Halaman
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)91TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu1. mengenal PLSV dalam berbagai bentuk dan variabel,2. menyelesaikan bentuk PLSV,3. memecahkan masalah yang berkaitan dengan PLSV,4. mengenal PTLSV dalam berbagai bentuk dan variabel,5. menyelesaikan bentuk PTLSV, dan6. memecahkan masalah yang berkaitan dengan PTLSV.iKalimat pernyataaniKalimat terbuka.i Persamaan Linear Satu VariabeliPersamaani Pertidaksamaan Linear Satu VariabelKalian berkomunikasi menggunakan bahasa melalui penyampaian kalimat ke lawan bicarakalian.Kalimat adalah suatu rangkaian kata yang tersusun rapi dan baik sedemikian, sehinggamempunyai arti. Pada pelajaran bahasa Indonesia kalian tentu saja telah mengetahui berbagaimacam jenis kalimat, misalnya kalimat berita, kalimat tanya, kalimat perintah, dan sebagainya.Pada pelajaran matematika yang banyak digunakan adalah kalimat pernyataan (deklaratif)dan kalimat terbuka.A. PERSAMAAN1. Kalimat Matematika (Pernyataan)Perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.1. Jakarta adalah ibukota negara2. 5 adalah faktor dari 643. Kilogram adalah satuan berat4. Ada 13 bulan dalam satu tahun.3PERSAMAAN DANPERTIDAKSAMAAN LINEARSATU VARIABEL
92Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7Pada kalimat-kalimat di atas pasti kalian dapat mengatakan kalimat mana yang benar danmana yang salah. Suatu kalimat yang dapat dinyatakan benar atau salah, maka kalimat itudisebut kalimat pernyataan atau disingkat pernyataan.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.1.Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Pernyataan ini bernilai salah, karena adabilangan prima yang merupakan bilangan genap, yaitu 2.2.Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia. Pernyataan ini adalah benar, karenaJakarta adalah ibukota negara.3.3 u 5 = 15. Pernyataan ini adalah benar, karena 3 u 5 = 15.4.Satu tahun terdiri dari 1 bulan. Pernyataan ini adalah salah, karena 1 tahun itu terdiri dari12 bulan.2. Kalimat TerbukaUntuk memahami kalimat tebuka, perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.1.x + 8 = 143.y habis dibagi 92.x2 – 3x – 4 = 04.Toko itu menjual buku tulisDapatkah kalian menentukan kalimat-kalimat di atas benar atau salah?. Kalimat-kalimat diatas tidak dapat dinyatakan benar atau salah. Kalimat-kalimat seperti ini bukan suatu pernyataan.Apabila nilai x pada kalimat 1 diganti dengan suatu bilangan, misalnya 6, maka diperolehpernyataan yang bernilai benar, karena 6 + 8 = 14. Tetapi jika x diganti dengan 7, maka akandiperoleh suatu pernyataan yang salah, karena 7 + 8 z14. Kalimat-kalimat 1, 2, 3, dan 4 disebutkalimat terbuka.Pada kalimat x + 8 = 14, x disebut variabel atau peubah, sedangkan 8 dan 14 disebutkonstantaatau bilangan tetap. Bilangan 6 yang menggantikan variabel x sehingga kalimatterbuka tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian.Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai benar saja atau salah saja.Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel atau peubah yangnilai kebenarannya belum dapat ditentukan.
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)93Contoh 3.11.Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut.a. 13 adalah bilangan prima.b. Bandung adalah ibukota Jawa Barat.c. 1 m sama dengan 10 cm.Penyelesaian:a. 13 adalah bilangan prima, merupakan pernyataan bernilai benar.b. Bandung adalah ibukota Jawa Barat, pernyataan benar.c. 1 m sama dengan 10 cm, merupakan pernyataan bernilai salah, karena 1 m samadengan 100 cm.2.Tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut.a.x – 3 = 5b.x adalah bilangan bulat positif kurang dari 20 yang habis dibagi 5c. 7a = 28d.x : 5 = 9Penyelesaian:a. pengganti x adalah 8, karena 8 – 3 = 5. Jadi, x = 8 adalah penyelesaiannya.b. nilai x yang kurang dari 20 dan habis dibagi 5 adalah 5, 10, dan 15. Jadi, x = 5, 10,dan 15 adalah penyelesaiannya.c. 7 ua = 28, pengganti a adalah 4, karena 7 u 4 = 28. Jadi, untuk a = 4 adalahpenyelesaiannya.d.x : 5 = 9, pengganti x adalah 45, karena 45 : 5 = 9. Jadi, x = 45 adalahpenyelesaiannya.3.a. Tentukan nilai dari 5 u 12.b. Dilarang parkir di sini.c. Seandainya saya dapat tebang ke bulan.Kalimat-kalimat seperti contoh 3, dalam matematika disebut bukan pernyataan.LATIHAN 3.11.Manakah kalimat-kalimat berikut ini yang merupakan pernyataan?. Jika merupakanpernyataan, tentukan nilai kebenarannya.a. Hasil kali dari 8 dan 15 adalah 120.b. Jumlah dari setiap dua bilangan ganjil adalah genap.c.x adalah faktor dari 4.d. 5 + 3 > 7.e. Berat 1 kg besi lebih dari berat 1 kg kapas.2.Tentukan variabel dan konstanta dari kalimat terbuka berikut ini, jika ada.a.x – 2 = 3c. u 4 = 20b. 5 u 6 = 25d.tu adalah buku tulis
94Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 73.Periksa apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau tidak.a. 3x – 1 = 4c.Dia adalah seorang gurub. 8 : 112d.5 + 6 = 114.Tentukanlah penyelesaian setiap kalimat terbuka di bawah ini.a. 3x + 2 = 5c.5p + 6 = 4b. 7a + 4 = 25d.sebuah kubus dibatasi oleh n bidang sisi5.Untuk variabel x hanya dapat diganti dengan bilangan 4, 5, 6, 7, dan 8. Tentukanlahpenyelesaian kalimat-kalimat terbuka di bawah ini.a.x adalah bilangan primad.x bilangan genap lebih dari 6b.x adalah genape.x adalah bilangan bulatc.x adalah ganjilB. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)1. Pengertian Persamaan Linear Satu VariabelPerhatikan kalimat-kalimat di bawah ini.a.x – 3 = 5b.p2 + 4 = 8c.5156nKalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung " = " (sama dengan). Kalimat-kalimat seperti ini disebut persamaan.Persamaan-persamaan tersebut mempunyai satu variabel (peubah), yaitu x, p, dan n dimana derajat dari masing-masing variabel adalah 1, maka persamaan seperti itu disebutpersamaan linear satu variabel. Bentuk umum PLSV adalahax + b= 02. Sifat-Sifat PLSVMisalkan A = B adalah persamaan linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukannol. Persamaan A = B ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:1.A + C = B + C3.AuC = BuC2.A – C = B – C4.A : C = B : C, Cz 03. Penyelesaian dan Bukan PenyelesaianMisalkan suatu persamaan x + 3 = 7 dengan variabel x adalah 2, 3, dan 4. Untukmenyelesaikan persamaan ini, kita pilih pengganti x, yaitu:x = 3, maka 2 + 3 = 7 pernyataan salahx = 3, maka 3 + 3 = 7 pernyataan salahx = 4, maka 4 + 3 = 7 pernyataan benar
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)95Untuk x = 4, kalimat di atas menjadi benar, maka bilangan 4 disebut penyelesaiannya(jawaban atau akar) dari persamaan tersebut. Jadi, ditulis akarnya = 4. Bilangan pengganti xyang membuat pernyataan salah, bukan merupakan penyelesaiannya seperti untuk x = 2 dan 3bukan merupakan akar persamaan tersebut.Cara menentukan penyelesaian di atas disebut cara substitusi. Untuk menentukanpenyelesaian suatu persamaan, selain dengan cara substitusi dapat juga dengan cara menjumlah,mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.a. Penjumlahan atau PenguranganMenambah dan mengurangi kedua ruas persamaanContoh 3.21.Tentukan penyelesaian dari x – 5 = 8.Penyelesaian:x – 5 =8x – 5 + 5 =8 + 5 (kedua ruas ditambahkan 5)x =13Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah 13.2.Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7.Penyelesaian:4x – 3 =3x + 74x – 3 + 3 =3x 7 + 3 (kedua ruas ditambahkan 3)4x =3x + 104x + (–3x) =3x + 10 + (–3x) (kedua ruas ditambahkan –3x)x =10Jadi, penyelesaiannya dari 4x – 3 = 3x + 7 adalah 10.LATIHAN 3.21.Tentukan mana di antara persamaan berikut yang merupakan persamaan linear satu variabeldan mana yang bukan, serta berikan alasannya.a. 2x = 5 – xd.p – 6 = 3b.y = 2x + 3e.3x – 4 = 7c.n = 3 – 2nf.x – y = 52.Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini peubah pada bilangan bulat.a.x – 2 = 10d.7x = 8x – 5b.x + 5 = –3e.5y + 7 = 19 + 4yc. 24 – 3m = 3m – 6f.–3y + 5 + 4y = –53.Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini.a.x – 23 = 1 b. 11 = 2510p c. 11 2 22xx d. 5x = 3x + 58
96Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7b.Perkalian atau PembagianMengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.Contoh 3.3Tentukan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut.1.3 = 65a2.5x = 83.–23x = 16Penyelesaian:1.3 = 65a535 = 6 = 10353aau uJadi, penyelesaiannya adalah 10.2.5x = 815u 5x =15u 8 (kedua ruas dikali dengan 15)x =85 Jadi, penyelesaiannya adalah 853.2 = 163x22()33xx =2 163u (kedua ruas dikalikan dengan –23)x = –24 penyelesaiannya adalah –24.#Untuk menentukan penyelesaian PLSV dapat juga dilakukan dengan cara berikut.ax + b =cx + dax – cx =d – b(apabila suku pindah ruas, maka tanda berubah yaitu dari+ menjadi – atau sebaliknya)(a – c)x =d – bx =dbac
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)97Contoh 3.4Tentukan penyelesaian dari persamaan1.2 (5 – x) = 4 (2x – 5)2.3 (4x – 5) = 2 (3x + 8)Penyelesaian:1.2 (5 – x) = 4 (2x – 5)10 – 2x = 8x – 2010 + 20 = 8x + 2x30 = 10x3010 =1010x3 =x x = 3Penyelesaiannya adalah 3.2.3(4x– 5) = 2(3x + 8)12x – 15 = 6x – 1612x – 6x = 16 + 156x = 31x =316Penyelesaiannya adalah 311 atau 566.LATIHAN 3.31.Tentukan kebalikan (invers) bilangan-bilangan berikut.a. 3c.13e. –14b.56d.–4f.872.Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut dengan cara menambah atau mengurangikedua ruas dengan bilangan yang sama.a.x + 5 = 10d.5a = 6 + 4pb.x – 6 = 8e.x + 87c. 2n = n – 5f.3x + 873.Tentukan penyelesaiannya dengan cara mengalikan atau membagi kedua ruas denganbilangan yang sama.a. 4a = 16d.–35g.2n – 5 = 9 – 5n
98Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7b.–5x = 20e.2y – 3 = 24h.31 7 122pp c. 5x = 13f.4m = 10 – mg.2 + 3(p – 1) = 5(4 – 4)4.Selesaikanlah persamaan-persamaan berikut dengan menggunakan lawan atau kebalikanbilangan.a. 3x + 5 = 8d.4x – 8 = 0b. 3x – 2 = 25e.5m– 3 = 3m – 7c. 3p + 5 = –10f.–5p = 2p – 425.Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan ketentuan berikut:pindahkan suku yang mengandung variabel dalam satu ruas dari konstanta dalam satu ruasyang lain seperti ax + b = cx + dax – cx = d – b dan seterusnya.a. 5x + 6 = 2(2x + 12)d.2(m – 3) + c = 6 + 4mb. 4x = 3(5 – x)e.6 – 4p = 4 – (p – 3)c. 15(p – 3) = –3pf.321( 5) (3 7) 33 8xx 4. Penerapan PLSV dalam Kehidupan Sehari-hariDalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsepmatematika. Di antaranya persoalan bisnis, pekerjaan, dan sebagainya. Untuk dapatmenyelesaikan permasalahan tersebut perlu diperhatikan langkah-langkah berikut.1.Pemahaman terhadap permasalahan tersebut.2.Menerjemahkan permasalahan tersebut dalam bentuk kalimat matematika (persamaan).3.Menyelesaikan persamaan tersebut.4.Memeriksa hasil penyelesaian dengan mengaitkannya pada permasalahan awal.Ingatlah !1.Jumlah adan bo ditulis a + b2.Selisih a dan bo ditulis a – b3.Kuadrat ao ditulis a24.Jumlah kuadrat a dan b ditulis a2 + b25.Selisih kuadrat a dan b ditulis a2 – b26.Kuadrat jumlah a dan b ditulis (a + b)27.Kuadrat selisih a dan b ditulis (a– b)2
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)99Contoh 3.51.Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang memiliki lebar 7 kurangnya daripanjangnya dan keliling 86 m. Tentukanlah ukuran panjang dan lebarnya.Penyelesaian:Misalkan panjang = x m, maka lebarnya (x – 7) m.Keliling = 2(x) + 2(x – 7)k = 2x + 2x – 14k = 4x – 1486 = 4x – 1486 + 14 = 4x4x = 100x =100 = 254Ukuran kolam, panjang 25 m dan lebar (25 – 7) m = 18 m.2.Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka adalah 26 tahun. Tentukanlahumur masing-masing.Penyelesaian:Misalkan umur anaknya x tahun, maka umur ibunya 3x tahun. Selisih umur mereka26 tahun, jadi persamaannya adalah3x – x = 262 x = 26x = 13Jadi, umur anaknya 13 tahun dan ibunya (3 u 13) tahun = 39 tahun.3.Jumlah 3 bilangan ganjil positif yang berurutan adalah 21. Tentukanlah ketiga bilangantersebut.Penyelesaian:Misalkan bilangan-bilangan itu adalah n, n + 2, n + 4, notasi aljabarnya adalahn+ (n + 2) + (n + 4) =21n + n + 2 + n + 4 =213n + 6 =213n =21 – 63n =15n =153Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 5, (5 + 2), (5 + 4) atau 5, 7, dan 9.
100Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN 41.Jumlah dua bilangan yang berurutan adalah 31. Tentukanlah kedua bilangan itu.2.Jumlah uang si A adalah 34 kali uang si B. Jika jumlah uang mereka Rp. 84.000,00, tentukanlahjumlah uang masing-masing.3.Suatu persegi dengan sisinya adalah (3n – 1) cm dan keliling adalah 68 cm. Tentukanlahukuran persegi itu.4.Selisih dua bilangan adalah 6. Jika bilangan yang satu 3 kali bilangan yang lainnya tentukanlahbilangan-bilangan itu.5.Seorang ayah memelihara ayam dan kambing, jumlahnya 25 ekor. Jumah kaki ayam dankaming adalah 70. Tentukanlah jumlah masing-masing ayam dan kambing ayah tersebut.6.Ibu pergi ke pasar untuk membeli beberapa kilogram ikan emas dan ikan lele. Harga 1 kgikan emas adalah 112 kali harga ikan lele per 1 kg. Jika ibu membayar harga ikan emasdan lele sebanyak Rp. 30.000,00, berapakah harga masing-masing ikan tersebut per kgnya?.7.x cm(x - 2 ) cmx cmGambar di samping adalah sebuah segitiga sama kaki.a. Tentukanlah persamaan kelilingnya dalam x.b. Jika kelilingnya 13 cm, tentukanlah panjang masing-masing sisinya.8.(2x - 1) cm(2x + 3) cmGambar di samping adalah sebuah persegi panjang denganukuran panjang (2x + 3) cm dan lebar (2x – 1) cm.a. Untuk keliling 28 cm, tulislah persamaan keliling dalam x.b. Tentukan ukuran panjang dan lebar.9.Sebuah bilangan, dikalikan dengan 212 kali kemudian ditambahkan 5 hasilnya menjadi 95.a. Jika bilangan itu dimisalkan n, tentukanlah persamaannya dalam n.b. Tentukan bilangan itu.10. Pada sebuah persegi panjang, panjangnya 3 kali lebarnya. Jika panjangnya dikurangi 10cm dan lebarnya ditambah 10 cm, maka persegi panjang itu menjadi persegi. Tentukanlah:a. model matematikanyac.ukuran persegi panjangb. penyelesaiannyad.luas persegi
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)101a > b, dibaca a lebih dari ba< b, dibaca a kurang dari ba = b, dibaca asama dengan bz, dibaca tidak sama dengant, dibaca lebih besar atau sama dengan, atau tidak kurang darid, dibaca lebih kecil atau sama dengan, atau tidak lebih dari.Contoh 3.61.Tulislah kalimat-kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.a. 7 lebih dari 5c.5 terletak di antara 4 dan 6b. 6 kurang dari 8Penyelesaian:a. 7 lebih dari 5, dituliskan 7 > 5b. 6 kurang dari 8, dituliskan 6 < 8c. 5 terletak di antara 4 dan 6, dituliskan 4 < 5 < 62.Nyatakanlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam satu ketidaksamaan.a. 2 < 3 dan 3 < 4c.7 > 4 dan 7 < 10b. 3 > 1 dan 1 > 0Penyelesaian:a. 2 < 3 dan 3 < 4, dapat dituliskan dalam bentuk 2 < 3 < 4b. 3 > 1 dan 1 > 0, dapat dituliskan dalam bentuk 3 > 1 > 0c. 7 > 4 dan 7 < 8, dapat dituliskan dalam bentuk 8 > 7 > 4C. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PTLSV)Sebelum membahas PTLSV sebaiknya kalian terlebih dahulu mengenal lambang-lambangyang digunakan pada PTSLV.Misalnya ada tiga bilangan 3, 6, dan 9, dapatkah kalian mengetahui hubungan antara ketigabilangan itu?. Untuk itu perhatikanlah penjelasan berikut ini.a.3 < 6, dibaca 3 kurang dari 6c.6 > 3, dibaca 6 lebih dari 3b.5 < 9, dibaca 5 kurang dari 9d.9 > 6, dibaca 9 lebih dari 6Kalimat-kalimat di atas disebut ketidaksamaan. Untuk sebarang bilangan a dan b, selaluberlaku salah satu hubungan berikut:Lambang-lambang ketidaksamaan lainnya adalah:
102Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memilikisebuah variabel dan berderajat satu dan memuat hubungan (<, >, d atau t).ax + b < 0, ax + b> 0, ax + bd 0, atau ax + bt 0dengan az 0, a dan b bilangan real (nyata).Dalam kehidupan sehari-hari banyak peristiwa yang dapat diterjemahkan ke bentuk modelmatematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan, misalnya.1.Harga sebuah buku lebih mahal dari harga sebuah pensil.2.Kecepatan Andika mengendarai mobilnya dengan kecepatan kurang dari 100 km/jam.3.Tinggi badan Rini lebih dari tinggi badan Ani, dan sebagainya.TUGAS SISWACarilah kejadian-kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang menyangkut, pertidaksamaan,baik yang pernah dialami ataupun belum.1. Pengertian PTLSVPerhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.a.x > 5c.3ata + 5b.2x– 3 < 7d.5n – 3 d 4n + 2Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung <, >, t atau d. Kalimat-kalimat ini disebut pertidaksamaan.Masing-masing pertidaksamaan itu hanya memiliki satu variabel, yakni x, a, dan n.Pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan satu variabel. Peubah (variabel)pertidaksamaan di atas berpangkat satu atau juga disebut berderajat satu maka disebutpertidaksamaan linear.Bentuk umum PTLSV dalam variabel x dituliskan dengan:Di bawah ini ada beberapa contoh PTLSV dengan variabel x.a. 3x – 2 < 0c.3x + 1 t 2x – 4b.5x – 1 > 8d.10 d 2(x + 1)
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)103LATIHAN 3.51.Tulislah kalimat di bawah ini dalam bentuk pertidaksamaan.a. panjang sebuah galah (g) tidak melebihi 2 meterb. tinggi seorang peragawati (p) harus lebi hdari 170 cmc. berat badan Toni (t) terletak di antara 40 kg dan 50 kgd. untuk masuk SMPN, jumlah NEM (n) sekurang-kurangnya 282.Di antara bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satuvariabel?a. 3x + 5 < 8d.x2 + 2 d 18g.a(3 – 2a) t 0b. 5x – 4 < 11e.y – 3 t23yh.x2 – 5 t 0c. 2(2x + 3) t 9f.x – 2y < 4i.p + 1p > 62. Sifat-Sifat PTLSVSeperti halnya pada persamaan linear satu variabel, untuk menentukan penyelesaianpertidaksamaan linear satu variabel pun dapat dilakukan dengan cara substitusi.Selain itu dapat juga dilakukan dengan menjumlah, mengurangi, mengali, atau membagikedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama. Misalkan A < B pertidaksamaan linearsatu variabel x dan C adalah konstanta tidak nol. Pertidaksamaan A < B ekuivalen dengan:1.A + C < B + C2.A – C < B – C3.AuC < BuC, jika C > 0 untuk semua x4.AuC > BuC, jika C < 0 untuk semua x5. < ABCC, jika C > 0 untuk semua x6. > ABCC, jika C < 0 untuk semua xSifat-sifat di atas juga berlaku untuk lambang "" atau ""td3. Menyelesaikan PTLSVa. Penjumlahan atau PenguranganPerhatikan pertidaksamaan berikut:x + 3 < 7, dengan x variabel dari bilangan bulat.Untuk:x = 1, maka 1 + 3 < 7, bernilai benarx = 2, maka 2 + 3 < 7, bernilai benarx = 3, maka 3 + 3 < 7, bernilai benarx = 4, maka 4 + 3 < 7, bernilai salahPengganti x adalah 1, 2, dan 3 sehingga pertidaksamaan x + 3 < 7 menjadi benar disebutpenyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
104Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 3.7Tentukan penyelesaian dari 4xt 3x– 5, untuk:1.a.xİ bilangan rasionalb.xİ bilangan bulat kurang dari –2Penyelesaian:a.4xt3x – 54x + (–3x) t3x + (–3x) –5 (kedua ruas ditambah – x)xt– 5. Penyelesaiannya adalah xt –5b. 4xt 3x – 5Dari hasil a, diperoleh x = –5, x = –4, x = –32.Tentukan penyelesaian dari 3x – 2 d 1 + 2x, untuk:a. 0 < xd 3b.x bilangan riilPenyelesaian:3x – 2 d 1 + 2x3x – 2 + 2 d1 + 2x + 2, kedua ruas ditambah 23xd3 + 2x3x – 2xd3 + 2x – 2x, kedua ruas dikurangi –2xxd3a. Untuk 0 < xd 3, penyelesaiannya adalah x = 1, 2, dan 3b. Untuk xİ bilangan riil, penyelesaiannya adalah xd 33.Tentukan penyelesaian dari 2 < x – 1 d 6, untuk:a.x bilangan riilb.x bilangan asliPenyelesaian:2 <x – 1 d 6 2 < x – 1 danx – 1 d62 <x – 1x – 1 d62 + 1 <x – 1 + 1x – 1 + 1 d6 + 13 <xxd73 <x dan xd 7 3 < xd 7a.x bilangan riil, penyelesaiannya 3 < xd 7b.x bilangan asli, penyelesaiannya x = 4, 5, 6, atau 7.LATIHAN 61.Tentukan penyelesaian soal-soal di bawah ini untuk x riil!a.x – 3 < 5e.8 d 5 – xb.x + 5 > 7f.3x < 2x + 7c.x – 5 < –3g.7xt 6x + 2d. 5 + xt 8h.3x + 4 d 2x – 1
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)1052.Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut untuk x bilangan asli kurang dari 9.a.x + 3 t 8d.5x < 4x + 4b.x – 4 d 1e.4x – 2 t 3x + 5c.x – 5 > –2f.3x > 2x + 23.Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini untuk variabel pada bilangan bulat antara–10 dan 10.a.x + 5 < 20e.x – 51 < 22b. 5 m > 4 m – 6f.5y + 9 < 4y – 1c. 3x + 2 > 2x + 8g.a – 34 > 55d. 5at 4a + 12h.2y– 31 < 22yb.Perkalian atau PembagianPerhatikan pertidaksamaan berikut ini.1.2x < 8, untuk x bilangan asliPengganti x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah x = 1, x = 2, atau x = 3, jadipenyelesaiannya adalah x = 1, x = 2, atau x = 3atau2x < 811(2 ) < (8)22x (kedua ruas dikali dengan 12) x < 4, x bilangan asli maka x = 1, x = 2, atau x = 3Pertidaksamaan, 2x < 8 dan 12(2x) < 12(8) mempunyai penyelesaian yang sama, berartidapat dikatakan bahwa, 2x < 8 11 ( ) < (8)22x2.13x > 2, untuk x bilangan asli, kurang dari 10.13x > 213 3xu > 3 u 2, kedua ruas dikalikan dengan 3x > 6Untuk x bilangan asli kurang dari 10 maka penyelesaiannya adalah x = 7, x = 8, atau x = 9.Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen, dengan tanda ketidaksamaan tidak berubah,walaupun kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama.
106Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 3.8Tentukan penyelesaiannya dalam bilangan riil.a. 3x < 15 c.8y – 4 < 7y+ 6c.13x > –1Penyelesaian:a. 3x < 15 c.8y – 4 < 7y + 611(3 ) < (15)33x 8y– 7y < 6 + 4 x < 5 y < 10Penyelesaiannya x < 5Penyelesaiannya y < 10b.12x > –12x(12x) > – 1x(2) x > –2Penyelesaiannya x > –2Sekarang perhatikan pertidaksamaan berikut ini:a. –x > –5, dengan x adalah bilangan asli kurang dari 8. Pengganti x yang memenuhi adalahx = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.Cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas dengan mengalikan kedua ruasnyadengan bilangan negatif yang sama.*–x > –5–1(–x) > – 1(–5), (kedua ruas dikalikan dengan –1 dan tanda pertidaksamaan tetap) x > 5Penyelesaiannya adalah x = 6 atau x = 7.*–x > –5–1(–x) < –1(–5), (kedua ruas dikalikan dengan –1 dan tanda pertidaksamaan berubahdari > menjadi <) x < 5Penyelesaiannya adalah x = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.Dari penyelesaian di atas ternyata, pertidaksamaan yang mempunyai penyelesaian samaadalah–x > –5 dan –1(–x) < –1(–5)Jadi, –x > –5 –1(–x) < –1(–5)b.–4xd –8, dengan x bilangan asli kurang dari 4. Pengganti x yang memenuhi adalah x = 2,atau x = 3. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 3.
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)107*–4xd –8–14(–4x) d,–14(–8) (kedua ruas dikalikan dengan –14 dan tanda pertidaksamaantetap).xd2, penyelesaiannya adalah x = 1 atau x = 2*–4xd –8–14(–4x) t–14(–8), (kedua ruas dikali –14 dan tanda d jadi t)xt2. Penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 3Ternyata pertidaksamaan di atas yang memberikan jawaban yang sama adalah–4xd –8 dan –14(–4x) t –14(–8).Jadi –4xd –8 –14(–4x) t –14(–8)Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:Suatu pertidaksamaan apabila kedua ruasnya dikalikan dengan bilangan negatif yangsama maka tanda pertidaksamaan berubah.Contoh 3.9Tentukan pertidaksamaan paling tidak sederhana yang ekuivalen dengan2 3 + 42 , untuk İ463xxxt bilangan rasional.Penyelesaian:2 3 + 42 ,463xxt12122(2 3) ( 4) 12 463xx tu3(2x – 3) – 2(x + 4) t86x – 9 – 2x – 8 t86x – 2xt8 + 9 + 84xt25xt254Penyelesaiannya adalah 1 64xt.
108Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 3.10Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dengan variabel bilangan riil!a. –5x > 10c.3 85xtb.–3x < –15d.15 – 5x < 2x + 5Penyelesaian:a. –5x > 10–15(–5x) <–15(10)x <–2Penyelesaiannya adalah x < –2b.–3x < –15–13(–3x) >–13(–15)x >5Penyelesaiannya adalah x > 5c.3 85xt5353xd–53(–8)xd403xd3313Penyelesaiannya adalah xd 3313d.15 – 5x < 2x + 5–4x – 2x <5 – 15–7x <–10 –17(7x) >–17(–10) x >137Penyelesaiannya adalah x < 137
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)109LATIHAN 3.7Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.1.6x > 1811. 20 – yty + 62.13x < –312. 2y + 3 d 27 – 4y3.–3xd 913. 15 + 7xt 4x – 34.–15a < 114. 3(2x – 3) > 2(2x + 2)5.2x + 9 > 1515. 4x – 9 > 2x6.7a – 13 > –616. 3(y + 2) d 2y – 17.5 – 42 < 117. 2(4 – 3p) t 4(p – 5)8.–x < –918.13(x+ 5) – 15(x + 2) > 39.–a > 519.2 3 3 6 < 325xx10. 20 – yty20.2 54 6 1 > 464xx4. Menggambar Grafik Penyelesaian PTLSVPenyelesaian suatu pertidaksamaan linear satu variabel dapat digambarkan pada garisbilangan atau pada selang (interval) yang disebut garis penyelesaian/grafik penyelesaian.a. Garis BilanganPerhatikan contoh-contoh berikut ini.Contoh 3.11Gambarlah grafik penyelesaian dari pertidaksamaan berikut, untuk x bilangan cacah kurangdari 5.a.x + 2 > 3b.3x – 2 < 2x + 1Penyelesaian:a.x + 2 > 3 x > 3 – 2 x > 1Karena xİ bilangan cacah kurang dari 5 maka penyelesaiannya adalah x = 2, 3,dan 4.012345b.3x – 2 < 2x + 1 3x – 2x < 1 + 2 x < 3Penyelesaiannya adalah x = 0, 1 dan 2.01234-1-2
110Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7b.Selang (Interval)Perhatikan tabel di bawah ini.No.Selang (Interval)Grafik1xa!aa2xa a3xataa4xada5 < axb!ab6axbddab7axb dab8 < axbdabTabel di atas memperlihatkan hubungan antar bilangan riil a, b, (dengan a < b) dan nilai x.Contoh 3.121.Gambarkan grafik penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk x bilangan riil.a.x – 2 > 1b.3x – 2 dx + 4Penyelesaian:a.x – 2 > 1b.3x – 2 dx + 4x > 1 + 23x – xd 4 + 2x > 3 2xd 53 x d 332.Tuliskan interval (selang) yang digambarkan pada grafik berikut.a.15d.7b.0e.36c.-23f.Penyelesaian:a. 1 dx < 5d.xd 7b.x > 0e.3 < x < 6c. –2 dx < 3f.x < 1 atau x > 5
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)111LATIHAN 3.81.Apabila x bilangan bulat di antara –3 dan 3, gambarlah pada garis bilangan grafikpenyelesaian pertidaksamaan berikut.a.xd –1e.–1 < xd 3b.xt 2f.0 < x < 3c.xt 0g.–2 dxd 2d.xd 0 dan x > –22.Tuliskan pertidaksamaan dari grafik berikut ini, untuk x bilangan bulat antara –2 dan 3.a.01234-1-2c. 01234-1-2b.01234-1-2d. 01234-1-23.Tulislah selang atau interval yang digambarkan grafik berikut ini.a.1d. 4b.-23e. -14c.-134.Gambar grafik penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk x bilangan riil.a. 3xt 15d.x – 5 – 2x – 2b. 5x – 10 > 3xe. 2x > 5x + 15c. 8 + 3xd 17f.10 – 3x < 4x – 45. Penerapan Pertidaksamaan dalam Kehidupan Sehari-hariLangkah-langkah untuk menyelesaikan persoalan sehari-hari yang berhubungan denganpertidaksamaan adalah sebagai berikut:1.Pemahaman terhadap permasalahan tersebut.2.Menerjemahkan permasalahan tersebut dalam bentuk pertidaksamaan.3.Menyelesaikan pertidaksamaan tersebut hingga diperoleh penyelesaiannya.4.Memeriksa hasil yang telah diperoleh dengan mengaitkannya pada soalnya.Contoh 3.13Jumlah dua bilangan asli yang berurutan tidak lebih dari 25. Tentukan pertidaksamaannyadalam x, kemudian tentukan penyelesaiannya.Penyelesaian:Misalkan bilangan-bilangan itu adalah m dan n + 1.n + (n + 1) d252n + 1 d25 2nd 24 nd12Jadi, bilangan itu tidak lebih dari 12.
112Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN 3.91.Gambar di samping adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya24 cm.a. Jika keliling persegi kurang dari 40 cm, tentukanlah pertidaksamaan dalam a, kemudian selesaikanlah pertidaksamaan tersebut.b. Tentukan nilai-nilai a untuk a bilangan asli di antara 2 dan 7.2.Untuk masuk ke sebuah SMPN yng diinginkan, Emma harus memperoleh nilai rata-ratatiga mata pelajaran yang diperlukan tidak kurang dari 80. Nilai yang diperoleh Emma daridua mata pelajaran adalah 79 dan 83. Berapakah nilai mata pelajaran yang ketiga supayamma memenuhi syarat tersebut?3.Dua orang kakak beradik patungan untuk membeli sebuah kado untuk ulang tahun pernikahanorang tua mereka. Uang yang mereka kumpulkan tidak lebih dari Rp. 75.000,00. Jikaadiknya membayar Rp. 15.000,00 kurang dari kakaknya. Susun pertidaksamaan yangmemuat keterangan di atas, kemudian tentukanlah jumlah uang yang harus diberikankakaknya.4.Dalam segitiga ABC di bawah ini berlaku ketentuan AC + BC> ABABCSusunlah sebuah pertidaksamaan dalam x, kemudian buatlahpenyelesaiannya.5.Sepotong kawat yang panjangnya tidak lebih dari 108 cm. Kawat ini dipakai untuk membuatkerangka suatu balok dengan ukuran rusuknya sebagai berikut: panjang (2x + 3) cm,lebar (x + 3) cm, dan tingginya (x + 1) cm.a. Nyatakan pertidaksamaannya.b. Tentukan ukuran-ukuran balok tersebut.RINGKASAN1.Kalimat yang nilai kebenarannya sudah dapat ditentukan benar/salah disebut pernyataan.Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut kalimat terbuka.2.Pada kalimat terbuka selalu terdapat variabel dan apabila diganti dengan suatu bilangan,maka kalimat terbuka menjadi pernyataan.3.Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang mengandung tanda hubung" = " dan variabel berpangkat satu. Bentuk baku dalam variabel x adalah:ax + b = 0 (az 0, a dan b riil).2a cm2a cm3x – 5x + 3x + 7
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)1134.Setiap persamaan tetap ekuivalen, jika kedua ruas ditambah, dikurang, dikali, atau dibagidengan bilangan yang sama.5.Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang mengandung tanda hubung<, >, d, atau t dan sebuah variabel pangkat satu. Bentuk baku dalam variabel x adalahax + b < 0, ax + b> 0, ax + bd 0 atau ax + bt 0, az 0, a dan b bilangan riil.6.Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen, dengan tanda ketidaksamaan tidak berubah, jikakedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, atau dikalikan denganbilangan positif yang sama.7.Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen dengan tanda ketidaksamaan berubah, jika keduaruasnya dikalikan dengan bilangan negatif yang sama. GLOSARIUMBilangan rasionalBilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Bilangan tidakrasional disebut irasional. Misalnya: 12, –14 atau 5 disebut rasional, karena 5 = 1022 disebut irasional.Bilangan riilGabungan semua bilangan rasional dan irasional.Persamaan linearKalimat terbuka yang mengandung tanda hubung " = " dan pangkat variabelnya adalahsatu.Pertidaksamaan linearKalimat terbuka yang mengandung tanda hubung <, >, d atau t dan pangkat variabelnyasatu.PenyelesaianNilai atau bilangan pengganti variabel yang menjadikan persamaan atau pertidaksamaanbernilai benar.Selang/IntervalJika x adalah bilangan riil dan memuat semua nilai antara –2 sampai +5 maka dikatakan xterletak di dalam interval –2 dan +5.SubstitusiPenggantian salah satu ekspresi lain dengan maksud untuk menyederhanakan.
114Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN PEMAHAMAN BAB 3I.Pilihlah salahsatu jawaban yang paling tepat.1.Bentuk berikut yang merupakan persamaan adalah ....a. 5 + 7 = 3 + 9c.8 + x = 10xb. 8 + 10 = 9 + 9d.2 – x < 10 – 2x2.Pernyataan berikut merupakan pernyataan yang benar, kecuali ....a. 8 bukan bilangan primac.–3 – (–4) = –7b. 1 menit = 60 detikd.5 x 3 = 3 x 53.Kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka adalah ....a. jika 3 > 2, maka 11 < 32b. setiap bilangan a dikalikan dengan 1 hasilnya adalah ac. untuk x = 1, maka x2 – 1 = 0d.x2 + 4 = 84.Penyelesaian dari persamaan 6x – 5 = 13 adalah ....a. 3b. 4c. 5d. 75.Nilai x yang memenuhi persamaan 5 34x = 8 adalah ....a. 8b. 7c. 5d. 46.Persamaan-persamaan berikut yang ekuivalen adalah ....(I)x + 2 = 5(III) 2x + 4 = 10(II)x + 3 = 9(IV)3x + 6 = 18a. (I), (II), dan (III)c.(I), (II), dan (IV)b. (II), (III), dan (IV)e.(II) dan (III)7.Nilai x dari 3(x – 2) = x + 10, xİ B, adalah ....a. 3b. 5c. 6d. 88.Jika a > b dan b > c, maka ....a.a > b > ac.a > bb.a > b > cd.c > b9.Pernyataan di bawah ini yang merupakan pertidaksamaan adalah ....a.x + 2 = 5c.3x – 8 >1b. 12 – 5 = 7d.4a+ 6 = 1010. Jika a = b + 5, maka pernyataan berikut yang benar aalah ....a.a > bc.a < bb.atbd.ad b
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV dan PTLSV)11511. Umur Dina 5 tahun lebihnya dari umur Dona. Jika jumlah umur mereka 23 tahun, makaumur Dina adalah ....a. 15 tahunc.9 tahunb. 14 tahund.7 tahun12. Nilai x yang memenuhi persamaan 2(3x – 5) = 2x + 6 adalah ....a. 1b. 3c. 4d. 613. Seorang pedagang membeli 200 buah mangga. Setelah diperiksa ternyata ada 15 buahmangga yang busuk. Banyak mangga yang terjual adalah sebanyak x buah dan sisanya 75buah. Kalimat matematikanya adalah ....a. 15 = 75 –xc.200 – x = 75b.x + 75 = 100d.185 – x = 7514. Suatu bilangan asli, jika dikalikan dengan 4, kemudian ditambah dengan 4, maka hasilnyakurang dari 20. Bilangan-bilangan itu adalah ....a. 1, 2, 3, 4c.2, 3, 4b. 1, 2, 3d.2, 315. Penyelesaian dari 2x + 1 d 3x – 5, untuk xİ bilangan bulat kurang dari 10 adalah ....a. 7, 8, 9c.7, 8, 9, 10b. 6, 7, 8, 9d.8, 9, 1016. Penyelesaian dari 23(x – 1) < 12(x – 2) adalah ....a.x < –9c.x < –2b.x > –9d.x > –217. Selang atau interval yang digambarkan grafik berikut adalah ....a. x < 5 atau x > 7b. x < 5 atau x < 7c. xd 5 atau xd 7d. xd 5 atau xt 718. Sebuah persegipanjang, panjangnya 2 kali lebarnya. Jika kelilingnya tidak kurang dari 24cm, maka ukuran maksimum dari panjang dan lebarnya adalah ....a. 6 cm dan 3 cmc.8 cam dan 6 cmb. 8 cm dan 4 cmd.9 cm dan 6 cm19. Panjang sisi suatu persegi (p + 3) cm. Kelilingnya tidak lebih dari 36. Luas maksimumpersegi itu adalah ....a. 16 cm2c.32 cm2b. 24 cm2d.36 cm220. Interval yang digambarkan grafik berikut adalah ....-32a. –3 < xd 5b. –3 dxd 5c. –3 dx< 5d. –3 > x > 5
116Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7II. Selesaikanlah soal-soal berikut dengan jelas dan benar.1.Tentukanlah nilai x dari persamaan:a. 5x – 7 = 293x – 5)b.9x – (3x + 6) = 2x + 82.Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.a. 3x – 6 < 2x – 3c. 22 3 143xxdb. 2(2x – 1) > 3(2x – 2)3.Seorang peternak memelihara itik dan kambing. Waktu peternak menghitung peliharaannyaada 100 kepala dan 272 kaki. Hitunglah banyaknya itik dan kambing.4.Gambar di samping adalah sebuah kebunberbentuk persegi panjang. Ukuran panjang xmeter, lebar (x – 10) dan kelilingnya 100 meter.Di dalam kebun akan ditanami sayuran. Untukmempermudah pemeliharaan sayuran di pinggirdibuat jalan yang lebarnya 1 meter (lihat gambar).Tentukanlah:a.persamaan keliling dalam x.b.luas kebun yang ditanami sayur.5.Buatlah grafik penyelesaian pertidaksamaan berikut pada garis bilangan.a. 5x – 6 < 4(x – 2)b. 2(4 – 3x) d 3x – 10x m1 m1 m(x – 10) m