Gambar Sampul Matematika · BAB 6 Himpunan
Matematika · BAB 6 Himpunan
Dame

24/08/2021 15:32:09

SMP 7 K-13

Lihat Katalog Lainnya
Halaman
Himpunan157TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu1. menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendataanggotanya,2. menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan serta notasinya,3. mengenal himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga,4. membedakan himpunan kosong dan banyaknya himpunan bagian dari suatuhimpunan,5. menentukan himpunan bagian dan banyaknya himpunan bagian dari suatuhimpunan,6. mengenal himpunan semesta dan anggotanya,7. mengenal diagram venn,8. menjelaskan pengertian gabungan irisan, komplemen, selisih, tambah, dan9. menentukan irisan dan gabungan dari beberapa himpunan danmenyajikannya dalam diagram venn.iKumpulan objekiHimpunaniHimpunan berhinggaiHimpunan tak berhinggaiAnggota himpunaniHimpunan bagianiHimpunan kosongiHimpunan semestaiGabunganiIrisaniSelisihiKomplemeniDiagram VennHIMPUNAN6
158Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Di sekolah, kamu mempelajari beberapa pelajaran termasuk pelajaran IPA dan IPS. Cobasebutkan mata pelajaran apa saja yang termasuk kelompok IPA dan mata pelajaran apa sajayang termasuk kelompok IPS. Menurut ketentuan yang sudah ditetapkan, berapakah jumlahmata pelajaran IPA dan IPS?.Masalah di atas adalah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan konsephimpunan. Pada bab ini kamu akan mempelajari konsep himpunan dan penerapannya dalampemecahan suatu masalah.A. HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN1. Pengertian HimpunanSecara sederhana, himpunan artinya kumpulan benda (objek). Pernahkah kamumemperhatikan benda-benda yang ada di rumahmu?. Jika kamu perhatikan, ternyata di rumahmuterdapat beberapa kumpulan benda yang jelas batasannya, antara lain:1.piring4.keluarga2.gelas5.kursi, dan sebagainya.3.alat-alat elektronikCoba sebutkan kumpulan lain yagn dapat dibentuk dari kumpulan benda-benda yang ada dirumahmu.Suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas dalam matematika disebuthimpunan.Coba kamu buat himpunan dari kumpulan berikut.a.Guru matematika di sekolahmu.c.Murid laki-laki di kelasmu.b.Hewan yang berkaki dua.Sekarang perhatikan kumpulan berikut ini.a.Kumpulan wanita cantikb.Kumpulan makanan enakc.Kumpulan hewan yang lucu.Ketiga kumpulan di atas bukan merupakan himpunan, karena tidak mempunyai batasanyang jelas. Misalnya kumpulan wanita cantik, pengertian cantik berbeda bagi setiap orang.Mungkin buat kamu dia cantik, tapi bagi orang lain belum tentu cantik. Demikian juga halnya,kumpulan makanan enak maupun hewan yang lucu.Jadi,Dalam matematika, suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C,D, ..., Z. Benda-benda (objek) dari suatu himpunan tersebut ditulis di antara kurung kurawaldan dipisah dengan tanda koma, misalnya:Himpunan adalah kumpulan benda-benda (objek) yang mempunyai batasan yang jelas.
Himpunan1591.A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.2.B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.3.C adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10, maka C = {3, 5, 7, 9).Perhatikan untuk himpunan di atas:Himpunan A = {Januari, Juni, Juli}Januari merupakan anggota A ditulis Januari A.Maret bukan anggota A (karena nama bulan tidak dimulai dengan huruf J) ditulis Maret A.Himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5}1 anggota B ditulis 1 B7 bukan anggota B ditulis 7 BContoh 6.11.Dari objek-objek berikut, manakah yang dapat membentuk suatu himpunan?. Berikanpenjelasan.a. Huruf vokal dalam abjad.b. Bilangan prima ganjil kurang dari 10.c. Kumpulan sepatu yang bagus.Penyelesaian:a.a, i, u, e, o adalah huruf vokal dalam abjad, sedangkan b, e, dan seterusnyabukan huruf vokal dalam abjad. Jadi huruf vokal dalam abjad dapat membentukhimpunan, yaitu himpunan huruf vokal dalam abjad.b. Bilangan prima < 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Sedangkan bilangan prima ganjil < 10adalah 3, 5, dan 7. Jadi, bilangan prima ganjil < 10 dapat membentuk himpunan,yaitu himpunan bilangan prima ganjil < 10.c. Kumpulan sepatu yang bagus. Menurut kamu sepatu yang kamu pakai itu adalahbagus, tapi buat temanmu belum tentu bagus. Penilaian tiap orang berbeda untuksepatu yang bagus. Jadi, kumpulan sepatu bagus, tidak dapat membentukhimpunan.2.Tuliskan himpunan-himpunan di bawah ini.a.A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10.b.M adalah nama-nama hari dalam seminggu.Penyelesaian:a.A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.b.M = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}3.Tulis dalam bentuk himpunan kata-kata berikut.a. NUSANTARAb.MATEMATIKA.Penyelesaian:a. {N, U, S, A, T, R}b.{M, A, T, E, I, K}Catatan:Objek-objek pada himpunan tidak boleh ditulis ulang.
160Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 72. Mengenal Beberapa Himpunan BilanganKamu telah mempelajari berbagai bilangan di SD ataupun di awal kamu masuk di SMP,tentu masih ingat bukan?. Bilangan-bilangan yang sudah kamu kenal itu dapat dibentuk menjadisuatu himpunan. Jadi, terbentuklah beberapa atau bermacam-macam himpunan bilangan diantaranya yang berikut ini:1.C= himpunan bilangan cacah, ditulis C = {0, 1, 2, , ...}2.A= himpunan bilangan asli, ditulis A= {1, 2, 3, 4, ...}3.B= himpunan bilangan bulat, ditulis B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}4.Gn= himpunan bilangan genap positif, ditulis Gn = {2, 4, 6, 8, ...}5.G= himpunan bilangan ganjil positif, ditulis G = {1, 3, 5, 7, ...}6.P= himpunan bilangan prima, ditulis P = {2, 3, 5, 7, ...}7.K= himpunan bilngan komposit, ditulis K = {4, 6, 8, 9, ...}8.T= himpunan pangkat tiga bilangan asli = {1, 8, 27, ...}INGAT !Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor, yaitu 1 danbilangan itu sendiri.Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor. Bilanganini disebut juga bilangan bersusun.LATIHAN 6.11.Di antara kumpulan-kumpulan berikut, manakah yang dapat membentuk himpunan?a. Nama-nama bulan yang dimulai dengan huruf M dalam setahun.b. Bilangan genap antara 1 dan 10.c. Kue-kue yang enak.d. Pakaian-pakaian yang bagus.e. Hewan yang berkuku genap.2.Tuliskan 4 kumpulan yang merupakan himpunan.3.Tuliskan 4 kumpulan yang bukan merupakan himpunan.4.Tulislah himpunan huruf yang berbentuk dari kata-kata berikut.a. SERIUSc.KURANG GIZIb. KATA HARId.TERSELUBUNG5.Tuliskan anggota-anggota himpunan berikut.a.K adalah himpunan hewan berkaki dua.b.P adalah himpunan bilangan prima antara 2 dan 13.c.I adalah himpunan ikan.d.B adalah himpunan buah-buahan.
Himpunan1613. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak BerhinggaPerhatikanlah himpunan-himpunan berikut.a.M= {–5, –4, –3, –2, –1, 0}b.N= {15, 16, 17, 18, ..., 50}c.O= {1, 3, 5, 7, 9, ...}d.P= (2, 4, 6, 8, ...}Pada himpunan M di atas, semua anggota himpunan terdaftar, yaitu –5, –4, –3, –2, –1, 0.Banyak anggota himpunan M ada 6, dan dinotasikan dengan n(M) = 6.Pada himpunan N, tidak semua terdaftar, tapi anggota terakhir dituliskan, yaitu 50. Jikakamu hitung nilai dari 15, 16, 17, ... dan berakhir pada 50 anggotanya ada 36, dinotasikandengan n(N) = 36.Himpunan M dan N disebut himpunan hingga atau himpunan berhingga. Kemudiancoba perhatikan himpunan O dan P, kita tidak dapat menghitung banyak anggotanya, karenatidak diketahui anggota terakhir.Jadi, himpunan O dan P disebut himpunan tak hingga atau himpunan tak berhingga.Bilangan yang menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan disebut bilangan kardinal.Contoh 6.21.Jika P adalah himpunan nama bulan Masehi dalam setahun dimulai dengan huruf J.Tentukanlah n(J).Penyelesaian:P = {Januari, Juni, Juli}Banyak anggota P ada, maka n(P) = 3. P himpunan berhingga.2.H adalah himpunan prima yang kurang dari 10. Tentukan n(H), apakah H berhingga?Penyelesaian:H= {2, 3, 5, 7}. Banyak anggota H ada 4, maka n(H) = 4. H himpunan berhingga.LATIHAN 6.21.Tentukan banyaknya anggota dari himpunan berikut.a.K= {2, 4, 6, 8, 10, 12}b.L= {1, 2, 3, 4, 5, ... 15}c.M={x | 1 – 2 dxd < 0, x bilangan bulat}d.N={x | xd 10, x bilangan cacah}e.O= {bilangan komposit antara 5 dan 15}2.A adalah himpunan bilangan komposit kurang dari 10 dan Badalah himpunan huruf konsonanpada kata KASAD. Tentukanlah:a.n(A)b.n(B)
162Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 73.Diketahui:M adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggauN adalah himpunan guru matematika di sekolahmu. Tentukanlah:a.n(M) dan n(N)b.apakah n(M) = n(N)?4.Tentukanlah himpunan berikut, termasuk himpunan berhingga atau himpunan tidakberhingga?a. Himpunan anggota badanmu.b. Himpunan rambut yang tumbuh di kepalamu.c. Himpunan buah-buahan.d. Himpunan murid di sekolahmu.e. Himpunan pegawai negeri sipil di Indonesia.f. Himpunan guru-guru di sekolahmu.g. Himpunan bilangan bulat.B. CARA MENYATAKAN HIMPUNANSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu:a.kata-kata atau syarat keanggotaan, disebut juga cara deskripsi langsung,b.mendaftarkan anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara tabulasi langsung,c.notasi pembentuk himpunan langsung.Perhatikan beberapa contoh berikut:1.A = {2, 4, 6, 8}Himpunan A dapat dituliskan dalam bentuk:A adalah himpunan bilangan genap antara 0 dan 10, atauA adalah himpunan empat bilangan genap yang pertama.Apabila anggota suatu himpunan disebutkan satu per satu, maka himpunan itu disebutdengan cara mendaftarkan anggota-anggota.2.L adalah himpunan bilangan kelipatan 5.Badalah himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf M.C adalah himpunan bilangan bulat antara –3 dan 2.Dengan cara tabulasi atau mendaftarkan anggotanya satu per satu himpunan L, B, dan Cdapat dituliskan dalam bentuk:L= {5, 10, 15, 20, 25, ...}B= {Maret, Mei}C= {–2, –1, 0, 1}Suatu himpunan yang banyak anggotanya tidak terhitung, lebih efektif apabila dinyatakandengan notasi pembentuk himpunan. Cara ini dikenal dengan cara rule.
Himpunan163Contoh 6.31.A adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 5, misalkan setiap anggota himpunanA adalah x, maka notasi pembentuk himpunan dapat dinyatakan denganA = {x | x > 5, x bilangan asli}.Dibaca, A adalah himpunan x sedemikian, sehingga x lebih dari 5 dan x angotabilangan asli.2.B adalah himpunan bilangan bulat antara –5 dan 5. Dengan notasi pembentukhimpunan dituliskan:B = {x | –5 < x < 5, x bilangan bulat}3.Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan.a.O = himpunan bilangan prima antara 1 dan 10b.M = {3, 4, 5, 6, 7}c.N = himpunan bilangan genap antara 1 dan 50.Penyelesaian:a.O = {x | 1 < x < 10, x P}b.M = {n | 2 < n < 8, nA}c.N = {x | 1 < x < 50, xGn}LATIHAN 6.31.Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar dan dengan notasi pembentukhimpunan.a.A adalah himpunan bilangan asli antara 10 dan 20.b.C adalah lebih dari 2 kurang dari 10.c.P adalah himpunan faktor prima dari 70.2.Nyatakan himpunan berikut dengan kata-kata.a.A= {1, 9, 25, 49, 81, 121}b. B = {kembang sepatu, ras, aster, melati, kaktus}c. M = {Januari, Februari, Maret, April}d. N = {Bandung, Bogor, Solo, Surabaya, Semarang, Jakarta}e.Q= {7, 11, 13, 17, 19}3.Ditentukan A = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 20}. Tentukanlah himpunan lain berdasarkan syaratkeanggotaan berikut ini.a. Himpunan yang anggotanya bilangan genap dari himpunan Ab. Himpunan yang anggotanya bilangan prima dari himpunan Ac. Himpunan yang anggotanya kuadrat dari himpunan Ad. Himpunan yang anggotanya habis dibagi 2 pada himpunan A
164Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7C. HIMPUNAN SEMESTA, DIAGRAM VENN, DAN HIMPUNANBAGIAN1. Himpunan SemestaMisalkan kita diberikan suatu himpunan H = {kucing, kelinci, kuda, kerbau}. Anggota-anggota H dapat dikelompokkan ke dalam himpunan hewan berkaki empat, atau himpunanhewan menyusui, atau himpunan hewan berawalan huruf K. Himpunan-himpunan di atas disebuthimpunan semesta dari himpunan H. Himpunan semesta pembicaraan biasanya dinotasikandengan S.Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek yangdibicarakan.Contoh 6.41.Himpunan A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari A.Penyelesaian:Himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalaha.S= {bilangan prima}c.S= {bilangan cacah}b.S= {bilangan asli}d.S = {bilangan bulat}, dan sebagainya.2.Ditentukan P = {2, 3, 5} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}. Pernyataan manakah yang benar?Jelaskan.a.P himpunan semesta dari Q.b.Q himpunan semesta dari P.Penyelesaian:a.P himpunan semesta dari Q, pernyataan salah karena ada anggota Q yaitu 1 dan4 yang tidak termuat dalam P, jadi himpunan P bukan himpunan semesta dari Q.b.Q himpunan semsta dari P adalah pernyataan benar, karena semua anggota Ptermuat dalam himpunan Q.3.M = {x | 1 dxd 10, xA} dan N= { x | 1 < x < 10, x P}. Tentukan himpunanmana yang mungkin jadi himpunan semesta, M atau N?. Jelaskan.Penyelesaian:Dengan cara mendaftar, M = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 10} dan N = {2, 3, 5, 7}Semua anggota N termuat dalam himpunan M, maka M merupakan himpunansemesta dari himpunan N.
Himpunan165LATIHAN 6.4Tentukan dua himpunan semesta yang mungkin dari himpunan-himpunan di bawah ini.1.K= {mangga, durian, belimbing}2.L={x | 1 < xd 5, x P}3.T={x | 15 dx < 20, x bilangan ganjil}4.Diketahui: H = {x |2 < x < 15, x bilangan bulat}N={x |2 < x < 15, x bilangan prima}Di antara H dan N, mana yang mungkin jadi himpunan semesta?. Jelaskan.2. Diagram VennCara yang sangat bermanfaat dan sangat efektif untuk menyatakan himpunan-himpunanserta hubungan antara beberapa himpunan dalam semesta pembicaraan tertentu adalah dengangambar himpunan yang disebut Diagram Venn.Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut:1.Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S ditulispada sudut kiri atas gambar persegi panjang.2.Setiap himpunan lain yang dibicarakan (selain himpunan kosong) digambarkan denganlingkaran (kurva tertutup).3.Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik) dan anggota himpunan ditulis di sampingnoktah tersebut.Contoh 6.51.Diketahui himpunan semesta S = {2, 4, 6, 8, 10} dan P = {2, 4, 8}. Gambarlahdiagram Venn himpunan S dan P.Penyelesaian:SP2481062.Diketahui:S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {2, 3, 4, 5}Q= {3, 4, 5, 6, 7, 8}Gambarlah diagram Vennnya.Penyelesaian:SP248106351790Q
166Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN 6.52.Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini untuk himpunan semester SC (cacah).a.A= himpunan bilangan ganjil dan B= himpunan bilangan genapb.C= himpunan bilangan ganjil, D = himpunan bilangan genap danE= himpunan bilangan prima3.Perhatikan diagram Venn di bawah ini.12248156SA131411101635179Ba. Sebutkan anggota himpunan S, kemudiantentukan n(S).b. Sebutkan anggota himpunan A, kemudian n(A)= ....c . Sebutkan anggota himpunan B, kemudian n(B)= ....4.Perhatikan diagram Venn berikut ini.abcdefhijklmpqrSABCMisalkan:S = {kelompok belajar di kelas}A = {kelompok belajar gemar matematika}B = {kelompok belajar gemar bahasa Inggris}C = {kelompok belajar gemar bahasaIndonesia}a. Berapa orang siswa kelompok belajarmu?b. Berapa orang siswa gemar matematika saja?c. Berapa orang siswa gemar bahasa Inggris saja?d. Berapa orang siswa gemar bahasa Indonesia saja?e. Berapa orang siswa gemar matematika dan bahasa Inggris?f. Beapa orang siswa gemar bahasa Inggris dan bahasa Indonesia?g. Berapa orang siswa gemar bahasa Indonesia dan matematika?h. Berapa orang siswa gemar ketiga-tiganya?3. Himpunan Bagian, Himpunan Kosong, dan Himpunan Ekuivalena. Himpunan BagianUntuk memahami himpunan bagian, perhatikanlah himpunan berikut ini.S= {semua siswa kelas VII di sekolahmu}A= {semua siswa kelas VIIA di kelasmu}B= {semua siswa perempuan VIIA di kelasmu}C= {semua siswa laki-laki VIIA di kelasmu}
Himpunan167Dari contoh di atas diperoleh keterangan sebagai berikut:Himpunan B dan Cmerupakan himpunan bagian dari himpunan A karena setiap anggotahimpunan B dan C merupakan anggota himpunan A.Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S karena setiap anggota himpunanA merupakan anggota himpunan S.Himpunan B bukan merupakan himpunan bagian dari himpuna C begitu juga sebaliknya,karena tidak ada anggota himpunan B yang merupakan anggota himpunan C dan sebaliknya.Perhatikan diagram Venn berikut.SCABHimpunan B adalah himpunan bagian dari himpunanA, karena anggota B juga anggota A.Himpunan A himpunan bagian dari himpunan S,karena anggota A juga anggota S.Himpunan B dikatakan bukan himpunan bagian dariC atau sebaliknya karena anggota B bukanmerupakan anggota C, demikian juga sebaliknya.Misalnya P = {a, i, e, o, u} dan Q = {a, i}, R = {n, o, u}, makaHimpunan Q adalah himpunan bagian dari himpunan P, karena setiap anggota Q jugamerupakan anggota , ditulis QP.Tidak semua anggota R merupakan angota P, yaitu n ditulis nP. Jadi, himpunan R bukanmerupakan himpunan bagian dari himpunan P, ditulis RŒ P.Dari uraian-uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:Untuk dua buah himpunan P dan Q maka1.Himpunan P merupakan himpunan bagian dari Q, ditulis PQ, jika setiap anggotaP merupakan anggota Q.2.Himpunan P bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan Q, ditulis PŒQ, jika setiap anggota P bukan merupakan anggota Q.b.Himpunan KosongSekarang perhatikanlah himpunan-himpunan berikut ini.1.M= himpunan kuda yang bertanduk.2.N= himpunan bilangan prima yang habis dibagi 4.3.L= himpunan bilangan prima antara 7 dan 11.Dapatkah kamu menentukan berapa banyak anggota-anggota dari himpunan M, N, dan L?Berapakah n(M), n(N), dan n(L)?Ternyata himpunan-himpunan di atas tidak mempunyai anggota. Himpunan-himpunan sepertidi atas disebut himpunan kosong, yang dilambangkan dengan { } atau ‡.AAAAAˆ‰
168Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunanK = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan Kmempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.KAMU MAU TAHU?Dalam bahasa Inggris, himpunan kosong diistilahkan dengan "empty set"Contoh 6.6Tentukan apakah himpunan di bawah ini merupakan himpunan kosong atau bukan?Jelaskan.a.M adalah himpunan bilangan ganjil antara 7 dan 9.b.L adalah himpunan bilangan prima genap.Penyelesaian:a.Bilangan ganjil antara 7 dan 9 tidak ada, maka himpunan M adalah himpunan kosongatau M = { } atau M = ‡, berarti n(M) = 0.b.Bilangan prima genap ada, yaitu 2. Jadi, himpunan L mempunyai satu anggota, yaitu2 ditulis L = {2} dan n(L) = 1. Himpunan Lbukan merupakan himpunan kosong.c.Himpunan EkuivalenPerhatikan uraian berikut.Di dalam sebuah kulkas (lemari es) terdapat 3 jenis minuman, yaitu susu, teh, dan sirup dantiga jenis buah-buahan, yaitu,mengga, jeruk, dan apel. Sekarang kita misalkan jenis-jenis minumanadalah himpunan A dan jenis-jenis buah-buahan himpunan B, maka dapat ditulis:A= {susu, teh, sirup}B= (mangga, jeruk, apel}Kalau kamu perhatikan kedua himpunan tersebut, apakah ada yang sama di antarakeduanya?. Dari kedua himpunan tersebut yang sama adalah banyak anggotanya, yaitu sama-sama tiga, dapat ditulis n(A) = 3 dan n(B) = 3, jadi n(A) = n(B) = 3.Himpunan-himpunan yang banyak anggotanya sama disebut himpunan ekuivalen atauhimpunan ekuipoten.Diketahui: himpunan A = {1, 2, 3}, B = (a, b, c}, dan E = ^`1111, , , 234. Di antara tigahimpunan ini mana yang ekuivalen?n(A) = 3, n(B) = 3, dan n(C) = 4Jadi n(A) = n(B) = 3, maka himpunan A ekuivalen B.
Himpunan169Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:Perhatikan uraian berikut.Misalkan P = {0, 1, 2, 3}A= Himpunan bilangan ganjil, juga anggota P.B= Himpunan bilangan genap, juga anggota P.C= Himpunan bilangan prima, juga anggota P.D= Himpunan bilangan kurang dari 0, juga anggota P.E= Himpunan bilangan kurang dari 4, juga anggota P.Himpunan-himpunan A, B, C, D, dan dibentuk dari himpunan P sehinggaa.APd.DPb.BPe.EPc.CPJika hubungan himpunan-himpunan di atas dituliskan dengan cara mendaftarkan anggota-anggotanya, maka diperoleh:a.{1, 3}  {0, 1, 2, 3}d.{ }  {0, 1, 2, 3}b.{0, 2}  {0, 1, 2, 3}e.{0, 1, 2, 3}  {0, 1, 2, 3}c.{2, 3,}  {0, 1, 2, 3}Dari uraian-uraian di atas, dapat kita lihat bahwa { }  {0, 1, 2, 3}Jadi,Dan kita juga lihat bahwa {0, 1, 2, 3}  {0, 1, 2, 3}. Dengan demikian, dapat disimpulkanbahwa:Himpunan A dan B dikatakan himpunan ekuivalen, jika anggota himpunan A dan himpunanB sama banyak.TUGAS SISWADiketahui: himpunan A = {2, 3, 4, 5, 6}.Tentukan dua himpunan yang ekuivalen denganhimpunan A dan dua himpunan yang tidak ekuivalen dengan A.Suatu himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
170Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7TUGAS SISWACoba kamu jelaskan pernyataan-pernyataan di bawah ini benar atau salah, kemudianjelaskan dengan gambar.a. Jika AB dan B < A, maka A = Bb.Jika AB dan B < C, maka ACc. Jika AB dan A < C, maka B < CBanyak Himpunan Bagian dari Suatu HimpunanPada pembahasan sebelumnya, kamu telah mempelajari bahwa suatu himpunan merupakanhimpunan bagian dari himpunan itu sendiri dan himpunan kosong yang merupakan himpunanbagian dari suatu himpunan dan sekarang kamu akan mempelajari bagaimana cara untukmenentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan.Sebelumnya salin dan lengkapilah tabel di bawah ini. (Diskusikan dengan temansebangkumu).HimpunanSemua himpunan bagian Banyaknya himpunanyang mungkin bagian yang mungkinII1{1}I, { 1 }2{1, 2}I, {1}, {2}, {1, 2}4{1, 2, 3}I, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} {4, 3}, {1, 2, 3, 4}8{1, 2, 3, 4}...... {1, 2, 3, 4, 5}......Berdasarkan tabel di atas, salin dan lengkapilah tabel berikut.BanyakBanyak HimpunanRumus BanyaknyaAnggotayang MungkinHimpunan Bagianyang Mungkin012o1221242238234......5......:......:......22......
Himpunan171Dari kedua tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa:Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang mempunyai banyak anggota nditentukan dengan rumus 2nContoh 6.7Diketahui: himpunan A = {1, 2, 3, 4}Tentukan banyak himpunan bagian dari A.Penyelesaian:Banyak anggota himpunan A = n(A) = 4, jadi banyak himpunan bagian dari himpunan Aadalah 24 = 16.LATIHAN 6.61.Diketahui himpunan R = {0, 1, 2, 3, 4, 5}Di antara himpunan berikut ini mana yang merupakan himpunan bagian dari himpunan R?a.P = {1, 3, 5}e.N = {x | x < 6, x bilangan asli}b.Q = {0, 2, 4}f.O = {x | xd 5, x bilangan prima}c.T = {3, 4, 5, 6}g.L = {x | x < 4, x bilangan komposit}d.M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}2.Perhatikan diagram Venn berikut di bawah ini. Berdasarkan diagram tersebut, tentukanlahpernyataan-pernyataan berikut benar atau salah.SCABDa.CBb.DAc.ABd.DCe.BDf.AS3.Diketahui himpunan-himpunan berikut:A = {2, 4, 6, 8}D = {p, q, r}B = {a, b, c, d}E = {2, 3, 4}C = {1, 3, 5, 7}Di antara himpunan-himpunan di atas, mana yang merupakan himpunan yang ekuivalen?
172Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 74.Diketahui, S = {x | xd 10, x bilangan asli} dan himpunan P, Q, dan R merupakanhimpunan bagian dari S.a. Jika PQ dan QR, maka PR, tunjukkan.b. Jika banyak himpunan bagian dari himpunan P adalah 16, tentukan banyaknya himpunanbagian yang anggotanya 2.5.Tuliskan semua himpunan bagian dari:a.P = {x | 2 dx < 5, x bilangan asli}b.R = {x | 5 < x < 10, x bilangan asli}6.Dengan menggunakan rumus tentukan banyak himpunan bagian dari:a. { } c. {1, 2}e. {–2, –1, 0, 1, 2}b.I d. {a, i, e}f. {3, 5, 7, 9}7.Tentukan banyak anggota himpunan A atau n(A), jika banyaknya himpunan bagian darihimpunan A adalah ....a . 16b. 32c . 128d. 1e . 2568.Diketahui S = himpunan segi empat. Di antara himpunan-himpunan berikut ini, mana yangmerupakan himpunan bagian dari himpunan S?a.A = {persegi panjang}e.E = {trapesium}b.B = {belah ketupat}f.F= (segi lima)c.C = {segitiga}g.G = {kubus}d.D = {jajar genjang}D. OPERASI HIMPUNAN1. Irisan Dua HimpunanUntuk memahami pengertian irisan dua himpunan, perhatikanlah uraian berikut. Misalkanhimpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6, 7}. Perhatikanlah.1.0  A, 1  A, 2  A, 3  A, 4  A, 5  A2.3  A, 4  B, 5  B, 6  B, 7 BHimpunan yang anggotanya 3, 4, dan 5 dikatakan himpunan A irisan himpunan B, ditulis AˆB. Jadi, AˆB = {3, 4, 5} karena 3, 4, dan 5 merupakan anggota himpunan A dan jugaanggota himpunan B, maka 3, 4, 5 merupakan irisan himpunan A dan himpunan B ditulis AˆB= himpunan 3, 4, dan 5}.Jika digambarkan dengan diagram Venn, maka akan diperoleh gambar seperti gambarberikut:A24 063517BGambar 6.3
Himpunan173Berdasarkan uraian di atas dapat diambil kesimpulan bahwa:Irisan himpunan A dan B (AˆB) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggotahimpunan A yang juga menjadi anggota himpunan B. Irisan himpunan A dan himpunan Bdinotasikan dengan AˆB = {x | xA dan x B}.Contoh 6.81.Diketahui A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, e, o, u}. Tentukan Aˆ B.Penyelesaian:Anggota-anggota A dan juga merupakan anggota-anggota B adalah a dan e. Jadi,Aˆ B = {a, e}.2.Diketahui:S = ^` | 0 10, xxxCdd A= ^` | , bilangan ganjilxx GxB= ^` | , bilangan primaxx PPC= ^` | , bilangan genapx xGn GnHimpunan A, B, dan C adalah himpunan bagian dari S. Tentukanlah:a.ABˆc.ACˆb.BCˆPenyelesaian:S= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A= {1, 3, 5, 7, 9}B= {2, 3, 5, 7}C= {0, 2, 4, 6, 8, 10}a. ABˆ = {3, 5, 7} b. BCˆ = {2}c. ACˆ = { } = I Diagram Vennya Diagram Vennya Diagram VennyaSA248106350791BSB2481063570CSA248106351790C
174Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 6.8Perhatikan diagram Venn berikut ini.SBASBASABCSABDaerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan AˆB. Tentukan AˆC untukmasing-masing gambar tersebut.Penyelesaian:a.AˆB = Bb.AˆB = A atau AˆB = Bc.AˆB = Cd.AˆB = { } = I tidak ada irisan antara himpunan A dan B.INGAT !1.Jika AˆB = B atau AˆB = B, maka himpunan A sama dengan himpunan B atauA = B.2.Jika AˆB = I, maka kedua himpunan A dan B disebut saling lepas.3.Jika n(A) = n(B), maka A ~ B (dibaca A ekuivalen B).Tugas KelompokSemua anggota A adalah anggota B dan semua anggota B adalah anggota C. Ada 29anggota, 71 anggota C, dan 28 anggota C yang bukan anggota D. Berapa banyakanggota B yang bukan anggota A?. Buatlah diagram Vennnya.
Himpunan175LATIHAN 6.71.Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {2, 4, 6}, dan R = {2, 3, 4, 5, 8, 10}. Dengan caramendaftar tentukanlah:a.PˆQb.QˆPc.QˆRd. (PˆQ)ˆRe.Aˆ (QˆR)f. Apa yang dapat kamu katakan tentang PˆQdan QˆP?g. Apa yang dapat kamu katakan tentang (PˆQ)ˆRdan Pˆ (QˆR)?2.A = {x | 1 < x < 12, x bilangan prima}B = {x | 2 dx 10, x bilangan genap}. Tentukan AˆB3.Perhatikan diagram Venn berikut ini.12248156SA131411101635179B17Dari gambar tentukanlah:a. Himpunan semesta Sb. Himpunan Ac. Himpunan Bd. Himpunan AˆB4.Diketahui:S= {bilangan cacah kurang dari 15}P= {bilangan kelipatan 3 kurang dari 15}Q= {bilangan genap kurang dari 15}R= {bilangan kelipatan 4 kurang dari 15}T= {bilangan ganjil kurang dari 15}Ditanya:a.AˆBc.BˆCb.AˆDd.AˆC5.Gambarlah diagram Venn dari jawaban soal no. 4.6.Diketahui himpunan PˆQ, n(P) = 6 dan n(Q) = 10a. Jika semesta pembicaraan S, gambarlah diagram Venn kedua himpunan P dan Q.b. Tentukan n(PˆQ).7.Dari sekelompok olahragawan, terdapat 18 orang yang gemar bulu tangkis, 16 orang gemarbola basket, dan 12 orang gemar dua-duanya.a. Gambarlah diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas.b. Tentukan jumlah olahragawan tersebut.
176Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 78.25154202410SmatematikaolahragakesenianDiagram Venn di samping ini menunjukkankesukaaan dari sekelompok siswa terhadap tigamata pelajaran di sekolah.a.Berapa orang yang gemar matematika saja?b.Berapa orang yang gemar olahraga saja?c.Berapa orang yang gemar kesenian saja?d.Berapa orang yang gemar matematika danolahraga?e.Berapa orang yang gemar matematika dankesenian?f.Berapa orang yang gemar ketiga-tiganya?2. Gabungan Dua HimpunanApa arti dari gabungan dua himpunan?. Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikanlahyang berikut ini.19S2357BA1311Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} dan B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Jikahimpunan A dan himpunan B digabungkan maka terbentuksebuah himpunan baru, yang anggota-anggotanya adalah1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Gabungan himpunan A dan B ditulisA‰B. Jadi A‰B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.Dengan diagram Venn, diperoleh gambar seperti di atas.Daerah yang diarsir menunjukkan A‰B.Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:Selanjutnya, untuk menyatakan hubungan A‰B dapat dilihat pada diagram Venn di bawahini.SABA = BSSSBBAAGambar 6.4Gabungan himpunan A dan B (ditulis A‰B) adalah himpunan yang anggotanya adalahmerupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B. Gabungan himpunan A danB dinotasikan denganA‰B = {x | xA atau xB}Gambar 6.5
Himpunan177Contoh 6.91.Diketahui:S = {x | 1 dxd 10, x asli}A= {x | x kelipatan 2}B= {x | x bilangan ganjil}C= {x | x bilangan prima}Himpunan A, B, dan C merupakan himpunan bagian dari S. Tentukanlah:a.A‰Bb.A‰Cc.B‰CPenyelesaian:a.A= {2, 4, 6, 8, 10} danB= {1, 3, 5, 7, 9}A‰B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Lihat diagram Venn di samping. Daerahyang diarsir menunjukkan A‰B.b.A = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {2, 3, 5, 7}A‰C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}Lihat diagram Venn di samping. Daerah yangdiarsir adalah A‰C.c.B= {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}B‰C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}Lihat diagram Venn di samping. Daerahyang diarsir menunjukkan B‰C.2.Dari jawaban no.1, tentukan banyaknya anggota gabungan kedua himpunan padasoal a, b, dan c.Penyelesaian:a.n(A) = 5, n(B) = 5. Dari jawaban 1.a, n(A‰B) = n(A) + n(B) = 5 + 5 = 10.b.n(A) = 5, n(C) = 4. Dari jawaban 1b, n(A‰C) = 8.Perhatikan A‰C = {2, jadi n(A‰C) = 1.Untuk menentukan banyaknya anggota A‰C, dapat digunakan rumusn(A‰B) = n(A) + n(C) – n(AˆC) = 5 + 4 – 1 = 8c.n(B) = 5, n(C) = 4, dan n(B‰C) = 3. Dengan menggunakan rumus hasilnyadiperoleh n(B‰C) = n(B) + n(C) – n(BˆC) = 5 + 4 – 3 = 6.SBA2143956781019S2357CBS243567810CA
178Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Dari contoh 6.9 dapat disimpulkan bahwa:Untuk A dan B adalah himpunan, maka banyaknya anggota gabungan himpunan AdanB dapat dinyatakan dengan rumus:n(A‰B) = n(A) + n(B) – n(AˆB)Contoh 6.10Dari 40 siswa, 32 siswa gemar matematika (M) dan 24 siswa gemar fisika (F), jika 18siswa gemar matematika dan fisika, tentukan berapa siswa yang gemar matematikaatau fisika?Penyelesaian:n(M)=32n(F)=24n(MˆF)= 18maka n(M‰F)=n(M) + n(F) – n(MˆF)= 32 + 24 – 18 = 38Jadi, banyak siswa yang gemar matematika atau fisika adalah 38 siswa.3. Penerapan Konsep Himpunan dan Penggunaan Diagram Venn untukIrisan Dua GabunganPerhatikan contoh berikut.Contoh 6.11Dari sekelompok siswa yang berjumlah 60 orang, 35 orang gemar berenang, 29 oranggemar bola basket, dan 14 orang gemar kdua-duanya. Pertanyaan:a.Diagram Venn untuk menunjukkan pernyataan di atas.b.Jumlah siswa yang gemar berenang atau bola basket.c.Jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya.Penyelesaian:MisalkanR= {siswa gemar renang} dan B = {siswa gemar bola basket}, sehinggaR‰B= {himpunan siswa gemar berenang atau basket}a.Diagram Venn, lihat di samping kanan,(angka yang tertera pada diagram Vennmenunjukkan banyaknya siswa).b.Banyaknya siswa yang gemar renang atau bola basket=n(R) + n(B) – n(RˆB) = 35 + 29 – 14 = 50 orangc.Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya = (60 – 50) orang = 10 orang.21151410SBR
Himpunan179LATIHAN 6.81.Diketahui: A = {3, 6, 9}, B= {4, 8}, C = {2, 4, 6, 8}, dan D = 2, 3, 5, 7}. Dengan caramendaftar anggota-anggotanya, tentukanlah:a.A‰Bc.C‰De.B‰Cg.A‰Db.B‰Ad.D‰Cf.C‰Bh.D‰A2.Diketahui: P = {x | x < 10, x bilangan prima}Q = {x | 5 dxd 12  bilangan ganjil}Tentukan:a.P‰Qdan Q‰Pb. Apa yang dapat kamu katakan tentang P‰Qdan Q‰P? Sifat apa yang berlaku?3.13210SBA456789Dengan memperhatikan diagram Venn disamping, tentukanlah:a.AˆBb. A‰B4.Diketahui:S= {bilangan bulat}, L = {bilangan ganjil}, G = {bilangan genap},P= {bilangan prima} dan A = {bilangan asli}Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram venn.5.Diketahui n(M) = 7, n(N) = 5, dan n(MˆN) = 2. Tentukan n(M‰N).6.Arsirlah daerah yang menunjukkan operasi himpunan pada diagram Venn berikut.SBACa. (A‰B)‰Cb.A‰(B‰C)c. (AˆB) ‰Cd.AˆBˆCe.A‰B‰C7.Gambarlah diagram Venn untuk setiap keterangan di bawah ini! Kemudian hitunglah banyakelemen yang ditanyakan.a.n(A) = 50, n(B) = 65, dan n(A‰B) = 37. Tentukan n(AˆB)b.n(M) = 10, n(N) = 18, dan M dengan N saling lepas. Hitunglah n(M‰N)8.Siswi-siswi salah satu SMP Negeri di Jakarta mengikuti lomba memasak, dan menjahit.Yang mengikuti lomba berjumlah 30 orang. Setelah selesai dikelompokkan, 18 orang gemarmemasak, 17 orang gemar menjahit dan 12 orang gemar memasak dan menjahit.a. Tentukan pernyataan di atas dalam diagram Venn.b. Hitung berapa siswi yang tidak gemar dua-duanya.
180Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 74. Selisih Dua HimpunanMisalkan diketahui dua himpunan A dan B. Selisih himpunan A dan B adalah himpunansemua anggota A yang buka anggota B, dan ditulisAB = {x | xA, xB}SBAPada diagram Venn di samping daerah yang diarsir adalah AB.Misalnya himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunansemua anggota A yang bukan anggota B adalah {1, 4, 6}, jadiAB = {1, 4, 6}.Gambar 6.6Contoh 6.121.Diketahui:A = {himpunan bilangan asli kurang dari 10} danB = {himpunan bilangan prima kurang dari 15.Tentukan anggota dari ABdan BAdan gambarkan diagram venn-nya.Penyelesaian:A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}a.AB= {1, 4, 6, 8, 9}b.BA= {11, 13}a.SBA657123489b.SBA112137352.Diketahui P = { x | 3 dx< 7, xA}, Q = {x | 0 < xd 5, xB}Ditanya: a. PQ dan b. QPPenyelesaian:P = {3, 4, 5, 6, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}a.PQ = {6}b.QP = {1, 2}
Himpunan181LATIHAN 6.91.Diketahui:A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C= {1, 3, 5, 7}B= {0, 2, 4, 6}D= {2, 3, 5, 7}Tentukanlah:a.ABb.ACc.ADd.CDe.BD2.Diketahui A = {bilangan cacah antara 0 dan 10}B = { x | xd 5, x bilangan asli}, C = {x | 2 < xd 6, x bilangan bulat}Tentukan:a. Tulis semua anggota masing-masing himpunanb.ABc.AC3.Diketahui:A= {faktor dari 16}B= {faktor dari 12}Tentukan: a. Semua anggota masing-masing himpunan.b.ABc.BA4.Diketahui: P = {bilangan prima antara 2 dan 8}, Q = {bilangan ganjil antara 1 dan 9}.Ditanya: a. anggota himpunan PQ dan QPb. apakah (PQ) = (QP)?5. Sifat-Sifat Operasi pada Himpunana. Sifat-sifat irisanMisalkanS= {1, 2, 3, 4, ..., 10}A= {1, 3, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 7}, dan C = {1, 2, 3, 4}Tentukan: a.AˆB, BˆA, AˆC, BˆCb. (AˆB) ˆC, Aˆ (BˆC)c. Apakah AˆB= BˆA?d. Apakah (AˆB) ˆC= Aˆ (BˆC)Penyelesaian:a.AˆB= (3, 5}, BˆA= {3, 5}, AˆC= {1, 3}, BˆC = {2, 3}b.(AˆB)ˆC= { }, Aˆ (BˆC) = {3}c.AˆB= BˆA= {3, 5}d.(AˆB)ˆA = Aˆ (BˆC) = {3}Dari pembahasan di atas diperoleh:AˆB= BˆA (sifat komutatif) dan Aˆ (BˆC) =(AˆB)ˆC (sifat asosiatif).
182Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Perhatikan diagram Venn di bawah ini.SBAC13579246810SBAC13579246810SBAC13579246810SBAC13579246810 diarsir AˆB diarsir BˆA diarsir (AˆB)ˆC diarsir Aˆ (BˆC)Pada irisan himpunan berlaku sifat:b.Sifat-Sifat GabunganMisalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {0, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 3, 5} {0, 2, 4} {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {0, 2, 4} {0, 1, 2, 3, 4}ABABBAQA‰ ‰½Ÿ‰ ‰¾‰ ‰¿untuk:1.A‰B= B‰A disebut komutatif2.(A‰B) ‰B= A‰ (B‰C) disebut asosiatifPerhatikan diagram Venn-nya di bawah ini.SBACSBACSBACSBAC diarsir A‰B diarsir B‰A diarsir (A‰B)‰C diarsir A‰ (B‰C)Sifat-sifat pada gabungan:1.A‰B= B‰A, sifat komutatif.2.(A‰B) ‰C = A‰ (B‰C), sifat asosiatif.3.A‰A= A, A‰I = A, S‰A= S , sifat identitas.4.Aˆ (B‰C) = (AˆB)‰ (AˆC), distributif irisan terhadap gabungan.5.A‰ (BˆC) = (A‰B)ˆ (A‰C), distributif gabungan terhadap irisan.1.komutatif AˆB= AˆB2.asosiatif (AˆB) ˆC) = Aˆ (BˆC)3.Sifat identitas AˆA= A, AˆQ= Q, SˆA= A
Himpunan1836. Himpunan KomplemenPerhatikan gambar berikut.Apabila benda-benda yang berada di atas mejadimisalkan sebagai himpunan semesta, yaitu S ={gelas, piring, kue, buku, pensil, pulpn, penhapus,penggaris), dan kumpulan alat tulis dimisalkan sebagiahimpunan A, yaitu A = {buku, pensil, pulpen,penghapus, penggaris), maka kumpulan benda-bendaselain alat tulis, yaitu gelas, piring, dan kue disebutsebagai himpunan komplemen atau himpunanpelengkap dari himpunan A.Himpunan komplemen A dinotasikan dengan A atau A' atau Ac. Dengan demikian, himpunankomplemen A di atas dapat ditulis A = A' = Ac = {gelas, piring, kue}.Komplemen Suatu HimpunanKomplemen dari himpunan A adalah semua anggota S (himpunan semesta) yang bukananggota A.SAKomplemen dari A terhadap S ditulis A' (bacakomplemen dari A atau A komplemen). Perhatikandiagram Venn di samping, daerah yang diarsiradalah komplemen dari A atau A'. Denganpembentuk notasi himpunan dapat dituliskanA' = {x | xS, xA}TUGAS SISWAUntuk sifat 4 dan 5 buktikan sendiri.|AContoh 6.12Diketahui:S={x | x < 10, x bilangan cacah} dan A = {1, 3, 5, 7, 9}Tentukan komplemen dari A (A').Penyelesaian:S= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; A = {1, 3, 5, 7, 9}Semua anggota S yang bukan anggota Amembentuk satu himpunan yaitu {0, 2, 4, 6, 8}Jadi, komplemen himpunan A adalah A' ={0, 2, 4, 6, 8}.Perhatikan diagram Venn di samping. Daerah yang diarsiradalah komplemen A atau A'.SA42680A15379
184Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN 101.Diketahui himpunan semestaS={2, 3, 4, 5, 6, 7}A={2, 4, 6}B={3, 5, 7}Ditanyakan:a. komplemen himpunan Ab. komplemen himpunan Bc. tunjuk dalam diagram Venn.2.Dengan menggunakan sifat-sifat operasi dua himpunan tunjukkan bahwa:a. [A' ˆ (AˆB)] ‰ (AˆB) = Bb. [AˆB)‰C'] = AˆBˆC'3.Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, dan B = {2, 4, 6, 8}. Dari himpunan diatas, buatlah dua persamaan dengan menggunakan lambang komplemen.4.DiketahuiS={x | x < 11, x bilangan cacah}P={x | x < 10, x bilangan prima}Q={x | 3 < x < 8, x bilangan asli}Tentukanlah himpunan:a. (P')' dan (Q')', apakah (P')' = P dan (Q')' = Q?b. (PˆQ)' dan C (P‰Q)'5.Seorang wali kelas membuat angket terhadap siswa di kelasnya tentang pelajaran matematikadan sains. Dari jumlah siswanya 40 orang diperoleh data sebagai berikut.banyak siswa senang matematika 35 orangbanyak siswa senang sains 30 orangbanyak siswa yang senang kedua-duanya 37 orang.Pertanyaan:a. Gambarkan di dalam diagram Venn.b. Berapa orang yang senang satu mata pelajaran saja?c. Berapa orang senang matematika tapi tidak senang sains?d. Berapa orang senang sains tapi tidak senang matematika?e. Berapa orang yang senang kedua mata pelajaran?6.Diketahui:S= {0, 1, 2, ..., 10}B= {2, 4, 6, 8}A= {1, 2, 3, 4}C= {3, 4, 5, 6}Ditanya:a.AˆBe.A' ˆB'b. (AˆB)'f.A' ‰B'c. (A‰B)g.(AˆBˆC')'d. (A‰B)h.(A' ˆB)‰ (B'ˆC)
Himpunan185 RINGKASAN1.Himpunan adalah kumpulan benda-benda (objek) yang mempunyai batasan yang jelas.2.Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu cara diskripsi, cara tabulasi, dancara rule.3.Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan{ } atau I.4.Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek yangdibicarakan.5.Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A juga merupakananggota B.6.Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang mempunyai n anggota adalah 2n.7.Irisan dua himpunan adalah himpunan semua anggotanya merupakan anggota keduahimpunan itu. Irisan himpunan P dan Q dinotasikan PˆQ = {x | xP dan xQ}.8.Gabungan himpunan P dan Q adalah himpunan anggotanya merupakan anggota himpunanP atau himpunan Q dan dinotasikan P‰Q = {x | xP atau xQ}.9.Banyaknya anggota gabungan A dan B dapat dinyatakan dengan rumus:()()()()nA B nA nB nA B‰   ˆ10. Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menggambar suatu himpunan ataubeberapa himpunan yang saling berhubungan seperti diagram berikut ini.ASASBSA = BSBASBAASABABABˆAB‰11. Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggotaB.12. Apabila S adalah himpunan semesta dari himpunan A, maka himpunan komplemen A adalahhimpunan semua anggota S yang bukan termasuk anggota A.13. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen apabila n(A) = n(B). Dinotasikan denganA ~ B.Misalnya A = {a, b, c}, B = 1, 2, 3}, makan(A) = 3, dan n(B) = 3 on(A) = n(B) o A ~ B.14. Dua himpunan saling lepas, jika di antara himpunan-himpunan itu tidak ada anggota yangsama dan kedua himpunan itu tidak kosong.
186Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7 GLOSARIUMHimpunanKumpulan benda atau objek yag mempunyai batasan yang jelas.Himpunan bagianHimpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, bila setiap anggota A juga anggotahimpunan B dan ditulis AB.Himpunan berhinggaHimpunan yang banyak anggotanya berhingga atau dapat dihitung.Himpunan tak berhinggaHimpunan yang anggotanya banyak sampai tak berhingga.Himpunan kosongHimpunan yang tidak mempunyai anggota dan dituliskan { } atau I.Himpunan semestaHimpunan yang memuat semua elemen atau anggota himpunan yang sedang dibicarakan.Diagram VennSuatu diagram yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan.GabunganSuatu operasi himpunan. Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang semuaanggotanya himpunan A atau anggota himpunan B. Setiap elemen atau anggota ditulis ataudihitung satu kali dari himpunan-himpunan yang ditentukan. Gabungan dinotasikan dengan"‰".Misalnya A = {1, 2, 3}, B ={3, 4, 5, 6}, A‰B = {1, 2, 3} ‰ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.IrisanIrisan dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota kedua himpuantersebut dan dinotasikan "ˆ".Misalnya P = {1, 2, 3, 4,}, Q = {3, 4, 5, 6}, P‰Q = {1, 2, 3, 4} ˆ {3, 4, 5, 6} = {3, 4}SelisihSelisih antara dua himpunan A da B adalah himpunan semua anggota A yang bkan anggotaB. Dinotasikan dengan AB.Misalnya A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 3, 5, 7}, A – B = {0, 2, 4, 6}.
Himpunan187LATIHAN PEMAHAMAN BAB 6I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1.Di antara kumpulan-kumpulan berikut, yang merupakan himpunan adalah ....a. kumpulan kue bolu yang enakc.kumpulan wanita cantikb. kumpulan ikan yang menyusuid.kumpulan hewan yang lucu2.Himpunan A = {bilangan genap kurang dari 10}. Pernyataan-pernyataan berikut yang benaradalah ....a. 4 Ab. 3 Ac. 2 Ad. 9 A3.Himpunan M adalah {x | 30 < xd 40, x bilangan komposit}, maka n(M) adalah ....a. 5b. 6c. 8d. 94.Himpunan P adalah himpunan huruf pembentuk kata INTERNASIONAL, makan(P) = ....a. 6b. 9c. 10d. 125.Himpunan {2, 4, 6, 8} dinyatakan dalam notasi pembentuk himpunan adalah ....a. {x | 0 < x < 10, x bilangan genap}b. {x | x < 10, x bilangan genap}c. {x | x < 10, x bilangan komposit}d. {x | x > 0, x bilangan genap}6.A = {1, 2, 3}. Banyaknya himpunan bagian A yang mempunyai 2 anggota adalah ....a. 2b. 3c. 6d. 87.Himpunan semesta yang mungkin untuk {3, 6, 7} adalah ....a. himpunan bilangan kompositb. himpunan bilangan ganjilc. himpunan bilangan primad. himpunan bilangan faktor dari 428.Diketahui:P= {bilangan ganjil}Q= {bilangan prima}R= {bilangan bulat}Dari ketiga himpunan di atas, yang dapat menjadi himpunan semesta dari{73, 79, 83, 87, 93} adalah ....a.P, Q, dan Rc.hanya P dan Rb. hanya P dan Qd.hanya Q dan R9.Di antara himpunan-himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah ....a. {bilangan prima yang genap}c.{bilangan prima yang ganjil}b. {bilangan asli antara –1 dan 2}
188Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 710. P = {x | xd 10, x bilangan ganjil}Q = {x | x faktor prima dari 210}Diaram Venn yang sesuai untuk kedua himpunan tersebut adalah ....a. b.c.d.SQPSQPSQPSQP11. DiketahuiA = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Pernyataan berikut yang sesuai untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunandi atas adalah ....a.ABb.BCc.ACd.CA12. Pada diagram Venn di bawah ini, yang merupakan anggota himpunan P adalah ....SQP0215346789a.(3, 5, 7}b.{0, 1, 2, 4}c.{3, 5, 7, 8, 9}d.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}13. Diketahui:K={x | x > 100, x bilangan asli}L={x | xd 100, x bilangan asli}M= {100, 200, 300, 400, 500}N= {0, 1, 2, ..., 10}Dari keempat himpunan di atas yang merupakan himpunan lepas adalah ....a.K dan Lb.L dan Mc.K dan Md.L dan N14. Diketahui A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {1, 2, 3}. Pernyataan yang benar adalah ....a.A = Bb. A = Cc.B < Cd.A < B15. Diketahui:A= {x | x < 10, x bilangan gajil}B= {x | 0 dx < 15, xkelipatan 4}C= {x | 11 dxd, x bilangan ganjil}D= {x | x < 9, x bilangan prima}Himpunan di atas yang mempunyai irisan adalah ....a.B dan Cb.A dan Bc.A dan Dd.C dan D16.P= {bilangan prima kurangdari atau sama dengan 13}Q= {bilangan ganjil antara 3 dan 13}PˆQ = ....a. {3, 5, 7}c.{3 5, 7, 9, 11}b. {5, 7, 11}d.{3, 5, 7, 11, 13}
Himpunan18917.13210SBA4567890Dari diagram Venn di samping, B‰ (AˆB)adalah ....a.{0, 1, 2, 4, 6, 7, 8}b.{0, 1, 2, 3, 5}c.{3, 4, 5, 6, 7, 8}d.{0, 1, 2, 10}18. Jika AB, maka A‰B adalah ....a.Ab.Dc.Cd.B19. Jika AB, n(A) = 8, dan N(B) = 14, maka n(A‰B) adalah ....a. 6b. 8c. 14d. 2220. Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapandengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan35orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. anyaknya orang dalam kelompok tersebutadalah ....a. 145 orangc.156 orangb. 152 orangd.160 orang21. Jika n(A) = 10, n(B) = 8, dan n(AˆB) = 2, maka n(A‰B) = ....a . 18b. 16c . 10d. 1222. Pasangan berikut ini yang ekuivalen adalah ....a. {j, e, r, u, k} dengan {m, a, n, i, s}b. {g, u, l, a} dengan {m, a, n, i, s}c. {b, r, o, k, o, l, i} dengan {k, o, l}d. {k, e, n, t, a, n, g} dengan {g, o, r, e, n, g}23. Jika ABdan BC, maka (AˆB) ‰C adalah ....a.Bb.Ac.Id.C24.S = {huruf pada kata MATEMATIKA}A = {huruf pada kata KETIKA}B = {huruf pada kata TAMAT}Banyaknya angka dari AB adalah ....a. 11b. 10c. 6d. 525.SBADiagram Venn di samping menunjukkan hubunganpernyataan ....a.ABb.AˆB = Ac. (AˆB) ˆB= Bd.(AˆB) ‰A = A
190Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan singkat.1.Nyatakan himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.a. {huruf pembentuk kata INTERNASIONAL}b. {bilangan ganjil antara 1 dan 10}c. {bilangan antara 1 dan 25 yang habis dibagi 2 dan 3}2.Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minumkopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.a. jumlah semua anak remajab. jumlah remaja yang suka susu sajac. jumlah remaja yang suka kopi sajad. jumlah remaja yang suka kedua-duanya3.Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}, Q = {2, 3, 5, 7}, P = {1, 3, 5, 7, 9} = {2, 4, 6, 10}Tentukan:a.P‰ (QˆR)'b.P' ˆ (Q‰R)'4.Dari 40 siswa SMP, 30 orang suka matematika, 25 orang suka fisika, dan 21 orang sukakedua-duanya.a. Gambar diagram Venn pernyataan di atas.b. Berapa orang siswa yang tidak suka matematika dan fisika?5.Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 12}, A = {0, 2, 4, 6, 8, 12}, C= {1, 4, 9}, dan D = {1, 2, 3, 4, 5}.Buatlah diagram Venn untuk menyatakan hubungan himpunan-himpunan di atas dalamsatu diagram.