Gambar Sampul Matematika · Bab 1 Logika Matematika
Matematika · Bab 1 Logika Matematika
Kana Hidayati SariDewi

24/08/2021 13:52:30

SMA 11 KTSP

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
Buku Matematika IPS Kelas 11 Kurikulum 2006 KTSPMateri Pokok Pembelajaran:StatistikaPeluang, permutasian, kombinasi, frekwensiFungsi Komposisi dan Fungsi InversLi mit Fungsi, aljabarTurunan, geometri
i
Aktif Menggunakan MatematikaUntuk SMK/MAK Kelas XIRumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiPenulis : Kana Hidayati Sari DewiAdityo SuksmonoEditor : Tim Visindo Media PersadaIlustrasi, Tata Letak : Tim Visindo Media PersadaPerancang Kulit : Tim Visindo Media PersadaUkuran Buku : 17,6 ×25 cm510.07HID HIDAYATI, Kana a Aktif menggunakan matematika 2: untuk kelas XI Sekolah Menengah Kejuruan/Madrasah Aliyah Kejuruan Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntasi/Kana Hidayati, Sari Dewi, Adityo Suksmono. Jakarta : PusatPerbukuan,Departemen Pendidikan Nasional,2008. vi, 218 hlm . : ilus .; 25 Cm. Bibliografi: hlm. 218 Indeks. ISBN 979-462-941-3 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Dewi, Sari III. Suksmono, AdityoHak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit PT. Visindo Media Persada Tahun 2008Diperbanyak oleh ...
iiiPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat PerbukuanKata Sambutan
ivMatematika merupakan ilmu yang sangat berkaitan dengan kehidupan. Sebagai ibu dari ilmu pengetahuan, matematika merupakan ilmu dasar yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam bidang ilmu yang lain. Misalnya, Fisika, Kimia, Biologi, Akuntansi, Ekonomi, Sosial, dan Astronomi.Melihat betapa pentingnya matematika maka perlu adanya peningkatan kualitas pendidikan matematika di sekolah agar membentuk manusia yang memiliki daya nalar dan data pikir yang kreatif dan cerdas dalam memecahkan masalah, serta mampu mengomunikasikan gagasan-gagasannya. Pendidikan matematika harus dapat membantu Anda menyongsong masa depan dengan lebih baik. Atas dasar inilah, kami menerbitkan buku Aktif Menggunakan Matematika ini ke hadapan Anda, khususnya para siswa sekolah menengah kejuruan. Buku ini menghadirkan aspek konstektual bagi Anda dengan menggunakan pemecahan masalah sebagai bagian dari pembelajaran untuk memberikan kesempatan kepada Anda membangun pengetahuan dan mengembangkan potensi diri.Materi pelajaran matematika dalam buku ini bertujuan membekali Anda dengan pengetahuan dan sejumlah kemampuan untuk memasuki jenjang yang lebih tinggi, serta mengembangkan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, menempatkan Aktif Menggunakan Matematika sebagai teori dalam kelas akan membantu pencapaian tujuan pembelajaran.Materi-materi bab di dalam buku ini disesuaikan dengan perkembangan ilmu dan teknologi terkini. Buku ini juga diajikan dengan bahasa yang mudah dipahami dan komunikatif sehingga mempermudah siswa dalam mempelajari buku ini.Kami menyadari bahwa penerbitan buku ini tidak akan terlaksana dengan baik tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, dengan hati yang tulus, kami ucapkan terima kasih atas dukungan dan bantuan yang diberikan. Semoga buku ini dapat memberi kontribusi bagi perkembangan dan kemajuan pendidikan di Indonesia.Tim PenyusunKata Pengantar
vKata Sambutan • iiiKata Pengantar • ivBab 1 Logika Matematika ................................................................... 1A.Pernyataan dan Kalimat Terbuka ................................................. 3B.Pernyataan Majemuk........................................................................ 7C. Invers, Konvers, dan Kontraposisi ................................................ 25D.Pernyataan Berkuantor .................................................................... 28E.Pernyataan Majemuk Bersusun .................................................... 30F.Penarikan Kesimpulan ..................................................................... 34Evaluasi Materi Bab 1 ................................................................................. 41Bab 2 Relasi dan Fungsi ....................................................................... 45A.Pengertian Relasi dan Fungsi ........................................................ 47B.Fungsi Linear ....................................................................................... 54C.Fungsi Kuadrat .................................................................................... 61Evaluasi Materi Bab 2 ................................................................................. 76Evaluasi Semester 1 .................................................................................... 81Tugas Observasi Semester 1 .................................................................... 84Bab 3 Barisan dan Deret Bilangan ................................................... 85A.Pengertian Barisan dan Deret Bilangan ..................................... 87B.Barisan dan Deret Aritmetika ........................................................ 95C.Barisan dan Deret Geometri .......................................................... 104Evaluasi Materi Bab 3 ................................................................................. 117Daftar IsiDiunduh dari BSE.Mahoni.com
viBab 4 Geometri Dimensi Dua ............................................................119A.Sudut ...................................................................................................... 121B.Bangun Datar ...................................................................................... 131Evaluasi Materi Bab 4 ................................................................................. 151Bab 5 Transformasi Bidang Datar ................................................. 155A.Translasi ................................................................................................. 157B.Refleksi ................................................................................................... 162C.Rotasi ...................................................................................................... 182D.Dilatasi ................................................................................................... 188E.Komposisi Trasformasi ..................................................................... 195Evaluasi Materi Bab 5 ................................................................................. 200Evaluasi Semester 2 .................................................................................... 203Tugas Observasi Semester 2 .................................................................... 206Evaluasi Akhir Tahun .................................................................................. 207Kunci Jawaban .............................................................................................. 211Daftar Istilah .................................................................................................. 212Indeks .............................................................................................................. 215Daftar Simbol ................................................................................................ 217Daftar Pustaka .............................................................................................. 218
1Logika MatematikaLogika MatematikaBab1A. Pernyataan dan Kalimat TerbukaB. Pernyataan MajemukC. Invers, Konvers, dan KontraposisiD. Pernyataan BerkuantorE. Pernyataan Majemuk BersusunF. Penarikan KesimpulanPada bab ini, Anda akan diajak untuk memecahkan masalah yang ber -hubungan dengan konsep Logika Matematika, di antaranya mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka), mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimpilkasi, dan ingkarannya, mendeskripsikan invers, konvers, kontraposisi, menerapkan modus ponens, modus tollens, prinsip silogisme dalam menarik kesimpulanSumber: pkss.co.idLogika adalah ilmu yang mempelajari cara berpikir yang logis. Cara berpikir ini dapat berupa cara menentukan benar tidaknya suatu pernyataan. Misalnya, pernyataan "Air sungai bermuara di danau dan di laut" merupakan pernyataan yang benar karena tidak ada pertentangan di dalamnya. Bandingkan dengan pernyataan "Air adalah zat cair dan zat padat" yang merupakan pernyataan salah karena terkandung pertentangan di dalamnya. Di dalam logika matematika, Anda akan mempelajari membuat suatu ingkaran dengan benar dari suatu pernyataan. Misalnya pernyataan "Semua kasir adalah perempuan", ingkarannya adalah "Ada kasir bukan perempuan", bukan "Semua kasir bukan perempuan", karena dengan cukup seorang kasir laki-laki akan mengingkari pernyataan pertama.Selain itu, pada bab ini Anda juga akan mempelajari cara penarikan kesimpulan yang sah (valid), lebih jauhnya pelajarilah materi pada bab ini dengan baik.
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi2Materi tentang Logika Matematika dapat digambarkan sebagai berikut.Peta KonsepLogika MatematikaIngkaran disjungsi~(pcq) = ~p ¾~qIngkaran konjungsi~(pcq) = ~p ¾~qKonjungsip¾qKonversq¾pKontraposisi~q¾~pTautologiKontraposisiKontingensiPenarikan KesimpulanModus Ponensp¾qq¾ pSilogismep¾qq ¾r¾p ¾rModus Tollensp¾q~q¾~pPernyataanMajemukMejemuk BersusunTunggalIngkaran~p, ~qp, qcontohmempunyaiberdasarkan nilai kebenaranInvers~p¾~qIngkaran biimplikasi~(p¾q) = (p ¾~q)c(qc~p)Biimplikasip¾qmempunyaimempunyaiDisjungsipcqIngkaran Implikasi~(p¾q) = p ¾~qImpilkasip¾qSoal Pramateri1. Buatlah lima pernyataan yang bernilai benar.2. Buatlah lima pernyataan yang bernilai salah.3. Tentukan kebalikan dari kalimat berikut.a. Semua dokter adalah laki-laki.b. 2 + 5 = 74. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut.a. Es batu terbuat dari airb. 500= 5105. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal-soal berikut.a. 2 + 3x = 4b. p adalah bilangan prima genapKerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.
3Logika Matematika1. PernyataanSebelum Anda mempelajari definisi pernyataan, perhatikanlah beberapa contoh berikut.t .BOVTJBBEBMBINBLIluk hidupt "JSTVOHBJNFOHBMJSEBSJIVMVLFIJMJSt *OEPOFTJBUFSMFUBLEJLVUVCVUBSBt  t  BEBMBICJMBOHBOBTMJKalimat pertama dan kedua merupakan kalimat yang bernilai benar, sedangkan kalimat ketiga, keempat, dan kelima bernilai salah.Kalimat-kalimat dalam logika haruslah mengandung nilai kebenaran, baik itu bernilai benar ataupun salah. Jadi, pernyataan dapat didefinisikan sebagai berikut.A Pernyataan dan Kalimat TerbukaSuatu pernyataan (atau proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja. Dengan kata lain, tidak sekaligus kedua-duanya. Dalam logika, suatu penyataan disimbolkan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya, misalnya pada pernyataan-pernyataan berikut.p : Tiga puluh sembilan adalah bilangan primaq : 39 – 8 > 20Dari pernyataan-pernyataan tersebut diketahui bahwa pernyataan p bernilai salah, sedangkan pernyataan q bernilai benar. Nilai kebenaran pernyataan p dinotasikan dengan (p)(dibaca: Taw). Demikian pula untuk pernyataan q, nilai kebenarannya dinotasikan dengan (q). Dengan demikian, pernyataan tersebut dapat dinotasikan (p) = S (salah) dan (q) = B (benar). Contoh Soal 1.1Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.a.p: Semua sekertaris adalah perempuan, b.q: Satu hari lamanya 24 jam,c.r: Ikan dapat hidup di darat,d.s : π adalahbilangan irasional, e.t : Jam kantor adalah 8 jam, Kata Kunci• pernyataan• kalimat terbuka• ingkaranGambar 1.1"Semua sekertaris adalah perempuan" adalah pernyataan yang bernilai salah.Sumber : www.pearsall.k12.tx.us
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi4Tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran, seperti kalimat perintah, kalimat tanya, dan kalimat harapan bukan merupakan pernyataan. Kalimat yang nilai kebenarannya relatif juga bukan pernyataan.Berikut ini adalah kalimat-kalimat yang bukan pernyataan.1. Berapa nilai ulanganmu? (kalimat tanya)2. Tolong buka pintunya! (kalimat perintah)3. Mudah-mudahan besok hujan. (kalimat harapan)4. Barang ini mahal. Kalimat ke-4 bukan merupakan pernyataan karena kalimat ini memiliki nilai ke benarannya relatif, yaitu ukuran mahal untuk setiap orang bisa berbeda. Menurut seseorang mahal, bisa jadi menurut orang lain tidak mahal.2. Kalimat TerbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka selalu mengandung peubah-peubah atau variabel-variabel.Perhatikan beberapa kalimat berikut.tx + 2 < 4, x bilangan real. ty = 2x + 1, x dan y bilangan real. tB dijuluki kota hujan.Kalimat-kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya, sehingga kalimat-kalimat itu belum dapat dikatakan sebagai pernyataan. Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut Kalimat Terbuka. Ciri kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.Pada x + 2 < 4, variabelnya adalah x. Untuk y = 2x + 1 memiliki 2 variabel, yaitu x dan y. Adapun untuk "B dijuluki kota hujan" variabelnya adalah B. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan jika peubah-peubah atau variabel-variabel dalam kalimat tersebut diganti dengan suatu nilai (dapat berupa bilangan, Jawab:a. (p) = S d. (s) = Bb. (q) = B e. (t) = Sc. (r) = S Jelajah MatematikaDi Abad ke-19, ahli matematika berkebangsaan Inggris, George Boole (1815-1864) yang tidak pernah menyelesaikan kuliahnya, ternyata menjadi profesor matematika. Beliau menyelidiki hukum dasar logika dan menyatakannya dalam istilah aljabar. Pada tahun 1854, ia menerbitkan aljabar temuannya, yaitu suatu cara untuk menggabungkan lambang-lambang yang menyatakan aturan-aturan logika secara sempurna. Sekarang, Anda mengenal aljbar Boolean yang dapat menjelaskan logika matematika pada komputer.Sumber: Finite Mathematics and Its Application, 2nd Edition, 1994Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002
5Logika Matematikanama kota, nama penyanyi dan sebagainya) sehingga kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran. Kalimat terbuka pada kalimat-kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika peubahnya berturut-turut diganti dengan x = 1, x = 0 dan y = 3, dan B = Bogor.Nilai-nilai untuk peubah pada kalimat terbuka yang mem-buat kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian. Himpunan dari nilai-nilai ini disebut himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian x + 2 < 4 adalah {x7x < 2, x ¾R}. Himpunan penyelesaian y = 2x + 1 adalah {(x, y)7y = 2x + 1, x, y ¾R}. Himpunan penyelesaian dari "B dijuluki kota hujan" adalah {Bogor}. Jika peubah dalam kalimat terbuka tidak diganti dengan nilai-nilai pada himpunan penyelesaiannya, kalimat terbuka tersebut akan menjadi pernyataan yang salah. Misalnya,t ,BMJNBUx + 2 < 4, x bilangan real" akan menjadi pernyataan salah jika x diganti dengan 3.t ,BMJNBUy = 2x + 1, x dan y bilangan real" akan menjadi pernyataan salah jika x dan y berturut-turut diganti dengan 0 dan 4.t ,BMJNBUB dijuluki kota hujan" akan menjadi pernyataan salah jika B diganti dengan Bali. 3. IngkaranSuatu pernyataan yang diperoleh dari pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya disebut ingkaran atau negasi.Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata "bukan" pada pernyataan tersebut. Berikut adalah definisi ingkaran.Ingkaran dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p dan dibaca "bukan p", yaitu suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran p. Jika p benar maka ~p salah dan jika p salah maka ~p benar.p~pBSSB"Jika nilai Matematika Ani lebih dari 4 maka Ani lulus ujian". Negasi dari pernyataan tersebut adalah ....a. Jika nilai Matematika Ani lebih dari 4 maka Ani tidak lulus ujianb. Jika nilai Matematika Ani kurang dari 4 maka Ani lulus ujianc. Jika Ani lulus maka nilai Matematikanya lebih dari 4d. Nilai Matematika Ani lebih dari 4 dan Ani tidak lulus ujiane. Nilai Matematika Ani kurang dari 4 atau Ani lulus ujianJawab:p : Nilai Matematika Ani lebih dari 4q : Ani lulus ujianImplikasi p¾qIngkarannya adalah ~ (p¾q) p¾~q atau "Nilai Matematika Ani lebih dari 4 dan Ani tidak lulus ujian"Jawaban: dUNSMK, 2004 Solusi Cerdas
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi61.Tentukan manakahdari kalimat-kalimatberikut yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan.a.Saya suka akuntansi.b.Harga perolehan sama dengan harga beli.c.Apa yang dimaksuddengan per-nyataan?d.4 + (–4) = 0.e.2adalah bilangan real.f.ff6 > –5g.Hati-hati di jalan.h.3adalah faktor dari 12.i.Laporan keuangan harus dibuat tiap awalbulan.j.Jika 4 < 5 maka 2 < 5k.Akar dari x2= 1 adalah 1 atau –1l.Harta adalah utang ditambah modal.Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 1.1Contoh Soal 1.2Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.a.p: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.b.q: Pinguin bukan burung.c.r: 1 + 1 = 2d.t: Semua bilangan cacah adalahbilangan real.e.u: utang dagang termasuk pada kewajiban.Jawab:a.p: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.~p: Ibukota Jawa Barat bukan Surabaya.(p) = S,(~p) = Bb.q: Pinguin bukan burung.~q: Pinguin adalah burung.(q) = S,(~q) = Bc.r: 1 + 1 = 2~r : 1 + 1 ≠ 2(r) = B,(~r) = Sd.t: Semua bilangan cacah adalah bilangan real.~t: Ada bilangan cacah yang bukan bilangan real.(t) = B,(~t) =Se.u: utang dagang termasuk pada kewajiban.~u : surat-surat berharga termasuk pada kewajiban.(u) = B,(–u) = SGambar 1.2Ingkaran "pinguin bukan burung" adalah "pinguin adalah burung".Sumber : upload.wikimedia.org
7Logika Matematika2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.a. Deposito termasuk aktiva lancar.b. 8 merupakan bilangan komposit.c. log 10 = 1d. Perkalian bilangan bulat dengan bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil. e. 1001 adalah matriks satuan.f. 51 habis dibagi 3.g. Garis y = x melewati titik (0, 0).h. 93 adalah bilangan prima. i. Akar dari x2 = 4 adalah 4 atau –4.j. Faktur adalah bukti pembelian atau penjualan barang secara kredit. k. 22 adalah bilangan irasional.3. Gantilah variabel-variabel pada kalimat-kalimat terbuka berikut sehingga kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar.a. x – 3 = 4 b. 2x = 3c. log 100 = 2xd. pengorbanan untuk memperoleh penghasilan disebut A.e. y = x + 4 f. x2 – 4x + 3 = 0 g. y < 2x h. x2 < 4i. x adalah salah satu bukti transaksi.j. y + 3x > 34. Buatlah ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut.a. Manusia adalah makhluk sosial.b. Semua bilangan bulat adalah bilangan real.c. 2 adalah bilangan rasional.d. Di Kepulauan Seribu ada seribu pulau.e. 24 = 2 + 2 + 2 + 2f. Beberapa provinsi di Indonesia adalah daerah istimewa.g. log (ab) = log a + log bh. Semua penduduk Indonesia wajib mempunyai KTP.i. Beberapa negara tidak mempunyai kepala pemerintahan.j. Posting merupakan pemindahan bukuan catatan jurnal ke buku besar.B Pernyataan MajemukPada bagian sebelumnya, pernyataan-pernyataan yang Anda pelajari lebih banyak merupakan pernyataan-pernyataan tunggal. Jika pernyataan-pernyataan tunggal ini digabungkan menggunakan kata dan, atau, jika...maka..., atau ...jika dan hanya jika... maka akan terbentuk suatu pernyataan majemuk. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.t 1POUJBOBLBEBMBIJCVLPUBQSPWJOTJ,BMJNBOUBO#BSBUt 1POUJBOBLEJMBMVJgaris khatulistiwa. Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal. Kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata hubung "dan" akan menjadi kalimat majemuk, "Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimatan Barat dan dilalui garis khatulistiwa".Gambar 1.3"Pontianak adalah ibu kota Provinsi Kalimantan Barat dan dilalui garis khatulistiwa" merupakan pernyataan majemuk.Sumber : www.gemari.or.id
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi8Terdapat empat bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.1. KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata "dan". Kata "dan" dilambangkan dengan "¾". Jika p dan q pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan q dinyatakan denganp ¾qContoh Soal 1.3Tentukan konjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut.a.p : Perahu berlayar dengan bantuan mesin.q:Perahu berlayar dengan bantuan angin.b.r : Gaji pegawai termasukbeban operasionals: Harga pokok barang yang dijual termasuk beban operasionalc.t:52adalahbilangan irasionalu:52 adalahbilangan rasionalJawab:a.pq:perahu berlayar dengan bantuan mesin dan anginbrs:gaji pegawai dan harga pokok barang yang dijual termasukbeban operasional.c.tu:52 adalah bilangan irasional dan 52adalah bilanganrasionalMisalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka terdapat 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari p dan q pada suatu konjungsi p ¾ q. Komposisi-komposisi tersebut di antaranya:tp benar dan q benar tp benar dan q salahtp salah dan q benartp salah dan q salahKonjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Selain dari itu bernilai salah. Pada Contoh Soal 1.3, keempat konjungsi bernilai benar.Nilai-nilai kebenaran dari suatu konjungsi dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.Gambar 1.4"Perahu berlayar dengan mesin dan angin" adalah pernyataan konjungsi.Sumber : wolstenholme.com
9Logika Matematikapqp ¾qBBBBSSSBSSSSContoh Soal 1.4Jika pernyataanpbernilai benar dan q bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut.a.pqc.~qpb.p ~qd.qpJawab:a.pbenar danqsalah maka(pq) = Sb.pbenar dan ~qbenar maka (p~q) = Bc.~qbenar dan pbenar maka(~qp) = Bd.qsalah danpbenar maka(qp) =SPada Contoh Soal 1.4 tampak nilai kebenaran p ¾ q sama dengan nilai kebenaran q ¾ p dan nilai kebenaran p ¾ ~q sama dengan nilai kebenaran ~q ¾ p. Dengan demikian, dapat diuji bahwa pada konjungsi berlaku hukum komutatif.Jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku hukum komutatif p ¾ q ° q ¾ p.ContohSoal 1.5Tentukan nilai-nilaixsehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.a.x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0b.x2+x6 = 0dan x2= 4,x Rc.x > 0dan x23x + 2 = 0, xRJawab:a.Untuk menjadi konjungsi yang benar, kedua kalimat padax + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 harus bernilai benar. 2 + (–2) = 0 adalah pernyataan benar. x + (–2) = 5 akan menjadi pernyataan benar jikaxx diganti dengan 7.xDengan demikian, kalimatx + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 akanmenjadi konjungsi benar jikax = 7.b.Agar x2+x6 = 0danx2 = 4,xRbernilai benar, harus dicarinilaixyang memenuhi kedua persamaan.Jelajah MatematikaGeorge Boole (1815 - 1864), ahli matematika Inggris adalah orang per-tama yang menggantikan nilai kebenaran "benar" dengan "1" dan nilai kebenaran "salah" dengan "0". Sistem bilangan yang hanya terdiri atas dua macam bilangan terse-but dinamakan sistem biner. Temuan ini sangat berguna untuk menyusun program komputer. Proses pengubahan data ke da-lam sistem bilangan biner disebut konversi biner, dan notasi yang dihasilkan dari konvensi ini dinama-kan kode biner.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002Kode Biner dalam Program KomputerSumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002NotesPada konjungsi berlaku hukum komutatif p¾q°q¾p
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi10Perhatikan kembali Contoh Soal 1.5. Pada Contoh Soal 1.5 (b), himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah P = {–3, 2} dan himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah Q = {–2, 2}.Oleh karena itu, x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P ¾Q = {–3, 2} ¾{–2, 2} = {2}.Diagram Vennnya adalahS–3P2–2QUntuk Contoh Soal 1.5 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x > 0 adalah P = {x7x > 0, x ¾R} dan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 = 0 adalah Q = {1, 2}.Oleh karena itu, x = 1 atau x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P ¾Q = {x7x, x ¾R} ¾{1, 2} = {1, 2}.Diagram Vennnya adalahPertama, harus dicari terlebih dahulu himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan. Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah {–3, 2}. Himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah {–2, 2}.Kemudian, substitusikan x = –3, x = –2, dan x = 2 pada x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4 diperoleh:t VOUVLx = –3 : (–3)2 + (–3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0 (–3)2 = 9 ≠ 4x = –3 tidak memenuhi persamaan x2 = 4. Jadi, x = –3 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x ¾ R.t 6OUVLx = –2 : (–2)2 + (–2) – 6 = 4 – 2 – 6 = –4 ≠ 0 (–2)2 = 4x = –2 tidak memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0. Jadi, x = –2 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x ¾R.t 6OUVLx = 2 : (2)2 + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 22 = 4x = 2 memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4. Jadi x = 2 penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x ¾ R. Jadi, kalimat x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x ¾ R akan menjadi konjungsi yang benar jika x = 2.c. Dengan cara yang sama dengan (b), diperoleh kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x ¾ R akan menjadi konjungsi jika x = 1 atau x = 2. Jadi, kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x ¾ R mempunyai himpunan penyelesaian {1, 2}.NotesNotasi° dibaca ekuivalen. Dua pernyataan disebut equivalen jika nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Nilai kebenarannya dapat ditunjukkan dengan membuat tabel nilai kebenaran.
11Logika MatematikaSP12QDengan demikian, uraian di atas menggambarkan ketentuan berikut. Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), himpunan penyelesaian dari p(x) ¾q(x) adalah P ¾Q.Contoh Soal 1.6Diketahui p(x) = x2x – 2 ≥ 0,q(x) = x24x + 3 = 0,xR.Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) sehingga kalimattersebut menjadi konjungsi yang benar. Kemudian, gambarkandiagramVennnya.Jawab:Himpunan penyelesaian dari p(x) =x2x – 2 ≥ 0adalahP = {x7x ≤ –1 ataux2,xR}.Himpunan penyelesaian dariq(x) =x24x+ 3 = 0 adalahQ = {1, 3}.Himpunan penyelesaian darip(x)q(x) adalahPQ= {x7x≤ –1 atau x≥ 2,xR}{1, 3} = {3}Diagram Vennnya:SP31QKata Kunci• konjungsi• disjungsi• implikasi• biimplikasi2. DisjungsiDisjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata "atau". Kata atau dilambangkan dengan "c". Jika p dan q pernyataan tunggal maka disjungsi dari p dan q dinyatakan denganp cq
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi12Gambar 1.5"Air adalah zat cair atau padat" merupakan pernyataan disjungsi.Sumber : upload.wikimedia.orgPerhatikan beberapa pernyataan disjungsi berikut.1. Timor Leste terletak di Timur Tengah atau di Asia Tenggara.2. Air adalah zat cair atau padat.3. Akar dari x2 = 2 adalah –2 atau 2.4. Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan atau uang perusahaan yang disimpan di bank.Seperti juga konjungsi, terdapat 4 kemungkinan komposisi dari p dan q pada suatu disjungsi p cq, yaitu:tp benar dan q benar tp benar dan q salahtp salah dan q benartp salah dan q salahDisjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah. Selain dari itu, disjungsi bernilai benar. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.pqp cqBBBBSBSBBSSS1. "Timor Leste terletak di Timur Tengah" adalah pernyataan salah dan "Timor Leste terletak di Asia Tenggara" adalah pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.2. "Air adalah zat cair" merupakan pernyataan benar dan "air adalah zat padat" merupakan pernyataan salah maka disjungsi bernilai benar.3. "Akar dari x2 = 2 adalah –2" merupakan pernyataan benar dan "akar dari x2 = 2 adalah 2" merupakan pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.4. "Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan" adalah pernyataan yang benar dan "Kas adalah uang perusahaan yang disimpan di bank" adalah pernyataan yang benar maka konjungsi bernilai benar.
13Logika MatematikaPada Contoh Soal 1.7 tampak nilai kebenaran p c q sama dengan nilai kebenaran q c p. Nilai kebenaran p c ~q sama dengan nilai kebenaran ~q c p. Dengan demikian, pada disjungsi berlaku hukum komutatif, yaitu jika p dan q adalah pernyataan maka berlakuContoh Soal 1.7Jika pernyataanpsalah danqbenar, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut.a.pcqc.~qcpb.p c~cqd.qcpJawab:a.psalah dan qbenar, maka(pcq) =Bb.psalahdan ~q salah, maka(pc~cq) =Sc.~qsalah danp salah, maka(~qcp) = Sd.qbenar dan p salah, maka(qcp) = Bp c q ° q c p Hukum komutatifContoh Soal 1.8Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat-kalimat berikutsehingga menjadi disjungsi yang benar.a.log 100 = 2 atau logx= 1.b.x2 +x – 2 = 0 ataux2+ 5x + 6 = 0,xR.c.x23x + 2 < 0dan x2+x = 0, x R.Jawab:a.log 100 = 2 adalah pernyataan benar.Olehkarena pernyataan pertama benar, Anda dapat memasukkannilai-nilaix > 0 pada logx = 1 sehingga kalimat log 100 = 2 ataulogx = 1 menjadi disjungsi benar. Jadi, himpunan penyelesaian untuklog 100 = 2 atau logx= 1 adalah{x7x > 0,xR}.b.Misalkanp(x) = x22x + 1 = 0 danq(x) = x2 + 5x+ 6 = 0.Agarp(x)cq(x),xR bernilai benar, cukup dicari nilai x yang memenuhi salah satu persamaan. Oleh karena itu, penyelesaian-nya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian masing-masing persamaan.Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2+x – 2 = 0 adalah P= {–2, 1}.Himpunan penyelesaian dari q(x) =x2 + 5x + 6 = 0adalah Q = {–2, –3}.Jadi, himpunan penyelesaian darix2+x – 2 = 0 atauxx2+ 5x+ 6 = x0,xRadalah PQ= {–2, 1}{–2, –3} = {–2, –3, 1}.NotesPada disjungsi berlaku hukum komutatif pcq°qcp
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi14Perhatikan kembali Contoh Soal 1.8. Untuk Contoh Soal 1.8 (b), himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – 2x + 1 = 0 adalah P = {–2, 1}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 + 5x + 6 = 0 adalah Q = {–2, –3}.Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 2 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0, x ¾R adalah P ¾ Q = {–2, 1} ¾{–2, –3} = {–2, –3, 1}.Diagram Vennnya adalahSP–2Q1–3Untuk Contoh Soal 1.8 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 < 0 adalah P = {x71 < x < 2, x ¾R} dan himpunan penyelesaian dari x2 + x = 0 adalah Q = {–1, 0}.Oleh karena, x = –1 atau x = 0 adalah gabungan dari P dan Q, yaitu {x7x = –1 atau x = 0 atau 1 < x < 2, x ¾R} atau dapat ditulis {x71 < x < 2, x ¾ R}¾{–1, 0} = P ¾Q.Diagram Vennnya adalahSP–10QUraian tersebut menggambarkan ketentuan berikut.Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), maka himpunan penyelesaian dari p(x) cq(x) adalah P ¾Q.c. Dengan cara yang sama dengan nomor 2, diperoleh himpunan penyelesaian untuk x2 – 3x + 2 < 0 dan x2 + x = 0, x ¾ R adalah {x7x = – 1 atau x = 0 = 1 atau 1 < x < 2, x ¾ R}.
15Logika MatematikaContoh Soal 1.9Diketahuip(x) = x23x+ 2 = 0,xq(x) =x25x + 6 = 0, xxR. Tentukanhimpunan penyelesaian dari p(x(() xc)) qcc(x(() sehingga kalimat tersebut menjadixdisjungsi yang benar. kemudian gambarkandiagram Vennnya.Jawab:Himpunan penyelesaian dari p(x) = x23x + 2 = 0adalahP= {1, 2}.Himpunan penyelesaian dari q(x) = x25x + 6 = 0 adalahQ= {2, 3}.Himpunan penyelesaian dari p(x)cq(x) adalahPQ = {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3}Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.SP231Q3. Ingkaran dari Konjungsi dan Dis jungsia. Ingkaran dari KonjungsiIngkaran dari suatu konjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari konjungsi sebelumnya.Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka tabel nilai kebenaran dari konjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut.pqp ¾q~(p ¾q)BBBSBSSBSBS BSSSBPerhatikan contoh soal berikut agar Anda memahami cara menarik ingkaran dari pernyataan yang mengandung konjungsi. Jelajah MatematikaRussel (1872-1970) Seorang filsuf dan ahli logika asal inggris yang memperoleh hadiah nobel untuk bidang kesastraan pada tahun 1950. Kejeniusannya mulai terlihat pada saat ia kuliah di universitas Cambridas Inggris, di mana ia belajar matematika dan filisofi. Ia berkeinginan mengekpresikan ilmu pengetahuan dalam bentuk yang disederhanakan, dan menghubungkan logika secara langsung dengan matematika.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002Sumber: media-2.web.britannica.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi16Contoh Soal 1.10Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~pc~q.Jawab:pq~p~q~pc~qBBSSSBSSBBSBBSBSSBBBTampak pada Contoh Soal 1.10, nilai kebenaran ~p c~q sama dengan ~(p ¾ q). Dengan demikian, diperoleh~(p ¾q) °~p c ~qSifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.Contoh Soal 1.11Tentukan ingkaran dari pernyataan "2 adalah bilangan genap danbilangan prima".Jawab:Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari "2 adalahbilangangenap dan bilangan prima" adalah "2 bukan bilangan genap atau 2bukan bilangan prima".b. Ingkaran dari DisjungsiIngkaran dari suatu disjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari disjungsi sebelumnya.Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka tabel nilai kebenaran dari disjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut.pqp cq~(p cq)BBBSBSBSSBBSSSSB
17Logika MatematikaContohSoal 1.12Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~p~q.Jawab:pq~p~q~p~qBBSSSBSSBSSBBSSSSBBBTampak pada Contoh Soal 1.12, nilai kebenaran ~p ¾~q sama dengan ~(p cq). Dengan demikian diperoleh~(p cq) ° ~p ¾~q Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.Contoh Soal 1.13Tentukan ingkaran dari pernyataan "2adalahbilangan rasionalatau bilangan irasional".Jawab:Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari "2adalah bilan-gan rasional atau bilangan irasional" adalah "2bukan bilanganrasional dan bukan bilangan irasional".4. ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "jika ... maka ...." Implikasi dilambangkan dengan "¾". Jika p dan q adalah pernyataan, maka implikasi "jika p maka q" ditulis p ¾q. Implikasi merupakan pernyataan sebab akibat. Pada implikasi p ¾q, maka p disebut sebab atau alasan, dan q disebut akibat atau kesimpulan.Berikut adalah pernyataan-pernyataan implikasi.1. Jika tanggal di kalender merah maka hari libur.2. Jika harga naik maka permintaan turun.3. Jika a > 0 maka 1a> 0.4. Jika 2 faktor dari 6 maka 6 bilangan genap.NotesHukum de Morgan ~ (p ¾q) °~ p c~q~ (pcq) ° ~p¾ ~q
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi18Sama seperti konjungsi dan disjungsi, terdapat empat kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada suatu implikasi, yaitu sebagai berikut.t KJLBp (alasan) benar maka q (kesimpulan) benar t KJLBp (alasan) benar maka q (kesimpulan) salaht KJLBp (alasan) salah maka q (kesimpulan) benart KJLBp (alasan) salah maka q (kesimpulan) salahImplikasi hanya bernilai salah jika pernyataan yang merupakan kesimpulannya bernilai salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.p(alasan)q(kesimpulan)(p ¾q)BBBBSSSBBSSBContoh Soal 1.14Jika pernyataanpbenar dan q salah, tentukan nilai kebenaran daridisjungsi-disjungsi berikut.a.pqc.p(~qcp)b.p~qd.(qcp)~qJawab:a.pbenar danq salah, maka (pq) =S.b.pbenar dan ~qbenar, maka (p~q) = B.c.~qbenar,pbenar, dan (~qcp) = B, maka (p(~qcp)) =Bd.q salah,pbenar,dan (qcp) =B, maka ((qcp) ~q)) = BPada contoh berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu implikasi yang bernilai benar.ContohSoal 1.15Tentukan nilai-nilaixsehingga x2– 5x + 6 = 0x22x= 0,xRmenjadi implikasi yang benar.Jawab:Misalkanp(x): x25x+ 6 = 0dan q(x):x22x = 0Agarp(x)q(x),xRbernilai benar,harus dicari nilai xyang mem-buatq(x) menjadi pernyataan benar atau nilai x yang membuat p(x)dan q(x) menjadi pernyataan salah.Himpunan penyelesaian dari p(x): x25x + 6 = 0 adalahP= {2, 3}.Himpunan penyelesaian dari q(x): x22x = 0adalahQ = {0, 2}.
19Logika MatematikaSubstitusikan x = 2 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 22 – 5 Ÿ2 + 6 = 0 ¾ 02 – 2 Ÿ0 = 0 B BDiperoleh implikasi bernilai benar.Substitusikan x = 3 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 32 – 5 Ÿ3 + 6 = 0 ¾ 32 – 2 Ÿ3 = 3 ≠ 0 B SDiperoleh implikasi bernilai salah.Substitusikan x = 0 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 02 – 5 Ÿ0 + 6 = 6 ≠ 0 ¾ 02 – 0 Ÿ0 = 0 S B Diperoleh implikasi bernilai benar.Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah.Ambil, x = 4. Substitusikan x = 4 ke persamaan x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x) : x2 – 2x = 0, diperoleh 42 – 5 Ÿ4 + 6 = 2 ≠ 0 ¾ 42 – 2 Ÿ4 = 8 ≠ 0 S SDiperoleh implikasi bernilai benar.Jadi, x2 – 5x + 6 = 0 ¾ x2 – 2x = 0, x ¾R hanya akan bernilai salah untuk x = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x7x ≠ 3, x ¾ R}.Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.SP213Q5. BiimplikasiBiimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata. Jika dan hanya jika... Kata "Implikasi" dilambangkan dengan ¾. Jika p dan q adalah pernyataan, maka biimplikasi "p jika dan hanya jika q" dinyatakan dengan p ¾ q. Misalkan:1. Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat.2. log b = c jika dan hanya jika 10c = b.3. 2n bilangan genap jika dan hanya jika n bilangan bulat.4. a + b = 0 jika dan hanya jika b = –a.Gambar 1.6Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat.Sumber : www.kanwilpajakkhusus.depkeu.go.id
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi20Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang menyu-sunnya benar atau kedua pernyataan yang menyusunnya salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.pqp ¾qBBBBSSSBSSSBContoh Soal 1.16Buktikan pq°(°pq)(qp).Jawab:Buktikan dengan membuat tabel nilai kebenaran (pq)(qp), kemudian Anda bandingkan hasilnya dengan tabel nilai kebenaranpq.pqpqqp(pq)¾(qp)BBBBBBSSBSSBBSSSSBBBTampak nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran (p ¾ q) ¾(q ¾p) sama dengan nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran p ¾q. Dengan demikian, terbukti p ¾ q ° (p ¾q) ¾(q ¾ p).Contoh Soal 1.17Jika pernyataan psalahdanqbenar, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.a.pqc.(~qcp) cqb.p ~qd.q(~pq)Jawab:Diketahuipsalahdan qbenar.a.(pq) =Sb.(p ~q) = Bc.(~qcp) = S, maka ((~qcp)~q) = Bd.(~pq) = B, maka(q(~pq)) = BTentukan nilai kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi berikut.a. 23 = 8 ¾83= 2b. x2 = 4 ¾x = 2c. x2 > 9 ¾x < –3 atau x > 3Soal Pilihan
21Logika MatematikaContoh Soal 1.18Tentukan himpunan penyelesaiannya sehingga menjadi biimplikasiyang benar.x23x+ 2 = 0x2x= 0,xR.Jawab:Misalkan p(x): x23x+ 2 = 0 dan q(x):x2x= 0.Agarp(x)q(x),xR bernilai benar, harus dicari nilai xyangmem-buatp(x) dan q(x) menjadi pernyataan benar atau nilaix yang membuatp(x)dan q(x) menjadi pernyataan salah. Himpunan penyelesaian dari p(x): x23x+ 2 = 0adalahP= {1, 2}.Himpunan penyelesaian dariq(x): x2x = 0adalah Q= {0, 1}.Substitusikanx = 1 pada x2 – 3x + 2 = 0 danx2x= 0, maka123Ÿ1 + 2 = 012 – 1 = 0BBDiperolehbiimplikasi bernilai benar.Substitusikan x = 2 pada x23x + 2 = 0danx2x= 0, maka223Ÿ2 + 2 = 0222 = 20BSDiperolehimplikasi bernilai salah.Substitusikanx = 0 pada x23x + 2 = 0danx2x= 0, maka02– 3Ÿ0 + 2 =2 ≠ 0 02– 0 = 0SBDiperolehimplikasi bernilai salah.Selanjutnya, Anda cari nilai xyang membuat p(x)danq(x) menjadipernyataan salah.Ambil x = 10.Substitusikan x= 4 ke persamaanx23x+ 2 = 0dan x2x= 0, diperoleh1023Ÿ10 + 2 = 72 ≠ 0 102 – 10 = 900SSDiperolehimplikasi bernilai benar.Jadi,x23x+ 2 = 0 x2x= 0, x Rhanya akan bernilai salahuntukx = 0danx= 2. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannyaadalah{x7x ≠ 0 danx ≠ 2,xR}.Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.SP102QPada contoh soal berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu biimplikasi bernilai benar.
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi226. Ingkaran dari Implikasi dan Biimplikasia. Ingkaran dari ImplikasiIngkaran dari suatu implikasi mempunyai nilai yang berlawanan dari implikasi sebelumnya.Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan yang berbeda, maka tabel nilai kebenaran dari implikasi dan ingkarannya adalah sebagai berikut.pqp ¾q~(p ¾q)BBBSBSSBSBBSSSBSContohSoal 1.19Buatlah tabel nilai kebenaran darip~q.Jawab:pq~qpqBBSSBSBBSBSSSSBSTampak pada Contoh Soal 1.19 nilai kebenaran untuk ~(p ¾q) sama dengan p ¾~q. Dengan demikian, diperoleh~(p ¾q) ° p ¾ ~qDari hubungan tersebut, Anda peroleh hubungan implikasi dengan disjungsi, yaitup ¾ q ° ~(p ¾~q) ° ~p cq
23Logika MatematikaContoh Soal 1.20Tentukan ingkaran dari pernyataan:Jika harga naik maka permintaan turun.Jawab:Misalkan p: harga naik dan q: permintaan turun, maka pernyataan di atas menjadi pq.Telahdiketahui bahwa ~(pq)°p~qmaka ingkaran dari pernyataan "Jika harga naik maka permintaan turun" adalah "Harganaikdan permintaan tidak turun".b. Ingkaran dari BiimplikasiSebelumnya telah diketahui bahwa pernyataan berikut ekuivalen p ¾q ° (p ¾q) ¾(q ¾p) dan p ¾ q ° ~p cq.maka diperoleh~(p ¾q) ° ~[(~p cq) ¾(~q cp)] ° (p ¾~q) c(q ¾~p)atau dapat ditulis~(p ¾q) ° (p ¾~q) c(q ¾~p)Lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 1.21 berikut.Contoh Soal 1.21Te n t ukan ingkaran dari pernyataan berikut "x adalah segiempat jika dan hanya jika xmempunyai 4 titik sudut".Jawab:Misalkan,p: xadalah segiempatq:xmempunyai 4 titik sudut, maka pernyataan di atas menjadixpq.Diketahui ~(pq)° (°p~q) c(q~p).selanjutnya diperoleh ingkaran dari pernyataan "xadalah segiempat jika dan hanya jika xmempunyai 4 titik sudut" adalah "xadalah segi-empat dan tidak mempunyai 4 titik sudut atau x mempunyai 4 titiksudut dan xbukan segiempat".Tentukanlah ingkaran dari 14 < 4 jika dan hanya jika sin 60° = 123.Soal Pilihan
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi241.Tentukan nilai kebenaran konjungsi-konjungsiberikut.a.Jakarta dan Kuala Lumpur adalahkota besar di Indonesia.b.Indonesiaterdiri atas30 Provinsi dan setiap Provinsi di Indonesia memilikiibukota.c.Thailand dan Perancis dikepalai olehraja.d.5 adalahbilangan asli dan bulate.1001dan 100010001 adalahmatriks identitas.f.fflog 25 =5log 2 dan log 4 =2log 22.Jikapbenar dan qsalah, tentukan nilai kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut.a.pqe.~(~ pq)b.~pqf.ff~p(~q)c.p~qg.~p~qd.~(pq)3.Tentukan nilai xsehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.a.x+ 8 = 5 dan 4 + 8 = 12 b.(–5)2 = 25danx2= 4c.log 10 = 1 dan logx=24.Jikapsalahdanqbenar, tentukan nilai kebenaran daridisjungsi-disjungsi berikut.a.pcqe.~(~pcq)b.~pcqf.ff~p(c((~q)c.pc~qg.~pc~qd.~(pcq)5.Tentukan nilai kebenaran disjungsi-disjungsiberikut.a.Ibukota Nusa Tenggara Timur adalah Mataram atau Kupang.b.Susilo Bambang Yudhoyono adalah Presiden RI ke-6atau ke-7.Sumber:rww.antaratv.comc.12adalah bilangan rasional atau irasional.d.Neraca atau laporan perubahan modaltermasuk laporan keuangan.6.Diketahui p(x) =x2+4x5 = 0dan q(x) = x2 – 1 = 0,xR. Te n t ukan himpunan penyelesaian dari p(x)dan q(x) sehingga kalimat tersebut menjadidisjungsi yangbenar dan gambarkan diagram Vennnya.7.Tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut.a.Jika Jakarta adalah ibukota Indonesia,makaJakartaterletakdi Indonesia.b.Jika suku Dayak ada di Sumatra makasuku Dayak ada di di Indonesia.c.Jika53=513maka83=2 .d.log 6 = (log 2)(log 3) dan log 8 = 2 log 38.Jikapsalahdanqbenar, tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut.a.pqc.~(~pq)b.~pqd.~p(~q)9.Tentukan nilai kebenaran biimplikasi-biimplikasi berikut.a.Jakarta adalah ibu kota Indonesia jikadan hanya jika pusat pemerintahan Indonesia ada di Jakarta.b.Inggris adalahkerajaan jika dan hanya jika Inggris dikepalai oleh seorang raja.Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 1.2
25Logika MatematikaC Invers, Konvers, dan KontraposisiPerhatikan pernyataan implikasi berikut. "Jika Ira seorang penyanyi, maka ia seorang artis" Pada pernyataan ini, p: "Ira seorang penyanyi" sebagai hipotesis dan q: "Ia seorang artis" sebagai konklusi. Anda dapat membentuk beberapa pernyataan berhubungan dengan implikasi p ¾ q, sepertiq ¾ p : Jika Ira seorang artis, maka ia seorang penyanyi.~p ¾~q : Jika Ira bukan seorang penyanyi, maka ia bukan seorang artis.~p ¾ ~p : Jika Ira bukan seorang artis, maka ia bukan penyanyi. Pernyataan q ¾ p disebut konvers, ~p ¾ ~q disebut invers, dan ~q ¾ ~p disebut kontraposisi. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.t _p ¾~q disebut invers dari p ¾qt q ¾p disebut konvers dari p ¾qt _q ¾~p disebut kontraposisi dari p ¾ qPelajarilah contoh berikut agar Anda memahami penggunaan dari konvers, invers, dan kontraposisi.c. 2adalah bilangan irasional jika dan hanya jika bilangan irasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat.d. log 10 = 2 jika dan hanya jika log 100 = 3.10. Jika p benar dan q salah, tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi berikut. a. p ¾ q c. p ¾~q Contoh Soal 1.22Diketahuip:Iadalah matriks identitasordo 2q : abcdI=abcdNyatakan pernyataan-pernyataan berikut dalam kalimat yang benar.a.pqc.qpb.~q~pd.~p~qJawab:a.Jika Iadalah matriks identitas ordo 2 makaabcdI=abcd.Kata Kunci• invers• konvers• kontraposisi
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi26Bagaimanakah hubungan antara implikasi p ¾q dengan invers, konvers, dan kontraposisinya? Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.pq~p~qp ¾q~q ¾~pq ¾p~p ¾~qBBSSBBBBBSSB SSBBSBBS BBSSSSBBBBBBTampak dari tabel tersebut nilai kebenaran implikasi p ¾q sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q ¾~p. Nilai kebenaran konvers suatu implikasi q ¾p sama dengan invers dari implikasinya ~p ¾~q. Dengan demikian, diperolehp ¾q ° ~q ¾~pq ¾p ° ~p ¾~qPada Contoh Soal 1.22, pernyataan "Jika I adalah matriks identitas ordo 2, maka abcd I =abcd" ekuivalen dengan "Jika abcdI ≠ abcd maka I bukan matriks identitas ordo 2". Pernyataan "Jika abcd I =abcd maka I adalah matriks identitas ordo 2" ekuivalen dengan "Jika I bukan matriks identitas ordo 2 maka abcd I ≠ abcd".Contoh Soal 1.23Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dariimplikasi-implikasi berikut.a.Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar.b. Jika abcdI ≠abcd maka I bukan matriks identitas ordo 2.c. Jika abcdI =abcd maka I adalah matriks identitas ordo 2.d. Jika I bukan matriks identitas ordo 2 maka abcdI ≠abcdNotes• Ingkaran dari implikasi adalah ~(p¾q) °p¾ ~qtIngkaran dari konvers: q¾p adalah ~(p¾p) °q¾ ~ptIngkaran dari invers: ~p¾ ~q adalah ~(~p ¾ ~q) ° ~p¾q°q¾ ~ptIngkaran dari kontraposisi: ~q¾ ~p adalah ~(~p¾ ~p) ° ~q¾p°p¾ ~q
27Logika Matematikab. Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan ruangan.Jawab:a. Invers dari pernyataan "Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar" adalah "Jika ada pejabat korupsi maka pembangunan tidak lancar".Konversnya adalah "Jika pembangunan lancar maka tidak ada pejabat korupsi".Kontraposisinya adalah "Jika pembangunan tidak lancar maka ada pejabat korupsi".b. Invers dari pernyataan " Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan ruangan".Konversnya adalah "Jika Rifky dan Rizky meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba".Kontraposisinya adalah "Jika Rifky dan Rizky tidak meninggalkan ruangan maka waktu istirahat belum tiba".1.Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dariimplikasi berikut.a.Jika Bandung ibukota Jawa Barat maka Bandung terletak di Jawa Barat.b.Jika Fandi suku Jawa maka Fandi orangIndonesia.c.Jika Pak Odi anggota DPR maka PakOdi anggota MPR.d.Jika 4 bilangan bulat maka 4 bilanganreal. e.Jikaalogb=xmaka2alogb=2x.f.ffJika x bilangan irasional maka xx bilanganxreal.g.Jikax adalah bilangan positif maka –xadalah bilangan negatif.h.Jikaa1 = 1a,a0 maka21=122.Tentukan invers, konvers, dan kontraposisiimplikasi berikut.a.~p~qb.(p~q)qc.(pq)~qd.(pc~q)(~pcq)e.~q(pcq)f.ffp~(pc~q)Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 1.3Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikanlah ekuivalensi berikut ini. Hasilnya diskusikan dengan teman-teman Anda.1. ~(p ¾q) ° ~ (~q ¾~p) °p ¾~q2. ~(q ¾p) ° ~ (~p ¾~q) °q ¾~pTugasSiswa
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi28D Pernyataan BerkuantorAnda telah sedikit mempelajari di awal bab tentang pernyataan-pernyataan berkuantor. Pada bagian ini, akan dibahas lebih lanjut tentang pernyataan-pernyataan berkuantor.Pernyataan berkuantor terdiri atas kuantor universal dan kuantor eksistensial.Kuantor universal dilambangkan dengan "¾" (dibaca: untuk setiap) dan kuantor eksistensial dilambangkan dengan "¾" (dibaca: terdapat). Jadi, ¾x ¾R, p(x) artinya untuk setiap x ¾R berlaku p(x) dan ¾x ¾R, p(x) artinya terdapat x sehingga p(x). Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dan sebaliknya. Misalnya, ¾ x, y¾R, x + y = y + x, maka ingkarannya ¾ x, y¾R, x + y ≠ y + x. Sekarang, perhatikan pernyataan berkuantor universal berikut."Semua bilangan bulat adalah bilangan real."Jika Z adalah himpunan bilangan bulat dan R adalah himpunan bilangan real maka pada pernyataan tersebut menyiratkan Z ¾R, sehingga pernyataan tersebut dapat ditulis¾x ¾Z ¾x ¾RJika digambarkan dengan diagram Venn diperolehSZRXPernyataan berkuantor universal "Semua P adalah Q"ekuivalen dengan implikasi "Jika x ¾P maka x ¾Q".Contohnya pernyataan "Semua tumbuhan adalah makhluk hidup" ekuivalen dengan "Jika x tumbuhan maka x makhluk hidup".Selanjutnya, perhatikan pernyataan berkuantor eksistensial berikut."Ada mamalia yang hidup di air"Pada pernyataan ini, tersirat sekurang-kurangnya ada satu jenis mamalia yang hidup di air, misalnya ikan paus.Gambar 1.7"Ada mamalia yang hidup di air" adalah pernyataan berkuantor eksistensial. Sumber : www.sharkattackphotos.com
29Logika MatematikaJika A adalah himpunan mamalia dan B adalah himpunan makhluk hidup yang hidup di air maka pada pernyataan tersebut dapat ditulis¾ x, x ¾ A dan x ¾ BJika digambarkan dengan diagram Venn, diperolehABSxPernyataan berkuantor eksistensial "Terdapat P anggota Q" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada sebuah x ¾ P yang merupakan x ¾Q".Contohnya pernyataan "Ada bilangan genap yang merupakan bilangan prima" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima".Contoh Soal 1.24Tentukan ingkaran setiap pernyataan berikut.a.Semua orang menyukai Matematika.b.xbilangan asli, xR.c.Ada nilaixsehingga x+ 1 = 5 dan untuk setiapxberlakux2> 0.Jawab:a.p:"Semua orang menyukai Matematika"~p:"Tidak setiap orang menyukai Matematika" atau dapat jugadengan pernyataan "Ada beberapa orang tidak menyukai Matematika"b.Ingkaran dari "" adalah " " dan ingkaran dari "xA"adalah "xR".c.Misalkan,p:Ada nilai x sehingga x + 1 = 5~p:Untuk setiap nilai xberlaku x + 1 ≠ 5q:Untuk setiap nilai xberlaku x2 > 0~q:Ada nilai x sehingga x20Olehkarena ~(pq)°~pc~q, ingkaran dari pernyataanberkuantor tersebutadalahUntuk setiap nilaixberlaku x+ 15atau Ada nilaix sehingga x20~q~~~p~~Gambar 1.8Implikasi "Semua orang menyukai Matematika" adalah "Ada beberapa orang tidak menyukai Matematika".Sumber : urip.files.wordpress.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi30Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang berbeda, yaitu p dan q, serta ingkarannya. Pernyataan majemuk dapat juga disusun lebih dari dua pernyataan yang berbeda, misalnya p, q, r, dan ingkarannya atau p, q, r, s, dan ingkarannya. Bagaimanakah nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang disusun dari tiga pernyataan atau lebih? Perhatikan contoh berikut.Contoh Soal 1.25Jikap,q,dan r adalah pernyataan tunggal yang berbeda, buatlah tabel rnilai kebenaran dari (pq)cr.Jawab:Tabel nilai kebenaran dari (pq) cradalah sebagai berikut.E Pernyataan Majemuk Bersusun1.Ubahlah pernyataan berkuantor universalberikut ke dalam bentuk implikasi.a.Semua makhluk hidup memerlukan oksigen.b.Semua negara mempunyai kepala pemerintahan.c.Semua ikan dapat berenang.d.Semua pernyataan mempunyai nilai kebenaran.e.Semua bilangan asli adalah bilangancacah.f.ffSemua bilangan komposit adalah bilangan bulat.g.Semua bilangan rasional adalahbilangan real.h.Semua bentuk akar adalah bilangan irasional.2.Te n t ukan nilai kebenaran dari pernyataanberikut.a.xR,x22x + 1 = 0b.xA= {1, 2, 3}, x2+4x– 5 = 0c.xR, 2x2+ 7x+ 1 < 0d.x{bilangan asli},2logx > 03.JikaA= himpunan bilangan asli, C = himpu-nan bilangan cacahdanR = himpunan bilan-gan real, tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut ini.a.xA;xCb.xR; 0 <a<1, berlaku ax > 0c.xR;x2 + 2 – 15 ≤ 0d.Ada nilai x sehingga xx2– 4 = 21 dan untuksetiapxberlakux2> 0.Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.Evaluasi Materi 1.4
31Logika MatematikaPerhatikan susunan nilai benar dan salah antara p, q, dan r pada tabel Contoh Soal 1.25. Susunan ini dibuat sedemikian rupa sehingga pada setiap barisnya diperoleh susunan p, q, dan r yang berbeda.Tampak dari contoh soal tersebut, tabel memuat 8 kemungkinan komposisi nilai kebenaran p, q, dan r. Pada uraian sebelumnya, terdapat dua kemungkinan komposisi nilai kebenaran untuk pernyataan yang terbentuk dari pernyataan tunggal p pada tabel nilai kebenaran. Sekarang, pelajari cara mendapatkan 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran untuk pernyataan yang terbentuk dari pernyataan tunggal p dan q pada tabel nilai kebenaran. Perhatikan hubungan berikut.2 komposisi nilai kebenaran 1 pernyataan tunggal4 komposisi nilai kebenaran 2 pernyataan tunggal8 komposisi nilai kebenaran 3 pernyataan tunggal 5 pernyataan tunggalTernyata ini memenuhi rumus 2n dengan n adalah banyaknya pernyataan tunggal. Jadi, jika terdapat 5 pernyataan tunggal maka terdapat 25 = 32 kemungkinan komposisi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.ContohSoal 1.26Jika pernyataanpbenar,q salah,danr salah, tentukan nilai kebenaran dari pernyaan majemuk bersusun berikut.a.p(qr)b.(pcq)(pcr)Jawab:Diketahui pbenar,q salah,danrsalaha.(qr) =S, maka(p(qr)) =S.b.(pcq) = Bdan (pcr) = B, maka((pcq)(pcr)) = B.pq rp ¾q(p ¾q) crBBB BBBBS BBBSB SBBSS SSSBB SBSBS SSSSB SBSSS SSKata Kunci• komposisi• kontradiksi• kontingensi• hukum komutatif• hukum asosiatif• hukum distributif