Halaman
Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit CV. Usaha MakmurMATEMATIKAKONSEP DAN APLIKASINYAUntuk SMP/MTs Kelas VIIPenulis:Dewi NuhariniTri WahyuniEditor:IndratnoPerancang Kulit:Risa ArdiyantoIlustrasi, Tata Letak:Risa ArdiyantoUkuran Buku:17,6 x 25 cm410NUHNUHARINI, Dewi m Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs I/DewiNuharini, Tri Wahyuni; editor Indratno. — Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 299 hlm.: ilus.; 25 cm.Bibliografi : hlm. 299Indeks. ISBN 978-462-998-71. Matematika-Studi dan Pengajaran I. JudulII. Wahyuni, Tri III. IndratnoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
KATA SAMBUTANiiiKata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karuniaNya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku tekspelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan
KATA PENGANTARBukuMatematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini mem-bantumu belajar matematika dan aplikasi nya dalam kehidupansehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yangmudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpaisoal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan,kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian iniberisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan denganmateri bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikantujuan pembelajaran yang harus kamu capai dalam setiap bab.Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulukata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.Di dalam buku ini disajikan Tugas Mandiriyang akanmeningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamupelajari.Diskusiakan mendorongmu untuk lebih bersemangatdalam bekerja sama. Soal Tantangan akan memotivasi kamudalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambahpengetahuan dan wawasan kamu mengenai tokoh yang berjasabesar pada konsep yang sedang dipelajari. Tipsakan membantumumemahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhirsetiap bab dilengkapi dengan soal-soal untuk mengevaluasikompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab.Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan seganuntuk bertanya jika kamu menemui kesulitan. Selamat belajar,semoga sukses.Surakarta, ................. 2008PenulisivMatematika Konsep dan Aplikasinya 1
SAJIAN ISI BUKURefleksi berisi umpan balik yang harus dilakukanoleh siswa setelah mempelajari materi satu bab.Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soal-soal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukurtingkat pemahaman siswa setelah mempelajarimateri satu bab.Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab.Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswadapat mengingat kembali hal-hal penting yang telahdipelajari.Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantangsiswa untuk menguji kecerdasannya. Bagian inidapat memotivasi siswa dalam memahami konsepmateri secara total.Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secaraberpasangan atau berkelompok. Diskusi memuattugas observasi, investigasi, eksplorasi, atauinkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikirkritis, kreatif, dan inovatif.Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang ber-jasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.Tips berisi info atau keterangan yang dapat mem-bantu siswa memahami materi yang sedangdipelajari.Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu.Tugas mandiri memuat tugas observasi, inves-tigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacusiswa untuk berpikir kritis, kreatif, maupuninovatif.Uji kompetensi berisikan soal-soal latihan ber-variasi yang disajikan setiap subbab. Ujikompetensi dapat digunakan untuk mengujipemahaman siswa berkaitan dengan isi materi.vSajian Isi Buku
viMatematika Konsep dan Aplikasinya 1DAFTAR ISIKATA SAMBUTAN........................................................................................................... iiiKATA PENGANTAR....................................................................................................... ivSAJIAN ISI BUKU......................................................................................................... vDAFTAR ISI...................................................................................................................viPENDAHULUAN...............................................................................................................1BAB 1 BILANGAN BULATA. Bilangan Bulat ............................................................................................ 4B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat........................................................... 7C. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat ........................... 20D. Kelipatan dan Faktor.................................................................................. 22E. Perpangkatan Bilangan Bulat......................................................................27F. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat......................................... 33G. Penggunaan Operasi Hitung Bilangan Bulat untuk MenyelesaikanMasalah ..................................................................................................... 34Evaluasi 1........................................................................................................ 37BAB 2 PECAHANA. Bilangan Pecahan.......................................................................................40B. Perbandingan dan Bentuk-Bentuk Pecahan ............................................... 48C. Operasi Hitung Pecahan ............................................................................ 56D. Pembulatan dan Bentuk Baku Pecahan...................................................... 69E. Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari yang Berkaitan dengan Pecahan....... 72Evaluasi 2......................................................................................................... 76BAB 3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABARA. Bentuk Aljabar dan unsur-unsurnya .......................................................... 80B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar.......................................................... 83C. Pecahan Bentuk Aljabar .............................................................................92D. Penggunaan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah................................... 98Evaluasi 3......................................................................................................... 101BAB 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA. Kalimat Terbuka........................................................................................104B. Persamaan Linear Satu Variabel................................................................. 106C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ......................................................... 114D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yangBerkaitan dengan Persamaan Linear Satu Variabel.................................... 122E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yangBerkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel............................. 124F. Logika Matematika (Pengayaan) ............................................................... 126Evaluasi 4......................................................................................................... 133BAB 5 PERBANDINGAN DAN ARITMETIKA SOSIALA. Aritmetika Sosial dalam Kegiatan Ekonomi............................................... 136B. Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto ..................................................... 142
viiDaftar IsiC. Bunga Tabungan dan Pajak ....................................................................... 145D. Perbandingan ............................................................................................. 147E. Gambar Berskala ....................................................................................... 149F. Bentuk-Bentuk Perbandingan .................................................................... 152G. Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan KonsepPerbandingan ............................................................................................. 157Evaluasi 5......................................................................................................... 161BAB 6 HIMPUNANA. Himpunan..................................................................................................164B. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta............................................... 169C. Himpunan Bagian.......................................................................................171D. Hubungan Antarhimpunan.........................................................................175E. Operasi Himpunan.....................................................................................177F. Diagram Venn ............................................................................................ 186G. Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan ........... 193Evaluasi 6......................................................................................................... 196BAB 7 GARIS DAN SUDUTA. Garis .......................................................................................................... 200B. Perbandingan Segmen Garis...................................................................... 205C. Sudut.........................................................................................................208D. Menggambar dan Memberi Nama Sudut................................................... 211E. Jenis-Jenis Sudut ....................................................................................... 214F. Hubungan Antarsudut................................................................................216G. Hubungan Antarsudut jika Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain.... 220H. Melukis Sudut............................................................................................224I. Membagi Sudut ......................................................................................... 226Evaluasi 7......................................................................................................... 231BAB 8 SEGITIGA DAN SEGI EMPATA. Segitiga......................................................................................................234B. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga .................................................................... 241C. Hubungan Panjang Sisi dengan Besar Sudut pada Segitiga ....................... 243D. Keliling dan Luas Segitiga..........................................................................246E. Segi Empat ................................................................................................ 250F. Melukis Segitiga........................................................................................276G. Melukis Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi ................................. 279H. Melukis Garis-Garis Istimewa pada Segitiga............................................. 280I. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Segi Empat..................... 284Evaluasi 8......................................................................................................... 288DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................................290GLOSARIUM...................................................................................................................291KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIH............................................................................292DAFTAR SIMBOL...........................................................................................................296INDEKS.............................................................................................................................297
1PendahuluanPENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama.Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswa secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alatperaga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.BukuMatematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini diperuntukkan bagi siswakelas VII SMP/MTs. Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar Kompetensidan Kompetensi Dasar Matematika SMP/MTs tahun 2006. Kajian materi buku inimeliputi tiga aspek, yaitu aspek bilangan,aljabar, dan aspek geometri. Untukmemudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam delapan bab sebagai berikut.Bab 1 Bilangan BulatBab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, danpangkat pada bilangan bulat beserta sifat-sifatnya; cara menaksir hasilperkalian dan pembagian bilangan bulat; kuadrat dan pangkat tiga sertaakar kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat. Dengan memahami sifat-sifat operasi hitung tersebut dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalahdalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan bilangan bulat.Bab 2 PecahanBab ini berisi materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkatpada pecahan beserta sifat-sifatnya; cara mengubah bentuk pecahan kebentuk pecahan yang lain; dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung padapecahan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yangberkaitan dengan pecahan.Bab 3 Operasi Hitung Bentuk AljabarBab ini memuat materi mengenai bentuk aljabar dan unsur-unsurnya; operasihitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; sertamenerapkan operasi hitung bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal.Bab 4 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu VariabelBab ini berisi uraian materi mengenai persamaan dan pertidaksamaan li-near satu variabel dalam berbagai bentuk dan variabel; menentukanpenyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel; sertamembuat model matematika dan menyelesaikannya dari suatu masalah yangberkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.
2Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Bab 5 Perbandingan dan Aritmetika SosialBab ini memuat materi mengenai penggunaan konsep aljabar dalampemecahan masalah aritmetika sosial, misalnya nilai keseluruhan, nilai perunit, laba, rugi, rabat, dan bunga tunggal; pengertian skala sebagai suatuperbandingan; faktor per besaran dan pengecila n pada gambar berska la;serta perbandingan seharga (senilai) dan perbandingan berbalik harga(berbalik nilai).Bab 6 HimpunanBab ini berisi materi mengenai pengertian, notasi, dan penyajian himpunan;konsep himpunan bagian; operasi irisan, gabungan, kurang (difference),dan komplemen pada himpunan; penyajian himpunan dengan diagram Venn,serta menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dankonsep himpunan.Bab 7 Garis dan SudutBab ini memuat materi mengenai hubungan antara dua garis, serta besardan jenis sudut; sifat-sifat sudut yang terbentuk jika dua garis berpotonganatau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain; serta cara melukis danmembagi sudut.Bab 8 Segitiga dan Segi EmpatBab ini berisi uraian materi mengenai sifat-sifat segitiga berdasarkan sisidan sudutnya; sifat-sifat persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat,layang-layang, dan trapesium; menghitung keliling dan luas bangun segitigadan segi empat dan menggunakannya dalam memecahkan masalah dalamkehidupan sehari-hari; serta cara melukis segitiga, garis tinggi, garis bagi,garis berat, dan garis sumbu.
1BILANGAN BULATPernahkah kalian memerhatikan ter-mometer? Termometer adalah alat yang diguna-kan untuk mengukur suhu suatu zat. Padapengukuran menggunakan termometer, untukmenyatakan suhu di bawah 0oC digunakantanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhuair mendidih 100oC dan membeku pada suhu0oC. Jika air berubah menjadi es, suhunyakurang dari 0oC. Misalkan, es bersuhu –7oC,artinya suhu es tersebut 7oC di bawah nol.Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh bilangan bulat;dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif;dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan;dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilanganbulat termasuk operasi campuran;dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengannegatif dan positif dengan negatif;dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat;dapat menghitung kuadrat dan pangkat tiga serta akar kuadrat dan akar pangkattiga bilangan bulat;dapat menemukan dan menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan perpangkatan bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah.Kata-Kata Kunci:bilangan bulat positifperkalian bilangan bulatbilangan bulat negatifpembagian bilangan bulatpenjumlahan bilangan bulatperpangkatan dan akar bilangan bulatpengurangan bilangan bulatSumber:Kamus Visual, 2004
4Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, sebaiknyakalian memahami kembali mengenai bilangan cacah, garis bilangan,kuadrat, akar pangkat dua, serta KPK dan FPB dari dua bilanganatau lebih. Pemahaman materi tersebut akan sangat bermanfaatdalam mempelajari materi bilangan bulat. Konsep yang akan kalianpelajari pada bab ini merupakan dasar untuk mempelajari babselanjutnya di buku ini.A. BILANGAN BULAT1. Pengertian Bilangan BulatCoba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasarmengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jikabilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan,apa yang kalian peroleh?Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garislurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiridi satu titik dan ia namakan titik 0.01234Gambar 1.1Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jikaia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya,jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Laluia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakahia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundurlagi 1 langkah ke belakang?Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0)dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depandinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakangdari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah kebelakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkanakan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulatbiasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebuthimpunan bilangan bulat dan dinotasikan denganB = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.(Berpikir kritis)Apa yang kamu keta-hui mengenai bilang-an cacah? Ceritakansecara singkat didepan kelas.
5Bilangan BulatBilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif{..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif{1, 2, 3, ...}.2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hariPerhatikan Gambar 1.2. Kapal selam digunakan untukkepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlumengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air lautdinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakandengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan lautdinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m dibawah permukaan laut ditulis –10 m.(Berpikir kritis)Diketahui suatu gedung berlantai 12. Dari gedung tersebut 3 diantaranya berada di bawah permukaan tanah. Tito berada di lantaiterbawah, kemudian naik 7 lantai dengan lift. Di lantai berapakahia berada di atas permukaan tanah?Sumber:Ensiklopedi Matematika dan PeradabanManusia,2003Gambar 1.2(Menumbuhkankreativitas)Perhatikan lingkungansekitarmu. Amatikejadian/peristiwayang merupakanpenerapan bilanganbulat dalamkehidupan sehari-hari.Catat dandeskripsikan hal itu.Hasilnya, ceritakan didepan kelas.
6Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Letak Bilangan Bulat pada Garis BilanganPada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakansebagai berikut. Gambar 1.3Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebutbilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ...disebut bilangan bulat negatif.Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkanbilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat–3 –2 –1 0 1 2 3Gambar 1.4Perhatikan garis bilangan di atas.Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan,makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makinkecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p,qbilangan bulat berlakua. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiribilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan–3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau–5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh–5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.–5–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 45bilangan bulat negatifbilangan bulat positifnolKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.a. 175 meter di atas permukaan air laut.b. 60 meter di bawah permukaan airlaut.1. Jika permukaan air laut dinyatakandengan 0 meter , tulislah letak suatutempat yang ditentukan sebagai berikut.
7Bilangan Bulat5. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda“>” atau “<“, sehingga menjadi kalimatyang benar.a. –3 ... 5c. –8 ... –13b. 12 ... 27d. 16 ... –24e. 0 ... –1h. 2 ... –21f. 17 ... –15i. –19 ... –14g. –36 ... 42j. 39 ... –76. Tentukan nilai x yang memenuhia.xd –1, pada S = {–6, –5, –4, –3,–2, –1, 0, 1, 2};b.x > 2, pada S = {..., –3, –2, –1, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6};c. –5 < xd 4, pada S = {–5, –4, –3,–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.Kemudian gambarlah masing-masingnilai-nilai tersebut pada garis bilangan.7. Diketahui suhu di dalam suatu ruanganlaboratorium 17oC. Karena akan digu-nakan untuk sebuah penelitian, makasuhu di ruangan tersebut diturunkan 25oClebih rendah dari suhu semula. Berapa-kah suhu di ruangan itu sekarang?c. 270 meter di bawah permukaan airlaut.d. 10 meter di atas permukaan air laut.2. Dengan menggunakan garis bilangan,tentukana. lima bilangan bulat yang terletak disebelah kiri 3;b. enam bilangan bulat yang terletak disebelah kanan –2;c. empat bilangan bulat yang lebih dari–1;d. tujuh bilangan bulat yang kurang dari5.3. Diketahui sebuah tangga lantai memiliki10 anak tangga. Nyoman dan Santiberada di anak tangga ke-2, kemudianmereka naik 7 tangga ke atas. Karenaada buku yang terjatuh, Nyoman dan Santiturun 5 tangga ke bawah. Di anak tang-ga berapakah mereka sekarang?4. Tentukan benar atau salah pernyataanberikut.a. –4 < –8e. –2 > –102b. 5 > –7f. –150 < 150c. –2 > –4g. 6 < –5d. –3 < –4h. –75 > –57B. OPERASI HITUNG P ADA BILANGANBULAT1. Penjumlahan pada Bilangan Bulata. Penjumlahan dengan alat bantuDalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapatdigunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yangdijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuaidengan bilangan tersebut.Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan.Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arahkiri.(Menumbuhkaninovasi)Selain dengan garisbilangan,penjumlahan padabilangan bulat dapatdigunakan alat bantuyang lain. Cobaeksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.
8Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Penyelesaian:–8 –7 –60 1 2(b)(a)(c)–3 –2 –1–5 –4Gambar 1.6Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kirisampai pada angka –3.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 sa-tuan ke kiri.(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Hitunglah hasil penjumlah-an berikut dengan meng-gunakan garis bilangan.1. 6 + (–8)Penyelesaian:–3 –2 –1 0 1 2 34567(b)(a)(c)Gambar 1.5Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuanke kanan sampai pada angka 6.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8satuan ke kiri.(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.2. (–3) + (–4)c. 6 + (–9)d. (–4) + (–7)e. 8 + (–2)f. –6 + 10Dengan menggunakan garis bilangan,hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulatberikut ini.a. 3 + 7b. –8 + 5g. (–5) + 10h. (–3) + 2i. (–6) + (–4)j. (–8) + (–3)
9Bilangan Bulatb. Penjumlahan tanpa alat bantuPenjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukandengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilanganyang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu,kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.1) Kedua bilangan bertanda samaJika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilanganpositif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan keduabilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tandakedua bilangan.Contoh:a) 125 + 234 = 359b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –1302) Kedua bilangan berlawanan tandaJika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positifdan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besardengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikantanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilailebih besar.Contoh:a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.i. (–34) + 46 + (–28)j. 68 + (–29) + (–45)2. Tentukan nilai pyang memenuhi, se-hingga kalimat matematika berikut inimenjadi benar.a. 8 + p = 15b.p + (–4) = 1c. (–12) + p = –3d. –p + 6 = 4e. 9 + (–p) = –51. Tanpa menggunakan alat bantu, hitung-lah hasil penjumlahan bilangan bulatberikut ini.a. 23 + 19b. (–42) + 27c. 38 + (–53)d. (–46) + (–35)e. (–56) + 47f. 32 + (–18)g. (–15) + 62h. (–27) + (–14) + 75
10Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. Sifat komutatifSifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahandua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang samawalaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkantempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20c. Mempunyai unsur identitasBilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas padapenjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulatapabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a = a.d. Sifat asosiatifSifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat inidapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c, berlaku(a + b) + c = a + (b + c).2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulata. Sifat tertutupPada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkanbilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = cdengancjuga bilangan bulat.a. –16 + 25 = 9–16 dan 25 merupakan bilangan bulat.9 juga merupakan bilangan bulat.b. 24 + (–8) = 1624 dan –8 merupakan bilangan bulat.16 juga merupakan bilangan bulat.
11Bilangan Bulata. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6= 54 + ((–5) + 6) = 4 + 1= 5Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10= –2–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1= –2Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).e. Mempunyai inversInvers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut.Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabilahasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya(lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –aadalaha.Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nolpasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlakua + (–a) = (–a) + a = 0.e. 9 + x= 0f.x+ (–5) + (–9) = 03. Suatu permainan diketahui nilai terting-ginya 100 dan nilai terendahnya –100.Seorang anak bermain sebanyak 6 kalidan memperoleh nilai berturut-turut 75,–80, –40, 65, x, dan –50. Jika jumlah nilaianak tersebut seluruhnya 60, tentukannilaix yang memenuhi.1. Dengan menggunakan sifat-sifat yangberlaku pada penjumlahan bilangan bulat,hitunglah hasil penjumlahan berikut.a. 23 + (–19) + 37b. 32 + (–27) + (–43)c. (–51) + 75 + 51d. –38 + (–45) + (–22)e. (–49) + 56 + (–31)f. 25 + (–17) + (–28)2. Tentukan nilai x yang memenuhi untuk xbilangan bulat.a. 4 + x = –3b.x + (–5) = 6c. –2 + x = –6d.x + (–8) = 0Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.(Berpikir kritis)Coba cek jawabanmu pada Uji Kompe-tensi 4 dengan menggunakankalkulator. Apakah hasilnya sama?(Menumbuhkan krea-tivitas)Diskusikan dengantemanmu.Coba kalian ingatkembali sifat operasipenjumlahan bilangancacah. Bandingkandengan sifat penjum-lahan pada bilanganbulat. Apakah setiapbilangan cacah a me-miliki invers (lawan)?Mengapa?
12Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Pengurangan pada Bilangan BulatSeperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitunghasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garisbilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi ditingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakanpenjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.Perhatikan uraian berikut.a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan denganlawan bilangan pengurangBandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.1) 4 – 301 2–2 –13 45–341Gambar 1.72) 4 + (–3)01 2–2 –13 45–341Gambar 1.83) –5 – (–2)01 2–3 –2 –1–4–5–5 2–3Gambar 1.94) –5 + 201 2–3 –2 –1–4–5–52–3Gambar 1.10Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.4 – 3 = 4 + (–3) = 1–5 – (–2) = –5 + 2 = –3
13Bilangan BulatPada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatubilangan sama artinya dengan menambah dengan lawanpengurangnya.Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat adan b, maka berlakua – b=a + (–b).(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Buktikan bahwa sifatkomutatif dan asosiatiftidak berlaku padaoperasi penguranganbilangan bulat.(Berpikir kritis)Coba ingat kembali,bahwa bilangan 0merupakan unsuridentitas padapenjumlahan bilanganbulat. Menurutmu,apakah padapengurangan bilanganbulat terdapat unsuridentitas?Eksplorasilah hal inidengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil daripengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat.Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengu-rangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.b. Pengurangan dengan alat bantuBerdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitunghasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilanganberikut ini.Penyelesaian:Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuanke kanan sampai pada angka 4.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7satuan ke kiri sampai pada angka –3.(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.01 2(b)(a)(c)–3 –2 –1–43 45Gambar 1.111. 4 – 7
14Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. –3 – (–5)Penyelesaian:Langkah-langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuanke kiri sampai pada angka –3.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.01 2(b)(a)(c)–3 –2 –1–43 4–5Gambar 1.12Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Hitunglah hasilnya.a. 9 – 3e. –15 – 9 – 13b. 5 – 8f. 32 – 21 – 14c. –13 – 9g. –18 – 11 – (–24)d. 16 – (–6)h. (–7 – 27) – 182. Jika n adalah bilangan bulat, tentukannilain agar menjadi kalimat yang benar.a. 7 – n= 2b.n– 4 = –3c.n – (–9) = 5d. –8 – n= –1e. –n – (–6) = 03. Diketahui suhu di Puncak Jaya Wijaya–4oC, sedangkan suhu di Kota Mekah48oC. Hitunglah selisih suhu keduatempat tersebut.4. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. JikaKota C terletak di antara Kota A dan B,sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B,berapakah jarak Kota C dari Kota A?4. Perkalian pada Bilangan BulatKalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasipenjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikancontoh berikut.4u 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 205u 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 u 5 dan 5 u 4 berbedaartinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Jikan adalah sebarang bilangan bulat positif makanua=sebanyak suku...
naaa a
15Bilangan Bulata. Menghitung hasil perkalian bilangan bulatPerhatikan uraian berikut.2u 4 = 4 + 4 = 82u 3 = 3 + 3 = 62u 2 = 2 + 2 = 42u 1 = 1 + 1 = 22u 0 = 0 + 0 = 0–2u 4 = – (2 u 4) = – (4 + 4) = –8–2u 3 = – (2 u 3) = – (3 + 3) = –6–2u 2 = – (2 u 2) = – (2 + 2) = –4–2u 1 = – (2 u 1) = – (1 + 1) = –2–2u 0 = – (2 u 0) = – (0 + 0) = 02u (–2) = (–2) + (–2) = –42u (–1) = (–1) + (–1) = –2(–2)u (–3) = – (2 u (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6(–2)u (–2) = – (2 u (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4(–2)u (–1) = – (2 u (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akanmemperoleh sifat-sifat berikut.Jikap dan qadalah bilangan bulat maka1)puq=pq;2) (–p)uq= –(puq) = –pq;3)pu (–q) = –(puq) = –pq;4) (–p)u (–q) = puq=pq.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tulislah arti perkalian berikut, kemudianselesaikan.a. 8 u 4b. 2 u (–3)c. 3 upd. 4 u (–p)e. 4 u 8f. 5 u (–2p)2. Hitunglah hasil perkalian berikut.a. 7 u (–18)b. (–12) u (–15)c. (–16) u 9d. 25 u 0e. (–24) u (–11)f. 35 u (–7)(Berpikir kritis)Buatlah kelompokterdiri atas 2 anak, 1laki-laki dan 1 perem-puan. Buktikan sifat-sifat operasi perkalianpada bilangan bulatseperti di samping.Berikan contoh-contohyang mendukung.Diskusikan hal inidengan temanmu.
16Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat1) Sifat tertutupUntuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3u 8 = ....3 u (–8) = ....(–3)u 8 = ....(–3) u (–8) = ....Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakanbilangan bulat?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlakupuq=rdenganrjuga bilangan bulat.2) Sifat komutatifUntuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2u (–5) = ....(–3) u (–4) = ....(–5)u 2 = ....(–4) u (–3) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat pdanq, selalu berlakupuq=qup.3) Sifat asosiatifUntuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilanganbulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.3u (–2 u 4) = ....(–2 u 6) u 4 = ....(3u (–2)) u 4 = ....–2 u (6 u 4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlaku(puq)ur=pu (qur).Dalam suatu permain-an jika menang diberinilai 3, jika kalah diberinilai –2, dan jika seridiberi nilai –1. Sebuahregu telah bermainsebanyak 47 kali,dengan 21 kalimenang dan 3 kaliseri. Tentukan nilaiyang diperoleh regutersebut.
17Bilangan Bulat4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahanUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2u (4 + (–3)) = ....(–3) u (–8 + 5) = ....(2u 4) + (2 u (–3)) = .... ((–3) u (–8)) + (–3 u 5) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlakupu (q+r) = (puq) + (pur).5) Sifat distributif perkalian terhadap penguranganUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.5u (8 – (–3)) = ....6 u (–7 – 4) = ....(5u 8) – (5 u (–3)) = .... (6 u (–7)) – (6 u 4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan rselalu berlakupu (q–r) = (puq) – (pur).6) Memiliki elemen identitasUntuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulisdan tentukan hasil perkalian berikut.3u 1 = ....(–4) u 1 = ....1u 3 = ....1 u (–4) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlakupu 1 = 1 up=p.Elemen identitas pada perkalian adalah 1.
18Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Dengan menggunakan sifat distributif,tentukan nilai daria. 8 u (–24)) + (8 u (–16))b. ((–17 u (–25)) + ((–25) u (–19))c. ((–7) u (–16)) – ((–2) u (–16))d. (29 u (–9)) – (9 u (–9))4. Salin dan lengkapilah tabel berikut.Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?5. Salin dan lengkapilah tabel berikut.Buatlah kesimpulan, sifat apakah yangkamu peroleh dari tabel tersebut?Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai pengganti huruf-hurufberikut sehingga menjadi kalimat yangbenar.a. 6 up= (–3) u 6b. 2 u (–q)u 9 = 9 u 3 u 2c. 3 uau (–2) = 3 u (5 u (–2))d. 7 u (–a – b) = (7 u (–8)) + (7 u (–2))2. a. Tentukan hasil perkalian berikut.(i) (5 u 4) u (–3) dan5u (4 u (–3))(ii) (6 u (–2)) u 7 dan6u ((–2) u 7)(iii) (8 u (–6)) u (–5) dan8u ((–6) u (–5))(iv) ((–7) u (–9)) u (–4) dan(–7)u((–9)u (–4))b. Berdasarkan soal (a), sifat apakahyang berlaku pada perkalian t erse-but? Apa yang dapat kalian simpul-kan?5. Pembagian Bilangan Bulata. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalianPerhatikan uraian berikut.(i) 3 u 4 = 4 + 4 + 4 = 12Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis3u 4 = 12 12 : 3 = 4.(ii) 4 u 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis4u 3 = 12 12 : 4 = 3.Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakanoperasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapatditulis sebagai berikut.abca (b + c)a ba c(a b) + (a c)22–2–21–1–1–133–3–3abca (b – c)a ba c(a b) – (a c)3–3–3–322–2–2444–4
19Bilangan BulatJikap,q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, danqz 0 maka berlaku p: q =rp=qu r.b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulatCoba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Darisifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.Untuk setiap p,q,rbilangan bulat, qz 0 dan memenuhip:q=rberlaku(i) jika p,qbertanda sama, radalah bilangan bulat positif;(ii) jika p,qberlainan tanda, radalah bilangan bulat negatif.c. Pembagian dengan bilangan nolUntuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat denganbilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat denganbilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlakuau 0 = 0 0 : a = 0Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; az 0.Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.d. Sifat pembagian pada bilangan bulatApakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?Perhatikan bahwa 15 : 3= 58 : 2 = 42 : 2 = 1Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilanganbulat?Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulatyang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwapembagian pada bilangan bulat tidakbersifattertutup.Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilanganbulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yangmemenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulatberlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi12 : (6 : 2) = 4.Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagianbilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan bahwa pa-da pembagian bilang-an bulat a : 0 = tidakdidefinisikan (tidakada), sebab tidak adasatupun bilanganpengganti yang me-menuhi. Eksplorasilahhal tersebut untuksebarang bilanganbulata.PetunjukGunakan pemisalana : 0 = x.
20Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.d.mu –13 = –104e. –16 u m = 112f. 8 u m = –136g.mu 12 = 156h.mu (–6) = –1444. Jika a = 3, b = –2, dan c = 4, tentukannilai daria.bca;d.abbc;b.abc;e.cbab;c.acb;f.bcaa.Apakah hasilnya ada yang bukan meru-pakan bilangan bulat? Mengapa?1. Tentukan hasil pembagian bilangan bulatberikut ini.a. 90 : 5f. –108 : (–18)b. 56 : (–8)g. –72 : 4c. –84 : 7h. 52 : 0d. 51 : (–3)i. 0 : (–49)e. –64 : (–8)j. 128 : (–8)2. Tentukan hasil pembagian berikut (jikaada bilangan bulat yang memenuhi).a. 72 : 6d. –30 : (–6)b. 52 : 3e. 82 : –9)c. –70 : 4f. –96 : (–18)3. Tentukan pengganti m, sehingga pernya-taan berikut menjadi benar.a.mu (–4) = –88b. 9 u m = –54c.mu (–7) = 91C. MENAKSIR HASIL PERKALIAN DANPEMBAGIAN BILANGAN BULA TSumber:Dok. PenerbitGambar 1.13Pernahkah kamu berbe lanja ke superm arket? Jika pernah,apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?Misalkan, kamu berbelanja barang-barang sehargaRp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepadakasir, berapa uang kembalian yang kamu terima?
21Bilangan Bulat(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadian disekitarmu. Tuliskanmasalah yang terkaitdengan pembulatanatau taksiran bilanganbulat. Kemudianselesaikanlah.Hasilnya, kemukakansecara singkat didepan kelas.Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidakdihitung atau dihilangkan.b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angkatersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekata. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dansatuan dihilangkan.b. Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5,angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatanke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.1. Tentukan taksiran pa-da hasil perhitunganberikut ke angka pu-luhan terdekat.a. 37 u 19b. 118 : 24c. 2.463 : 31Penyelesaian:a. 37 u 19 | 40 u 20 = 800b. 118 : 24 | 120 : 20 = 6c. 2.463 : 31 | 2.460 : 30 = 822. Tentukan taksiran pa-da hasil perhitunganberikut ke angka ratus-an terdekat.a. 225 u 133b. 392 u 1.174c. 2.548 : 481Penyelesaian:a. 225 u 133 | 200 u 100 = 20.000b. 392 u 1.174 | 400 u 1.200 = 480.000c. 2.548 : 481 | 2.500 : 500 = 5Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka ratusan terdekat.a. 121 u 358 c. 2.834 : 733b. 1.469 u 112 d. 6.273 : 8911. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka puluhan terdekat.a. 36 : 9c. 266 : 33b. 27 u 154d. 54 u 88
22Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian padabilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukankelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatubilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan PersekutuanTerkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatubilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) danFaktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan akanbermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untukitu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.D. KELIPATAN DAN F AKTOR1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat PositifDi tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenaikelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang danmemperdalam materi tersebut.Jikakanggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari kadalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.1u 3 = 32u 3 = 63u 3 = 94u 3 = 12...Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...3. Taksirlah hasil perkalian dan pembagianberikut ke angka ribuan terdekat.a. 2.383 u 1.564b. 1.746 u 3.324c. 4.830 : 1.416d. 7.700 : 3.925(Menumbuhkan ino-vasi)Cek hasil perhitungansoal-soal di Uji Kom-petensi 9 di atasdengan menggunakankalkulator. Kamu jugadapat menggunakankomputer jika tersediadi sekolahmu.Bandingkan hasilnya.Apakah terdapatselisih di antara keduajawaban tersebut?Mengapa? Diskusikanhal ini dengantemanmu.a. Tentukan semua bila-ngan kelipatan 2 yangkurang dari 30;b. Tentukan semua bila-ngan kelipatan 5 yangkurang dari 30;Penyelesaian:a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagaiberikut.1u 2 = 26 u 2 = 1211 u 2 = 222u 2 = 47 u 2 = 1412 u 2 = 243u 2 = 68 u 2 = 1613 u 2 = 264u 2 = 89 u 2 = 1814 u 2 = 285u 2 = 1010 u 2 = 20Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
23Bilangan Bulatc. Tentukan semua bi-langan asli yang kurangdari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5.b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah5, 10, 15, 20, 25.c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakankelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20.Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut keli-patan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.2. Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dari DuaBilangan atau LebihBilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut KelipatanPersekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari pdanq, denganp,qanggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecilanggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh pdanq.Tentukan KPK dari 2, 3,dan 4.Penyelesaian:Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18, 20, 22, 24, ....Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,....Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ....Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.c. Tentukan kelipatan persekutuan ter-kecil dari 4 dan 6.2. Tentukan semua kelipatan persekutuandari 3 dan 5 yang kurang dari 40. Ke-mudian, tentukan KPK-nya.1. a. Tentukan semua kelipatan 4 dan 6yang kurang dari 50.b. Tentukan semua kelipatan perseku-tuan dari 4 dan 6 yang kurang dari50.
24Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Tentukan KPK dari pasangan bilanganberikut.a. 5 dan 7c. 12 dan 15b. 6 dan 8d. 24 dan 324. Tentukan KPK dari bilangan-bilanganberikut.a. 2, 4, dan 5 c. 12, 32, dan 36b. 3, 5, dan 6 d. 18, 36, dan 423. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar(FPB)Perhatikan perkalian bilangan berikut.1u 8 = 82u 4 = 8Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.Sekarang perhatikan perkalian berikut.1u 2 = 21u 3 = 31u 5 = 51u 7 = 7Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanyamempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilanganseperti ini disebut bilangan prima.Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai duafaktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri.Faktordari suatu bilangan asli kadalah suatu bilangan asli yangapabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengank.a. Tentukan semua faktordari 25.Penyelesaian:1u 25 = 255u 5 = 25Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.b. Tentukan semua faktordari 30.Penyelesaian:1u 30 = 30; 2 u 15 = 30; 3 u 10 = 30; 5 u 6 = 30Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dantidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semuafaktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.
25Bilangan Bulatc. Tentukan semua faktorprima dari 45.Penyelesaian:Ingat kembali cara menentukan faktor primasuatu bilangan dengan pohon faktor.4531535Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa– faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;– faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30.Karena 5 merupakan faktor terbesar , maka 5 disebut faktorpersekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.Dapatkah kamu menentukan FPB dari 25, 30, dan 45?Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalahbilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan keduabilangan tersebut.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.3. Tentukan faktor persekutuan dari bilang-an-bilangan berikut. Kemudian, tentukanFPB-nya.a. 16 dan 24b. 30 dan 45c. 48 dan 54d. 9, 18, dan 36e. 24, 32, dan 64f. 36, 52, dan 60g. 82, 120, dan 150h. 36, 108, dan 1601. Tentukan semua faktor dari bilanganberikut.a. 27d. 120b. 36e. 240c. 64f. 3202. Tentukan semua faktor prima dari bilang-an berikut. Kemudian, tulislah perkalianfaktor-faktor primanya.a. 24d. 56b. 32e. 115c. 48f. 250(Menumbuhkan krea-tivitas)Amatilah kejadian dilingkungan sekitarmu.Tuliskan masalahyang terkait denganKPK dan FPB.Kemudian, selesai-kanlah. Diskusikan halini dengan temansebangkumu.Hasilnya, tulislahdalam bentuk laporandan serahkan kepadagurumu.
26Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan KPK dan FPBdari 36 dan 40 dengan caramemfaktorkan.Penyelesaian:36 = 22u 3240 = 23u 5Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika adafaktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 22 dan23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 23. Jadi, KPK dari 36dan 40 = 23u 32u 5 = 360.Adapun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilanganpokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPBdari 36 dan 40 = 22 = 4.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.– Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan caramengalikan semua faktor . Jika ada faktor dengan bilanganpokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.– Faktor Persekutuan T erbesar (FPB) diperoleh dengan caramengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.4. Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atauLebih dengan MemfaktorkanDi depan kalian telah mengetahui cara menentukan KPKdan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan mencari kelipatandan faktor dari masing-masing bilangan. Selain dengan cara tersebut,kita dapat menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebihdengan terlebih dahulu menentukan faktorisasi prima masing-masing bilangan itu.Perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan disebutfaktorisasi prima.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.2. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan berikut dengan cara memfak-torkan.a. 4, 12, dan 20 c. 45, 78, dan 100b. 24, 36, dan 72 d. 64, 115, dan 2301. Tentukan faktorisasi prima daribilangan-bilangan berikut.a. 68c. 145b. 75d. 225
27Bilangan BulatE. PERPANGKATAN BILANGAN BULA T1. Pengertian Perpangkatan BilanganCoba kalian ingat kembali materi di sekolah dasar tentangpengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatubilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itusendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalianberulang dengan bilangan yang sama.Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.21= 222= 2 u 2 (22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)= 423= 2 u 2 u 2 (23 dibaca 2 pangkat 3)= 8....2n= kali222...2uuuu
n(2n dibaca 2 pangkat n)Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n,berlakusebanyak faktor... uuuu
nnp ppp pdenganp disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen).Untukpz 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahasperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif.CatatanNanti di kelas IX, kalian akan mempelajari lebih jauh tentangperpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif, negatif, dannol.Tentukan hasil perpangkat-an bilangan-bilangan beri-kut ini.a. 92c. –54b. (–6)3d. (–10)4Penyelesaian:a. 92= 9 u 9= 81b. (–6)3= (–6) u (–6) u (–6)= 36 u (–6)= –216Pada perpangkatanbilangan bulat pn, per-hatikan bilangan po-koknya. Cermati perbe-daan perpangkatanbilangan bulat berikut. faktor faktor faktor...(... )() ()()()...() uuuu uuuu u u u u
nnnnnp ppp pp ppp pnp ppp p
28Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. –54= –(5u 5 u 5 u 5)= –625d. (–10)4= (–10)u (–10)u (–10)u (–10)= 10.0002. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkata. Sifat perkalian bilangan berpangkatPerhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.N232 faktor3 faktor5 faktor53 3 (33)(333)(33333)3u uuuu uuuu
Jikam,n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka faktor faktor( ) faktor(... ) (... )...... ).mnmnmnmnpppppppppp ppp ppu uuu u uuu uuuuuuu
pmupn = pm + nb. Sifat pembagian bilangan berpangkatPerhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut.535 faktor3 faktor25:5 (55555):(555)555 uuuu uu u
Jikam,n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka faktor faktor( ) faktor:(... ):(... )(... ).mnmnmnmnp p pp p pp ppp pp uuu uuu uuu
pm : pn = pm – n
29Bilangan Bulatc. Sifat perpangkatan bilangan berpangkatPerhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut.232222 faktor2 faktor2 faktor6 faktor6(2 ) (2 ) (2 ) (2 )(2 2) (2 2) (2 2)(222222)2 uu uuuuu uuuuu
Jikam,n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka faktor faktor faktor faktor faktor( ) faktor( )...(... ) (... ) (... )(......... )mn m mmnmm mnmnp pp ppp p pp p pp ppp ppp ppp pu u uu uuu u uuu u uuu uuuuuuuuuuu
.mnpu(pm)n = pmund. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagianPerhatikan uraian berikut.(5u 2)3 = 103 = 10 u 10 u 10 = 1.000(5u 2)3 = 53u 23 = 125 u 8 = 1.000(2u 3)2 = 62 = 36(2u 3)2 = 22u 32 = 4 u 9 = 36Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut.Jikambilangan bulat positif dan p,qbilangan bulat maka faktor faktor faktor()()()...()(... ) (... ).()mmmmmmm mmpq pq pq pqpp p qq qpqpq p qu u u u uu u uuu u uuu uu u
(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Tunjukkan berlakunyasifat (p : q)m = pm : qmdenganp,q bilanganbulat dan m bilanganbulat positif.
30Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sederhanakan bentukpangkat berikut.a. 44u 42 : 43b. 84u 42 : 29Penyelesaian:a. 44u 42 : 43= (44u 42) : 43= 44 + 2 : 43= 46 : 43= 46 – 3= 43b. 84u 42 : 29= (84u 42) : 29= ((23)4u (22)2) : 29= (212u 24) : 29= 212 + 4 : 29= 216 : 29= 216 – 9 = 27Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasilnya.a. 92f. 23u 24b. 113g. (–5)2u (–5)3c. –63h. ((–3)2)3d. (–13)2i. (–22)2e. (–4)3j. –(3 u (–5))22. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.a. 45u 43f.y5uy8 : yb. –69 : 64g. ((–3)5)4c. 5 u (–5)4u 58h. ((–2)5u(–23))2d. 89 : 83 : 82i. (46 : 43)4e.x7 : x3ux6j. (–z3)5u(–z2)43. Dengan menggunakan sifat perpang-katan suatu perkalian atau pembagianbilangan bulat, sederhanakan bentukpangkat berikut.a. (3 u 4)5d. (4 u 2)3 : 34b. (6 : 2)4e. (–4 : 2)2u 42c. ((–2)2u 33)24. Tentukan bentuk berikut ke dalam bilang-an berpangkat dengan bilangan pokok 2.a. 4 u 32 u 64b. (128 u 23u 22) : (256 u 22u 2)c. 256 : 23 : (–2)2d. 16 u 64 : 32
31Bilangan Bulat3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan AkarPangkat Tigaa. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulatKalian telah mengetahui bahwa a2 = aua di manaa2 dibaca a kuadrat atau a pangkat dua.Jikaa = 2 maka a2 = 2 u 2 = 4. Hal ini dapat ditulis24 2.a4 dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadratdari 4.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.a2 = b sama artinya dengan .baTentukan nilai berikut ini.1.162.1693.2( 25)4.1.225Penyelesaian:1.216 4, karena 4 4 4 16 u 2.2169 13, karena 13 = 13 13 = 169u3.2( 25) = ( 25) ( 25) = 625 u4. Untuk mengetahui nilai 1.225, tentukan letak bilang-an 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak diantara 302 = 900 dan 402 = 1.600. Jadi, 1.225 terletakdi antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi,1.225 = 35, karena 352 = 35 u 35 = 1.225.(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Misalkana2 = b.Buktikan bahwaa = b atau a = b.b. Pangkat tiga dan akar pangkat tigaDi bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatanmerupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal inijuga berlaku pada bilangan berpangkat tiga.a3=auauaBentuka3 disebut pangkat tiga dari a. Jika a= 2 makaa3 = 23 = 2 u 2 u 2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula bahwa 38 = 2dan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2.a3 = b sama artinya dengan 3b = aTentukan nilai dari akarberikut.1.u75452.u335 9 3 813.237294.u543262a abbab5.uu332432xx yyxy
32Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan nilai berikut ini.1.3642.32163. (–9)34.33.375Penyelesaian:1.364 = 4, karena 43 = 4 u 4 u 4 = 642.3216 = –6, karena (–6)3= (–6) u (–6) u (–6)= –2163. (–9)3 = (–9) u (–9) u (–9) = –7294. Untuk mengetahui nilai dari 33.375, tentukan letakbilangan 3.375 terlebih dahulu. Bilangan 3.375 terletakdi antara bilangan 103 = 1.000 dan 203 = 8.000. Bilang-an bulat antara 10 dan 20 yang nilai pangkat tiganyabersatuan 5 adalah 15. Karena 153 = 15 u 15 u 15 =3.375 maka 33.375 = 15.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.(Berpikir kritis)Berdasarkan contoh di atas, simpulkan mengenai pangkat tigasuatu bilangan bulat negatif. Bandingkan dengan kesimpulanberikut.Hasil pangkat tiga bilangan bulat negatif adalah bilangan bulatnegatif pula. Apakah kamu berkesimpulan sama? Diskusikandengan temanmu.2. Tentukan nilai akar kuadrat berikut.a.22( 8 7) (11 3) b.22(5 ( 4)) ( 10 2) c.22(10 12) ( 9 ( 4)) d.22( 3 4) ( 19 5) 1. Tentukan nilai akar berikut.a.36g.364b.64h.3125c.81i.3512d.529j.31.000e.1.156k.31.728f.7.921l.33.375
33Bilangan Bulat3. Hitunglah nilai berikut ini.a.33 6 0xyzuub.3 2 322( ): ( )x y xyc.362433xy xyud.3 3322:2xxy xyyuF. OPERASI HITUNG CAMPURAN P ADABILANGAN BULATDalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terda-pat dua hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu1. tanda operasi hitung;2. tanda kurung.Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulatterdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurungharus dikerjakan terlebih dahulu.Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidakterdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifatoperasi hitung berikut.1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebihdahulu.2. Operasi perkalian (u) dan pembagian (:) sama kuat, artinyaoperasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.3. Operasi perkalian (u) dan pembagian (:) lebih kuat daripadaoperasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasiperkalian (u) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahuludaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).Tentukan hasil dari operasi hitung berikutini.a. 24 + 56 u 42 – 384 : 12b. 28 u (364 + 2.875) : (9.756 – 9.742)c. 80 : ((11 – 7) u (–4))d. (–8 + 5) u (36 : (6 – 9))Penyelesaian:a. 24 + 56 u 42 – 384 : 12= 24 + (56 u 42) – (384 : 12)= 24 + 2.352 – 32= 2.376 – 32= 2.344b. 28 u (364 + 2.875) : (9.756 – 9.742)= 28 u 3.239 : 14= 90.692 : 14 = 6.478
34Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. 80 : ((11 – 7) u (–4))= 80 : (4 u (–4))= 80 : (–16)= –5d. (–8 + 5) u (36 : (6 – 9))= –3 u (36 : (–3))= –3 u (–12)= 36Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.6. 168 : ((17 – 24) u (–19 + 15))7. 24 u (240 : ((–36 + 40) u (–23 + 17))8. 360 : (15 + ((27 – 32) u (–9 + 16)))9. 420 : (–7) + 70 – 30 u (–8) + 1510. 13 u (140 : (–7)) + (–2) u 19Tentukan nilai dari operasi hitung berikut.1. 45 + 56 u 48 – 216 : 92. 15.762 : 37 – 512 + 96 u 723. 19 u 27 + 5.205 : 15 – 2694. (–9) – 6 u (–72) : 16 – 205. (8.742 – 9.756) u 36 : (4.356 – 4.360)G. PENGGUNAAN OPERASI HITUNGBILANGAN BULAT UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH1. Pada percobaan fisika,seorang siswa mela-kukan pengukuransuhu pada sebongkahes. Suhu es tersebutmula-mula –5oC. Se-telah dipanaskan, esberubah menjadi airyang b ersuhu 3oC.Berapa kenaikan suhues tersebut hinggamenjadi air?Penyelesaian:Suhu es mula-mula adalah –5oC. Setelah dipanaskan, esberubah menjadi air yang bersuhu 3oC. Artinya, suhu esmengalami kenaikan, yaitu selisih suhu terakhir dengan suhumula-mula. Misalkan kenaikan suhu es tersebut = t, makakondisi ini dapat dituliskan sebagai t = 3 – (–5) = 8. Jadi,suhu es naik 8oC hingga berubah menjadi air.
35Bilangan Bulatair.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Dari 100 soal, seorang peserta menjawab95 soal dan 78 di antaranya dijawab de-ngan benar. Tentukan nilai yang diper-oleh peserta tersebut.3. Jumlah tiga bilangan bulat berurutan dike-tahui –12. Tentukan bilangan-bilanganitu.4. Dalam suatu permainan ditentukan nilaitertinggi adalah 100, dan dalam permain-an tersebut dimungkinkan seorang pe-main memperoleh nilai negatif. Untuk 6kali bermain seorang pemain memper-oleh nilai berturut-turut –75, 80, –40, 50,90, dan –35. Hitunglah jumlah nilaipemain tersebut.1. Sebuah kantor berlantai 20 mempunyai3 lantai berada di bawah tanah. Seorangkaryawan mula-mula berada di lantai 2kantor itu. Karena ada suatu keperluan,ia turun 4 lantai, kemudian naik 6 lantai.Di lantai berapakah karyawan itu seka-rang berada?2. Dalam suatu ujian, penilaian ditentukandengan ketentuan sebagai berikut.– Jawaban benar diberikan nilai 3.– Jawaban salah diberikan nilai –1.– Untuk soal yang tidak dijawab diberi-kan nilai 0.2. Dalam suatu tes, pe-nilaian didasarkan bah-wa jawaban benardiberikan nilai 2, ja-waban salah diberikannilai –1, dan untuk soalyang tidak dijawabdiberikan nilai 0. Dari30 soal, seorang siswamenjawab 25 soal dan19 diantaranya dija-wab dengan benar .Berapakah nilai yangdiperoleh siswa terse-but?Penyelesaian:Dari 30 soal, 25 soal dijawab dengan 19 di antaranya benar.Artinya, siswa tersebut menjawab 25 soal, 19 soal dijawabbenar dan 6 soal dijawab salah. Dengan demikian, ada 5soal yang tidak dijawab siswa.Jadi, nilai yang diperoleh siswa tersebut adalah= (jawaban benar u 2) + (jawaban salah u (–1)) + (tidakdijawabu 0)= (19 u 2) + (6 u (–1)) + (5 u 0)= 38 + (–6) + 0= 38 – 6= 32(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah masalah/kejadian di lingkungan sekitarmu. Tuliskanmasalah yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitungbilangan bulat, kemudian selesaikanlah. Hasilnya, tuliskandalam bentuk laporan dan kumpulkan kepada gurumu.
36Matematika Konsep dan Aplikasinya 11. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, danbilangan bulat positif.2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat. a. Sifat tertutupUntuk setiap bilangan bulat adanb, berlakua+b=cdengancjuga bilangan bulat. b. Sifat komutatifUntuk setiap bilangan bulat adanb, selalu berlakua+b=b+a. c. Sifat asosiatifUntuk setiap bilangan bulat a,b, dan cselalu berlaku(a+b) + c=a+ (b+c). d. Mempunyai unsur identitasUntuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua+ 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitaspada penjumlahan. e. Mempunyai inversUntuk setiap bilangan bulat a, selalu berlakua+ (–a) = (–a) + a= 0. Invers dari aadalah –a, sedangkaninvers dari –aadalaha.3. Jika a dan bbilangan bulat maka berlaku a–b=a+ (–b).4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.5. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makasebanyak suku...u
nnaaa a6. Jika pdanqbilangan bulat maka a.puq=pq; b. (–p)uq= –(puq) = –pq; c.pu (–q) = –(puq) = –pq; d. (–p)u (–q) = puq=pq.7. Untuk setiap p,q, dan rbilangan bulat berlaku sifat a. tertutup terhadap operasi perkalian; b. komutatif: puq=qup; c. asosiatif: (puq)ur=pu (qur); d. distributif perkalian terhadap penjumlahan:pu (q+r) = (puq) + (pur); e. distributif perkalian terhadap pengurangan:pu (q–r) = (puq) – (pur).
37Bilangan Bulat8. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiapbilangan bulat pberlakupu 1 = 1 up=p.9. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.10. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.11.a2 = b sama artinya dengan .ba12.a3 = b sama artinya dengan 3.ba13. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulattidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.b. Operasi perkalian (u) dan pembagian (:) sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.c. Operasi perkalian (u) dan pembagian (:) lebih kuatdaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–),artinya operasi perkalian (u) dan pembagian (:) dikerjakanterlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) danpengurangan (–).Setelah mempelajari mengenai Bilangan Bulat, coba rangkummateri yang telah kamu pahami. Jika ada materi yang belum kamupahami, catat dan tanyakan pada temanmu yang lebih tahu ataukepada gurumu. Catat pula manfaat yang kamu peroleh dari materiini. Berikan contoh penggunaan bilangan bulat dalam kehidupansehari-hari beserta penyelesaiannya. Hasilnya kemukakan secarasingkat di depan kelas.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1. Suhu sebongkah es mula-mula 5oC.Dua jam kemudian suhunya turun 7oC.Suhu es itu sekarang adalah ....a. –12oCc. 2oCb. –2oCd. –12oC2. Jika x lebih besar dari 1 dan kurangdari 4 maka penulisan yang tepatadalah ....a.x > 1 > 4c. 1 > x > 4b.x < 1 < 4d. 1 < x < 4
38Matematika Konsep dan Aplikasinya 1B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.a. 22u 3 u 72b. 2 u 32u 72c. 2 u 32u 73d. 24u 3 u 727. Nilai dari 3630237uu adalah ....a. 6c. 15b. 12d. 208. KPK dan FPB dari 72 dan 120 bertu-rut-turut adalah ....a. 40 dan 24c. 360 dan 40b. 360 dan 24d. 240 dan 3609. Nilai dari 35 + 14 u 8 – 34 : 17 adalah....a. 145c. 246b. 245d. 34510. Nilai dari –3 u (15 + (–52)) = ...a. 97c. 111b. –111d. –2013. Pernyataan berikut yang benar adalah....a. 17 – (–13) – 4 = 0b. –25 – (–8) – 17 = –34c. –18 + (–2) + 13 = 7d. 12 + (–7) – 6 = 14. Jika p = –1, q = –4, dan r = 2, nilaidaripqr adalah ....a. –1c. 1b. –2d. 25. Nilai dari (6 : 3)2u 23 adalah ....a. 22c. 32b. 23d. 336. Bentuk sederhana dari(3u 4)3u (2 u 5 u 7)2 : (2 u 5 u 6)2adalah ....1. Suhu suatu kamar diketahui 15oC. Ke-mudian turun toC, sehingga suhunyasekarang menjadi 13oC. Hitunglah nilait.2. Gunakan garis bilangan untuk menghi-tung nilai daria. 4 + (–6)b. –2 + (–3)c. 9 + (–5) + (–4)d. –6 – 3e. (–4) + 2 + (–1)3. Nyatakan operasi pengurangan berikutke dalam operasi penjumlahan, kemu-dian tentukan nilainya.a. 2 – 13b. 9 – 3c. 4 – (–7)d. 6 – (–2)e. –10 – 5 – 3f. 35 – (–9)g. –18 – 41 – (–24)h. 36 – 45 – (–16)4. Tentukan nilai operasi hitung berikut.a. 5 u [(–3) + (–12)]b. [(–20) + 11 – 5] u (–2)c. (–35) : 7 (–3)d. 12 u (–2) : 4 + (–5)5. Hitunglah nilainya.a. 53u 52 : 54b. (22u 32)2 : 23c.3 16 2 36d.3 3622:( )xx y xyyu