Halaman
Pada arena balap mobil, sebuahmobil balap mampu melaju dengankecepatan (3x + 10) km/jam selama0,5 jam. Berapakah kecepatannyajika jarak yang ditempuh mobil ter-sebut 200 km?3OPERASIHITUNGBENTUKALJABARTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis;dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat padabentuk aljabar;dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikansoal;Sumber:Ensiklopedi Umum untukPelajaran,2005Kata-Kata Kunci:variabel dan konstantaoperasi hitung bentuk aljabarfaktor dan sukupecahan bentuk aljabar
80Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuanterkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari duabilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasihitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajaribab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYAPerhatikan ilustrasi berikut.Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyakboneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rikadinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah makaboneka Rika sebanyak 9 buah.Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalampenyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yangbelum diketahui.Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikanmasalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahuiseperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuahbis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu,atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x +7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x,p, dan ypada bentuk aljabar tersebut disebut variabel.Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsuraljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan sukutak sejenis.Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentukaljabar, pelajarilah uraian berikut.1. Variabel, Konstanta, dan FaktorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas.Variabel disebut juga peubah. V ariabel biasanya dilam-bangkan dengan huruf kecil a,b,c, ..., z.Kata aljabar (aljabr)diambil dari judul bukuHisab al Jabr Wa’l Mu-qabalah(Perhitungandengan Restorasi danReduksi), karyaseorang ahli mate-matika Arab, Muham-mad Al-Khwarizmi(780–850 M).Aljabar menjadi salahsatu cabang ilmumatematika yangsangat bermanfaatdalam ilmu ekonomidan ilmu sosiallainnya. Nanti padabab selanjutnya, kalianakan mempelajaripenerapan aljabardalam kegiatanekonomi.Al-KhwarizmiSumber:Ensiklopedi Ma-tematika danPeradaban Ma-nusia, 2003
81Operasi Hitung Bentuk AljabarAdapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebutkonstanta.Konstantaadalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupabilangan dan tidak memuat variabel.Jika suatu bilangan adapat diubah menjadi a = puq dengana,p,q bilangan bulat, maka pdanqdisebut faktor-faktor dari a.Pada bentuk aljabar d i atas, 5x dapat diuraikan sebagai5x = 5 ux atau 5x = 1 u 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1,5,x, dan 5x.Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5xadalah 5, pada suku3y adalah 3, pada suku 8xadalah 8, dan pada suku –6yadalah –6.2. Suku Sejenis dan Suku T ak Sejenisa)Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta padabentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2,y dan 4y, ...Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...b)Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...c)Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...d)Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebutsuku banyak.Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabarsuku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebutpolinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlah sebarangbentuk aljabar.Mintalah temanmuuntuk menunjukkanunsur-unsur aljabardari bentuk aljabartersebut. Lakukan halini bergantian denganteman sebangkumu.
82Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan koefisien dari x2dan faktor dari masing-ma-sing bentuk aljabar berikut.a. 7x2b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x – 3Penyelesaian:a. 7x2 = 7 uxuxKoefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x,x2, 7x, dan 7x2.b. 3x2 + 5 = 3 uxux + 5 u 1Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x,x2, 3x, dan 3x2.Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.c. 2x2 + 4x – 3 = 2 uxux + 4 ux – 3 u 1Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x,x2, dan 2x.Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.Faktor dari –3 adalah –3, –1, 1, dan 3.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tulislah setiap kalimat berikut denganmenggunakan variabel x dan y.a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke-mudian dikurangi 3 menghasilkan bi-langan 5.b. Empat lebihnya dari keliling suatupersegi adalah 16 cm2.c. Selisih umur Bella dan Awang adalah5 tahun, sedangkan jumlah umurmereka 15 tahun.d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah1 menghasilkan bilangan 50.2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabarberikut.a. 3 – 2xb.x2 – 2xy + x2 + 3c. 4x2 – 5x + 6d.23 154 24xxe.x3 + 4x2 + x – 33. Tentukan konstanta dari bentuk aljabarberikut.a. 5x – 3b. 2y2 + y – 5c. (3x + 5)2d. 3xy + 2x – y + 1e. 4 – 3x + 5x2
83Operasi Hitung Bentuk Aljabar4. Tentukan suku-suku yang sejenis dantidak sejenis pada bentuk aljabar berikut.a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6b. 9a2 – 3ab + 4a + 6ab – 18ac. 5x2 + 6xy – 8y2 – 2xy + 9y2d. 8p2q2 – p2q + 12pq + 5pq + 3p2qe. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 15. Termasuk suku berapakah bentuk alja-bar berikut?a. –2xd.a2 – 2ab + b2b. 4x2 – 3e.2342xxc.y2 – x2B. OPERASI HITUNG P ADA BENTUKALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarPada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut.a. –4ax + 7axb. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1)c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)Ingat bahwa untuksebarang bilanganbulata dan b, berlaku1)aub = ab2)au (–b) = –ab3) (–a)ub = –ab4) (–a)u (–b) = abPenyelesaian:a. –4ax + 7ax= (–4 + 7)ax= 3axb. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1)= 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1= (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1)= 6x2 – 8x + 3c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2=3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2= (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2)=–a2 + 3a + 3(kelompokkan suku-suku sejenis)
84Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. PerkalianPerlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilanganbulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaituau (b + c) = (aub) + (auc) dan sifat distributif perkalianterhadap pengurangan, yaitu au (b – c) = (aub) – (auc),untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c. Sifat ini juga berlaku padaperkalian bentuk aljabar.a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabarPerkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentukaljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut. k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kbPanjang sisi miring se-gitiga siku-siku adalah(2x + 1) cm, sedangkanpanjang sisi siku-siku-nya (3x – 2) cm dan(4x – 5) cm. Tentukanluas segitiga tersebut.Jabarkan bentuk aljabarberikut, kemudian sederha-nakanlah.a. 4(p + q)b. 5(ax + by)c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)d. –8(2x – y + 3z)Penyelesaian:a. 4(p + q) = 4p + 4qb. 5(ax + by) = 5ax + 5byc. 3(x – 2) + 6(7x+ 1) = 3x – 6 + 42x + 6= (3 + 42)x – 6 + 6= 45xd. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24zb. Perkalian antara dua bentuk aljabarSebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentukaljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kitadapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antaradua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengansuku dua berikut.(ax + b) (cx + d) = axucx + axud + bucx + bud=acx2 + (ad + bc)x + bd(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Dengan memanfaat-kan sifat distributifperkalian terhadappenjumlahan dan sifatdistributif perkalianterhadap pengurang-an, buktikan perkalianbentuk aljabar berikut.(ax + b) (ax – b) =a2x2 – b2(ax + b)2 =a2x2 + 2abx + b2(ax – b)2 =a2x2 – 2abx + b2
85Operasi Hitung Bentuk AljabarSelain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikanbentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifatdistributif seperti uraian berikut.22 u uu u ax+b cx d ax cx d b cx dax cx ax d b cx b dacx adx bcx bdacx ad bc x bdAdapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan sukutiga berlaku sebagai berikut.(ax + b) (cx2 + dx + e)=axucx2 + axudx + axue + bucx2 + budx + bue=acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be=acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + beTentukan hasil perkalianbentuk aljabar berikut da-lam bentuk jumlah atauselisih.1. (2x + 3) (3x – 2)2. (–4a + b) (4a + 2b)3. (2x – 1) (x2 – 2x + 4)4. (x + 2) (x – 2)Penyelesaian:1. Cara (1) dengan sifat distributif.(2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)= 6x2 – 4x + 9x – 6= 6x2 + 5x – 6Cara (2) dengan skema.(2x + 3) (3x – 2)= 2xu 3x + 2xu (–2) + 3 u 3x + 3 u (–2)= 6x2 – 4x + 9x – 6= 6x2 + 5x – 62. Cara (1) dengan sifat distributif.(–4a + b) (4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2= –16a2 – 4ab + 2b2(Berpikir kritis)Coba jabarkanperkalian bentukaljabar(ax + b)(cx2+ dx+ e)dengan menggunakansifat distributif.Bandingkan hasilnyadengan uraian disamping.
86Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Cara (2) dengan skema.(–4a + b) (4a + 2b)= (–4a)u 4a + (–4a)u 2b + bu 4a + bu 2b= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2= –16a2 – 4ab + 2b23. Cara (1) dengan sifat distributif.(2x – 1) (x2 – 2x + 4)= 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4)= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4= 2x3 – 5x2 + 10x – 4Cara (2) dengan skema.(2x – 1) (x2 – 2x + 4)=2xux2 + 2xu (–2x) + 2xu 4 + (–1) ux2 + (– 1)u (–2x) + (–1) . 4= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4= 2x3 – 5x2 + 10x – 44. Cara (1) dengan sifat distributif.(x + 2) (x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2)=x2 – 2x + 2x – 4=x2 – 4Cara (2) dengan skema.(x + 2) (x – 2) = xux + xu (–2) + 2 ux+ 2 u (–2)=x2 – 2x + 2x – 4=x2 – 4Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahanseperti tersebut di atas disebut menjabarkanataumenguraikan.
87Operasi Hitung Bentuk AljabarKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c.1262xd. 2(x + 3)e. –3(2a + 5)f. –p(p2 – 3)4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagaiperkalian konstanta dengan bentukaljabar.a. 5x – 15yb. –2p + q – 3rc. 3x2 + 9xy – 18xy2d. –4p + 8r25. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabarberikut ini.a. (x+ 2) (x – 3)b. (2x – 3) (x + 4)c. (4k + 1)2d. (3m + 2n) (3m – 2n)e. (3 – a) (5 + a)f. (2 + a) (a2 – 2a + 1)1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 8p – 3 + (–3p) + 8b. 9m + 4mn + (–12m) – 7mnc. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4d. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4ye. –4p2 + 3pq – 2 – 6p2 + 8pq – 3f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 4m – 5 – 6m + 8b. 9p2 – 4pq – q2 – 4p2 + 5pq – 3q2c. 2(–8a – 3b) –4a + 9bd. 12x3 – 9x2 – 8 – 15x3 + 7x2 + 5e. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)f. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 –9m)3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabarberikut sebagai jumlah atau selisih.a. –3(a – 2b + 5)b.xy(x2 – 4)3. PerpangkatanCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilanganbulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulangdengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,berlakufaktor... uuuu nna aaa aHal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakatbahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x – a)=x2 –a2?Diskusikan hal ini dengan temanmu.Jumlah dua buahbilangan adalah 35.Jika bilangan keduaadalah lima lebihnyadari bilangan pertama,tentukan hasil kalikedua bilangan itu.
88Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan hasil perpang-katan bentuk aljabar beri-kut.1. (2p)22. – (3x2yz3)33. (–3p2q)2Penyelesaian:1. (2p)2= (2p)u (2p)= 4p22. – (3x2yz3)3 = –27x6y3z93. (–3p2q)2 = 9p4q2Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiapsuku ditentukan menurut segitiga Pascal.Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaranbentuk aljabar suku dua (a+b)n, dengan n bilangan asli.Perhatikan uraian berikut.(a + b)1=a + bo koefisiennya 1 1(a + b)2= (a + b) (a + b)=a2 + ab + ab+b2=a2 + 2ab+b2o koefisiennya 1 2 1(a + b)3= (a + b) (a + b)2= (a + b) (a2 + 2ab + b2)=a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3o koefisiennya 1 3 3 1dan seterusnyaAdapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)ndimulaidarian kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 padasuku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai denganb1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bnpada suku ke-(n + 1).Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaranbentuk aljabar (a + b)ndi atas. Pola koefisien tersebut ditentukanmenurut segitiga Pascal berikut.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1( + )ab0( + )ab1( + )ab2( + )ab3( + )ab4( + )ab5( + )ab6(Berpikir kritis)Pada bentuk aljabarberikut, tentukankoefisien daria.x2 pada (2x – 5)2;b.x5 pada (x – 3)5;c.x3y pada (3x + 2y)4;d.x2y2 pada (x + 2y)4;e.a3 pada (4 – 2a)4.(Menumbuhkan ino-vasi)Jabarkan bentukaljabar suku dua(a + b)n dengan7dnd 10. Tentukanpola koefisien yangterbentuk. Kemudian,tuliskan pola koefisientersebut dalamsegitiga Pascal.Diskusikan hal inidengan temanmu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.
89Operasi Hitung Bentuk AljabarPada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada dibawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatanyang berada di atasnya.Jabarkan bentuk aljabarberikut.a. (3x + 5)2b. (2x – 3y)2c. (x + 3y)3d. (a – 4)4Penyelesaian:a. (3x + 5)2= 1(3x)2 + 2 u 3xu 5 + 1 u 52= 9x2 + 30x + 25b. (2x – 3y)2= 1(2x)2 + 2(2x) (–3y) + 1 u (–3y)2= 4x2 – 12xy + 9y2c. (x + 3y)3=1x3 + 3 ux2u (3y)1 + 3 uxu (3y)2 + 1 u (3y)3=x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3d. (a – 4)4=1a4 + 4 ua3u (–4)1 + 6 ua2u (–4)2 + 4 uau(–4)3 + 1 u (–4)4=a4 – 16 ua3 + 6a2u 16 + 4au (–64) + 1 u 256=a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 2564. PembagianHasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh denganmenentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentukaljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilangdan penyebutnya.Sederhanakanlah pemba-gian bentuk aljabar berikut.1. 3xy : 2y2. 6a3b2 : 3a2b3.x3y : (x2y2 : xy)4. (24p2q + 18pq2) : 3pqPenyelesaian:1.3xy2y3(faktor sekutu )2xy2.3232 22266 :333abab ababab223ababu2(faktor sekutu 3 )2abab
90Matematika Konsep dan Aplikasinya 13.223 2233:( : )::xyxy xy xy xyxyxyxy§· ̈ ̧©¹xyxyu3232:x y xy xx y xyxxy xy§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹u4.22222418(2418 ):336 (4 3 )32(4 3 ) p q pqp q pq pqpqpq p qpqpqKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan koefisien (a + b)n pada sukuyang diberikan.a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4.b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3.c. Suku ke-4 pada (a – 3b)4.d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5.4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 16p2 : 4pb. 6a6b2 : a3bc. 3x2y5 : x2y2 : xy2d. 15p4q5r3 : (6p2qr3 : 2pqr)e. (2a2bc2 + 8a3b2c3) : 2abcf. (p3qr2 + p2q2r3 – p5q3r2) : p2qr21. Tentukan hasil perpangkatan bentukaljabar berikut.a. (2a)2e. –3(x2y)3b. (3xy)3f. –(2pq)4c. (–2ab)4g.21(2 )2xyd. (4a2b2)2h.a(ab2)32. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabarberikut.a. (x + 2)2e. (4x – 2y)3b. 3(2x – 1)3f. 5(3a + 2)4c. 2(3p + q)4g. (y + 1)5d. –3(–x – y)3h. (–2x – 3y)35. Substitusi pada Bentuk AljabarNilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentukaljabar tersebut.
91Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Jika m = 3, tentukannilai dari 5 – 2m.Penyelesaian:Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m= 5 – 2(3)= 5 – 6= –12. Jika x = –4 dan y = 3,tentukan nilai dari2x2 – xy + 3y2.Penyelesaian:Substitusix = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh2x2 – xy + 3y2= 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2= 2(16) – (–12) + 3(9)= 32 + 12 + 27= 716. Menentukan KPK dan FPB Bentuk AljabarCoba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPBdari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentukaljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapatdilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebutmenjadi perkalian faktor-faktor primanya.Perhatikan contoh berikut.Tentukan KPK dan FPBdari bentuk aljabar berikut.a. 12pq dan 8pq2b. 45x5y2 dan 50x4y3Penyelesaian:a. 12pq= 22u 3 upuq8pq2= 23upuq2KPK = 23u 3 upuq2= 24pq2FPB = 22upuq= 4pqb. 45x5y2= 32u 5 ux5uy250x4y3= 2 u 52ux4uy3KPK = 2 u 32u 52ux5uy3= 450x5y3FPB = 5 ux4uy2= 5x4y2
92Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Jika a = 6 dan b = –1, tentukan nilai daribentuk aljabar berikut.a.a2 + 2ab + b2b.a2b – ab2 + a2b2c. 2a + 2a2b2 + 3ab2 + b3d.a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4e. 3a2 – 2b + abf. 2a3 – 3a2 + ab – 52. Hitunglah nilai p2 – 2qr + 3p jikaa.p = –1, q = 2, dan r = –3;b.p = –2, q = 3, dan r = 1;c.p = 1, q = 5, dan r = –2;d.p = 3, q = 2, dan r = –5.3. Tentukan KPK dari bentuk aljabarberikut.a. 15ab dan 20abb. 10a2b3c dan 15b2c2dc. 24p2q, 36p3q2, dan 60pqrd. 16pq2r, 30qr2s2, dan 36p3r2s54. Tentukan FPB dari bentuk aljabarberikut.a. 2x dan –3x2b. 4x2y dan 12xy2c. 48a3b5 dan 52a2b3c2d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qrC. PECAHAN BENTUK ALJABARDi bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentukaljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akanmempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yangpembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentukaljabar. Misalnya 243 3 dan 27a amxp bc nx y,,,,.1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk AljabarSuatu pecahan bentuk aljaba r dikatakan paling sederhanaapabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktorpersekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukandengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebutdengan FPB dari keduanya.(Menumbuhkan inovasi)Berdasarkan contoh di atas, buatlah kesimpulan mengenai caramenentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar. Diskusikan hal inidengan temanmu.
93Operasi Hitung Bentuk AljabarSederhanakan pecahanbentuk aljabar berikut, jikax,yz 0.a.236xxyb.23242x yzxyPenyelesaian:a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga2233 :366 :312x xxxy xy xxyJadi, bentuk sederhana dari 236xxy adalah 1.2xyb. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga23 2322344:222 :22x yz x yz xyxyxy xyxzy2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut SukuTunggala. Penjumlahan dan penguranganPada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasiloperasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperolehdengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkanatau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingatbahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukanKPK dari penyebut-penyebutnya.Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasipenjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.Perhatikan contoh berikut.Sederhanakan penjumlah-an atau pengurangan pe-cahan aljabar berikut.1.1523pqPenyelesaian:1.152313 5223 323 10663 106uuuupqqppq qpqppq pqqppq
94Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. Perkalian dan pembagianIngat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapatdinyatakan sebagai berikut.; untuk , 0a c acbdb d bdu zHal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.2.1231kk3.21mnmn2.2222121( 1)2( 3)31 ( 3)( 1) ( 3)( 1)1 2623 2312 623723 kkk k kk kkkkkk kkkkkkkkk3.21212222nm mnmnm n mn nmmn mmn nmnmnmn n mn mmnmn mn n mmnnmmn uu Tentukan hasil perkalianpecahan bentuk aljabarberikut.1.432uaba2.11uxyyx3.21253uxxPenyelesaian:1.4 423 2323ab ab baauu u2.111111u uxyxyy x yxxy y xxyxy x yxy
95Operasi Hitung Bentuk Aljabar3.22321 2 ( 1)25 3 5322152( 1)15u ux xx xxxxxKalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers(operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapatdikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinyadengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.untuk0, 01untuk0, 0untuk0, 0b c aca abcc bbaa acbcb b c bca c a d adbcb d b c bc u z z u z z u z z:::Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.Sederhanakan pembagianpecahan aljabar berikut.1.4239pqqp:2.234acbb:3.2ab bc ac:Penyelesaian:1.222242 4939 3 23666 upq p pqp qqpqpq:2.22233441212 uac a bb bcbabbcabc:3.2222211 uab b ab acc ac cba bcbcab:
96Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c.Perpangkatan pecahan bentuk aljabarOperasi perpangkatan merupakan perkalian berulang denganbilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatanpecahan bentuk aljabar.1222333aabba aaab bbba aaaab bbbb§· ̈ ̧©¹§· u ̈ ̧©¹§· uu ̈ ̧©¹sebanyak kali...§· uuuu ̈ ̧©¹
nnnna aaa aab bbb bbSederhanakan perpang-katan pecahan aljabarberikut.1.332§· ̈ ̧©¹x2.2245§· ̈ ̧©¹y3.221§· ̈ ̧©¹ab4.2532§· ̈ ̧©¹pPenyelesaian:1.333 333272 2228x xxx x§·§·§·§· uu ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹©¹2.22 22 44441655525§·§·§· u ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹©¹y yy y3.22222221 212121214221441a aab bbaabaaa aabb §·u ̈ ̧©¹ 4.22253 53532 225353425 15 15 9425 30 94p ppppp pppp §·u ̈ ̧©¹(Berpikir kritis)Tunjukkan berlakunyasifat perpangkatanpecahan bentukaljabar di samping.Gunakan contoh yangmendukung.
97Operasi Hitung Bentuk AljabarKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan hasil kali pecahan aljabarberikut.a.32uqpb.325ummnnc.229643umn knkmd.2 13uxxyze.31 12uxxxyf.2223upq pqpq4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan alja-bar berikut.a.4 12xy:d.22216 853a b abcc:b.4932abbc:e.24398klm k ml:c.28615mn mnll:f.22222038x y xyzz:5. Selesaikan operasi perpangkatan pecah-an aljabar berikut.a.223§· ̈ ̧©¹xe.241§· ̈ ̧©¹xyyb.3234§· ̈ ̧©¹xf.22213§· ̈ ̧©¹abc.242§· ̈ ̧©¹xyg.332§· ̈ ̧©¹abd.3253§· ̈ ̧©¹yh.223§· ̈ ̧©¹pqpq1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentukaljabar berikut.a.22, , 04pqpqpqzb.233, , , 06zx yzxyzxyzc.23 15, , , 0zx y yzxyzxyzd.26 48, , 02zxy xy xzxzxz2. Sederhanakan penjumlahan dan pengu-rangan pecahan aljabar berikut.a.32qpb.23xx xy xyc.312 3ppd.242a aab abe.xyxyxyf.7310 10bbg.12 9xxyyh.224 29x xyyyi.23 469pqqpj.4 3 5 12312mmmnn
98Matematika Konsep dan Aplikasinya 1D. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYE-LESAIKAN MASALAHDiketahui usia ayah empatkali usia anaknya. Limatahun kemudian, usia ayahtiga kali usia anaknya.Tentukan masing-masingumur ayah dan anaknya.Penyelesaian:Misalkan: umur ayah = x;umur anak = y,sehingga diperoleh persamaanx = 4y ..................................... (i)x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y+ 5) 4y + 5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3y + 15 4y – 3y= 15 – 5y= 10Untuky = 10, makax = 4yx = 4 u 10x = 40Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10tahun.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tiga tahun yang lalu jumlah umurseorang ibu beserta anak kembarnyadiketahui 35 tahun. Jika pada saat ituumur ibunya 29 tahun, berapa tahunkahumur anak kembarnya sekarang?1. Panjangsuatu persegipanjang diketahui(3x + 2) cm dan lebarnya (2x – 3) cm.a. Tentukan keliling persegi panjangdinyatakan dalam x.b. Jika kelilingnya 36 cm, tentukanukuran persegi panjang tersebut.
99Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. – Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yangbelum diketahui nilainya dengan jelas. – Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yangberupa bilangan dan tidak memuat variabel. – Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama. – Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.3. Pak Ketut melakukan suatu perjalananke luar kota. Mula-mula ia mengendaraisepeda motor selama 2 jam dengan ke-cepatan rata-rata (5x – 2) km/jam.Kemudian Pak Ketut melanjutkan perja-lanan dengan naik bus selama 3 jamdengan kecepatan rata-rata (4x + 15)km/jam. Tentukana. jarak yang ditempuh dalam x;b. nilai x, jika jarak yang ditempuh239 km.4. Seekor kambing setiap hari menghabis-kan (x + 2) kg ransum makanan, sedang-kan seekor sapi setiap hari menghabis-kan (2x – 1) kg ransum makanan.a. Nyatakan jumlah ransum makananuntuk seekor kambing dan seekorsapi selama 1 minggu.b. Tentukan nilai x jika jumlah ransummakanan yang habis dalam 1 mingguadalah 70 kg.5. Suatu model kerangka balok terbuat darikawat dengan ukuran panjang(2x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggix cm. Tentukana. persamaan panjang kawat dalam x;b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya= 104 cm.(Menumbuhkan inovasi)Amatilah lingkungan di sekitarmu.Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan denganpenggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah danhasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas.
100Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabarsuku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut. k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd (ax + b) (cx2 + dx + e) = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be (x + a) (x – a) = x2 – a25. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien suku-sukunya ditentukan dengan segitiga Pascal. (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3dan seterusnya6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabelbentuk aljabar tersebut.7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jikapembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor perseku-tuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol.8. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahanaljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya,kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung BentukAljabar, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlahrangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materiyang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yanglebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalamkehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitandengan operasi hitung bentuk aljabar . Susunlah dalam sebuahlaporan dan kumpulkan kepada gurumu.
101Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar2x2 – 24x + 7adalah ....a. 2c. 24b. –7d. –242. Bentuk aljabar berikut yang terdiriatas tiga suku adalah ....a.abc + pqrc.ab – pqb.ab + ac – bcd. 3ab – 3cd3. Bentuk paling sederhana dari2(3x+2y) – 4(x – 5y) adalah ....a. 10x – 10yc. 2x – yb. 2x + 24yd. 2x – 3y4. Bentuk sederhana dari8x – 4 – 6x + 7 adalah ....a. 2x + 3c. 2x – 3b. –2x + 3d. –2x – 35. Jika p = 2, q = –3, dan r = 5, nilai dari2p2r – pq adalah ....a. 74c. 86b. 46d. 346. Hasil penjabaran dari (2x – 3)2 adalah....a. 4x2 + 6x + 9b. 4x2 – 12x + 9c. 2x2 + 12x + 3d. 2x2 + 6x + 37. KPK dan FPB dari ab2c2 dan b3c2dadalah ....a.b2c2 dan a2b2c2b.ab3c2d dan b2c2c.ab3c3d dan b3c3d.b3c3 dan ab3c2d28. Hasil dari 72 435xx adalah ....a.11 315xc.11 2315xb.11 1115xd.11 4715x9. Nilai dari 9235xx adalah ....a.715xc.3915xb.1915xd.1115x10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketa-hui berturut-turut p cm, 2p cm, dan(p + 4) cm. Keliling segitiga tersebutadalah ....a. (4p + 4) cm c. (2p + 6) cmb. (3p + 4) cm d. (2p + 2) cmKerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. –4x + 5y – 10x + yb. (5x + 7) – 3(2x – 5)c. 8x – 2(–4x + 7)d. –3(2x – 5) + 2(–x + 4)e. 2x2 – 3x + 5 – 3x2 + x – 92. Tentukan hasilnya.a. (2x – 1) (–3x + 4)b. (–3p + 1)2c. (–5x – 3)3d. –2x(x + 3) (3x – 1)
102Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Tentukan KPK dan FPB dari bentukaljabar berikut.a. 5p2q3 dan 18pq2r3b. 20pq dan –35p2qc. 25p2qr2, 30pqr2, dan 36p3q2rd. 12pq3r, 24pqr, dan 20p2q2r4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a.2 13 235xxb.1123xxxxc.32226xyxy§·§·u ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹d.: ; , 06 12p q pqpqz5. Sebuah yayasan sosial memberikanbantuan kepada korban banjir berupa35 dus mi dan 50 dus air mineral. Satudus mi berisi 40 bungkus dengan hargaRp900,00/bungkus. Adapun satu dusair mineral berisi 48 buah dengan hargaRp500,00/buah. Tentukan harga ke-seluruhan mi dan air mineral tersebut.