersebut, tampak bahwa AB&BA. Dari hasil tersebut dapat disimpulkanbahwa perkalian matriks (pada umumnya) tidak bersifat komutatif.Tes MandiriKerjakan di buku tugasJikaA=<<£¤²¥¦ ́1 0 01danI=£¤²¥¦ ́1001makaA2 – 6A + 3I = ....a. –8Ad. 4Ab. –10Ae. 10Ac. 2ASoal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2006d.Perpangkatan Matriks PersegiSeperti halnya pada bilangan real, perpangkatan matrikspersegi A didefinisikan sebagai berikut.
86Mmt Aplikasi SMA 3 IPSDari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m,A2 = A×A,A3 = A×A×A = A2×A, dan seterusnya.Contoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<3221. Tentukana.A2;b.2A2 – 3A.Penyelesaian:a.A2 = A×A = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£< ́ ́¦¥²²¤£<588332213221b.2A2 – 3A= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<32213 58832= ́ ́¦¥²²¤£<<<+ ́ ́¦¥²²¤£<<96631016166 = ́ ́¦¥²²¤£<<110109Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A2×A = A×A2 = A3?Selidiki pula, apakah A3×A = A×A3 = A2 ×A2 = A4?Contoh:Misalkan diberikan matriks A berordo m×n, dengan m&n danm, n bilangan asli.Untuk Ak, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Me-ngapa?Berpikir KritisDiskusi6. Sifat-Sifat Perkalian MatriksUntuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikancontoh-contoh berikut.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£4301, B = ́ ́¦¥²²¤£<<3221, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<<1112.a.Tentukan A×B, B×C, dan A×C.b.Apakah A× (B×C) = (A×B) ×C?c.Apakah A× (B + C) = A×B + A×C?
87MatriksPenyelesaian:a.A×B= ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£652132214301B×C= ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<573411123221A ×C= ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£121211124301b.A× (B×C) = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£11163457344301(A×B) ×C = ́ ́¦¥²²¤£<<= ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£<<11163411126521Ternyata A×(B×C) = (A×B) ×C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif.c.A×(B + C)= μ˜—³–• ́ ́¦¥²²¤£<<+ ́ ́¦¥²²¤£<< ́ ́¦¥²²¤£111232214301= ́ ́¦¥²²¤£<<<= ́ ́¦¥²²¤£<<< ́ ́¦¥²²¤£571121114301A×B + A×C= 12562121<<£¤²¥¦ ́+<<<£¤²¥¦ ́= <<<£¤²¥¦ ́1175Ternyata A× (B + C) = (A×B) + (A×C) berarti perkalian matriks bersifat distributifkanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalianmatriks juga bersifat distributif kiri, yaitu (A + B) ×C = (A×C) + (B×C).2.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£4754 dan O = ́ ́¦¥²²¤£0000.Tentukan OA dan AO.OA = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£000047540000AO = ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£000000004754Dengan demikian, OA = AO = O.
88Mmt Aplikasi SMA 3 IPS3.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£<0213 dan B = ́ ́¦¥²²¤£3124.Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini.a.(3A)Bb.3(AB)c.A(3B)Penyelesaian:a. (3A)B= ́ ́¦¥²²¤£μ˜—³–• ́ ́¦¥²²¤£<312402133= ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<122493331240639b. 3(AB)= 331204213<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́•–³—˜μ= 311 38433924 12£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́c.A(3B)= μ˜—³–• ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<31243 0213= ́ ́¦¥²²¤£= ́ ́¦¥²²¤£ ́ ́¦¥²²¤£<1224933936120213Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa (3A)B = 3(AB) = A(3B). Apakah 3(AB) =(AB)3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasan kalian.Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasansebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapatdikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggotahimpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut:a.Tidak komutatif, yaitu A×B&B×Ab.Asosiatif, yaitu (A×B) ×C = A× (B×C)c.Distributif kanan, yaitu A× (B + C) = (A×B) + (A×C)d.Distributif kiri, (A + B) ×C = (A×C) + (B×C)e.Perkalian dengan skalar k, yaitu (kA) ×B = k(A×B).f.Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi,terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = Ag.Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.
89MatriksUji Kompetensi 5Kerjakan di buku tugasInvestigasiTugasKerjakan di buku tugasMisalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifatberikut?a.Jika AB = AC dan A bukan matriks nol maka B = C.b.Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol.Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B,C, dan D sehinggaa.AB = BC dan A bukan matriks, tetapi B&C.b.AD matriks nol, tetapi A dan D bukan matriks nol.1.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£0213, B = ́ ́¦¥²²¤£<1112, dan C = ́ ́¦¥²²¤£<<102211.Tentukan hasil perkalian berikut.a.A×Bd.Ct×Ab.B×Ce.Ct×Bc.A×Cf.Ct×At2.Diketahui P = ́ ́¦¥²²¤£<3112, Q = ́ ́¦¥²²¤£3120, dan R = ́ ́¦¥²²¤£1132.Tentukan hasil perkalian berikut.a.P× (Q×R)d.Qt×Rb.(Q×R) ×Pe.P×Qtc.(P + Q) × Rf.P×Qt×Rt3.Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut.a.211 5ab£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́46d.ab<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́=<<<£¤²¥¦ ́1321022431b.ab1028£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́519e.ab23142324142313£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́c.312426ab£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́=<£¤²¥¦ ́4.Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut.a.12214231£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́Xb.<<£¤²¥¦ ́=<<£¤²¥¦ ́34120220X
90Mmt Aplikasi SMA 3 IPS5.Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£3112. Tentukan hasil operasi berikut.a.A2c.A2×Ab.A×A2d.A46.Diketahui A=<£¤²¥¦ ́1433 dan B = 1125<£¤²¥¦ ́. Tentukan hasil operasi berikut.a.(A + B)2c.(BA)2b.A2 + 2AB + B2d.B2 – 2BA + A2Soal TerbukaKerjakan di buku tugas1.Jika X = 3243<<£¤²¥¦ ́ dan I = 1001£¤²¥¦ ́.Tunjukkan bahwa X2 + 2X + I = 42121<<£¤²¥¦ ́. Selidiki apakah(XI)2 = X2 – 2X + I.2.Diketahui matriks A = ́ ́ ́¦¥²²²¤£112311321 dan B = ́ ́ ́¦¥²²²¤£131222214.Tentukan hasil operasi berikut.a.A2d.(AB) × (A + B)b.B2e.A× (B + Bt)c.A×Bf.At× (At+ Bt)Tes MandiriKerjakan di buku tugasJika matriksA = 1243£¤²¥¦ ́maka nilaix yang memenuhi per-samaan |AxI| = 0dengan I matriks satu-an dan |AxI| deter-minan dari AxI ada-lah ....a. 1 dan –5b. –1 dan –5c. –1 dan 5d. –5 dan 0e. 1 dan 0Soal SPMB, Kemam-puan Dasar, 2001D. Balikan atau Invers MatriksKalian tentu tahu bahwa balikan (invers) dari 2 adalah 2–1 atau12, invers dari 3 adalah 3–1 atau 13, dan seterusnya. Jika kalian cermati,2 × 2–1 = 1, 3 × 3–1 = 1, dan seterusnya. Angka 1 merupakan identitasterhadap perkalian. Operasi invers juga berlaku pada matriks.Sebelum lebih lanjut mempelajari tentang invers suatu matriks,terlebih dahulu coba kalian pelajari determinan. Untuk lebihmudahnya, determinan yang dipelajari adalah determinan matriksordo 2 × 2. Mengapa determinan harus dipelajari terlebih dahulu?Karena invers suatu matriks dapat ditentukan jika determinannyadiketahui dan determinan itu tidak sama dengan nol.
91Matriks1. Pengertian Determinan Matriks Ordo 2 x 2Misalkan terdapat matriks A = abcd£¤²¥¦ ́ yang berordo 2 × 2.Elemen a dan d pada matriks tersebut terletak pada diagonalutama (pertama), sedangkan b dan c terletak pada diagonalsamping (kedua). Determinan matriks A (disingkat ”det A”) yangberordo 2 × 2 diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-KetahuilahDeterminan suatu matriks ditulis denganmenggunakan garis lurus seperti pada rumusdi atas, bukan kurung atau kurung siku sepertihalnya pada penulisan matriks.Contoh:Tentukan determinan matriks-matriks berikut.a.A = ́ ́¦¥²²¤£3142b.B = ́ ́¦¥²²¤£4386Penyelesaian:a.det A = 3142 = (2 × 3) – (4 × 1) = 6 – 4 = 2b.det B = 4386 = (6 × 4) – (8 × 3) = 24 – 24 = 0elemen pada diagonal utama dengan hasil kalielemen-elemen pada diagonal kedua. Olehkarena itu, determinan matriks A adalahdet A = abcd = adbc2. Pengertian Dua Matriks Saling InversDua matriks dikatakan saling invers jika perkalian keduamatriks itu menghasilkan matriks identitas. Pengertian initertuang dalam definisi berikut.Matriks A disebut invers dari matriks B jikaA×B = B×A = I, dengan I adalah matriks identitas.Invers dari matriks B ditulis B–1, sedangkan invers matriksA dituliskan dengan A–1.Perhatikan bahwa pada umumnya perkalian matriks tidakbersifat komutatif, tetapi ada yang bersifat komutatif, yaituperkalian matriks persegi dengan inversnya dan perkalian matrikspersegi dengan matriks identitasnya.
92Mmt Aplikasi SMA 3 IPSContoh:Diketahui A = ́ ́¦¥²²¤£2111 dan B = ́ ́¦¥²²¤£<<1112.Selidiki apakah A dan B saling invers.Penyelesaian:Matriks A dan B saling invers jika berlaku A×B = B×A = I.A×B= 11122111£¤²¥¦ ́<<£¤²¥¦ ́ = 1001£¤²¥¦ ́ = IB×A= 21111112<<£¤²¥¦ ́£¤²¥¦ ́ = 1001£¤²¥¦ ́ = IKarena A×B = B×A = I, matriks A dan B saling invers.3. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2Misalkan matriks A = abcd£¤²¥¦ ́. Jika matriks A dikalikan darikiri dengan matriks dbca<<£¤²¥¦ ́, diperolehdbca<<£¤²¥¦ ́abcd£¤²¥¦ ́= ad bcad bc<<£¤²¥¦ ́00= (adbc)1001£¤²¥¦ ́Jika hasil perkalian ini dikalikan dengan1ad bc<, untukadbc& 0, diperoleh1ad bc<()ad bc<£¤²¥¦ ́•–³—˜μ=£¤²¥¦ ́10011001. Dengan demikian, jikaDengan mengingat definisi matriks persegi, invers suatu matriks,dan matriks identitas, serta sifat perkalian matriks, tunjukkanbahwaa.perkalian matriks persegi dengan inversnya bersifatkomutatif;b.perkalian matriks persegi dengan matriks identitasnyabersifat komutatif.Berpikir KritisDiskusiTes MandiriKerjakan di buku tugasDiberikan matriks A,dengan A = abba<£¤²¥¦ ́;a, b tidak keduanya nol.Jika At dan A–1 masing-masing menyatakantranspose dan inversdari A, dan At = A–1maka a dan b meme-nuhi ...a.a2b2 = 0b. –a2 + b2 = 0c.a22b = 1d.a2b2 = 1e.a2 + b2 = 1Soal SPMB, Kemam-puan IPA, 2004
93Matriksmatriks A dikalikan dari kiri dengan matriks 1ad bc<dbca<<£¤²¥¦ ́,untuk adbc&0, diperoleh11001ad bcdbcaabcd<<<£¤²¥¦ ́•–³—˜μ£¤²¥¦ ́=£¤²¥¦ ́ = I.Dengan cara yang sama, jika matriks A dikalikan dari kanandengan matriks 1ad bcdbca<<<£¤²¥¦ ́