Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR1.Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2.Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.3. Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya.Melalui pembelajaran materi matriks, siswa memperoleh pengalaman belajar:• mengamatisecaracermataturansusunanobjek.• berpikirmandirimengajukanidesecarabebasdan terbuka.• menemukanhubungan-hubungandiantaraobjek-objek.• melatihberpikirkritisdankreatif.• bekerjasamamenyelesaikanmasalah.MATRIKS• Operasipadamatriks• Determinanmatriks• InversmatriksBab2
38Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1B.PETA KONSEPdeterminaninvers matikssifat-sifatMatriksMasalahOtentikMatriks kofaktorMatriks adjointUnsur-unsurmatriksOperasipenjumlahanpenguranganperkalianelemenbariselemenkolomMateri PrasyaratSistem Persamaan Linier
39Matematika1. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-SifatnyaSaat duduk di kelas X, kamu telah mempelajari konsep matriks, jenis dan operasi pada matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita. Pada kesempatan ini, kita akan menganalisis sifat-sifat operasi pada matriks dan menggunakannya dalam pemecahan masalah otentik. Amatilah dengan cermat berbagai informasi dan masalah yang diajukan dan temukan sifat-sifat operasi matriks di dalam langkah pemecahan masalah yang diajukan.a. Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnyaMasalah-2.1Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan 2 jenis kue, yaitu; bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara perempuan dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk tiap-tiap kue seperti pada tabel berikut:Tabel Biaya Toko di Padang (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue1.000.0001.200.000Chef2.000.0003.000.000Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue1.500.0001.700.000Chef3.000.0003.500.000Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?C.MATERI PEMBELAJARAN
40Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif Penyelesaian Jika kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya di Medan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut.A = 1000000120000020000003000000........dan B = 1500000170000030000003500000.........Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh, sebagai berikut. Total biaya bahan untuk bronis = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.000Total biaya chef untuk bronis = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks berikut:Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp)BronisBika AmbonBahan Kue2.500.0002.900.000Chef5.000.0006.500.000Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks Adan B.A + B = 1000000120000020000003000000........ + 1500000170000030000003500000........= 1000000150000012000001700000200000030000003............+++.....0000003500000+= 2500000290000050000006500000........Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan karena kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks.
41MatematikaNah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan dua matriks dalam konteks matematis.Definisi 2.1Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aijdan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C=A+B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh cij=aij+bij(untuk semua idanj).Catatan:Duamatriksdapatdijumlahkanhanyajikamemilikiordoyangsama.Ordomatrikshasilpenjumlahanduamatrikssamadenganordomatriksyangdijumlahkan.Contoh 2.1a). Jika diketahui matriksPxxQy=−=2417522811,dan PQ+=12412236Tentukan nilai x dan y!Jika dimisalkan R = P + Q, maka jumlah matriks P dan Q adalahRPQxxy=+=++++++=12412236222481175112412236-Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperolehx + 2 = 12 atau x = 10x – 7 + y = 3 atay 10 – 7 + y = 3 atau y = 0Jadi diperoleh nilai x = 10 dan y = 0b).Diketahui matriks T=631550137. Tunjukkan bahwa T + 0 = T dan 0 + T = T dengan 0 adalah matriks nol berordo 3 × 3.
42Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1•TO+=+631550137000000000=+++++++++=603010505000103070631550137==T• OT+=+=+++++0000000006315501370603010505500010307++++=631550137=TDalam kajian selanjutnya, jika dikatakan matriks nol, maka kita harus memikirkan matriks nol dengan ordo yang sama dengan matriks yang sedang dikaji. Demikian juga halnya untuk matriks identitas, I.Masalah-2.2Cermati skema dan biaya penerbangan salah satu jenis pesawat dari Bandara Soekarno Hatta Jakarta ke berbagai kota yang ada di Pulau Sumatera yang disajikan sebagai berikut.Gambar 2.1 : Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota MPTKJAPBPDPPANJ1 1,5 0,41,10,80,60,71 ,50 ,40 ,40 ,50 ,71,20 ,60 ,5Gambar-2.1: Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota
43Matematikaa)Sajikan lintasan pesawat dalam bentuk matriks A = (aij), dengan elemen aijmenyatakan adanya lintasan penerbangan yang langsung antar dua kota.b)Sajikan biaya penerbangan dalam bentuk matriks B = (bij), dengan bijmenyatakan biaya penerbangan antar dua kota. Selanjutnya tentukan biaya penerbangan yang paling rendah dari kota Jakarta (J) ke kota Aceh (A) dengan bobot biaya penerbangan yang tersedia dalam juta rupiah!c)Jika matriks pada bagian a) dikalikan dengan dirinya sendiri, apa yang dapat kamu simpulkan dari unsur-unsur matriks tersebut?Alternatif Penyelesaian Bagian a)Kata kunci pada persoalan ini adalah adanya lintasan antar dua kota, secara matematis, fungsi lintasan antar dua kota tersebut, dinyatakan sebagai berikut: Dari hasil pengamatan lintasan penerbangan pesawat pada skema di atas, diperoleh data sebagai berikut:aijijij==≠01,,untukuntukJika tidak ada lintasan langsung dua kotaJika ada lintasan langsung dua kotai)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Jakarta (J) ke kota yang lain adalah 7 lintasan, yaitu dari Jakarta ke Tanjung Karang (TK); dari Jakarta ke Palembang (P); dari Jakarta ke Pangkal Pinang (PP); dari Jakarta ke Jambi (JA), dari Jakarta ke Padang (PD), dari Jakarta ke Pekan Baru (PB), dan dari Jakarta ke Medan (M).ii)Banyak lintasan penerbangan pesawat dari Tanjung Karang ke kota lain adalah 1 lintansan, yaitu dari Tanjung Karang (TJ) ke Jakarta (J).iii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Palembang (P) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Palembang (P) ke Jakarta (J); dari Palembang ke Aceh (A); dan dari Palembang (P) ke Medan (M).iv)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pangkal Pinang (PP) ke kota yang lain adalah 1 lintasan, yaitu dari Pangkal Pinang ke Jakarta.v)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Jambi (JA) ke kota yang lain adalah 2 lintasan, yaitu dari Jambi (JA) ke Jakarta (J); dari Jambi (JA) ke Aceh (A).
44Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1vi)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Padang (PD) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Padang (PD) ke Jakarta (J); dari Padang (PD) ke Medan (M); dari Padang (PD) ke Pekan Baru (PB).vii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pakam Baru (PB) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Pekan Baru (PB) ke Jakarta (J); dari Pekan Baru (PB) ke Padang (PD); dan dari Pekan Baru (PB) ke Medan (M).viii)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Medan (P) ke kota yang lain adalah 6 lintasan, yaitu dari Medan (M) ke Jakarta (J); dari Medan (M) ke Padang (PD); dari Medan (M) ke Pekan Baru (PB); dari Medan (M) ke Palembang (P); dari Medan (M) ke Aceh (A); dari Medan (M) ke Nias (N).ix)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Aceh (A) ke kota yang lain adalah 3 lintasan, yaitu dari Aceh (A) ke Jakarta (J); dari Aceh (A) ke Medan (M); dari Aceh (A) ke Jambi (JA).x)Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Nias (N) ke kota yang lain adalah 1 lintasan, yaitu dari Nias (N) ke Medan (M).Dari data di atas, adanya lintasan penerbangan pesawat antar dua kota, dapat disajikan dalam sebuah matriks A berikut.Perhatikan elemen matriks A di atas, jumlah elemen-elemen baris menyatakan banyaknya lintasan penerbangan dari kota pada baris matriks tersebut. Misalnya pada baris pertama matriks A, jumlah elemen matriks adalah 7, artinya ada 7 lintasan penerbangan dari Jakarta ke kota-kota yang lain pada gambar.Bagian b)Dari skema penerbangan di atas, biaya penerbangan antar dua kota yang terhubung langsung, dapat disajikan dalam sebuah matriks B berikut.
45MatematikaPerhatikan Gambar-2.1 dan Matriks B di atas, terdapat 8 cara (lintasan) penerbangan dari kota Jakarta (J) menuju kota Banda Aceh (A), yaitu:i)Dari Jakarta menuju kota Medan dan dari Medan menuju Aceh dengan total biaya 2 juta Rupiah.ii)Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,1 juta Rupiah.iii)Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,4 juta Rupiah.iv)Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,8 juta Rupiah.v)Dari Jakarta menuju Jambi, dan dari Jambi menuju Aceh, dengan total biaya 2 juta Rupiah.vi)Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,9 juta Rupiah.vii)Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru Menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 2,4 juta Rupiah.viii)Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Aceh, dengan total biaya 2,1 juta Rupiah.Dari ke delapan lintasan dari Jakarta menuju Aceh, biaya terendah diperoleh melalui jalur Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya 1,8 juta Rupiah.
46Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Ingat kembali materi operasi penjumlahan matriks yang kamu sudah pelajari di kelas X, jika kita jumlahkan matriks B dengan dirinya sendiri diperolehBB+= ,,,,,,,,,,,00406070811115000400000000006000000071500700000000000800000001201000000404001100000400500150,,,,,,,,00700040500506001501200050000000000600,,,,,,,,,+ ,,,,,,,,,,,00406070811115000400000000006000000071500700000000000800000001201000000404001100000400500150070,,,,,,,,,00040500506001501200050000000000600,,,,,,,,
47MatematikaBB+=200406070811115000400000000006000000071500.,,,,,,,,,,,77000000000080000000120100000040400110000040050015,,,,,,,,000700040500506001501200050000000000600,,,,,,,,,B + B = 2B.Makna elemen matriks 2B adalah biaya pulang pergi untuk penerbangan antar dua kota. Misalnya biaya penerbangan dari Jakarta menuju Medan, dan sebaliknya, biaya pulang pergi adalah 2 × 1,5 juta = 3 juta.MisalkanmatriksBBBBB=++++=12334556718...1244344223345567123345567123345567++++=....1233455671288812444444444434444444444B33345567Definisi 2.2Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n×m, n∈ N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k∈ N adalah kB, ditulis BBBBkBk++++=...1244344, dan matriks kB berordo n×n.
48Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1b. Sifat Komutatif Penjumlahan MatriksMasalah-2.3Perhatikan masalah di bawah ini!Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang dijual antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan kualitas sedang. Pedagang satu memiliki 3 kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg mangga kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki 1 kg mangga dengan kualitas tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua pedagang tersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu menambah 20 kg mangga berkualitas tinggi dan 15 mangga kualitas sedang, sedangkan pedagang kedua menambah 20 kg mangga kualitas tinggi dan 10 kg mangga kualitas sedang. Berapakah persediaan mangga setiap pedagang sekarang?Alternatif penyelesaianPedagang satu dan pedagang dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang dan pada hari berikutnya kedua pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di bawah ini:Tabel persediaan mangga sebelum penambahanKualitas TinggiKualitas SedangPedagang I36Pedagang II18Tabel tambahan persediaan manggaKualitas TinggiKualitas SedangPedagang I2015Pedagang II2010Jika kita misalkan matriks persediaan buah mangga sebelum penambahan sebagai matriks A dan sesudah penambahan sebagai matriks B. Matriks A dan B disajikan sebagai berikut.
49MatematikaA = 3 61 8⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B = 20 1520 10⎛⎝⎜⎞⎠⎟.Ingat kembali materi operasi pada matriks yang sudah dipelajari. Dua matriks dapat dijumlahkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks A dan B memiliki ordo yang sama, yaitu; matriks berordo 2 × 2.Maka jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut.AB+=++++++=361820152010320615120810232121118201520103618203156201108+=+++++=BA=23212118Berdasarkan hasil operasi di atas dapat disimpulkan (1) total persediaan mangga Pedagang I adalah 23 kg mangga kualitas tinggi dan 21 kg mangga kualitas sedang; (2) total persediaan mangga Pedangang II adalah 21 kg mangga kualitas tinggi dan 18 kg mangga kualitas sedang; (3) ternyata hasil penjumlahan matriks A + B = B + A.Contoh 2.2Misalkan matriks A = 3−1 20 6 41 5 1⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ dan matriks B = −3−1 20 6 41−5−1⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟AB+=−+−−−−=+−31206415131206415133()−−+−++++++−+−1122006644115511()()()
50Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1BA+=−−−−+−=−+−+−312064151312064151331(1122006644115511)+++++−+−+BA+=−0240128200AB+=−0240128200Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa A + B = B + A.Mari kita buktikan secara umum bahwa operasi penjumlahan pada matriks memenuhi sifat komutatif. Misalkan matriks A dan B berordo n×k. Elemen-elemen matrik Adan B adalah bilangan real yang disajikan sebagai berikut.Aaaaaaaaaaaaakkk=111213121222323132333..................................aaaaBbbnnnnk123111=dan2213121222323132333bbbbbbbbbbkkk..,...............................bbbbnnnnk123
51MatematikaABaaaaaaaaaaaakkk+=111213121222323132333..................................aaaabbbnnnnk1231112+113121222323132333..,.........................bbbbbbbbbkkk......bbbbnnnnk123=+++++++abababababababakk111112121313112121222223232......kkkkkbabababab+++++231313232333333........................aababababnnnnnnnknk112233++++...Karena nilai aij dan bijuntuk setiap i dan j adalah bilangan real, maka nilai aij + bijsama dengan nilai bij + aij atau aij + bij = bij + aij. Dengan demikian hasil penjumlahan A + B = B + A.Sifat 2.1Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika A +B = B + A.Diberikan matriks A = x−2yy4 1⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dan B = 532xx−y⎛⎝⎜⎞⎠⎟ dengan hasil penjumlahan matriks B + A = 1 816 2⎛⎝⎜⎞⎠⎟ . Tentukan matriks A dan B!Contoh 2.3
52Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif penyelesaianBerdasarkan Definisi-2.2 di atas, A + B = B + A, sehingga diperolehA + B= xyy−241+ 532xxy−=xyyxxy−+++−+253241Berdasarkan Definisi-2.2 di atas, A + B = B + A, sehingga diperolehxyyxxy−+++−+253241= 18162Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperolehx – 2y + 5 = 1; y + 3 = 8; 2x + 4 = 16, dan x – y + 1 = 2. Dari keempat persamaan ini diperoleh nilai x, dan y.2x + 4 = 16 diperoleh x = 6.y + 3 = 8 maka y = 5Dengan demikian matriks A = xyy−241= −4541dan matriks B = 53121c. Sifat Asosiatif Penjumlahan MatriksMasalah-2.4Pada suatu acara perlombaan masak pada acara 17 Agustus di SMA yang terdiri dari tiga sekolah, terdapat tiga peserta perwakilan dari masing-masing sekolah. Terdapat tiga orang anggota tim juri menilai dari setiap hasil masakan dari masing-masing sekolah, dengan nilai rentang nilai 6 sampai 10. Tabel nilai tersebut adalah Tabel persediaan mangga sebelum penambahanJuri IJuri IIJuri IIISMA I889SMA II788SMA III1088
53MatematikaAlternatif penyelesaianMisalkan:•Nilai dari juri I untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAIII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥•Nilai juri II untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥•Nilai juri III untuk masing-masing sekolah:SMAISMAIISMAII⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥(I + II) + III = 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥= 161518⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ = 252326⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥atauI + (II+III) = 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+888⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x988⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟
54Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1= 8710⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟+171616⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟=252326⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Dari penyelesaian tersebut dapat diketahui peringkat I adalah SMA III, Peringkat kedua adalah SMA I, dan peringkat ketiga adalah SMA II. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa matriks I + (II + III) = (I + II) + III. Hal ini dinamakan sifat asosiatif operasi penjumlahan pada matriks.Contoh 2.4Misalkan A = 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟, B = 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ , dan C = 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟A + (B + C) = 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟= 3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−41 64−2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟A + (B + C) = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟(A + B) + C= 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟3−32−504⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 8−36−24−4⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟
55Matematika = 11−68−74 0⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ + 0−1−5 80 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks A + (B + C) = (A + B) + C = 11−73 14 2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟Sifat 2.2Misalkan matriks A,B dan C berordo n x k. Penjumlahan matriks A,B dan Cmemenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A +(B+C) = (A+B) + C.2. Pengurangan Dua MatriksSebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh masalah berikut ini.Masalah-2.5Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10 % dari harga perolehan sebagai berikut:Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!Jenis AktivaHarga Perolehan (Rp)Penyusutan Tahun I (Rp)Harga Baku (Rp)Mesin A25.000.0002.500.000Mesin B65.000.0006.500.000Mesin C48.000.0004.800.000
56Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Alternatif penyelesaianMisalkan:Harga perolehan merupakan matriks A = 25.000.00065.000.00048.000.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Penyusutan tahun pertama merupakan matriks B = 2.500.0006.500.0004.800.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah A – B = 25.000.00065.000.00048.000.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥−2.500.0006.500.0004.800.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=22.500.00058.500.00043.200.000⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks –B, ditulis:A-B=A+(-B).Matriks –B merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian dengan matriks B. Dari pemahaman penyelesaian Masalah-2.5 di atas, pengurangan dua matriks dapat juga dilakukan dengan mengurangkan langsung elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu : A-B = abijij−3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan MatriksDalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.
57MatematikaSebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A+ (–B), (–B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B. Artinya, matriks (–B) dapat kita tulis sebagai :–B = k.B, dengan k = –1.Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan A suatu matriks berordo m×n dengan elemen-elemen aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m×n dengan elemen-elemennya ditentukan oleh :cij= k.aij (untuk semua i dan j ).Contoh 2.5a) Jika T =, Maka 2.H=−−−−24124552224212242425482481010×−×−××−×−×=−−−−()()()().b) Jika S =, Maka189360243151812−−13131813913313601324133131513181312S=××××××−×××−()()=−−6312081564.c) Jika P =, Maka162440603672143414161424144014601436147234PP+=××××××+×11634243440346034363472×××××=+=461015918121830452754122440603672=P
58Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 14. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnyaMasalah-2.6P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan tersebut memiliki beberapa toko penjulan di beberapa kota besar di Indonesia. Persediaan alat-alat olah raga di setiap toko disajikan pada tabel berikut.Tabel 1.1: Alokasi setiap sumber yang tersediaSumberJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 95688575Surabaya705712080Makasar85605690Yogya45908764Bandung75549065Tabel di bawah ini menyatakan harga satu buah untuk setiap jenis alat musikJenis Alat MusikHarga (Rp)Piano 15.000.000,–Gitar1.500.000,–Terompet5.000.000,–Seksofon5.000.000,–Setiap toko di masing-masing kota telah berhasil menjual berbagai jenis alat musik yang disajikan pada tabel berikut.
59MatematikaKota/ TerjualJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 85568470Surabaya55528565Makasar80484386Yogya42606762Bandung72517860Amatilah data di atas dan tentukan nilai daria. Nilai persediaan alat musik seluruhnya!b. Penghasilan kotor perusahaan P.T MelodiAlternatif PenyelesaianMisalkan P adalah matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota dan matriks H adalah matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik serta T adalah matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual di setiap kota. Matriks P, H, dan T dapat ditulis sebagai berikut.Kota/ TerjualJenis Alat MusikPianoGitarTerompetSeksoponMedan 85568470Surabaya55528565Makasar80484386Yogya42606762Bandung72517860
60Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 19570854575685760905485120568790758090646515000000150000050000005000000855580427256524860518485436778706586626095708545756857609054851205687907580906465×15000000150000050000005000000P =Nilai Barang Keseluruhan = dan H =dan T =9515000000681500000855000000755000000701500000()()()()(+++00571500000120500000080500000085150000006015)()()()()(++++000000565000000905000000451500000090150000087)()()()()++++(()()()()()50000006450000007515000000541500000905000000+++++655000000()142500000010200000042500000037500000010500000008550000++++00600000000400000000127500000080000000280000000450000+++++000067500000013500000043500000032000000011255000000810++++000000450000000325000000++23270000002135500000280500000076400000001981000000===Berdasarkan hasil perhitungan di atas, diperoleh nilai barang keseluruhan di setiap toko di masing-masing kota adalah
61Matematika23270000002135500000280500000076400000001981000000MedanSurabayaMakasarYogyaBanduungNilai Inventori Barang = Berdiskusilah dengan temanmu, coba tentukan nilai barang yang terjual di setiap toko di kota.Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap elemen baris pada matriks Cberkorespondensi satu-satu dengan setiap elemen kolom pada matriks D. Seandainya terdapat satu saja elemen baris ke-1 pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan elemen kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D. Banyak perkalian akan berhenti jika setiap elemen baris ke-n pada matriks C sudah dikalikan dengan setiap elemen kolom ke-n pada matriks D. Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut. Misalkan matriks Am×n dan matriks Bn×p, matriks A dapat dikalikan dengan matriks Bjika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B berordo n×p adalah suatu matriks berordo m×p. Proses menentukan elemen-elemen hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.Aaaaaaaaaaaaaaaamnmmmnnn×112131112223221323333123 aamnBbbbbbbbbbbbbbbbnpnnnppp×112131112223221323333123 bbnp, dan =Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Am×n terhadap matriks Bn×p, dinotasikan C=A.B, maka C berordo m×p. Elemen-elemen matriks C pada baris ke-idan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-idari matriks A terhadap elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan cij=ai1.b1j+ai2.b2j+ai3.b3j+...+ain.bnj
62Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Definisi 2.3Misalkan A = aijadalah matriks yang berordo m × p dan B = adalah matriks yang berordo q × n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m × ndinotasikan A × B = C =cijberordo m × n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: cij= ai1b1j + ai2b2j+ ai3b3j+ ...+ aipbpj, dengan i = 1,2,3, ..., m; dan j = 1,2,3,...,n.Catatan:MatriksAdanBdapatdikalikanapabilabanyakkolommatriksAsamadenganbanyakbarismatriksB.Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan konsep di atas!Contoh 2.6Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.a) Diketahui matriks A3 × 3=aaaaaaaaa112131122232132333 dan B3 × 3=bbbbbbbbb112131122232132333 matriks hasil perkalian matriks A dan matriks B, A.B =aaaaaaaaabbbbbb11213112223213233311213112223.22132333bbb=+++++abababababababa111112211331211122212331311132................bababababababab21333111121222133221122222233+++++2231123222333211131223133321132abababababababa.......+++++22232333311332233333.....babababab+++Sekarang, silahkan tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks? Berikan alasanmu!b) Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 135246213240., dengan menggunakan
63Matematikakonsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:13524621324012213241526113=+++........+++++++=223342536214203440546041016...........77172741220.Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a) dan b), silahkan periksa apakah matriks 213240 dapat dikalikan terhadap matriks 135246? Berikan penjelasanmu!a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian MatriksMisalkan Matriks A = 51231 ; B = −−51231C = 2111−A × B = 5123151231×−−A × B = −+−+−−25366012153361A × B = 11481235−B × A = −−×5123151231B × A = −+−−+−25366012153361B × A = 11481235−Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif sebab A × B≠ B × AMari kita cek sifat asosiatif!A× (B×C) = 51231512312111×−−×−A× (B×C) = 51231723813×−−
64Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1A× (B×C) = 3461183−Sekarang perhatikan hasil perkalian matriks(A×B )×C = 51231512312111×−−×−(A×B )×C = 114812352111−×−−(A×B )×C = 3461183−Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan A× (B× C) = (A×B) ×C.Sifat 2.3Misalkan matriks Aberordom×n, Bberordon×p dan Cberordop×q dengan m,n,p,q∈N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A×(B×C) = (A×B) ×C.Perhatikan kembali matriks A, B, dan C di atas.Matriks A = 51231 ; B = −−51231 dan C = 2111−A × (B + C) = 51231512312111×−−+−= 5123131320×−= 24231024−(A×B) + (A×C ) = 51231512315123121×−−+×−−11= 114812351325211−+−−= 24231024−
65MatematikaDari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa A× (B + C) = (A×B) + (A×C).Sifat 2.4Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q∈N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi pen–jumlahan matriks jika dan hanya jika A × (B + C) = (A × B) + (A × C).Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks A berordo p×q.Diketahui matriks A = 0110−.Tentukanlah A2013Contoh 2.7Alternatif PenyelesaianMari cermati langkah-langkah berikut!A2 = A.A = 01100110100111001−−=−−=−..==−1Jika A2 = –I, maka A4 = I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A kelipatan 4, akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut:2013=4.(503)+1.Akibatnya, A2013 = A(4.(503)+1) = (A4 )503 .A1. Matriks A4 = I, dan In = I,n = 1,2,3,..., akibatnya berlaku, (A4 )503 = I. Oleh karena itu, A2013 = I.A = A = 0110−.Dari hasil pembahasan Contoh 2.7, secara umum dapat kita nyakan dalam definisi berikut ini.Definisi 2.7Misalkan matriks A berordo p × q dan n∈N. AAAAAnn faktor=×××...
66Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1A2013 pada contoh di atas, dengan A=0110−, kebetulan memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun, jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan An, n bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks Asebanyak n faktor.Pertanyaan Kritis:ApakahA4=Iberlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ? Uji Kompetensi 2.11.Hasil penjumlahan matriks ppq+++=23256634985. Tentukan nilai pdan q!.2. Misalkan matriks A = p+2325B = pq663+ Bila 3A = B, Tentukan nilai pdan q!.3. Diberikan matriks A = 4325−−B = 4363− dan C = −−−263235 Tunjukkan bahwa A + B = B2. + C.4. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut!a.1202541524c. −−230011111100010001b.271657301−d. 1000100011353462535.Apa yang dapat kamu jelaskan tentang operasi pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C? Paparkan di depan kelas!6.Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan:i. (A + B)2 = A2 + B2 ii. A2 – B2 = (A – B).(A + B)
67Matematika7.Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00. a)Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. b)Paket mana yang menawarkan biaya termurah?8.Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini.EksekutifEkonomiACUmum404241Mahasiswa334135Pelajar303928Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada tabel berikut.Kategori penumpangJumlah penumpangUmum123Mahasiswa109Pelajar94Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?
68Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 19.Tentukanlah B3 – 4B2 + B – 4I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 3 dan matriks B = 11212121110.Jika matriks D = 112121211 , maka tentukanlah matriks D 3– 4D 2 + D + 4.I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 311. Tentukanlah nilai p dan q yang memenuhi syarat berikut ini!a) R = pq02 dan R2 = Ib) S = ..3215−− dan S 2 = p.S+ q.IProjekRancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.5. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS a. Determinan Matriks.Masalah-2.8Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan teman-temannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya?
69MatematikaAlternatif PenyelesaianCara IPetunjuk : Ingat kembali materi sistem persamaan linier yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks.Misalkan :x = harga satu porsi ayam penyety = harga es jeruk per gelasSistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 70.0005x + 3y = 115.000Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :352370000115000=xy..Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel.axbycaxbycaabbxyc11122212121+=+=→=.cc2Solusi persamaan tersebut adalah:xbcbcabab=−−21121221.... dan yacacabab=−−12211221.... , a1b2 ≠ a2b1 ...........................................(2)ØIngat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesain SPLDV. Tentunya, kamu mampu menunjukkannya.Cara IIDalam konsep matriks, nilai a1.b2 – a2.b1 disebut sebagai determinan matriks aabb1212, dinotasikanaabb1212atau det (A), dengan matriks aabb1212= AOleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (2), dapat ditulis menjadi:xccbbaabb=12121212 dan yaaccaabb=12121212...................................................................................(3)
70Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1dengan aabb12120¹.Kembali ke persamaan (1), dengan menerapkan persamaan (3), maka diperoleh:x==−−=−−=7000011500023352321000023000091020000120000......yy==−−=−−=35700001150003523345000350000910500015000......Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp20.000,00 dan harga satu gelas Jus adalah Rp5.000,00.Notasi DeterminanMisalkan matriks A = acbd. Determinan dari matriks A dapat dinyatakan det AAacbdadbc()===−b. Sifat-Sifat Determinan.Misalkan matriks A = −−−−3241 dan matriks B = 3241−−det AA()==−−=−+=3241385det BB()==−−−−=−−=−3241385jadi AB ́ = 25Matriks A×B = 32413241−−−−−−.= −−178169
71MatematikaDengan demikian det ABAB×()==−−=−+=−17816915312825Sifat 2.5Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m∈N. Jika determinan matriks A dinotasikan Adan determinan matriks B dinotasikanB, maka ABAB=..Contoh 2.8Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.Diketahui A = 4256 dan matriks B = 1324.Tunjukkan bahwa ABAB..!=Alternatif PenyelesaianSebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:AB...==4256132419202828Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh AB..==−1920282828Sekarang kita akan bandingkan dengan nilai AB.. Dengan matriks A =4256Maka A = 14, dan B = 1324 Maka B = –2 nilai AB.= 14.(–2) = –28 ABAB..==−28Soal Tantangan....•Selidikiapakah|A.B.C|=|A|.|B|.|C|untuksetiapmatriks-matriksA,B,danCberordon×n.• JikamatriksAadalahmatrikspersegi,dankadalahskalar.Cobatelusuri,nilaideterminanmatriksk.A.
72Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSemester 1Contoh 2.9Sebuah matriks P ordo 2 × 2 denganPcd=ab dengan a, b, c, d ∈R. Jika determinan P adalahα, denganα∈R. Tentukanlah determinan dari matriksQaxcsabxdsb=-- dengan x, y ∈R.Alternatif PenyelesaianJika Pacbd=, dan determinan matriks P adalahα, maka berlaku acbd = ad – bc = αElemen matriks Q memiliki hubungan dengan matriks P, yaitu: q21= hasil kali skalar x terhadap p21 – hasil kali skalar s terhadap p11.q22= hasil kali skalar x terhadap