Halaman
Seringkah kalian berbelanja diswalayan atau di warung dekatrumahmu? Cobalah kalian memer-hatikan barang-barang yang dijual.Barang-barang yang dijual biasanyadihimpun sesuai jenisnya. Penghim-punan jenis barang dapat memudah-kan pembeli memilih barang. Jadi,tahukah kalian apa kegu naan him-punan? Untuk memahami tentanghimpunan pelajari bab ini dengansaksama.Sumber: Dok. PenerbitTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendataanggotanya;dapat menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan;dapat menyatakan notasi himpunan;dapat mengenal himpunan kosong dan notasinya;dapat menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan;dapat menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan;dapat mengenal pengertian himpunan semesta, serta dapat menyebutkananggotanya;dapat menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan;dapat menjelaskan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya;dapat menjelaskan komplemen dari suatu himpunan;dapat menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn;dapat menyajikan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnyadengan diagram Venn;dapat menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn;dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsephimpunan.6HIMPUNANKata-Kata Kunci:anggota himpunanhimpunan semestanotasi himpunandiagram Vennhimpunan kosongoperasi himpunanhimpunan bagian
164Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Agar kalian dapat memahami materi pada bab ini denganbaik, coba kalian ingat kembali mengenai jenis bilangan.A. HIMPUNAN1. Pengertian HimpunanPerhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudahkalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini.a. Kumpulan hewan berkaki dua.b. Kumpulan warna lampu lalu lintas.c. Kelompok tanaman hias.Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, danburung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan,karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebutpasti termasuk dalam kumpulan tersebut.Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, danhijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan,karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya.Himpunanadalah kumpulan benda atau objek yang dapatdidefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahuiobjek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalamhimpunan tersebut.Sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini.a. Kumpulan lukisan indah.b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karenalukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut oranglain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah tidak dapatdidefinisikan dengan jelas.Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indone-sia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurutorang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.(Menumbuhkan krea-tivitas)Amati lingkungansekitar kalian. Carilahcontoh kumpulan yangmerupakan himpunandan bukan himpunanmasing-masing 5buah. Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.(Berpikir kritis)Tuliskan bilanganyang termasuk dalama. bilangan asli;b. bilangan cacah;c. bilangan bulat.Sumber:Ensiklopedi Indonesia Seri Fauna,1992Gambar 6.1
165Himpunan2. Notasi dan Anggota HimpunanSuatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkandengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atauobjek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis denganmenggunakan pasangan kurung kurawal {...}.Nyatakan himpunan beri-kut dengan menggunakantanda kurung kurawal.a. A adalah himpunanbilangan cacah kurangdari 6.b. P adalah himpunanhuruf-huruf vokal.c. Q adalah himpunantiga binatang buas.Penyelesaian:a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah0, 1, 2, 3, 4, 5.Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a,e,i,o,danu, sehingga ditulis P = {a,e,i,o,u}.c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau,singa, dan serigala.Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunandisebutanggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikandengan. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalamsuatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dandinotasikan dengan .Berdasarkan contoh di atas, A adalah himpunan bilangancacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1,2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis0 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, dan 5 A. Karena 6, 7, dan8 bukan anggota A, maka ditulis 6 A, 7 A, dan 8 A.Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. JikaA = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunanA = 6.Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).(Menumbuhkan krea-tivitas)Perhatikan angka-angka dan simbol-simbol yang terdapatpada kalkulator.Apakah angka-angkadan simbol-simboltersebut dapatmewakili suatuhimpunan tertentu?Berikan pendapatmu.
166Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara kelompok atau kumpulan beri-kut, tentukan yang termasuk himpunandan bukan himpunan, berikan alasan yangmendukung.a. Kumpulan kendaraan bermotor.b. Kelompok negara-negara di AsiaTenggara.c. Kelompok binatang serangga.d. Kumpulan orang-orang pendek.e. Kelompok bilangan kecil.2. Nyatakan himpunan berikut denganmenggunakan tanda kurung kurawal.a. A adalah himpunan nama-nama haridalam seminggu.b. M adalah himpunan binatang pema-kan rumput.c. N adalah himpunan bilangan ganjilkurang dari 15.d. B adalah himpunan planet-planet da-lam tata surya.(Menumbuhkan inovasi)Perhatikan lingkungan sekolahmu. Tuliskan 5 buah kumpulanyang merupakan himpunan. Kemudian, tentukan banyaknyaanggota tiap himpunan tersebut. Ceritakan hasilnya secarasingkat di depan kelas.Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagailambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut.Huruf A : lambang himpunan bilangan asli.A = {1, 2, 3, 4, ... }Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat.B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah.C = {0, 1, 2, 3, ... }Huruf L :lambang himpunan bilangan ganjil.Huruf N : lambang himpunan bilangan genap.Huruf P : lambang himpunan bilangan prima.Huru Q : lambang himpunan bilangan rasional.Q = / dan AaaB bb½®¾ ̄¿, dibaca himpunan ab dimana aanggota himpunan bilangan bulat dan b anggota himpunan bilanganasli.
167Himpunan3. Menyatakan Suatu HimpunanSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagaiberikut.a. Dengan kata-kata.Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.b. Dengan notasi pembentuk himpunan.Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, padacara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun,anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubahyang biasa digunakan adalah x atau y.Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulisP = {10 < x < 40, x bilangan prima}.c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis-kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}A = {1, 2, 3, 4, 5}3. Sebutkan anggota dan bukan anggotahimpunan berikut, tuliskan dengan notasikeanggotaan.a. Himpunan nama-nama bunga.b. Himpunan satuan berat.c. Himpunan warna pelangi.d. Himpunan ibu kota provinsi di Indo-nesia.4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5};B = {4, 8, 12, ..., 96};P ={s,a,k,i,t}; danQ={k,u,c,i,n,g}.Salin dan isilah dengan lambang atau pada titik-titik berikut sehingga men-jadi kalimat yang benar.a. 3 ... Ae.a... Pb. 0... Af.u... Qc. 72 ... Bg.t... Qd. 54 ... Bh.n... P5. Nyatakan benar ata u salah setiap kali-mat berikut ini.a. 2 {0, 1, 2, 3, 4}b. 4 {1, 4, 9, 16}c. 8 {bilangan genap}d. km {satuan panjang}e. 2 {252}6. Tentukan banyaknya anggota setiaphimpunan berikut dengan menggunakannotasi.a. A = {warna bendera Indonesia}b. B = {provinsi di Indonesia}c. C = {nama hari dalam seminggu}d. D = {bilangan ganjil kurang dari 15}e. E = {huruf pembentuk kata MA-TEMATIKA}f. F = {bilangan asli yang merupakanfaktor dari 18}
168Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Z adalah himpunan bilang-an ganjil antara 20 dan 46.Nyatakan himpunan Zde-ngan kata-kata, dengannotasi pembentuk himpun-an, dan dengan mendaftaranggota-anggotanya.Penyelesaian:Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.a. Dinyatakan dengan kata-kata.Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.Z = {20 < x< 46, xbilangan ganjil}c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.4. Himpunan Berhingga dan Himpunan T ak BerhinggaPada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknyaanggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggotahimpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurangdari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan Adisebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota Aberhingga.Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, ...}, dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebuthimpunantak berhingga, karena banyaknya a nggota B ta kberhingga.Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebuthimpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggotatak berhingga disebut himpunan tak berhingga.Diketahui A = {0, 1, 2, 3,..., 10}. Bentuklah him-punan-himpunan be-rikut dengan mendaftaranggota-anggotanya.a. Himpunan B yanganggota-anggotanyaadalah anggota A di-tambah 2.b. Himpunan C yanganggota-anggotanyaadalah anggota Ayang merupakanbilangan asli.c. Himpunan D yanganggota-anggotanyaadalah anggota Adikalikan.21Tentukan banyak anggotadari himpunan-himpunanberikut.a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}c. R = {..., –2, –1, 0, 1,2, ...}Penyelesaian:a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga ataun(R) = tidak berhingga.
169HimpunanKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.b. C adalah himpunan bilangan cacahkurang dari 1.001.c. M adalah himpunan bilangan bulatkurang dari –4.d. K adalah himpunan bangun ruangdalam matematika.3. Salin dan isilah titik-titik pada kalimatberikut sehingga menjadi kalimat yangbenar.a. A = {bilangan prima kurang dari 25}makan(A) = ...b. B = {huruf pembentuk kata SURA-BAYA} maka n(B) = ....c. C = {faktor dari 20} makan(C) = ....d. D = {faktor persekutuan dari 15 dan45} maka n(D) = ....1. Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan kata-kata, dengan notasi pem-bentuk himpunan, dan dengan mendaf-tar anggota-anggotanya.a. P adalah himpunan huruf pembentukkata SUKARELAWAN.b. Q adalah himpunan nama bulandalam satu tahun yang berumur30 hari.c. R adalah himpunan bilangan genapkurang dari 10.d. S adalah himpunan lima huruf ter-akhir dalam abjad.2. Selidikilah himpunan-himpunan berikutberhingga atau tak berhingga, berilahalasannya.a. B adalah himpunan bilangan asliyang habis dibagi 3.B. HIMPUNAN KOSONG DAN HIMPUNANSEMESTA1. Himpunan Kosong dan Himpunan NolDi bagian depan kalian telah mempelajari mengenaibanyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiaphimpunan pasti mempunyai anggota?Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buahsisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebuthimpunankosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisipersegi adalah empat.Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyaianggota, dan dinotasikan dengan { } atau I.Jika R = {x|x< 1, xC} maka R = {0} atau n(R) = 1.Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah0. Jadi, himpunan R bukanmerupakan himpunan kosong.(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadiansehari-hari dilingkungan sekitarmu.Berikan contohhimpunan kosongsebanyak 5 buah.Ceritakanpengalamanmusecara singkat didepan kelas.
170Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1anggota, yaitu nol (0).N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahunyang diawali dengan hurufC. Nyatakan N dalam no-tasi himpunan.Penyelesaian:Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari,Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober,November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulanyang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunankosong ditulis N =I atau N = { }.2. Himpunan SemestaPerhatikan Gambar 6.2.Gambar tersebut menunjukkan kelompok buah-buahan yangterdiri atas pisang, jeruk, apel, dan anggur.Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semestapembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}.Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan Smemuat semua anggota himpunan P.Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunanyang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica-rakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanyadilambangkan dengan S.Tentukan tiga himpunansemesta yang mungkindari himpunan berikut.a. {2, 3, 5, 7}b. {kerbau, sapi, kam-bing}Penyelesaian:a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semestayang mungkin dari himpunan A adalahS = {bilangan prima} atauS = {bilangan asli} atauS = {bilangan cacah}.b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi,kambing} adalah {binatang}, {binatang berkakiempat}, atau {binatang memamah biak}.Sumber:Dok. PenerbitGambar 6.2
171HimpunanKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tentukan sebuah himpunan semestayang mungkin untuk himpunan-himpunanberikut.a. A = {1, 4, 9, 16, 25}b. B = {1, 3, 5, 7, ... }c. E = {m, dm, cm, mm}d. F = {kerucut, tabung, bola}3. Sebutkan paling sedikit dua buah himpun-an semesta yang mungkin dari tiap him-punan berikut.a. G = {x | x = 2n,n bilangan ca-cah}b. H = {x | x= 2n – 1, n bilangancacah}c. P = {honda, yamaha, suzuki}d. Q = {merpati, dara, puyuh}1. Di antara himpunan-himpunan berikut,tentukan manakah yang merup akanhimpunan kosong.a. Himpunan anak kelas VII SMP yangberumur kurang dari 8 tahun.b. Himpunan kuda yang berkaki dua.c. Himpunan kubus yang mempunyai12 sisi.d. Himpunan bilangan prima yang habisdibagi 2.e. Himpunan bilangan asli antara 8 dan9.f. Himpunan nama bulan dalam seta-hun yang berumur kurang dari 30 hari.h. Himpunan penyelesaian untuk2x = 3, x bilangan cacah.i. N = {x | x + 4 = 0, x bilangan asli}(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4 siswa, 2 laki-laki dan 2 pe-rempuan.Setiap kelompok menamakan diri dengan himpunan tertentu,misalnya himpunan buah-buahan, himpunan bangun datar, danlain-lain. Setiap dua kelompok menyebutkan anggota-anggotahimpunan dan semesta pembicaraan kelompok lain di depankelas. Lakukan hal ini secara bergantian dengan kelompok yanglain. Hasilnya, buatlah dalam sebuah laporan dan kumpulkankepada gurumu.C. HIMPUNAN BAGIAN1. Pengertian Himpunan BagianAgar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian,perhatikan himpunan-himpunan berikut.
172Matematika Konsep dan Aplikasinya 1A = {1, 2, 3}B = {4, 5, 6}C = {1, 2, 3, 4, 6}Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiapanggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunanC. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakanhimpunan bagian dari C, ditulis A C atau C A.Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggotaA juga menjadi anggota B dan dinotasikan A B atau B A.Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.B = {4, 5, 6}C = {1, 2, 3, 4, 5}Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C,karena 6 C. Dikatakan bahwa B bukanmerupakan himpunanbagian dari C, ditulis B C. (B C dibaca: B bukan himpunanbagian dari C).Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapatanggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A B.Perhatikan perbedaanpernyataan berikut.DiketahuiS = {1, 2, 3, ..., 10}A = {1, 3, 5, 7, 9}3 A (benar){3} A (salah){1, 3, 5, 7, 9} = A S(benar){1, 3, 5, 7, 9} = A S(salah)Diketahui K = {p,q,r,s}.Tentukan himpunan bagiandari K yang mempunyaia. satu anggota;b. dua anggota;c. tiga anggota;d. empat anggota.Penyelesaian:Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p,q,r, s}yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakandiagram pohon seperti berikut.anggota pertama anggota kedua anggota ketigarqsprssrsqsrsa. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota ada-lah {p} K; {q} K; dan {r} K; dan {s} K.b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggotaadalah {p,q} K; {p,r} K; {p,s} K; {q,r} K; {q,s} K; {r,s} K.
173Himpunanc. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggotaadalah {p,q,r} K; {p,q,s} K; {p,r,s} K;dan {q,r,s} K.d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggotaadalah {p,q,r,s} = K.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa untuksebarang himpunan Aberlaku { } A atau A.Pada contoh di atas, tampak bahwa himpunan bagian K yangmempunyai 4 anggota adalah {p,q,r, s}.Jadi, {p,q,r,s} = K K.Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunanA sendiri, ditulis A A.2. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari SuatuHimpunanKalian telah mempelajari cara menentukan himpunan bagiansuatu himpunan yang memiliki satu anggota, dua anggota, tigaanggota, dan nanggota. Untuk mengetahui banyaknya himpunanbagian suatu himpunan, pelajari tabel berikut.{ }{a}{ }{a}, {b}{a,b}{ }{a}, {b}, {c}{a,b}, {a,c}, {b,c}{a,b,c}{ }{a}, {b}, {c}, {d}{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, { b,d}, {c,d}{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}{a,b,c,d}{ }{a}, {b}, ...HimpunanBanyaknyaAnggotaHimpunan BagianBanyaknyaHimpunanBagian1234n{a}{a,b}{a,b,c}{a,b,c,d}{a,b,c,d, ...}2 = 214 = 228 = 2316 = 242nTabel 6.1
174Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa terdapat hubunganantara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknyahimpunan bagian himpunan tersebut.Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.Adapun untuk menentukan banyaknya himpunan bagian darisuatu himpunan yang mempunyai n anggota, dapat digunakan polabilangan segitiga Pascal berikut.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1untuk { }untuk { }auntuk { , }abuntuk { , , }abcuntuk { , , , }abcd1anggota2anggota3anggota4anggota0anggotaPada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang beradadi bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya.Himpunan bagian dari {a,b,c,d} yang mempunyai0 anggota ada 1, yaitu { };1 anggota ada 4, yaitu {a}, {b}, {c}, {d};2 anggota ada 6, yaitu {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d};3 anggota ada 4, yaitu {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d};4 anggota ada 1, yaitu {a,b,c,d};Cobalah hal ini untuk P = {a,e,i,o,u}. Kemudian, cekapakah banyak semua himpunan bagian P adalah 2n?(Berpikir kritis)Perhatikan kembaliTabel 6.1.Banyaknya himpunanbagian yang dinyata-kan dengan 2n masihharus dibuktikan lagi.Cobalah untuk n = 5,6, 7, 8, 9, dan 10.Apakah banyaknyahimpunan bagiantetap dirumuskan 2n?Diskusikan dengantemanmu.Bukti matematismengenai hal tersebutakan kalian pelajari ditingkat yang lebihtinggi.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.D = {huruf vokal}E = {a,u}F = {bilangan prima genap}G = {3, 5}1. Tentukan hubungan himpunan bagian an-tara himpunan-himpunan berikut.A = {2, 3, 4, 5}B = {bilangan asli kurang dari 7}C = {a,i,u,e}(Berpikir kritis)Mintalah temansebangkumumenyebutkansebarang himpunan.Tuliskan himpunanbagian dari himpunantersebut. Lakukan halini secara bergantian.Ceritakan hasilnya didepan kelas.
175Himpunan4. Tentukan banyaknya himpunan bagi andari himpunan berikut.a. Himpunan bilangan asli kurang dari6.b. Himpunan bilangan prima antara 4dan 20.c. P = {huruf-huruf pembentuk kata“stabilitas”}d. Q = {nama-nama hari dalam seming-gu}5. Tentukan banyaknya himpunan bagi andari Q jika diketahuia. Q = I;b.n(Q) = 4;c. Q = {1};d. Q = {p,q,r,s,t,u}.2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bi-langan prima antara 2 dan 20} berikutini dengan mendaftar anggota-anggota-nya.a. Himpunan bilangan ganjil anggota P.b. Himpunan bilangan genap anggota P.c. Himpunan anggota P yang kurangdari 10.d. Himpunan anggota P yang lebih dari7.3. Diketahui K = {2, 3, 5, 7, 11}.Tentukana. himpunan bagian K yang mempunyaidua anggota;b. himpunan bagian K yang mempunyaitiga anggota;c. himpunan bagian K yang mempunyaiempat anggota.D. HUBUNGAN ANTARHIMPUNANSetelah kalian mempelajari mengenai himpunan dan caramenyatakannya, pada bagian ini kalian akan mempelajari hubunganantarhimpunan.Diketahui A = {burung, ayam, bebek} danB = {kucing, anjing, ikan}.Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan Ayang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidakada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunanA. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuanantara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan Bseperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atausaling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyaianggota persekutuan.Selanjutnya, perhatikan kedua himpunan berikut.K = {1, 2, 3, 4, 5}L = {2, 3, 5, 7, 11}
176Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Perhatikan bahwa terdapat anggota himpunan K yang jugamenjadi anggota himpunan L, yaitu {2, 3, 5}. Dalam hal ini dikatakanbahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan K danL. Perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan K yang tidakmenjadi anggota himpunan L, demikian pula sebaliknya. Keadaandua himpunan seperti ini disebut himpunan tidak saling lepas(berpotongan).Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan)jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih adaanggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukananggota A.Sekarang, perhatikan himpunan A = {t,i,k,a} dan himpunanB = {a,t,i,k}.Ternyata, setiap anggota A termuat dalam B, demikian jugasebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunansama, ditulis A = B.Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempu-nyai anggota yang tepat sama.Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggotahimpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen.Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).Tulislah anggota dari ma-sing-masing himpunan be-rikut. Kemudian tentukanhubungan antarhimpunantersebut.P ={x | x < 7, x A}Q = {bilangan prima ku-rang dari 10}R = {empat huruf perta-ma dalam abjad}S ={x | 1 dxd 6,x C}Penyelesaian:Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperolehsebagai berikut.P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {2, 3, 5, 7}R = {a,b,c,d}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}– Perhatikan himpunan P dan Q.Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah{2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan Pyang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu{1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunanQ yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}.Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidaksaling lepas (berpotongan).(Berpikir kritis)Berikan contohhimpunan yang salinglepas, tidak salinglepas (berpotongan),himpunan sama, danhimpunan ekuivalen.Diskusikan hal inidengan temansebangkumu.
177HimpunanE. OPERASI HIMPUNAN1. Irisan Dua Himpunana. Pengertian irisan dua himpunanCobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuandari dua himpunan.Misalkan A = {1, 3, 5, 7 , 9}B = {2, 3, 5, 7 }Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dansekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}.Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggotahimpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B.Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisandua himpunan, dinotasikan dengan (dibaca: irisan atauinterseksi). Jadi, A B = {3, 5, 7}.– Perhatikan himpunan Q dan R.Karena tidak ada anggota persekutuan antara him-punan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan Rsaling lepas atau saling asing. Namun, perhatikanbahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a,b,c,d},n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunanQ dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R).– Sekarang, perhatikan himpunan P dan S.Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.E = {nama bulan dalam setahun yang di-mulai dengan huruf J}F = {2, 1, 3}G={x | 10 < x< 20, xbilangan prima}H = {bilangan cacah}I = {bilangan ganjil}J ={x|x< 9, xbilangan ganjil}Dengan mendaftar anggota-anggotanya, ten-tukan hubungan yang mungkin antarhim-punan berikut ini.A={x|xvokal}B ={x|xkonsonan}C = {nama bulan yang berumur 30 hari}D = {1, 2, 3}
178Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yanganggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunantersebut.Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut.A B = {x|x A dan xB}b. Menentukan irisan dua himpunan1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lainMisalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Irisan dari himpunan A dan B adalah A B = {1, 3, 5} = A.Tampak bahwa A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Jika A B, semua anggota A menjadi anggota B. Olehkarena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semuaanggota dari A.Jika A B maka A B = A.DiketahuiA = {2, 3, 5} danB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}.Tentukan A B.Penyelesaian:A = {2, 3, 5}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A B = {2, 3, 5} = A.2) Kedua himpunan samaDi depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan Adan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadianggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadianggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalahsemua anggota A atau semua anggota B.Jika A = B maka A B = A atau A B = B.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Diketahui dua buahhimpunan A dan B,dimana A B = A.Apakah A = B? Berikancontoh untuk mendu-kung jawabanmu.(Berpikir kritis)Tuliskan dua buahhimpunan. Tentukanirisan dari duahimpunan tersebut.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.
179Himpunan3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas(berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masihada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yangbukan anggota A.Misalkan A = {bilanganasli kurang dari 6} danB = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukananggota A B.Penyelesaian:A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {1, 2, 3 , 4, 5}Karena A = B maka A B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B.Misalkan P = {bilangan aslikurang dari 11} danQ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16}. Tentukan anggotaP Q.Penyelesaian:P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}P Q = {2, 4, 6, 8, 10}2. Gabungan Dua Himpunana. Pengertian gabungan dua himpunanIbu membeli buah-buahan di pasar. Sesampai di rumah,ibu membagi buah-buahan tersebut ke dalam dua buah piring,piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, danapel. Piring B berisi buah pir, apel, dan anggur. Jika isi piring Adan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel,pir, dan anggur.(Berpikir kritis)Diskusikan dengan temanmu.Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika A dan B tidakmempunyai anggota sekutu. Carilah contoh dua himpunan yangsaling lepas. Tunjukkan bahwa A B = I.
180Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunanA dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atasanggota-anggota A atau anggota-anggota B.Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan Bdituliskan sebagai berikut.A B = {x | x A atau x B}Catatan: A B dibaca A gabungan B atau A union B.b. Menentukan gabungan dua himpunan1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yanglain.Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.Perhatikan bahwa A = {3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehinggaA B = {1, 2, 3, 4, 5} = B.Jika A B maka A B = B.2) Kedua himpunan samaMisalkan P = {2, 3, 5, 7, 11} dan Q = {bilangan prima yangkurang dari 12}.Dengan mendaftar anggotanya, diperolehP = {2, 3, 5, 7, 11}Q = {2, 3, 5, 7, 11}P Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = QJika A = B maka A B = A = B.3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, makaA B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}c. Menentukan banyaknya anggota dari gabungan duahimpunanBanyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskansebagai berikut.n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyakanggota dari gabungan dua himpunan. Perhatikan contoh berikut.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Diketahui A sebaranghimpunan. Tentukanhasil dari A I.(Berpikir kritis)Tuliskan dua buahhimpunan. Tentukangabungan darihimpunan tersebut.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.
181HimpunanDiketahuiK = {faktor dari 6} danL = {bilangan cacah ku-rang dari 6}.Dengan mendaftar anggo-tanya, tentukana. anggota K L;b. anggota K L;c.n(K L).Penyelesaian:K = {faktor dari 6}= {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4L = {bilangan cacah kurang dari 6}= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6a. K L = {1, 2, 3}b. K L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}c.n(K L) = 7.n(K L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.n(K L) = n(K) + n(L) – n(K L)= 4 + 6 – 3= 73. Selisih (Difference) Dua HimpunanSelisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yanganggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atauA\B.Catatan:A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.A – B = {x | x A, x B}B – A = {x | x B, x A}Diketahui A = {a,b,c,d} dan B = {a,c,f,g}.Selisih A dan B adalah A – B = {a,b,c,d} – {a,c,f,g} ={b,d}, sedangkan selisih B dan A adalahB – A = {a,c,f,g} – {a,b,c,d} = {f,g}.Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta. Jika P = {2, 3, 5, 7}dan Q = {1, 3, 5, 7, 9},tentukanPenyelesaian:a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7}= {1, 4, 6, 8, 9, 10}
182Matematika Konsep dan Aplikasinya 1a. anggota S – P;b. anggota P – Q;c. anggota Q – P.b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9}= {2}c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}= {1, 9}.4. Komplemen Suatu HimpunanAgar kalian dapat memahami mengenai komplemen suatuhimpunan, coba ingat kembali pengertian himpunan semesta atausemesta pembicaraan.Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.AC = {x|x S dan x A}Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semestadan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalahAC = {1, 2, 6, 7}.Komplemen A dinotasikan dengan AC atau Ac (AC atau Acdibaca: komplemen A).Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta. Jika A = {1, 2, 3, 4}dan B = {2, 3, 5, 7},tentukana. anggota AC;b. anggota BC;c. anggota (A B)C.Penyelesaian:DiketahuiS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 3, 5, 7}a. AC = {5, 6, 7, 8, 9, 10}b. BC = {1, 4, 6, 8, 9, 10}c. Untuk menentukan anggota (A B)C, tentukanterlebih dahulu anggota dari A B.A B = {2, 3}(A B)C = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(Berpikir kritis)Amati lingkungansekitarmu. Tuliskankumpulan yangmerupakan himpunan.Tentukan komplemendari himpunantersebut. Ceritakanpengalamanmu didepan kelas.
183HimpunanKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.C={x | xd 11, x bilangan prima}Dengan menyebutkan anggota-anggota-nya, tentukan masing-masing anggotahimpunan berikut ini.a. A, B, dan Cb. A Bc. B Cd. A (B C)e. A ( B C)f. B ( A C)g. C (A B)h. (A B) (B C)4. DiketahuiS = {bilangan cacah kurang dari 15};A = {x | x < 8, x S}; danB = {x | xt 5, x S}.Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan mendaftar anggota-anggotanya.a. ACe. A BCb. BCf. A\Bc. (A B)Cg. B\Ad. (A B)Ch. S\A1. Tentukan P Q dengan menyebutkananggota-anggotanya, kemudian tentukann(P Q) untuk himpunan P dan Q dibawah ini.a. P = {x | 0 < xd 5, x A}Q = {x | –4 dx < 1, x B}b. P = {x | x < 9, x bilangan ganjil}Q = {x | x < 9, x bilangan prima}c. P = {huruf pembentuk kata bunda}Q = {huruf pembentuk kata ibu}2. Diketahui himpunan-himpunan berikut.K = {x | –3 < x < 3, x bilangan bulat}L = {lima bilangan cacah yang pertama}M = {x | x < 5, x bilangan asli}Dengan menyebutkan anggota-anggo-tanya, tentukan masing-masing anggotahimpunan berikut.a. K Lc. L Mb. K Md. K L M3. Diketahui himpunan-himpunan berikut.A={x | x < 5, x bilangan cacah}B = {empat bilangan ganjil yang per-tama}5. Sifat-Sifat Operasi Himpunana. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunanKalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunanadalah anggota persekutuan himpunan tersebut.Jika A = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5}C = {4, 5, 6}maka A B = {3, 4} dan B A = {3, 4}.Tampak bahwa A B = B A.Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.
184Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisanA B = B A.Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwaA B = {3, 4} dan B C = {4, 5}, sehingga(A B) C = {3, 4} {4, 5, 6}= {4}A (B C) = {1, 2, 3, 4} {4, 5}= {4}Tampak bahwa (A B) C = A (B C).Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A A = {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}= {1, 2, 3, 4}= AJadi, A A = A.Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S,berlakua. sifat identitas irisanA S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)b. sifat komplemen irisanA AC = .Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersamatemanmu.Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dangabungan dua himpunan.Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, danC = {3, 6, 7}, diperoleh B C = {3, 4, 5, 6, 7}, A B = {3}, danA C = {3}.Dengan demikian diperolehA (B C)= {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}= {3}(A B) (A C) = {3} {3}= {3}Tampak bahwa A (B C) = (A B) (A C).Secara umum berlaku sebagai berikut.Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA (B C) = (A B) (A C)Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan cara yang sa-ma seperti pada sifat-sifat irisan himpunan,tunjukkan berlakunyasifat-sifat gabunganhimpunan berikut.a) Sifat komutatifgabungan: A B =B A.b) Sifat asosiatif ga-bungan:(A B) C = A (B C).c) Sifat idempotentgabungan:A A = A.d) Sifat identitas ga-bungan: A =A. disebutelemen identitaspada gabunganhimpunan.e) Sifat komplemengabungan:A AC = S.Untuk setiap himpunanA, B, dan C, tunjukkanberlakunya sifat distri-butif gabungan terha-dap irisan: A (B C)= (A B) (A C).
185Himpunanb. Sifat-sifat selisih himpunanDi depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan Adan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari Atetapi bukan anggota dari B.Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}B = {1, 2, 3, 6}C = {1, 2, 4, 8}maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}=A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – = {1, 2, 3, 4, 6, 12}= A.Tampak bahwa A – A = dan A – = A.Karena A – = A, maka adalah identitaspada selisihhimpunan.Sekarang, perhatikan bahwa B C = {1, 2}, A – B ={4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperolehA – (B C}= {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}= {3, 4, 6, 12}(A – B) (A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}= {3, 4, 6, 12}Tampak bahwa A – (B C) = (A – B) (A – C).Secara umum berlaku sebagai berikut.Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA – (B C) = (A – B) (A – C)Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa padaselisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadapgabungan.Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA – (B C) = (A – B) (A – C)Diskusikan hal ini dengan temanmu.
186Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c. anggota P Q;d. anggota Q P;e. anggota P (Q R);f. anggota P (Q R);g. anggota (P Q) (P R);h. anggota (P Q) (P R).Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasihimpunan yang telah kalian pelajari sebe-lumnya.DiketahuiP = {huruf pembentuk kata PERIANG}Q = {huruf pembentuk kata GEMBIRA}R = {huruf pembentuk kata CERIA}Dengan mendaftar anggota-anggotanya,tentukana. anggota P Q;b. anggota Q P;F. DIAGRAM VENN1. Pengertian Diagram VennDi bagian depan kalian telah mempelajari cara menyatakansuatu himpunan, menentukan himpunan semesta, menentukanhimpunan bagian dari suatu himpunan, dan operasi pada himpunan.Untuk menyatakan suatu himpunan secara visual (gambar), kaliandapat menunjukkan dalam suatu diagram Venn.Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John V enn,seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834–1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengandaerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semestapembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhanadan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya.Agar kalian dapat memahami cara menyajikan himpunandalam diagram Venn, pelajari uraian berikut.Diketahui S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};P = {0, 1, 2, 3, 4}; danQ = {5, 6, 7}Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta(semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semestadinotasikan dengan S berada di pojok kiri.Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggotapersekutuan antara P dan Q, maka P Q = { }. Jadi, dapatdikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini,John VennSumber:Ensiklopedi Mate-matika dan PeradabanManusia, 2003Gambar 6.3
187HimpunanDiketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan se-mesta (semesta pembica-raan), A = {1, 2, 3, 4, 5},dan B = {bilangan genapkurang dari 12}. Gambar-lah dalam diagram V ennketiga himpunan tersebut.kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah.Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurvaP, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurvaQ.Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunanP dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q.Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di samping.Penyelesaian:Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {2, 4, 6, 8, 10}Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwaA B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan Bsaling berpotongan. (Mengapa?)Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakandalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan).Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing.Diagram Venn-nya sebagai berikut.S13524681079AB Gambar 6.52. Membaca Diagram VennDalam membaca diagram Venn, perhatikan himpunan semes-ta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venntersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurvayang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahamicara membaca diagram Venn, perhatikan contoh berikut.S57329PQ16480Gambar 6.4
188Matematika Konsep dan Aplikasinya 1S1151836487161395121714111022019PQGambar 6.6Berdasarkan diagram Venn diatas, nyatakan himpunan-him-punan berikut dengan mendaftaranggota-anggotanya.a. Himpunan S.b. Himpunan P.c. Himpunan Q.d. Anggota himpunan P Q.e. Anggota himpunan P Q.f. Anggota himpunan P\Q.g. Anggota himpunan PC.Penyelesaian:a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau se-mesta pembicaraan. Himpunan S memuat se-mua anggota atau objek himpunan yang dibicara-kan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}.b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan Syang menjadi anggota himpunan P. Dalam dia-gram Venn, anggota himpunan P berada padakurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9,12, 15, 18}c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunanS yang menjadi anggota himpunan Q. Dalamdiagram Venn, anggota himpunan Q berada padakurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6,7, 8, 9}.d. Anggota himpunan P Q adalah anggota him-punan P dan sekaligus menjadi anggota him-punan Q = {3, 6, 9}.e. Anggota himpunan P Q adalah semua ang-gota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggotaP tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q ={1, 12, 15, 18}.g. Anggota himpunan PC adalah semua anggota Stetapi bukan anggota P, sehingga PC = {2, 4, 5,7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.3. Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram V ennKalian telah mempelajari car a membaca diag ram Venn.Sekarang, kalian akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunanke dalam diagram Venn.Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2,3, 5, 7}. Himpunan P Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakanbahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yangmenyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar 6.7.Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menun-jukkan daerah P Q.Gambar 6.7S57329PQ110648
189HimpunanAdapun daerah arsiran pada Gambar 6.8 di samping me-nunjukkan daerah P Q.Berdasarkan diagram Venn di samping, tampak bahwaP Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}. Coba, tunjukkan dengan diagram Venn,daerah arsiran yang menyatakan himpunan PC dan Q\P darihimpunan-himpunan di atas.Diskusikan hal ini dengan temanmu.Agar kalian lebih memahami cara menyajikan himpunandalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.Gambar 6.8S57329PQ110648(Berpikir kritis)Buatlah dua buah himpunan dimana himpunan yang satumerupakan bagian dari himpunan yang lain.Tunjukkan dengan diagram Venn, daerah yang menunjukkanirisan dan gabungan dua buah himpunan tersebut. Lakukan halini pada dua buah himpunan yang sama. Kemudian, buatlahkesimpulannya. Diskusikan dengan temanmu.Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};Q = {1, 2, 5, 10, 11}; danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalamdiagram Venn. Tunjukkandengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.a. P Q Rb. P Qc. Q Rd. P (Q R)e. QCf. P – RPenyelesaian:Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {1, 2, 5, 10, 11}; danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahuibahwa P Q R = {2}P Q = {1, 2, 5}Q R = {2, 10}P R = 2, 4, 6}Diagram Venn-nya sebagai berikut.S1789512143PQ264101311R15 Gambar 6.9
190Matematika Konsep dan Aplikasinya 1a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menun-jukkan himpunan P Q R.b. Daerah arsiran di sampingmenunjukkan himpunanP Q.Tampak bahwaP Q = {1, 2, 5}.c. Daerah yang diarsir padadiagram Venn di sampingmenunjukkan himpunanQ R. Dari gambar dapatdiketahui bahwa Q R ={1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 ,12, 14}.d. Dari soal dapat diketahuibahwa Q R = {2, 10},sehingga P (Q R) ={1, 2, 3, ..., 6} {2, 10}= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.Daerah arsiran pada dia-gram Venn di samping me-nunjukkan daerahP (Q R).e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15}dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1},sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8,9, 12, 13, 14, 15}. Daeraharsiran pada diagram Venndi samping menunjukkanhimpunan QC.Gambar 6.12S178951214P264101311R3Q15Gambar 6.13S7891214P6413R3102511115QS1789512143PQ264101311R15Gambar 6.10Gambar 6.11S1789512143PQ264101311R15
191Himpunanf. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} danR = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehinggaP – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}= {1, 3, 5}Diagram Venn-nya sebagai berikut.S178951214PQ264101311R315 Gambar 6.14Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Perhatikan diagram Venn berikut.SkpqPQmlhijnfgedcbaorsS = {siswa yang gemar olahraga}P = {siswa yang gemar bola voli}Q = {siswa yang gemar bola basket}Setiap anggota himpunan ditunjukkandengan noktah. Dari diagram V enntersebut, sebutkan an ggota himpunanberikut.a. Himpunan siswa yang gemar olah-raga.b. Himpunan siswa yang gemar bolavoli.c. Himpunan siswa yang gemar bolabasket.d. Himpunan siswa yang gemar bolavoli dan basket.1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.S = {bilangan cacah kurang dari 15}A = {lima bilangan ganjil yang perta-ma}B = {lima bilangan genap yang perta-ma}C = {faktor dari 8}D = {tiga bilangan kuadrat yang per-tama}a. Nyatakan himpunan-himpunan diatas dengan mendaftar anggotanya.b. Buatlah diagram Venn untuk ma-sing-masing himpunan berikut,dengan S sebagai himpunansemestanya.a. Himpunan S, A, dan B.b. Himpunan S, A, dan Cc. Himpunan S, B, dan Dd. Himpunan S, A, C, dan De. Himpunan S, B, C, dan D
192Matematika Konsep dan Aplikasinya 1e. Himpunan siswa yang gemar bolavoli saja.f. Himpunan siswa yang gemar bolabasket saja.3.SabcedgfhijklmnpqCABoDari diagram Venn di atas, tentukana. anggota himpunan S;b. anggota himpunan A;c. anggota himpunan B;d. anggota himpunan C.4. Berdasarkan diagram Venn pada soalnomor 3 di atas, tentukana. anggota himpunan A B;b. anggota himpunan A B;c. anggota himpunan B C;d. anggota himpunan A B C;e. anggota himpunan A BC;f. anggota himpunan B\C.5. Salinlah gambar berikut, kemudianarsirlah daerah yang menggambarkanA B untuk setiap himpunan yangdisajikan oleh diagram Venn berikut.a.BASc.BASb.A = BSd.BAS6. Salinlah gambar berikut, kemudian arsir-lah daerah yang menggambarkanA B untuk setiap himpunan yang disa-jikan oleh diagram Venn berikut.a.BASc.BASb.A = BSd.BAS7. Diketahui himpunan-himpunan berikut.S = {bilangan cacah kurang dari 15}P = {x | x< 7, x bilangan asli}Q = {x|xd 13, x bilangan prima}R = {lima bilangan genap yang pertama}Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan mendaftar anggota-anggotanya.Kemudian, tunjukkan daerah arsiranyang menyatakan himpunan-himpunantersebut.a. P Qb. Q Rc. P Q Rd. Q (P R)e. P (Q R)Cf. P\Qg. P QCh. R\P8. Perhatikan diagram berikut.S115364871395121411102ABTentukana.n(S);e.n(A B);b.n(A);f.n(AC);c.n(B);g.n(A\B);d.n(A B); h.n(A B)C.
193HimpunanG. MENYELESAIKAN MASALAH DENGANMENGGUNAKAN KONSEP HIMPUNANJika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari makabanyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan.Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembalimengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakanpermasalahan tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contohberikut ini.1. Dalam suatu kelasyang terdiri atas 40siswa, diketahui 24siswa gemar bermaintenis, 23 siswa gemarsepak bola, dan 1 1siswa gemar kedua-duanya. Gambarlahdiagram Venn dariketerangan tersebut,kemudian tentukan ba-nyaknya siswaa. yang hanya gemarbermain tenis;b. yang hanya gemarbermain s epakbola;c. yang tidak gemarkedua-duanya.Penyelesaian:Dalam menentukan banyaknya anggota masing-masing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebihdahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dansepak bola, yaitu 11 siswa.Diagram Venn-nya seperti gambar berikut.40tenissepak bola1141312 Gambar 6.15a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis= 24 – 11 = 13 siswab. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola= 23 – 11 = 12 siswac. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya= 40 – 13 – 11 – 12= 4 siswa2. Dari sekelompok anak,diperoleh data 23orang suka makanbakso dan mi ayam, 45orang suka makanbakso, 34 orang sukaPenyelesaian:a. Dalam menentukan banyak anak dalam kelompoktersebut, tuliskan terlebih dahulu banyak anak yangsuka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anakyang tidak suka keduanya pada diagram V enn.Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing.Diagram Venn-nya sebagai berikut.
194Matematika Konsep dan Aplikasinya 14. Suatu kompleks perumahan mempunyai43 orang warga, 35 orang di antaranyaaktif mengikuti kegiatan olahraga, se-dangkan sisanya tidak mengikuti kegia-tan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti15 orang, tenis diikuti 19 orang, dan caturdiikuti 25 orang. Warga yang mengikutibola voli dan catur sebanyak 12 orang,bola voli dan tenis 7 orang, sedangkantenis dan catur 9 orang. Tentukan ba-nyaknya warga yang mengikuti ketigakegiatan olahraga tersebut.5. Dari 40 siswa dalam suatu kelas, terda-pat 30 siswa gemar pelajaran matematikadan 26 siswa gemar pelajaran fisika. Jika2 siswa tid ak gemar dengan keduapelajaran tersebut, tentukan banyaknyasiswa yang gemar pelajaran matematikadan fisika.1. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa.Mereka memilih dua jenis olahraga yangmereka gemari. Ternyata 29 siswa ge-mar bermain basket, 27 siswa gemarbermain voli, dan 6 siswa tidak mengge-mari kedua olahraga tersebut.a. Gambarlah diagram Venn dari kete-rangan tersebut.b. Tentukan banyaknya siswa yang ge-mar bermain basket dan voli.2. Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui25 siswa gema r matematika, 20 siswagemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswayang tidak gemar matematika dan fisika.3. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46siswa dilakukan pendataan pilihan eks-trakurikuler. Hasil sementara diperoleh19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilihPMR, dan 16 siswa belum menentukanpilihan. Tentukan banyaknya siswa yanghanya memilih PMR saja dan KIR saja.makan mi ayam, dan 6orang t idak su kakedua-duanya.a. Gambarlah dia-gram Venn yangmenyatakan ke-adaan tersebut.b. Tentukan banyakanak dalam ke-lompok tersebut.b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalamkelompok tersebut = 22 + 23 + 11 + 6= 62 anak.222311Mi ayamBakso6Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
195Himpunan1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinyajelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yangtermasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunantersebut.2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkandengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun bendaatau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulisdengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitudengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dandengan mendaftar anggota-anggotanya.4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebuthimpunan berhingga.Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebuthimpunan tak berhingga.5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalahhimpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunanyang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkandengan S.6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiapanggota A juga menjadi an ggota B dan dinotasikanA B atau B A.b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jikaterdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikanA B.c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari him-punan A sendiri, ditulis A A.d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunanadalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.(Menumbuhkan kreativitas)Perhatikan kejadian (peristiwa) di lingkungan sekitarmu. Tuliskankejadian yang berkaitan dengan konsep himpunan, kemudianselesaikanlah. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas.
196Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepasatau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mem-punyai anggota persekutuan.b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mem-punyai anggota yang tepat sama.c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jikan(A) = n(B).8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yanganggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua him-punan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan denganA B = {x | x A dan x B}.9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan denganA B = {x | x A atau x B}.Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskandengann(A B) = n(A) + n(B) – n(A B).10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif,asosiatif, dan distributif.Setelah mempelajari mengenai Himpunan, menurutmu,bagian manakah yang paling menarik untuk dipelajari? Tuliskanhal-hal yang menarik tersebut dalam sebuah laporan. Tuliskan pulamanfaat yang kamu peroleh setelah mempelajari materi pada babini. Hasilnya kemukakan secara singkat di depan kelas.1. Dari kumpulan-kumpulan berikut iniyang merupakan himpunan adalah ....a. kumpulan bilangan kecilb. kumpulan bunga-bunga indahc. kumpulan siswa tinggid. kumpulan bilangan asli antara 4 dan122. Jika P = {bilangan prima ganjil}, per-nyataan berikut yang benar adalah ....a. 2 Pc. 9 Pb. 5 Pd. 17 P
197Himpunan7. Diketahui himpunan semestaS = {a,b,c,d,e}, P = {b,d}, danQ = {a,b,c,d}. Anggota himpunanP Qc = ....a. {a,b,c,d} c. {b,d}b. { }d. {a,b,c}8. Jika n(X) = 10, n(Y) = 12, dann(X Y) = 7, n(X Y) = ....a. 7c. 10b. 8d. 159. Perhatikan diagram Venn berikut.SABCPernyataan berikut yang menunjukkandaerah arsiran dari diagram V enn diatas adalah ....a. (A B) (B C)b. (A B) Cc. (A B) Cd. (A B) (B C)10. Pada suatu agen koran dan majalahterdapat 18 orang berlangganan korandan majalah, 24 orang berlanggananmajalah, dan 36 orang berlangganankoran. Banyaknya seluruh pelangganagen tersebut adalah ....a. 40 orangc. 60 orangb. 42 orangd. 78 orang3. Himpunan semesta yang mungkin darihimpunan P = {0, 1, 3, 5} adalah ....a. himpunan bilangan cacahb. himpunan bilangan aslic. himpunan bilangan genapd. himpunan bilangan ganjil4. Himpunan A = {2, 3, 4, 6, 12} jikadinyatakan dengan notasi pembentukhimpunan adalah ....a. {x | x > 1, x bilangan asli}b. {x | x > 1, x faktor dari 12}c. {x | x > 1, x bilangan cacah}d. {x | x > 1, x bilangan kelipatan12}5. Diketahui A = {a,b,c,d,e}.Banyaknya himpunan bagian dari Ayang terdiri atas tiga elemen adalah....a. 8c. 10b. 9d. 126. Diketahui S = {bilangan cacah} adalahhimpunan semesta, A = {bilanganprima}, dan B = {bila ngan genap}.Diagram Venn yang memenuhi adalah....a.BASc.BASb.ABSd.BASB. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Nyatakan himpunan-himpunan berikutdengan cara mendaftar anggota-ang-gotanya dan dengan notasi pembentukhimpunan.a. A adalah himpunan bilangan bulatantara –3 dan 3.b. B adalah himpunan bilangan asli ku-rang dari 50 dan habis dibagi 5.c. C adalah himpunan bilangan primakurang dari 31.d. D adalah himpunan tujuh bilangancacah yang pertama.
198Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. A B C;d. A (B C)C;e. AC (B C);f. A\B.Kemudian, gambarlah diagram Venndari masing-masing operasi himpunantersebut.5. Setelah dilakukan pencatatan terha-dap 35 orang warga di suatu kampung,diperoleh hasil sebagai berikut.18 orang suka minum teh,17 orang suka minum kopi,14 orang suka minum susu,8 orang suka minum teh dan kopi,7 orang suka minum teh dan susu,5 orang suka minum kopi dan susu,3 orang suka minum ketiga-tiganya.a. Buatlah diagram Venn dari kete-rangan di atas.b. Tentukan banyaknya war ga yanggemar minum teh, gemar minumsusu, gemar minum kopi, dan tidakgemar ketiga-tiganya.2. Gambarlah diagram Venn dari him-punan-himpunan berikut, kemudiantentukan anggota A B.a. A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {3, 6, 9,12, 15, 18}b. A = {a,u} dan B = {huruf pem-bentuk kata “sepedaku”}c. A = {huruf vokal} dan B = {hurufpembentuk kata “bundaku”}3. Diketahui X = {bilangan prima kurangdari 18}. Tentukan banyaknya himpun-an bagian dari X yang memilikia. 2 anggota;b. 4 anggota;c. 5 anggota;d. 6 anggota.4. Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Denganmendaftar anggota-anggotanya, ten-tukana. A B;b. A C;